对数运算性质

2.2.1对数与对数运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能：理解对数的运算性质．
2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3．情感、态态与价值观
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、
相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的
科学精神
（二）教学重点、难点
1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.
2．教学难点：对数的运算性质发现过程及其证明.
（三）教学方法
针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．（四）教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入
复习：对数的定义及对数恒等式
log b
a
N b a N
=⇔=（a＞0，且a
≠1，N＞0），
学生口答，教师板书．对数的概念
和对数恒等
式是学习本
指数的运算性质.
;m n m n m n m n
a a a a a a +-⋅=÷=();
m
n m n mn
n
m
a a a a
==
节课的基础，
学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备．
提出
问题
探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m
n
m n
a a a
+⋅=，
那m n +如何表示，能用对数式运算吗？
如：
,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设.
于是,m n
MN a
+= 由对数的定义得到
log ,m a M a m M =⇔=log n a N a n N
=⇔=log m n a MN a m n MN
+=⇔+=log log log ()
a a a M N MN ∴+=放出投影学生探究，教师启发引导．
即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？
概念形成
（让学生探究，讨论）
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那
么：
（1）log log log
a a a
MN M N
=+
（2）log log log
a a a
M
M N
N
=-
（3）log log()
n
a a
M n M n R
=∈
证明：
（1）令,m n
M a N a
==
则：m n m n
M
a a a
N
-
=÷=
log
a
M
m n
N
∴-=
又由,m n
M a N a
==
log,log
a a
m M n N
∴==
即：
log log log
a a a
M
M N m n
N
-=-=
（3）
让学生多角度思考，探究，教
师点拨．
让学生讨论、研究，教师引
导．
让学生明确
由“归纳一猜
想”得到的结
论不一定正
确，但是发现
数学结论的
有效方法，让
学生体会“归
纳一猜想一
证明”是数学
中发现结论，
证明结论的
完整思维方
法，让学生体
会回到最原
始（定义）的
地方是解决
0,log ,N n
n
a n N M M a
≠==时令则 log ,b n
a b n M M a
==则N
b n n
a a
∴=N b
∴=即log log log a
a a M
M N N
=-当n =0时，显然成立. log log n
a a M n M
∴=
数学问题的有效策略．通
过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散
性，进一步加
深学生对字母的认识和
利用，体会从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图．
概念
深化
合作探究：
1. 利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？
（师组织，生交流探讨得出如下结论）
底数a ＞0，且a ≠1，真数
M ＞0，N ＞0；只有所得结果中
对数和所给出的数的对数都存
在时，等式才能成立.
2. 性质能否进行推广？（生交流讨论）
性质（1）可以推广到n个
正数的情形，即
log a（M1M2M3…M n）
=log a M1+log a M2
+log a M3+…
+log a M n（其中a＞0，且
a≠1，M1、M2、M3…M n＞0）.
应用举例
例1 用log
a
x，log
a
y，log
a
z表示
下列各式
（1）log
a
xy
z
（2）
2
3
log
8
a
x y
学生思考，口答，教师板演、
点评．
例1分析：利用对数运算
性质直接化简.
（1）log
a
xy
z
log log
a a
xy z
=-
log log log
a a a
x y z
=+-
（2）
2
3
log
a
x y
z
23
log log
a a
x y z
=-
2
log log
a a
x y
=+
3
log
a
z
-
通过例题的解
答，巩固所学的
对数运算法则，
提高运算能力．
备选例题
例1 计算下列各式的值：
（1）245lg 8lg 3
44932lg 21+-； （2）22)2(lg 20lg 5lg 8lg 3
25lg +⋅++. 【解析】（1）方法一：
原式=21
22325)57lg(2lg 34)7lg 2(lg 21⨯+-- =5lg 217lg 2lg 27lg 2lg 25++--
=5lg 212lg 21+
=21)5lg 2(lg 21
=
+. 方法二：原式=57lg 4lg 724lg
+- =4
75724lg ⨯⨯ =21)52lg(=
⨯. （2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2
=2lg10 + (lg5 + lg2)2
= 2 + (lg10)2
= 2 + 1 = 3.
【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.
例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg 45；
（2）设log a x = m ，log a y = n ，用m 、n 表示][log 3
44y x a a ⋅；
（3）已知lg x = 2lg a + 3lg b – 5lg c ，求x . 【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.
【解析】（1）1190lg 45lg 222
== 1[lg9lg10lg 2]2
=+- 1[2lg31lg 2]2
=+- =-+=2lg 2
1213lg 0.4771+0.5 – 0.1505 = 0.8266
（2）log a 11
13412log log log a a a a x y =+-
.12
13141log 121log 3141m n y x a a -+=-+= （3）由已知得：
53
2532lg lg lg lg lg c b a c b a x =-+=， ∴53
2c b a x =.
【小结】①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等. 即log a N = log a M ⇒N = M .。