2019-2020学年高三数学 数列中的等式恒成立问题公开课复习学案.doc
苏教版高中数学必修五《不等式恒成立》专题学案.doc
不等式的恒成立一.什么叫不等式的恒成立？这个概念起源于函数的最大值和最小值的定义。
关于X的不等式f(x) $0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。
常见的有:(1)x2 > 0,XG 7?;(2)tz x > 0,XG R;(3)A/X>0,X>0等等。
其形式与函数的最值关系如下：1. /(X)> m对V X e D 恒成立u> f (x)min > m -2. / ( A-) < m 对V x e D恒成立o /(.r)mas < m变形方法：分离参量即将主变量与参变量分在不等号的两侧。
其几何形式为：一个函数图像在另一个函数图像的上方或下方练习：1.下列哪些关系是恒成立的？(1)xe R时x2— 6x +10 > 0 ,(2)3x<0 时,2' < 1(3)当x > 1 吋log“ x > 0 (a > 0,a 工1)(4)若f(x) = x + log2 % 对任意的 %, > %2 > 0,都有/(xj > f(x2) o例题一：1.已知函数f(x) = x2 + 2x-3 ,求证当xw (-oo5-2］吋，f(x)的最小值为f(-2)；说明 /(%) > /(—2)是否恒成立？2.对XG ［-1,3］,不等式X2+2X+1 > P恒成立.求P的取值范变式：对xw 不等式x2+px+l > 0恒成立.求p的取值范例题二：1.当xe ［1,2］吋，不等式ax-2 > 0恒成立.求a的取值范围。
变式：若函数/(x) = y/2x-m在区间［l,+oo)上有意义，求常数m的取值范围。
思考：变式与“ f(x) = yjlx-m的定义域为［1,+8),求常数m的取值”有什么不同？2..己知函数y = x ——x(1)判断函数在xw (0 + 8)上的单调性。
数列中的恒成立问题(教师版)
数列中的恒成立问题【常用方法和策略】：数列中的恒成立问题历来是高考的热点，其形式多样，变化众多，综合性强，属于能力题，主要考查学生思维的灵活性与创造性．数列中等式恒成立问题通常采用赋值法和待定系数法，利用关于n 的方程有无数个解确定参数的值，也可采用观察、归纳猜想再证明的思想；与不等式有关的数列恒成立问题，常常使用分离参数法、利用函数性质法等，转化为研究数列的最值问题．【课前预习】：1. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，11a =，公差0d ≠，若对任意正整数n ，前n 项的和与前3n 项的和之比为同一个常数，则数列{}n a 的通项公式是_______________. 【解析】由已知得，(1)2n n n d S n -=+，33(31)32n n n dS n -=+，设3n n S t S =为常数，则2963dn d tdn t td +-=+-对*n N ∀∈恒成立，所以9263td d d t td =⎧⎨-=-⎩，由于0d ≠，解得219d t =⎧⎪⎨=⎪⎩故21n a n =-2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ．【解析】根据2n n a S An Bn C +=++及等差数列的性质，可设S n =An 2+Dn ，则a n =（B －D ）n+C ，则有a 1=B －D+C ，由等差数列的求和公式可得S n =2)(1n a a n +=2D B -n 2+22CD B +-n=An 2+Dn ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-DCD B A DB 222，消去参数D 并整理可得B －C=3A ，故A 1+B －C=A 1+3A ≥2A A 31⋅=23，当且仅当A1=3A ，即A=33时等号成立．3. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式22212n n S a ma n+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为________．【解析】设数列{a n }的公差是d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋n （n －1）2d.由题意[a 1＋(n －1)d]2＋⎝⎛⎭⎫a 1＋n －12d 2≥m a 21对任意的a 1，d ∈R ，n ∈N *恒成立． ① 若a 1＝0，上式显然恒成立；② 若a 1≠0，则⎣⎡⎦⎤1＋（n －1）d a 12＋⎣⎡⎦⎤1＋（n －1）d 2a 12≥m 对任意的a 1，d ∈R ，n ∈N *恒成立．令（n －1）d 2a 1＝t ，则(1＋2t)2＋(1＋t)2≥m 对任意的实数t 恒成立．而(1＋2t)2＋(1＋t)2＝5t 2＋6t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋15，所以t ＝－35时(1＋2t)2＋(1＋t)2取最小值，所以m ≤15.综上所述，m 的最大值为15.【典型例题】：例题1 设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．（1）若a 1 = 3，求证：存在f (n )=a n 2+b n+c （a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式． 【解析】(1)证明：设数列{ a n + f (n ) }的公比为q ，则：a n+1+f (n+1)=q(a n +f (n )), 而()()()c n b n a n n a n f a n n ++++++-+=+++111421221 c b bn a na an n n a n +++++++-+=214222()()()c b a n b a n a a n +++++-+++=142122()()qc qbn qan qa n f a q n n +++=+2．由等式恒成立得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+-=+==c b a qc b a qb a qa q 14212，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===0212c b a q ．∴存在f (n )=n 2-2n ，数列{ a n + f (n ) }成公比为2的等比数列．又a 1+f (1)=3+1-2=2，所以a n +f (n)=2⋅2n -1=2n ．所以a n =2n - f (n)= 2n - n 2+2n ．.………………（8分） (2) ∵a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，可设Bn An a n +=2，则:()()()()B A n B A An n B n A a n ++++=+++=+211221．又a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1142222+-++=n n Bn An ()()142122+-++=n B n A ．由此得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=142212B A B B A A A ，解得⎩⎨⎧=-=21B A ．所以n n a n 22+-=，所以11=a ．所以当2≥n 时，()()[]1212221-+---+-=-=-n n n n a a b n n n n 23-=．当1=n 时，111==a b 满足上式．故n b n 23-=．.………………（16分）例题2已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ．（1）若{}n a 是公差为d )0(>d 的等差数列，且也是公差为d 的等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 对任意m n ∈*N ，，且m n ≠，都有2m n mnm n S a a a a m n m n+-=+++-，求证： 数列{}n a 是等差数列．【解析】（1）设n b =n S b n n +=2，当321，，=n 时，2111=1b S n a =++，① 2121()222b d S a d +=+=++，②2131(2)3333b d S a d +=+=++， ③ 联立①②③消去1a ，得2211()2b d b d +=+ ④ 2211(2)33b d b d +=+ ⑤ ④3⨯-⑤得：221120b b d d -+=，则1b d =，⑥ 将⑥代入⑤解出12d =（=0d 舍去），………………………………………………… 2分从而解得134a =-，所以1524n a n =-. ……………………………………………… 4分此时，12n b n =对于任意正整数n 满足题意. …………………………… 6分（2）因为对任意,m n ∈*N ，m n ≠，都有2m n mnm n S a a a a m n m n+-=+++-， ① 在①中取1m n =+，2111122211n n n n n n S a aa a a n ++++-=++=+， ② ……………………… 8分 同理212121212422133n n n n n n n S a a a a a a n ++-+-+--+=++=+，③…………………………………10分 由②③知，2114223n n n a a a +-++=,即211230n n n a a a ++--+=， 即211112(2)2n n n n n n a a a a a a +++-+-=+-，…………………………………………… 12分②中令1n =，31220a a a +-=，从而2120n n n a a a +++-=，即211n n n n a a a a +++-=-，………………………………… 14分 所以，数列{}n a 成等差数列. ………………………………………………………… 16分例题3已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p 的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap， 从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n ＝1)，a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p n －2 (n ≥2).(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k －1，a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13； 此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ， 所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p＝1，此时无解； 若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23， 此时a k ＋1＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k ＋1， 所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1， 综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1.②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)．则由S k ＜30，得a ＜103(2k －1)，当k ≥3时，103(2k －1)＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ， 则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎡1－⎝⎛⎭⎫12k ]，因为403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.例题4 已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在非零整数λ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（3）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．法2：因为 ①对任意的恒成立则（） ②①②得，又，也符合上式，所以2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+n *∈N 1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+2n ≥-12(2)n n n a b n n +=⋅≥114a b =12()n n n a b n n +*=⋅∈N由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，则12n n n b kn b+⋅=+，因为{}n b 为等比数列，则12[(1)](1)()n n b n k n b q b n kn b --+==-+（为常数）， 即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于*n N ∀∈恒成立，202200qk k bq kq b k qb -=⎧⎪∴--+=⎨⎪-=⎩，所以2,0q b ==． 又12a =，所以2k =，故2,2nn n a n b ==．（Ⅱ）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设nb =1(1)n n b λ+-<．∵0n b >，且1211n n n b b ++=>，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增． 假设存在这样的实数λ，使得不等式1(1)n n b λ+-<对一切n*∈N 都成立，则 ①当n 为奇数时，得min 1()n b b λ<==；② 当n 为偶数时，得min 2()nb b λ-<==λ>．综上，λ⎛∈ ⎝，由λ是非零整数，可知存在1λ=±满足条件．（Ⅲ）易知d=0，成立．当d ＞0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯，*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)05300c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，05353d ∴<-<， 531,2,19d ∴-=，52,51,34d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为137．……16分【评注】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，先研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对n 分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差d 的要求，进而得到d 的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．【课后巩固】：1. 设数列{}的前n 项和为Sn ，且，若对任意，都有，则实数p 的取值范围是 【答案】，因此，因为n a 114()2n n a -=+-*n N ∈1(4)3n p S n ≤-≤______.[2,3]131(4)32121(1)(1)3232n n n p S n p ≤-≤⇒≤≤++max min13[][]2121(1)(1)3232n n p ≤≤++，所以，综上实数p 的取值范围是2. 设等差数列{}n a 满足公差d N +∈,n a N +∈,且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列的一项.若513a =，则d 的所有可能取值之和为_________________.【答案】364【解析】设,n m a a (m n)≠设等差数列{}n a 中的任意两项，由已知得，53(n 1)n a d =+-，53(1)m a m d =+-，则523(2)m n a a m n d +=⨯++-，设m n a a +是数列{}n a 中的第k 项，则有53(1)m n a a k d +=+-，即5523(2)3(1)m n d k d ⨯++-=+-，531d m n k =-+--，故d 的所有可能取值为23451,3,3,3,3,3，其和为61336413-=-．3. 设各项均为正数的数列的前项和为，满足2+1=4+43n n a S n -，且恰好是等比数列的前三项．⑴ 求数列、的通项公式；⑵ 记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）2+1=4+43n n a S n -，∴当时，()21=4+413n n a S n ---，()22+11=44=44n n n n n a a S S a -∴--++，()222+1442n n n n a a a a ∴=++=+， 0n a >恒成立，+12,2n n a a n ∴=+≥，∴ 当时，是公差的等差数列. ………………3分构成等比数列，，，解得，…………5分∴当时，()32221n a n n =+-=-，由条件可知，221=4+43a a -，12a ∴=………………6分min max 133113[]3,[]21212122(1)(1)(1)3232323n n ==>=+++332p ≤≤[2,3]{}n a n n S 2514,,a a a {}n b {}n a {}n b {}n b n n T *n N ∈3()362n T k n +≥-k 2n ≥2n ≥{}n a 2d =2514,,a a a 25214a a a ∴=⋅()()2222824a a a +=⋅+23a =2n ≥数列的通项公式为2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.………………8分，123,9b b ∴==，∴数列的通项公式为………………9分(2) ， 对恒成立， 即对恒成立，……………… 11分 令，， 当时，，当时，………………13分，．…………16分4. 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N *，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ． （1）求a 2a 1的值；（2）求证：{a n }为等比数列；（3）已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p (p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ．解：（1）由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22．因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2a 1＝2． ………………………… 3分证明：（2）（方法一）令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4， 令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4． 所以a 4＝4a 2＝8a 1．又因为a 2a 1＝2，所以a 3＝4a 1． ………………………… 6分由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4． 两式相除，得(S n ＋2＋S 1)2(S n ＋1＋S 1)2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2． 即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)， 从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列． 又因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*． 显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，∴{}n a {}n b 3nn b =11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--1333()3622n k n +-∴+≥-*n N ∈243nn k -∴≥*n N ∈243n n n c -=1124262(27)333n n n n nn n n c c -------=-=3n ≤1n n c c ->4n ≥1n n c c -<max 32()27n c c ∴==227k ≥因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （方法二）在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中，令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ． ① 令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ， ② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2． ③ ②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )， ④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )， ⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2． ⑥………………………… 8分⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n ＝2．又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*． 显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （3）由（2）知，a n ＝a 1·2 n －1．因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p ． 若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0． R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0． 这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ． 从而T p －1＝R p －1．由上证明，同理可得c p －1＝d p －1．如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3．…，c 1＝d 1． 即对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ． ………………………… 16分5. 已知数列{}n a 满足1a m =，*12,21(,),2n n n a n k a k N r R a r n k+=-⎧=∈∈⎨+=⎩，其前n 项和为n S .（1）当m 与r 满足什么关系时，对任意的*n N ∈，数列{}n a 都满足2n n a a +=？（2）对任意实数,m r ，是否存在实数p 与q ，使得{}2+1n a p +与{}2n a q +是同一个等比数列？若存在，请求出,p q 满足的条件；若不存在，请说明理由；（3）当1m r ==时，若对任意的*n N ∈，都有n n S a λ≥，求实数λ的最大值.解：（1）由题意，得1a m =，2122a a m ==，322a a r m r =+=+，首先由31a a =，得0m r +=. ……………2分当0m r +=时，因为*12,21(),2n n n a n k a k N a m n k+=-⎧=∈⎨-=⎩， 所以13a a m ==⋅⋅⋅=，242a a m ==⋅⋅⋅=，故对任意的*n N ∈，数列{}n a 都满足2n n a a +=.即当实数,m r 满足0m r +=时，题意成立. ……………4分（2）依题意，21221=2n n n a a r a r +-=++，则2121=2()n n a r a r +-++，因为1=a r m r ++，所以当0m r +≠时，{}21n a r ++是等比数列，且211=()2()2n n n a r a r m r +++=+.为使{}21n a p ++是等比数列，则p r =.同理，当0m r +≠时，22=()2n n a r m r ++，则欲{}22n a r +是等比数列，则2q r =. …………8分综上所述：①若0m r +=，则不存在实数,p q ，使得{}21n a p ++与{}2n a q +是等比数列；②若0m r +≠，则当,p q 满足22q p r ==时，{}21n a p ++与{}2n a q +是同一个等比数列. …10分（3）当1m r ==时，由（2）可得2121n n a -=-，12=22n n a +-，当2n k =时，12=22k n k a a +=-，1223112(22+2)(22+2)3=322)k k k n k S S k k ++==+++++---……（， 所以n n S a =31(1)22k k +--， 令122k k kc +=-，则1121211(1)2202222(22)(22)k k k k k k k k k k c c +++++++---=-=<----， 所以32n n S a ≥，32λ≤， ……………13分 当21n k =-时，21=21k n k a a -=-，11222322)(22)234k k k n k k S S a k k +++=-=----=--（， 所以3421n k n S k a =--，同理可得1n n S a ≥，1λ≤， 综上所述，实数λ的最大值为1. ……………16分。
2019-2020学年高考数学一轮复习-等差及等比数列的基本问题导学案
2019-2020学年高考数学一轮复习 等差及等比数列的基本问题导学案一、知识梳理教学重、难点三、作业完成情典题探究例1．在数列{}n a 中，nn n a a a 22,111+==+,设,21-=n nn a b 证明{}n b 是等差数列．例2． 已知等差数列}{n a 中，1042=+a a ，95=a ，数列}{n b 中，11a b =，n n n a b b +=+1． （I ）求数列}{n a 的通项公式，写出它的前n 项和n S ； （II ）求数列}{n b 的通项公式； （III ）若12+⋅=n n n a a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T ．例3．在等差数列115,3,2,,22----的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．例4.等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1, a n +1=n +2n×S n (n ÎN *)．证明：(1)数列{S nn}是等比数列；(2)S n +1=4a n . 演练方阵A 档（巩固专练）1 ．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （ ） A ．2B ．3C ．4D ．52 ．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 ．已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（ ） A ．130B ．120C ．55D ．504 ．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a ，则10S （ ）A ．55B ．81C ．90D ．1005 ．已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n an ，若{}n a 是递减数列，则实数a的取值范围是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫58，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58 6 ．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．37 ．已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）A ．16B ．8C ．22D ．48 ．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______． 10．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c a t b c a b =⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．B 档（提升精练）1．已知等差数列b a ,,1,等比数列5,2,3++b a ,则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-2．对于函数)(x f y =,部分x 与y 的对应关系如下表:x12 3 4 5 6 7 8 9 y7 4 5 8 1 3 5 2 6数列}{n x 满足21=x ,且对任意*n ∈N ,点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =的图象上,则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（ ）A ．9394B ．9380C ．9396D ．94003．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,3420a a +=,则31S a （ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．等差数列{}n a 中,2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为（ ）A ．14B ．18C ．21D ．275．在等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41=a ,则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．646．设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且10a >.若232S a >,则q 的取值范围是（ ）A ．1(1,0)(0,)2- B.1(,0)(0,1)2- C ．1(,1)(,)2-∞-+∞D ．1(,)(1,)2-∞-+∞7．已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若19418,7a a a ,则10S （ ）A ．55B ．81C ．90D ．1008．设集合M 是R 的子集,如果点0x ∈R 满足:00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<,称0x 为集合M的聚点.则下列集合中以0为聚点的有:①{|}1nn n ∈+N ; ②{|,0}x x x ∈≠R ; ③*2{|}n n ∈N ; ④Z （ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①③④9．在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1610．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．3C 档（跨越导练）1．在等差数列{}n a 中，13a =，42a =，则4731n a a a ++++等于 ．2.设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．3．已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 .4．数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，514a =，则4S 的值为 （ ）A. 152B.516C.516-D.52-6．已知等差数列{a n }的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11b a =，*12()n an n b b n +-=∈N ，求数列{b n }的通项公式．7.在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．8.设数列}{n a 的首项211-=a ，前n 项和为n S ，且对任意*,N m n ∈都有)53()53(--=m m n n S S mn ，数列}{n a 中的部分项∈k a k b }({N *）成等比数列，且.4,221==b b (Ⅰ) 求数列｝与｛n n b a }{与的通项公式;（Ⅱ）令11)(+=n b n f ，并用x 代替n 得函数)(x f ，设)(x f 的定义域为R ,记))((...)2()1()0(*N n n n f n f n f f c n ∈++++=,求∑=+ni i i c c 111.9. 数列{n a }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=(1)求数列的通项公式； (2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．10．已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N .（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：等差及等比数列的综合问题答案典题探究例1解析： 1112211222n n n nn n n n n a a a b b ++-+===+=+，∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．例2解析：（I ）设d n a a n )1(1-+=，由题意得11=a ，2=d ，所以12-=n a n ，212)1(n d n n na S n =-+=；（II ）111==a b ，121-+=+=+n b a b b n n n n ，所以112+=b b ，313123++=+=b b b ，22)1(1)32(21221+-=-+=-++++=n n n n b b n (2≥n )又1=n 时12122a n n ==+-， 所以数列}{n b 的通项222+-=n n b n ；（III ）121121)12)(12(221+--=+-=⋅=+n n n n a a c n n n)121121()5131()3111(21+--++-+-=+++=n n c c c T n n1221211+=+-=n nn例3解析：原数列的公差133(5)22d =---=，所以新数列的公差13'24d d ==，其通项为：a n n n n =-+-=--534134234234()即 a =34n例4解(1)S n +1n +1S n n=nS n +1(n +1)S n =n (S n +a n +1)(n +1)S n =n (S n +n +2n S n )(n +1)S n =n (1+n +2n )n +1=2n +2n +1=2 所以数列{S nn}是等比数列．(2)由(1)得S nn=S 1×2n -1=2n -1， 所以S n =n ×2n -1,所以S n +1=(n +1)×2n 又a n =n +1n -1S n -1=n +1n -1×(n -1)×2n -2=(n +1)×2n -2=14(n +1)×2n =14S n +1， 所以S n +1=4a n . 演练方阵A 档（巩固专练）1 答案 B 2.答案 B 3. 答案C 4. 答案 D 5. 答案D6. 【答案】C解：因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C. 7. 【答案】D【解析】由222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列2{}n a 是等差数列，且以211a =为首项，公差2221413d a a =-=-=，所以数列的通项公式为213(1)32n a n n =+-=-，所以26362=16a =⨯-，即64a =。
高中数学 函数恒成立问题 讲义
授课内容 函数恒成立问题知识梳理【知识点梳理】在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 一、函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
二、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切专题精讲【知识点梳理】一、恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。
2021-2022年高考数学专题恒成立问题复习教学案(无答案)
2021年高考数学专题恒成立问题复习教学案（无答案）一、教材分析：本节课主要内容是继一元二次不等式及其解法之后的一个拓展和补充，同时也是对研究函数和不等式的一个渗透。
通过引入中求两个不等式的解集问题，引出我们这节课的主题一：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为一元二次不等式的解集为R问题处理。
通过例1让学生直观了解一元二次不等式恒成立所需的条件；再通过例2让学生理解不等式恒成立所需条件；最后通过例3让学生深入理解一元二次不等式恒成立所需条件，以及通过此道题的解法的繁琐性让学生探索是否还有其它方法，从而引出本节课主题二：将一元二次不等式中的恒成立问题转化为求最值问题处理。
三个例题，由浅入深，层层递进，即学会解题方法，又总结了规律，同时又渗透了数学思想。
二、学情分析：本节课的教学对象是高一学生，学生的基本情况是：已经熟练掌握一元二次不等式的解法，能利用图象解决较简单的方程和不等式问题，但对含参的一元二次不等式、恒成立问题缺少办法，主要表现在题意的理解以及合理的等价转化，不善于利用三个“二次”之间的内在联系灵活转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不完整，没有形成模式。
三、教学分析：教学目标：1.理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；2.掌握一元二次不等式的恒成立问题的等价转化；3.通过用不等式、函数、方程表述数量关系的过程，体会模型思想、建立分类讨论意识以及数形结合观点和普遍联系的辨证观；4. 经历从不同角度寻求分析问题和解决问题方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
教学重难点：重点：一元二次不等式中的恒成立问题的等价转化。
难点：含参不等式的讨论和恒成立问题的正确有效等价转化。
教学策略：在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，本节课主要采取探究式教学方法，即“问题驱动——小组讨论——启发诱导——探索结果——拓展提高”，注重“引、导、思、探、归”的有机结合。
(完整版)《不等式恒成立问题》教案
《不等式恒成立问题》一、教学目标：（1）知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划求最值。
（2）能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，提升解决问题的能力。
（3）情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地参加高考。
二、教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。
三、教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数与方程思想的应用。
四、教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解法，然后再练习习题。
五、教具准备：多媒体课件六、教学过程：高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。
如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。
12例1.若不等式x +ax +1≥0对于一切x x ∈(0,]成立，2则a 的最小值为（）A.0B.-25 D.-3C.-211由x ∈(0,]，∴a ≥-(x +).，法一:不等式可化为ax ≥-x 2-1Q (x +111∴(-x -)max )在(0,]上是减函数,x x 22法二：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-a .2255=-∴a ≥-22x①a oy1x 2⎧a ⎪-≤0⎨2⇒a ≥0⎪⎩f (0)≥0②③ooyx =-yya 212x1⎧a -≥⎪⎪22⇒-1<a <0⎨⎪f (1)≥0⎪⎩2a 1⎧0<-<⎪⎪225⎨⇒-≤a ≤-1a 2⎪f (-)≥0⎪⎩2a2a2法三：验证法：令f (x )=x +ax +1,对称轴为x =-.212当a =0时，f (x )=x +1≥0在（0,]恒成立。
212当a =-2时，f (x )=x 2-2x +1=（x -1）在（0,]恒成立。
25551当a =-时，f (x )=x 2-x +1，对称轴x =，（0,]是f (x )的减区间，224211f ()=0，故f (x )≥0在（0,]恒成立。
高考数学一轮复习课件：专题四函数、不等式中的恒成立问题
(3)若对∀x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求实数k的取 值范围.
解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，
问题转化为x∈[－3,3]时，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0， x∈[－3,3].
专题四 函数、不等式中的恒成立问题
近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点 是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象、 渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化 等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目，分析原因除 了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题 的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生恐惧心理.本 文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨.
与最值的关系 ∀x∈D，f(x)min＞M ∀x∈D，f(x)max＜M ∀x∈D，f(x)max＞M ∀x∈D，f(x)min＜M ∀x∈D，[f(x)－g(x)]min＞0 ∀x∈D，[f(x)－g(x)]max＜0 ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)max
∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)min＞g(x)min ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)max ∀x∈D1，∀x∈D2，f(x)max＞g(x)min
(2)讨论函数 f(x)的单调性； (3)设g(x)＝x2－2x，对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]， 使得f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围.
解：(1)f′(x)＝ax－(2a＋1)＋2x(x>0)， 依题意，得 f′(1)＝f′(4)，解得 a＝12. (2)f′(x)＝ax2－2ax＋1x＋2＝ax－1xx－2(x>0). ①当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减 区间为(2，＋∞)； ②当 0<a<12时，函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)和1a，＋∞， 单调递减区间为2，1a；
恒成立问题 教案
恒成立问题的解题策略恒成立问题是高考的一种重要题型，涉及到函数、不等式、数列、解析几何等知识。
函数的单调性、奇偶性、周期性的定义中都隐含着恒成立的要求，恒成立问题渗透着特殊与一般、化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法。
这类题型的考查，有利于考查学生的灵活性、创造性和综合解题能力。
一、 构造一次函数例1 对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，不等式x 2+ px > 4x + p - 3恒成立，求x 取值范围。
解: x 2+ px > 4x + p - 3恒成立⇒ p(x -1)+ x 2- 4x +3 >0恒成立令2() p(x-1)+ x - 4x +3f p =, ()f p 是关于p 的一次函数.当0≤p ≤4时2() p(x-1)+ x - 4x +3>0f p =恒成立 只须221>3(0) x - 4x +3>01>1(4) x - 1>0x x f x x f <⎧=⎧⇒⇒⎨⎨<-=⎩⎩或或x <-1或x >3 练习1-1 对任意的[1,1],a ∈-函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值总大于0，则x 的取值范围是x <1或x >3二、 构造二次函数例2 已知函数y=)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
提示：实际上是21016ax x a -+>对一切x R ∈恒成立， 0a =时，21016ax x a x -+=->不恒成立, ∴0a =不合题意,舍去. 0a ≠时，抛物线的开口向上，恒在x 轴上方。
2021104a a a >⎧⎪∴⇒>⎨∆=-<⎪⎩ ∴实数a 的取值范围为(2,+∞)练习2-1 已知函数f(x)=222x kx -+,当x 1≥-时，恒有f(x)k ≥，求实数k 的取值范围。
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2019-2020学年高三数学 数列中的等式恒成立问题公开课复习学案 目标：1）让学进一步掌握数列的基础知识和基本方法；2）让学生领悟数列中的等式恒成立问题，逐步学会解决此类问题，并适当作出一些简单的总结，力求提高学生解决综合问题的能力；3）让学生学会使用主元意识整理数学表达式，提高学生运算求解的数学能力.情境回顾：在江苏高考数学试卷中，经常借以恒成立的数学背景来考察学生对数列基础知识和基本方法的理解与应用.数列中恒成立问题一般分为两类：一类是与等式恒成立相关的问题；另类是与不等式相关的问题。
今天主要研究数列中等式恒成立的问题.这些问题虽然综合性较强，尤其对于我们文科班学生来说有一定的难度，但是我们千万不要慌张，明晰问题所蕴含的数学知识点、及该知识点所对应的基本方法，更要讲究规范性解题.问题中的基本分我们一定要拿足拿实，比如常见数列多想“基本量”就是一种很好的解题策略，这是我们今后解题法宝 .此外，此类数列数学问题还会更多地兼顾考查学生整理运算的数学能力，题目中众多的参量与变量让我们眼花缭乱、伤透脑筋，这也就是我们今天要突破的地方。
现在我们就一起来研究一些江苏数学卷中的数列中等式恒成立问题.典型例题一、利用等式恒成立研究数列性质.例题1.（2005江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且对于任意*N n ∈，B An S n S n n n +=+--+)25()85(1都成立，其中A.B 为常数 ⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列.练习．（2009江西）各项均为正数的数列{}n a ，54,2121==a a ，且对满足m n p q +=+的任意正整数,,,m n p q 都有.(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++求证：数列1{}1n n a a -+为等比数列.总结：1.局部服从整体（特殊与一般）;2围绕目标，从知识的源头寻求解题的切入口.二、利用等式恒成立研究数列中相关参数问题例题2.（2004江苏）设无穷等差数列}{n a 的前n 项和为n S .求所有的无穷等差数列}{n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.练习. 设无穷等差数列}{n a ，11=a ，前n 项和与其后面n 2项和的比对任意的正整数n 都是一个常数，求出所有的等差数列}{n a 的通项公式.总结：1.常见数列“基本量”——)(,1q d a ；2.数学整理（分清参量与变量），抓好主元.例题3.（2013江苏）设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数.若}{n b 是等差数列,证明:0=c .练习. 数列}{n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足)1(2n n n T -=，问是否存在常数a ，使关于n 的))(()(221a S a S a S n n n --=-++方程有无穷多个正整数解？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由.总结：注重细节，规范解题课堂总结：1.解题三看(看知识，看方法，看规范)；2.处理数列等式问题要把握好“特殊”法使用的局限性；“一般”法中整理过程要注意参变量的主元整理意识.课后作业1．（2011江苏）．设M 为部分正整数组成的集合，数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，已知对任意的整数k M ∈，当整数n k >时，2()n k n k n k S S S S +-+=+都成立.（（1）设2{1},2M a ==，求5a 的值；（2）设{3,4}M =，求数列{}n a 的通项公式（可不选做）.2.（2009北京）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与ji a a 两数中至少有一个属于A .证明：11a =，且1211112n n na a a a a a a ---+++=+++.3.已知等差数列}{n a ，公差0≠d ，任意*N n ∈，n n S S 2为非零常数，探究1a 与d 的关系．4.（(2014扬州一模)设正项等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，且数列}{n S 也是等差数列，求nn a S 10+的最小值.5.在公差为d （d ≠0）的等差数列｛a n ｝和公比为q 的等比数列｛b n ｝中，若a 1=b 1=1，a 2＝b 2，a 6＝b 3 ，是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 和b ；若不存在，说明理由.6. (2014苏州零模).设数列}{n a 满足14221+-+=+n n a a n n ，（1）若31=a 时，问是否存在为常数）c b a c bn an n f ,,()(2++=，使数列)}({n f a n +成等比数列；（2）若n a 是一个等差数列}{n b 的前n 项和，求首项1a 的值与数列}{n b 的通项公式.说明：在江苏高考数学试卷中数列中恒成立问题出现的频率比较高，这一类题学生感觉有点陌生，没有函数恒成立问题来的熟悉，这是因为我们平时教学中对此类问题关注不高，没有系统地归纳总结.事实上数列恒成问题就是函数恒成问题，只不过是定义在正整数集上的，其间糅合了数列的基础知识，这也是高考侧重考查的地方，恒成立只是问题的背景，其核心是考查学生对数列基础知识和基本方法的理解和应用，尤其是常见数列“基本量”的思想，以及基本公式能否快速正确的选择，特殊与一般的辩证地运用.另外，高考也借此侧重考查学生数学整理运算的能力，能否从繁杂的数学表达式中看到有用的结构和规律，多元整理运算的主元意识能否自觉运用，这可能也是学生痛心之处，需要我们多加关注，帮助学生在此有所突破.这一堂课主要讲解数列中等式恒成立的两个方面的：利用数列等式恒成研究数列的性质；利用数列等式恒成立研究与数列相关的参数.其后一节课我们将准备研究数列中不等式恒成立求参量的范围问题，其间涉及到求与数列相关的最值问题，适当与函数最值的求法进行比较.以下是下一节课可能需要关注的两个方面和选编的几个问题：一、利用函数最值思想1.已知数列}{n a 的通项公式132236--=n n a n ，对任意*,N m n ∈，λ<-m n a a 恒成立，求实数λ的范围. 变1：已知数列}{n a 的通项公式k n n a n --=219，且9a a n ≤，求k 的范围.变2：已知数列}{n a 的通项公式n n n a )109)(12(-=，且λ≤n a ，求λ的范围。
2.已知二次函数()y f x =的图像过点(1,1)，且0)(<x f 解集}320|{<<x x ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m.3.定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若2n a n =-(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为243n n b n =-，且数列{}n b 是T 数列，求M 的取值范围；（3）设数列1n c q n p=--(*n ∈N )，请依据q p ,讨论数列{}n c 是否是T 数列？二、参变分离思想4.已知数列}{n a 的通项公式22++=kn n a n ， 如果对任意*N n ∈， n n a a >+1恒成立，求实数k 取值范围．5．已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，满足条件lgS n ＋（n －1）lgb ＝lg （b n+1＋n －2）,其中b ＞0，且b ≠1.（1）求数列｛a n ｝的通项公式（2）若对n ∈N *, n ≥4时，恒有a n ＋1＞a n ，试求b 的取值范围.6.设数列}{},{n n b a 都是等差数列，它们的前n 项的和分别为n n T S ,，若对一切*N n ∈都有n n T S =+3．（1）若11b a ≠，试分别写出一个符合条件的数列}{}{n n b a 和；（2）若111=+b a ，数列}{n c 满足：n n b n a n c 2)1(41--+=λ，且当*N n ∈时，数列}{n c 是递增数列，求实数λ的范围．7.（2010江苏）设各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列}{n S 是公差为d 的等差数列.(1)求数列}{n a 的通项公式（用d n ,表示）；(2)设c 为实数，对满足k n m 3=+且n m ≠的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立，求证：c 的最大值为29.8.（2009北京文）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.（1）若11,23p q ==-，求3b ；（2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（3）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.。