圆周运动中的临界问题

第 1 页 图 4
圆周运动中的临界问题
1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题
⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情 况
① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用
v 临界＝ Rg
② 能过最高点的条件：v ≥ Rg ，当 v > Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产 生压力。

③ 不能过最高点的条件：v <v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。

⑵如图 3 所示情形，小球与轻质杆相连。

杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生 压力
① 能过最高点 v 临界＝0，此时支持力 N ＝mg
② 当0<v < Rg 时，N 为支持力，有0<N <mg ，且N 随v 的增大而减小
③ 当 v ＝ Rg 时，N ＝0
④ 当 v > Rg ，N 为拉力，有 N >0，N 随 v 的增大而增大
例 1 （99 年高考题）如图 4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 的水平轴自 由转动。

现给小球一初速度，使它做圆周运动。

图中 a 、b 分别表示小球轨道的最低点和 最高点，则杆对球作用力可能是 （ ）
A 、a 处为拉力，b 处为拉力
B 、a 处为拉力，b 处为推力
C 、a 处为推力，b 处为拉力
D 、a 处为推力，b 处为推力
图 1
图 2 图 3
b
a
例 2 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA，A 端有一质量为m＝ 3.0kg 的小球，如图 5 所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m／s，
g 取10m ／s2，则此时细杆OA 受到（）
A、6.0N 的拉力
B、6.0N 的压力
C、24N 的拉力
D、24N 的压力
例3 长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端
图5
连接着一个质量m＝2kg 的小球A，A 绕O 点做圆周运动（同图5），
在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当 A 的速率v1＝1m／s 时
②当 A 的速率v2＝4m／s 时
2、在水平面内作圆周运动的临界问题
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。

这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力
存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

例 4 如图 6 所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L
＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30 °与45 °，问球的角速度在
什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为 3 rad／s 时，上、下两绳拉力分
别为多大？
图6
例 5 如图 7 所示，细绳一端系着质量 M ＝0.6kg 的物体，静止在水平肌，另一端通过光 滑的小孔吊着质量 m ＝0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为 0.2m ，并知 M 和水平面的最大 静摩擦力为 2N 。

现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围 m 会处于静止状态？ （g ＝10m ／s 2）说明：一般求解“在什么范围内……”这一类的问题就是要分析两个临界状态。

3、巩固练习
3
1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为 10 m ／s 时，车对桥的压力为车重的3 。

如果使汽 车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）
A 、15 m ／s
B 、20 m ／s
C 、25 m ／s
D 、30m ／s
2、如图 8 所示，水平转盘上放有质量为 m 的物块，当物块到
转轴的距离为 r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为
零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。

求：
三、小结 1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。

2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。

如速度的值是多大、某个力恰好存 在还是不存在以及这个力的方向如何。

答案
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⑴当转盘角速度ω1
μg 时，细绳的拉力 T 1。

⑵当转盘角速度ω2
3μg
时，细绳的拉力 T 2。

ω
例 1 分析：答案 A 是正确的，只要小球在最高点 b 的速度大于gL ，其中L 是杆的长；答案 B 也
是正确的，此时小球的速度有0<v< gL ；答案C、D 肯定是错误的，因为小球在最低点时，一定是拉力。

例2 解法：小球在A 点的速度大于gL 时，杆受到拉力，小于gL 时，杆受压力。

V0= gL ＝10×0.5 m／s＝5 m／s
由于v＝2.0 m／s< 5 m／s，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。

小球受重力mg 和细杆的支持力N 由牛顿第二定律mg－N＝m v
F＝m（v－g）
F1 为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小杆对小球
例3
解法一：解法二：
v2
N＝mg－m ＝6.0N 故应选B。

同上例）小球的速度大于 5 m／s 时受拉力，小于 5 m／s 时受压力。

①当v1＝1m／s< 5 m／s 时，小球受向下的重力mg 和向上的支持力N 由牛顿第二定律mg－N ＝m v
v2
N＝mg－m ＝16N
即杆受小球的压力16N。

②当v2＝4m／s> 5 m／s 时，小球受向下的重力mg 和向下的拉力 F 由牛顿第二定律mg＋F＝m v
F＝m v2－mg＝44N
即杆受小球的拉力44N。

mg mg
小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。

我们可不去做具体的判断而假设一个方向。

如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。

由牛顿第二定律
v2 mg＋F＝m
得到
当v1 ＝1m ／s 时，F1 ＝－16N
球受力应向上，为支持力。

则杆应受压力。

当v2 ＝4m ／s 时，F2 ＝44N。

F2 为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小
球受力就是向下的，是拉力。

则杆也应受拉力。

例 4 解析：①当角速度ω很小时，AC 和BC 与轴的夹角都很小，BC 并不张紧。

当ω逐渐增大到30°时，
BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。

设这时的角速度为ω1，则有：
T AC cos30°＝mg
T AC sin30°＝mω12Lsin30°
将已知条件代入上式解得ω1＝2.4 rad／s
②当角速度ω继续增大时T AC减小，T BC增大。

设角速度达到ω2 时，T AC＝0（这又是一个临界状
态），则有：T BC cos45°＝mg
T BC sin45°＝mω22Lsin30°
将已知条件代入上式解得ω2＝3.16 rad／s
所以当ω满足 2.4 rad／s≤ω≤3.16 rad／s，AC、BC两绳始终张紧。

本题所给条件ω＝3 rad ／s，此时两绳拉力T AC 、T BC 都存在。

T AC sin30°＋T BC sin45°＝mω2Lsin30°
T AC cos30°＋T BC cos45°＝mg
将数据代入上面两式解得T AC＝0.27N，T BC＝1.09N 注意：解题时注意圆心的位置（半径的大
小）。

如果ω<2.4 rad／s 时，T BC＝0，AC 与轴的夹角小于30°。

如果ω>3.16rad／s时，T AC＝0，BC与轴的夹角大于45
例 5 解析：要使m 静止，M 也应与平面相对静止。

而M 与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力的方向
背
离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。

此时，对M 运用牛顿第二定律。

有T －f m ＝M ω12r 且T ＝mg
解得ω1＝2.9 rad／s
当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力图的方7向向着圆
心，大小还等于最大静摩擦力2N。

再对M 运用牛顿第二定律。

有T ＋f m ＝M ω22r
解得ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s<ω<6.5 rad／s。