复数、算法、推理与证明
高考数学 专题11 算法、复数、推理与证明 91 复数 理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题11 算法、复数、推理与证明 91 复数 理12122．(2015·安徽屯溪一中月考)若复数z 满足(1＋3i)z ＝23i(i 是虚数单位)，则z 在复平面内对应的点在第________象限．3．若z ＝sin θ－35＋(cos θ－45)i 是纯虚数，则tan(θ－π4)＝________. 4．(2015·山东日照一中阶段检测)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i 3－i为纯虚数，则实数a 的值为________． 6．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a ＋b ＝1，现有如下三个结论：①z 可能为实数；②z 不可能为纯虚数；③若z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝a 2＋b 2. 其中正确结论的个数为________．7．(2015·苏北三市高三第二次调研考试)已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，则3a －4b 的值是________．8．(2015·江苏阜宁中学调研)若复数z ＝i ＋i 2 016，则z ＋10z的模等于________． 9．(2015·河南洛阳中学第一次统考)已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2对应的点在复平面内的第四象限，则实数a 的取值范围为________________．10．若复数z 满足z ＋i ＝3＋i i(i 为虚数单位)，则|z |＝______. 11．下列命题中正确的是________．①已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的充要条件；②当z 是非零实数时，|z ＋1z|≥2恒成立； ③复数z ＝(1－i)3的实部和虚部都是－2；④设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z＝－i. 12．已知复数z ＝1－i 在复平面内对应的向量为O Z →，把OZ →按逆时针方向旋转θ得到一个新向量OZ 1→.若OZ 1→对应一个纯虚数z 1，则当θ取最小正角时，z 1＝________.13．若复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，1z ＋z 2是实数，则实数a ＝________. 14．已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射f ：C →R 满足对任意的z 1，z 2∈C ，以及任意的λ∈R ，都有f (λz 1＋(1－λ)z 2)＝λf (z 1)＋(1－λ)f (z 2)，则称映射f 具有性质P ，给出如下映射：①f 1：C →R ，f 1(z )＝x －y ，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )；②f 2：C →R ，f 2(z )＝x 2－y ，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )；③f 3：C →R ，f 3(z )＝2x ＋y ，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．其中具有性质P 的映射为________．(写出所有满足条件的映射的序号)答案解析1．－34 2．一 解析 由(1＋3i)z ＝23i ，得z ＝23i 1＋3i ＝23i·1－3i1＋3i 1－3i ＝32＋32i ，∴z 在复平面内对应的点的坐标为(32，32)，是第一象限的点．3．－7解析 由题意得sin θ－35＝0，且cos θ－45≠0，所以tan θ＝－34，所以tan(θ－π4)＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝－34－11＋－34×1＝－7.4．3＋4i解析 ∵a －i 与2＋b i 互为共轭复数，∴a ＝2，b ＝1.∴(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.5．3解析 因为1＋a i 3－i ＝1＋a i 3＋i 10＝3－a 10＋1＋3a10i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a10＝0，1＋3a10≠0，解得a ＝3.6．2解析 当b ＝0时，a ＝1，此时z ＝1为实数，故①正确；当a ＝0时，b ＝1，此时z ＝i 为纯虚数，故②错误；z ·z ＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2，故③正确．7．0解析 ∵(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，∴(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ＝10i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝0，4a ＋3b ＝10，∴3a －4b ＝0. 8．6 2解析 z ＝i ＋i 2 016＝1＋i ，z ＝1－i ，∴z ＋10z ＝1－i ＋101＋i ＝1－i ＋10×1－i 2＝6－6i ， 其模为6 2.9．(－6，32) 解析 z 1z 2＝3－a i 1＋2i ＝3－a i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝3－2a 5－6＋a 5i ， 因为z 1z 2对应的点在复平面内的第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a >0，6＋a >0，解得－6<a <32. 10.1711．②③解析 ①中已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的必要不充分条件，故①错误；②当z 是非零实数时，|z ＋1z |2＝z 2＋1z2＋2≥4， 当且仅当z 2＝1z2时，“＝”成立， 故|z ＋1z|≥2恒成立，正确； ③复数z ＝(1－i)3＝－2i －2的实部和虚部都是－2，正确；④设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，设z ＝a ＋b i ，则a ＝2，b ＝±2，那么可知z z ＝－i 或z z ＝i ，故④错误． 12.2i 解析 因为旋转时复数的模不发生变化，又z ＝1－i 在复平面内对应的点在第四象限，所以复数z 1在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，所以z 1＝|1－i|i ＝2i.13．3解析 z ＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a )＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i ， ∵z ＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.14．①③解析 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则λz 1＋(1－λ)z 2＝[aλ＋c (1－λ)]＋[bλ＋d (1－λ)]i.对于①，f 1(λz 1＋(1－λ)z 2)＝[aλ＋c (1－λ)]－[bλ＋d (1－λ)]， 而λf 1(z 1)＋(1－λ)f 1(z 2)＝λ(a －b )＋(1－λ)(c －d )＝[aλ＋c (1－λ)]－[bλ＋d (1－λ)]，∴f 1(λz 1＋(1－λ)z 2)＝λf 1(z 1)＋(1－λ)f 1(z 2)，所以f 1具有性质P ；对于②，f 2(λz 1＋(1－λ)z 2)＝[a λ＋c (1－λ)]2－[b λ＋d (1－λ)]， 而λf 2(z 1)＋(1－λ)f 2(z 2)＝λ(a 2－b )＋(1－λ)(c 2－d )，显然f 2(λz 1＋(1－λ)z 2)与λf 2(z 1)＋(1－λ)f 2(z 2)不恒相等， 所以f 2不具有性质P ；对于③，f 3(λz 1＋(1－λ)z 2)＝2[a λ＋c (1－λ)]＋[b λ＋d (1－λ)]，而λf 3(z 1)＋(1－λ)f 3(z 2)＝λ(2a ＋b )＋(1－λ)(2c ＋d )＝2[a λ＋c (1－λ)]＋[b λ＋d (1－λ)]， ∴f 3(λz 1＋(1－λ)z 2)＝λf 3(z 1)＋(1－λ)f 3(z 2)，所以f 3具有性质P ，故具有性质P的映射的序号为①③.。
2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件 第12章 复数、推理与证明、算法
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i； ＝i； ＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节 数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－ ＋i
2
3
D．－ －i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
专题六 第二讲 推理证明、算法初步、复数
B．5 625 ． D．8 125 ．
解析： 解析：∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625， ， 59＝1 953 125,510＝9 765 625，… ， 的末四位数字呈周期性变化， ∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小 ∈ ， 的末四位数字呈周期性变化 正周期为4， 的末四位数字为f(n)， 正周期为 ，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为 ，则 ∈ ， 的末四位数字为 f(2 011)＝f(501× 4＋7)＝f(7)， ＝ × ＋ ＝ ， 的末四位数字相同，均为8 ∴52 011与57的末四位数字相同，均为 125. 答案： 答案：D
2 S2＋S2＋S3)． ． 1 2
2 [答案 S1＝S′1S(或 S2＝S2＋S2＋S2) 答案] 答案 ′ 或 1 2 3
1．(2011·江西高考 观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625， ． 江西高考)观察下列各式 江西高考 观察下列各式： ， 57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为 ， ， A．3 125 ． C．0 625 ． ( )
(3)复数相等的充要条件： 复数相等的充要条件： 复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． ＋ ＝ ＋ ⇔ ＝ ＝ ， ， ， ∈ ． 特别地， ＋ ＝ ⇔ ＝ 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0 且 b＝0(a，b∈R)． ＝ ， ∈ ． (4)复数的运算法则： 复数的运算法则： 复数的运算法则 加减法： ＋ 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. ＋ ＝ ＋ 乘法： ＋ 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ＋ ＝ － ＋ ＋ ac＋bd bc－ad ＋ － 除法： ＋ i. 除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝ 2 ＋ ＝ ＋ c ＋d2 c2＋d2
数学复习教学案：“集合与常用逻辑用语”与“算法、复数、推理与证明”组合训练(二)
“集合与常用逻辑用语”与“算法、复数、推理与证明"组合训练（二）一、选择题1．（2017·洛阳统考)已知i为虚数单位,若实数a,b满足(a＋b i)i ＝1＋i,则a＋b i的模为( )A．1 B。
2 C.错误!D．2解析：选B 依题意得a＋b i＝错误!＝1－i，所以|a＋b i｜＝｜1－i｜＝错误!，故选B。
2．(2017·全国卷Ⅲ）复平面内表示复数z＝i（－2＋i）的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C z＝i（－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i,故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．3．(2017·郑州质检)命题“∃x0∈R，x错误!－x0－1>0”的否定是（)A．∀x∈R,x2－x－1≤0B．∀x∈R，x2－x－1〉0C．∃x0∈R,x错误!－x0－1≤0D．∃x0∈R，x错误!－x0－1≥0解析：选A 依题意得,命题“∃x0∈R，x错误!－x0－1〉0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，故选A.4．（2018届高三·湖北七市(州）联考）集合A＝{－1，0,1,2，3}，B＝｛x|log2(x＋1）〈2｝，则A∩B＝（)A．{－1，0,1,2} B．｛0，1,2}C．{－1,0,1,2，3} D．｛0，1，2，3｝解析：选B B＝{x｜log2（x＋1)〈2}＝｛x｜0<x＋1<4}＝{x|－1<x〈3}，而A＝{－1,0,1,2，3}，∴A∩B＝｛0，1，2｝，故选B.5．已知全集U＝R，集合A＝{x｜x2－3x－4>0｝,B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x｜－2≤x<4｝B．｛x|x≤2或x≥4}C．{x｜－2≤x≤－1｝D．{x|－1≤x≤2}解析：选D 依题意得A＝｛x|x〈－1或x>4｝，因此∁R A＝｛x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为（∁R A)∩B＝｛x|－1≤x≤2｝，故选D.6．已知集合A＝{x｜x2－4x＋3〈0｝,B＝｛x|1〈2x≤4，x∈N｝，则A∩B＝（）A ．∅B ．（1，2]C ．｛2｝D ．{1，2｝解析：选C 因为A ＝｛x ｜x 2－4x ＋3<0｝＝｛x |1〈x <3｝，B ＝{x ｜1<2x ≤4，x ∈N ｝＝{1，2｝，所以A ∩B ＝｛2},故选C 。
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 复数、算法、推理与证明之第1讲 数系的扩充与复数的引入
[基础题组练]1．(2019·长春监测)设i 为虚数单位，则(－1＋i)(1＋i)＝( ) A ．2i B ．－2i C ．2D ．－2解析：选D.(－1＋i)(1＋i)＝－1－i ＋i ＋i 2＝－1－1＝－2.故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选 C.由题意，得z －＝－3－2i ，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C.3．(2019·福州模拟)若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A.因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a2＋1＝0且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.4．(2019·南昌模拟)已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析：选B.法一：因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选B.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋i)(a ＋b i)＝a －b ＋(a ＋b )i ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝0，解得a＝1，b ＝－1，所以复数z 的虚部为－1.故选B.5．(2019·石家庄质量检测)若复数z 满足z 1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则共轭复数z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选B.由题意，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故选B.6．已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4D ．4解析：选A.因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A.7．(2019·合肥质量检测)已知i 为虚数单位，则（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A.法一：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝10－5i2－i＝5，故选A.法二：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝（2＋i ）2（3－4i ）（2＋i ）（2－i ）＝（3＋4i ）（3－4i ）5＝5，故选A.8．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选C.因为z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以|z |＝ 2.故选C.9．已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3解析：选A.法一：由题意可知z －＝a －3i ，所以z ·z －＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.法二：z ·z －＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 10．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i解析：选C.因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C. 11．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45解析：选D.因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以z 的虚部为45. 12．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．1＋i B.35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43i解析：选B.因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝（2＋i ）25＝35＋45i ，故选B.13．设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________． 解析：复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i. 答案：2－i14．设z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：2215．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－516．当复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i(m ∈R )的模最小时，4iz ＝________．解析：|z |＝（m ＋3）2＋（m －1）2 ＝2m 2＋4m ＋10＝2（m ＋1）2＋8， 所以当m ＝－1时，|z |min ＝22， 所以4i z ＝4i2－2i ＝4i （2＋2i ）8＝－1＋i.答案：－1＋i[综合题组练]1．(综合型)若实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i(其中i 2＝－1)，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，则A ∩∁R B 为( )A ．∅B ．{0}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |－2<x <0或0<x <1}解析：选 D.由于只有实数之间才能比较大小，故a 2＋a ＋b i<2＋c i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <1，b ＝c ＝0，因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩∁R B ＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．2．(综合型)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B.33C.12D. 3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数， 所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.因为yx 是复数x ＋y i 对应点与原点连线的斜率，所以⎝⎛⎭⎫y x max＝tan ∠AOB ＝3，所以yx的最大值为 3.3．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，且p ，q ∈R ，则p ＋q ＝________．解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0， 即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0， 即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38.答案：384．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2， 所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，对应的点为(0，1)． 答案：(0，1)5．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13（a ＋5）（a －1）＋(a 2＋2a －15)i.因为z －1＋z 2是实数， 所以a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3. 因为a ＋5≠0， 所以a ≠－5，故a ＝3.6．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)， z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5ba 2＋b 2i.因为z ＋5z 是实数，所以b －5ba 2＋b2＝0.又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.① 又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 所以a ＋3＋b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1， 故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
专题11 不等式、推理与证明、复数、算法初步-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(解析)
专题11不等式、推理与证明、复数、算法初步考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：线性规划问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题高考对本节的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算与不等式是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．考点2：不等式大小判断问题2024年北京高考数学真题考点3：利用基本不等式求最值2022年新高考全国II卷数学真题考点4：解不等式2024年上海高考数学真题考点5：程序框图2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点6：复数加减乘除运算2022年新高考天津数学高考真题2023年天津高考数学真题2024年天津高考数学真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点7：模运算2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题考点8：复数相等2024年上海高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点9：复数的几何意义2023年北京高考数学真题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题考点1：线性规划问题1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若,x y满足约束条件43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y=-的最小值为（）A．12B．0C．52-D．72-【答案】D【解析】实数,x y满足4330220 2690 x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y=-可得1155y x z=-，即z的几何意义为1155y x z=-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线1155y x z=-过点A，联立43302690x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A⎛⎫⎪⎝⎭，则min375122z=-⨯=-.故选：D.2．（2022年新高考浙江数学高考真题）若实数x，y满足约束条件20,270,20,xx yx y-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则34z x y=+的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340x y z +-=过A 时z 有最大值.由2270x x y =⎧⎨+-=⎩可得23x y =⎧⎨=⎩，故()2,3A ，故max 324318z =⨯+⨯=，故选：B.3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为．【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.5．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A ．2-B ．4C ．8D ．12【答案】C【解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.考点2：不等式大小判断问题6．（2024年北京高考数学真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+【答案】B【解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得1212122222·222x x x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：B.考点3：利用基本不等式求最值7．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥【答案】BC【解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x θθ-==，所以cos ,sin 33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin sin cos 1sin 2cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．考点4：解不等式8．（2024年上海高考数学真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．【答案】{}|13x x -<<【解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.考点5：程序框图9．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）执行下面的程序框图，输出的B =（）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B【解析】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）执行下边的程序框图，输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B考点6：复数加减乘除运算11．（2022年新高考天津数学高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为．【答案】15i -/51i -+【解析】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----==--．故答案为：15i -．12．（2023年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，化简514i23i++的结果为．【答案】4i +/4i +【解析】由题意可得()()()()514i 23i 514i 5213i4i 23i 23i 23i 13+-++===+++-.故答案为：4i +.13．（2024年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，复数)()5i 52i ⋅=．【答案】75i 【解析】))5i 52i 55i 25i 275i ⋅-=-+=.故答案为：75i .14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i -B ．i C ．0D ．1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----===-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．15．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设2i z =，则z z ⋅=（）A ．2-B 2C ．2-D ．2【答案】D【解析】依题意得，2i z =-，故22i 2zz =-=.故选：D16．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2【答案】A【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A17．（2024年北京高考数学真题）已知1i iz=--，则z =（）．A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】C【解析】由题意得()i 1i i 1z =--=-.故选：C.18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i+【答案】B【解析】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）()()()351i 2i 2i +=+-（）A ．1-B ．1C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】()()351i 51i 1i (2i)(2i)5+-==-+-故选：C.21．（2022年新高考全国I 卷数学真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D22．（2022年新高考全国II 卷数学真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.23．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若13i z =-，则1zzz =-（）A ．13i -B ．13i-C ．133-+D ．133--【答案】C【解析】13i,(13i)(13i)13 4.z zz =-=--=+=13i 131333z zz -==--故选：C考点7：模运算24．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】若1i z =--，则()()22112z -+-=故选：C.25．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故()()223|54|z -+-==．故选：B ．26．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．45B ．42C ．25D ．22【答案】D【解析】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 34422z z +=+=故选：D.27．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2C 5D ．5【答案】C【解析】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则()22322i 2i 12i 125++=-+-=故选：C.考点8：复数相等28．（2024年上海高考数学真题）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b mb b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m =，故答案为：2.29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.30．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.31．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-【答案】A【解析】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.32．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【解析】12z i=-12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A考点9：复数的几何意义33．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3)-，则z 的共轭复数z =（）A ．13i +B ．13i-C ．13i -D ．13i-【答案】D【解析】z 在复平面对应的点是(3)-，根据复数的几何意义，13i z =-，由共轭复数的定义可知，13i z =-.故选：D34．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.。
2020届人教B版(文科数学) 推理与证明、算法、复数 (8) 单元测试
2020届人教B版（文科数学）推理与证明、算法、复数 (8) 单元测试1.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是(B)(A)分析法 (B)综合法(C)分析法与综合法并用(D)反证法解析:由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.故选B.2.用数学归纳法证明“2n>2n+1对于n≥n的正整数n都成立”时,第一步证明中的应取(B)起始值n(A)2 (B)3 (C)5 (D)6解析:因为n=1时,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.=3.故选B.所以n的第一个取值n3.按照图1～图3的规律,第10个图中圆点的个数为(B)(A)36 (B)40 (C)44 (D)52解析:因为根据图形,第一个图有4个点,第二个图有8个点,第三个图有12个点,…,所以第10个图有10×4=40个点,故选B.4.在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,++++≥成立.猜想在n边形中,成立的不等式为(C)(A)++…+≥(B)++…+≥(C)++…+≥(D)++…+≥解析:通过观察发现不等式左边为多边形的各个内角的倒数之和,右边的分子为边数的平方,分母为多边形的内角和,而n边形的内角和为(n-2)π,故猜想在n边形中成立的不等式为++…+≥,故选C.5.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为(C)(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:由题意知,第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为2×6,第4层的点数为3×6,第5层的点数为4×6,…,第n(n≥2,n∈N+)层的点数为6(n-1).设一个点阵有n(n≥2,n∈N+)层,则共有的点数为1+6+6×2+…+6(n-1)=1+×(n-1)=3n2-3n+1,由题意得3n2-3n+1=169,即(n+7)·(n-8)=0,所以n=8,故共有8层.6.函数y=x+在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,函数y=x+在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,函数y=x+在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,……利用上述所提供的信息解决下列问题:若函数y=x+(x>0)的值域是[6,+∞),则实数m的值为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由归纳和类比推理知,函数y=x+(x>0)在(0,]上是减函数,在[,+∞)上为增函数,所以当x=时,y有最小值,即+=6,解得m=2,故选B.7.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,x n+y n能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需证n=时,命题亦真.解析:n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k+1时成立.答案:2k+18.若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是.解析:假设两个一元二次方程均无实根,则有即解得{a|-2<a<-1},所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.答案:{a|a≤-2或a≥-1}9.(2018·渭南一模)观察下列不等式:①<1;②+<;③++<;…则第5个不等式为.解析:由①<1;②+<;③++<;归纳可知第4个不等式应为+++<2;第5个不等式应为++++<.答案:++++<能力提升练(时间:15分钟)10.导学号 18702625将1,,,按如图所示的方式排列,若规定(m,n)表示第m排从左往右第n个数,则(7,5)表示的数是(B)1第1排第2排1第3排1第4排1第5排…………(A)1 (B)(C)(D)解析:所给数字4个数一循环,且每排的个数与排数相等.因为前6排的个数为1+2+3+4+5+6==21,所以(7,5)表示第21+5=26个数,因为26÷4=6……2,所以(7,5)表示的数为.选B.11.导学号 18702626从1开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为(C)(A)2 097 (B)1 553 (C)1 517 (D)2 111解析:根据如题图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104.由9a+104=1 517,得a=157,是自然数.且a为表中第20行第5个数,符合,若9a+104=2 097,a≈221.4不合题意;若9a+104=1 553,a=161,a为表中第21行第一个数不合题意;若9a+104=2 111,a=223,a为表中第28行第7个数,不合题意.12.已知命题:在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0),△ABC的顶点B在椭圆上,顶点A,C分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则=,现将该命题类比到双曲线中,△ABC的顶点B在双曲线上,顶点A,C分别为双曲线的左、右焦点,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).双曲线的离心率为e,则有.解析:根据题意,由类比推理知,命题的前提已经给出,需要计算研究命题的结论, 在双曲线中===,在△ABC中,由正弦定理得=,所以=.答案:=好题天天练1.导学号 18702627运用合情推理知识可以得到:当n≥2时,(1-)(1-)(1-)…(1-)=.解题关键:根据n=2,3时的关系式寻找规律,利用归纳推理求解.解析:n=2时,1-==,n=3时, (1-)(1-)=×==,…从而可得当n≥2时, (1-)(1-)(1-)…(1-)=.答案:2.导学号 18702628在计算“1×2+2×3+…+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第k项:k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=(1×2×3-0×1×2),2×3=(2×3×4-1×2×3),…n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)],相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2),类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其结果为.解题关键:根据已知条件及类比推理将n(n+1)(n+2)表示为某相邻两式的差.解析:因为k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]=k(k+1)[(k+2)-(k-1)],所以k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]=[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)].因为n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)],所以1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4),…n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)].所以1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=[(1×2×3×4-0×1×2×3)+(2×3×4×5-1×2×3×4)+…+n(n+1)×(n+2)×(n+3)-(n-1)×n×(n+1)×(n+2)]=n(n+1)(n+2)(n+3).答案:n(n+1)(n+2)(n+3)。
第十章(算法与推理证明、复数)过关测试
ICME －7图甲 OA 1A 2A 3A 4A 5 A 6A 7A 8图乙高三数学练习二十二一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 在复平面内，复数11i-所对应的点位于第 象限答案：一2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是答案：42n +3. 若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 答案：－6 解析：设312a iki i+=+，则()3122a i ki i k ki +=+=-+，得：3k =，26a k =-=-.4. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = 答案：15165．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝ ▲ ．6．如图，在直角坐标系中,一质点从原点出发,沿图示箭头方向每秒钟移动一个单位,问第2008秒时质点所在的位置坐标是答案：（-31，7）7. 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗；第n 件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用n 表示).答案：66，1322++n n8. 右图程序运行结果是 _______ 答案：349. 已知z ∈C ，2z i 1z i 1=-++）（）（，则|z |的最小值为答案：2解析：设),(R b a bi a z ∈+=，由已知得 a =b +1 ∵21)21(2||222++=+=b b a z ∴22||=最小值z . 10．按下列程序框图运算：第1件 第2件第3件规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x=5，则运算进行次才停止。
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复数、算法、推理与证明第一节 数系的扩充与复数的引入一、基础知识1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．二、常用结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．(4)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n.考点一 复数的四则运算[典例] (1)(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i[解析] (1)∵z i ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.(2)(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i1－2i ＝2，故选A.[答案] (1)A (2)A[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[题组训练]1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A 法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.3．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z ＝________.解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i.答案：i考点二 复数的有关概念[典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A ．0 B.12 C ．1 D. 2[解析] (1)z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝ －2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C. [答案] (1)D (2)C[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．[题组训练]1．(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A 由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.2．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i ，则|z |＝( )A ．2B ．2 2C.22 D.12解析：选B 法一：由z ＝4i1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ，得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.3．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________． 解析：由于z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数，因此a 2－a －2＝0且a ＋1≠0，解得a ＝2. 答案：2考点三 复数的几何意义[典例] (1)如图，在复平面内，复数z1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，若zz 2＝z 1，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i(2)复数z ＝4i 2 018－5i1＋2i (其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由题意知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，故z (－1＋i)＝1＋2i ， 即z ＝1＋2i －1＋i ＝(1＋2i )(1＋i )(－1＋i )(1＋i )＝1－3i 2＝12－32i ，z ＝12＋32i ，故选A.(2)z ＝4i 2 018－5i1＋2i ＝4×i 2 016·i 2－5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－4－5(2＋i )5＝－6－i ，故z 在复平面内对应的点在第三象限． [答案] (1)A (2)C[解题技法] 对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝i ＋i 22－i ＝－1＋i 2－i ＝(－1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－3＋i 5＝－35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－35，15，该点位于第二象限．故选B. 2．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋(y －1)2≤ 2， 所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.答案：2π3．已知复数z ＝2＋a i1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为________．解析：因为z ＝2＋a i 1＋2i ＝(2＋a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋2a ＋(a －4)i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45，所以⎩⎨⎧2＋2a5＞0，a －45＜0，解得－1＜a ＜4，又a 为整数，所以a 的最大值为3.答案：3[课时跟踪检测]1．(2019·广州五校联考)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，选C. 2．(2018·洛阳第一次统考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －12－a ＋12i 为纯虚数，∴a －12＝0且a ＋12≠0，解得a ＝1，故选C.3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：选A 由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.4．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 5．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.6．(2018·昆明高三摸底)设复数z 满足(1＋i)z ＝i ，则z 的共轭复数 z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选B 法一：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法二：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝2i2(1＋i )＝(1＋i )22(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法三：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵(1＋i)z ＝i ，∴(1＋i)(a ＋b i)＝i ，∴(a －b )＋(a ＋b )i ＝i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12，∴z ＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B. 7．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2i i －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．8．已知复数z ＝m i1＋i，z ·z ＝1，则正数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C.22D.12解析：选A 法一：z ＝m i 1＋i ＝m i (1－i )(1＋i )(1－i )＝m 2＋m 2i ，z ＝m 2－m 2i ，z ·z ＝m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.法二：由题意知|z |＝|m i||1＋i|＝|m |2，由z ·z ＝|z |2，得m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：210．复数|1＋2i|＋⎝⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i. 答案：i11．(2019·重庆调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i 2＋i ，复数|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 212．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14. 答案：1413．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i ＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.。