04刚体的转动
解 : 用隔离体法分析两个物 体和两个滑轮的受力情况， 画受力图。
A
B
3
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2 解: (1)用隔离体方法分析两个物体和组合轮的受力 情况，画受力图。
TB TA B aB A aA 2 J (9 / 2)mr GA G 2 g 2 9 . 8 B 2 解得 10.3(rad/s ) 19r 19 0.1
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4
TA mg ma A mg TB ma B TB 2r TA r J aA r aB 2r
T1 m1 a G1
T1 T2
T2 m2 a G2
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8
4
T1 m1 a G1
T2 m1 g T1 m1a m2 a T2 m2 g m2a G2 T1r T2 r J
T1 T2
解得
a R
g J r m1 m2 2 r m1 m2
本题完 9
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2
本题完 5
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3. 一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量 为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子的A端有一质量为 M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端 B 系了一质量为 M/2 的重物，如图所示。设人从静止开始以相对绳匀 速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 B端重物上 升的加速度？ ( 已知滑轮对过滑轮中心且垂直于轮面 的轴的转动惯量为(1/4)MR2。) 解 : 用隔离体法分析物体、人和滑轮 的受力情况，画受力图。
本题完
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2
2. 两个均质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起构 成一个组合轮。小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘 的半径为r=2r，质量为 m=2m。组合轮可绕通过其中 心且垂直于盘面的光滑水平固定轴 O转动，组合轮对 O轴的转动惯量J=(9/2)mr2。两盘边缘上分别绕有轻质 细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，如图所 示。这一系统从静止开始运动，绳与盘之间无相对滑 动，绳长度不变。已知r=10cm。求: (1)组合轮的角加速度； O (2)当物体上升h=40cm时，组合轮 的角速度。
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7
4. 如图所示，设两重物的质量分别为 m1 和 m2 ，且 m1>m2 ，定滑轮的半径为 r ，对转轴的转动惯量为 J ， 轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计。设开始时 系统静止，试求t时刻滑轮的角加速度。
解 : 用隔离体法分析两个物体和滑轮的 受力情况，画受力图。
r
m1 m2
TA
TB
2 (2) 以起始位置为重力势能零点，该过程应用机械能 守恒定律
1 1 1 2 2 2 mgh m mg 2h m (2 ) J 0 2 2 2 r
J (9 / 2)mr 1 4 gh 解得 r 19 1 4 9.8 0.4 9.08(rad/s ) 0.1 19
m, r
m
m, r 2m
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1
1
T1 m, r T1 m a G1
T T
2mg T2 2ma m, r T2 1 2 Tr T1r mr 2 T2 1 2 2m a T2 r Tr mr 2 G2 a r
T1 mg ma
解得
目录
3 设人相对绳上爬的速度为 ， 三个速度的关系为
A B
a A aB
TA
TB
则
TA Mg TA Ma A TB A A a A B B aB 1 1 TB Mg MaB 2 2 GA GB TA R TB R J aB R 2 a g 解得 B 2 7 本题完 J (1 / 4)mR
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
【大题】工科物理大作业04-刚体定轴转动
【大题】工科物理大作业04-刚体定轴转动 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN0404 刚体定轴转动班号 学号 姓名 成绩一、选择题（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1．某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任一质元来说，在下列关于其法向加速度n a 和切向加速度τa 的表述中，正确的是：A ．n a 、τa 的大小均随时间变化；B ．n a 、τa 的大小均保持不变；C ．n a 的大小变化，τa 的大小保持恒定；D ．n a 的大小保持恒定，τa 大小变化。
（C ）[知识点］刚体匀变速定轴转动特征，角量与线量的关系。
[分析与题解] 刚体中任一质元的法向、切向加速度分别为 r a n 2ω=，r a τβ=当β = 恒量时，t βωω+=0 ，显然r t r a n 202)(βωω+==，其大小随时间而变，ra τβ=的大小恒定不变。
2. 两个均质圆盘A 和B ，密度分别为ρA 和ρB ，且B ρρ>A ，但两圆盘的质量和厚度相同。
若两盘对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量分别为A I 和B I ，则 A ．B I I >A； B. B I I <A ；C ．B I I =A ； D. 不能确定A I 和B I 的相对大小。
（B ）[知识点］转动惯量的计算。
[分析与题解] 设A 、B 两盘厚度为d ，半径分别为R A 和R B ，由题意，二者质量相等，即B B A A d R d R ρπρπ22=因为B A ρρ>， 所以22B A R R < 且转动惯量221mR I =，则B A I I <3．在下列关于刚体的表述中，不正确的是：A ．刚体作定轴转动时，其上各点的角速度相同，线速度不同；B ．刚体定轴转动的转动定律为βI M =，式中β,,I M 均对同一条固定轴而言的，否则该式不成立；C ．对给定的刚体而言，它的质量和形状是一定的，则其转动惯量也是唯一确定的；D ．刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和。
刚体的转动
质心的平动
刚体的转动
+
绕质心的转动
2/31
一、刚体转动的角量描述
角坐标 (t ) 角位移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
(t )
(t t ) (t )
角速度
x
参考平面
d lim t 0 t dt
方向:
角加速度
参考轴
右手螺旋方向
d dt
J m r
j
2 j j
J r dm
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比.
刚体的转动 10/31
五、转动惯量
J m r , J r dm
2 j j 2 j
物理意义：转动惯性的量度.类似于平动的质量
转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
r O
m
刚体的转动
21/31
一根质量为m、长为l的均匀细杆，可在水平桌面上 绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的 滑动摩擦系数为μ，求杆转动时受的摩擦力矩大小．
刚体的转动
22/31
有一质量为m半径为R的均匀圆形平板平放在水平桌面 上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其 中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将 在旋转几圈后停止？
2m
⅓l
⅓l
O
0 2
2 3
l
0
m
m
刚体的转动
24/31
力的空间累积效应
力矩的空间累积效应
力的功,动能,动能定理.
力矩的功,转动动能,动能定理.
(完整版)刚体的转动习题
17-4图18-4 图F F ρ-O 04 第四章 刚体力学一、选择题：1、如图4-18所示，一圆盘绕通过盘心且与盘面垂直的轴o 以角速度ω针转动。
今将两大小相等、方向相反、但不在同一条直线上的力F 和F -盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度：[ ] （A ）必然减少 （B ）必然增大（C ）不会变化 （D ）如何变化，不能确定 2、如图4-17所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B端置于粗糙的水平地面上而静止，杆身与竖直方向成θ角，则A 端对墙壁的压力大小为：[ ]（A ）θcos 41mg （B ）θmgtg 21 （C ）θsin mg （D ）不能唯一确定 3、某转轮直径m d 4.0=,以角量表示的转动方程为t t t 4323+-=θ（SI ）,则：[ ]（A ）从s t 2=到s t 4=这段时间内，其平均角加速度为2.6-s rad ；（B ）从s t 2=到s t 4=这段时间内，其平均角加速度为2.12-s rad ；（C ）在s t 2=时，轮缘上一点的加速度大小等于2.42.3-s m ；（D ）在s t 2=时，轮缘上一点的加速度大小等于2.84.6-s m 。
4、如图4-2所示，一倔强系数为k 轮（转动惯量为J ），下端连接一质量为m 的物体，问物体在运动过程中，下列哪个方程能成立？[ ] （A ）ky mg = （B ）02=-T mg（C ）my T mg =-1 （D ）y R J J βR T T ''⋅==-)(21 5、 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关．（B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关．（C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．（D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．［ ］6、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．在上述说法中，(A) 只有(1)是正确的．(B) (1) 、(2)正确，(3) 、(4) 错误．(C) (1)、(2) 、(3) 都正确，(4)错误．(D) (1) 、(2) 、(3) 、(4)都正确． ［ ］7、有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ．A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀．它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则(A) J A ＞J B ． (B) J A ＜J B ．1-4 图5-4图19-4 图 (C) J A = J B ． (D) 不能确定J A 、J B 哪个大． ［ ］8、一力N j i F )53(ϖϖϖ+=，其作用点的矢径为m j i r )34(ϖϖϖ-=，则该力对坐标原点的力矩为：[ ] （A ）m N k ⋅-ϖ3 （B ）m N k ⋅ϖ29 （C ）m N k ⋅ϖ19 （D ）m N k ⋅ϖ39、一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω (A) 必然增大． (B) 必然减少． (C) 不会改变． (D) 如何变化，不能确定． ［ ］10、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小．(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大．(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小．(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大． ［ ］11、如图4-19所示P 、Q 、R 、S l RS QR PQ ===，则系统对o o '轴的转动惯量为：[ ]（A ）250ml （B ）214ml（C ）210ml （D ）29ml12、如图4-1所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且Mg F =。
第四章 刚体的转动
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
大学物理04刚体
合外力矩沿着转 轴方向的分量
----微分形式
冲量矩
Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
J2
J1
----积分形式
如果转动惯量变化了
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
J22
J11
二当、刚M体定0 轴转动角动量守恒
B两滑轮的角加速度分别为 A和 B ，不 计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速
度大小满足（A ）
A A B
R
R
B A B
C A B
m
F
A
B
[例12]质量为mA的物体A静止在光滑水平面 上，它和一质量不计的绳索相连接，此绳 索跨过一半径为R、质量为mc的圆柱形滑 轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B 竖直悬挂。圆柱形滑轮可绕其几何中心轴
0.5m
JC 1 0.32 2 0.52
0.59kg m2
例4质量m,长度L 的均质细杆的转动惯量 （1）转轴过杆的端点
dm m
dl L
dm
dx
x
J L x2dm L x2dx 1 mL2
0
0
3
（2）转轴过杆的中点
dm dx x
J
单位：kg m2
连续分布有
r 2dl 线分布，为线密度
J
r
2dm
r
2
ds
面分布， 为面密度
r 2 dV 体分布，为体密度
举例说明刚体的转动
举例说明刚体的转动刚体的转动是物理学中的一个重要概念，描述了一个物体围绕某一点或某一轴线进行旋转运动的特性。
在我们的日常生活中，刚体的转动现象并不罕见，比如旋转门、旋转木马、钟表指针的转动等。
本文将通过具体的例子，详细解释刚体转动的原理、特点以及应用。
一、刚体转动的原理和特点刚体转动的原理可以归结为力矩的作用。
当一个力作用于刚体上，并且力的作用点不在刚体的质心上时，就会产生一个力矩，使刚体绕质心旋转。
刚体转动的特点包括：1.角动量守恒：在没有外力矩作用下，刚体的角动量保持不变。
2.转动惯量：刚体转动时的惯性大小与其质量分布和旋转轴的位置有关，用转动惯量来描述。
3.旋转方向：刚体转动时，可以顺时针或逆时针方向旋转。
二、刚体转动的应用举例1.旋转门旋转门是一种常见的刚体转动应用。
它通常由一扇或多扇门组成，围绕中心点旋转。
当人们推动旋转门时，门受到推力作用，产生一个力矩，使门绕中心点旋转。
旋转门的转动惯量和旋转方向取决于门的质量分布和推力的方向。
2.钟表指针的转动钟表指针的转动也是刚体转动的典型例子。
钟表的时针、分针和秒针都围绕表盘中心旋转。
当钟表内部的齿轮机构驱动指针时，指针受到力矩作用，开始绕中心旋转。
不同长度的指针具有不同的转动惯量，因此它们旋转的速度也不一样。
3.地球的自转和公转地球自转和公转也是刚体转动的例子。
地球绕自身轴线自转一周需要24小时，形成了昼夜交替的现象。
同时，地球还绕太阳公转一周需要365.25天，形成了四季变化。
地球的自转和公转都是刚体绕固定轴线的旋转运动。
三、刚体转动的物理分析通过对以上几个实例的分析，我们可以得知刚体的转动涉及到了力矩、角动量以及转动惯量等重要物理量。
首先，力矩是导致刚体转动的直接原因，它的方向决定了刚体的旋转方向。
其次，角动量是描述刚体转动状态的物理量，它在没有外力矩作用下保持恒定。
最后，转动惯量反映了刚体对于转动的抵抗程度，与刚体的质量分布及旋转轴位置密切相关。
第4章刚体转动-精选
对质量连续分布的刚体
∑
所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动
2019/11/17
35
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刚体的角动量定理
质点的角动量定理
（微分形式） （积分形式）
1.刚体的
合外力矩
冲量矩
2019/11/17
（微分形式）
角动量的时间变化率
（积分形式）
角动量的增量
36
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（微分形式） （积分形式）
刚体平动 质点运动
刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同。
2019/11/17
7
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转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
2019/11/17
8
长江大学物理教程
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
2019/11/17
9
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定轴转动参量
1. 角位置
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
1mgslinq J
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sinq
2l
2019/11/17
31
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由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
m,l FN
dt dθ dt d θ
∑
∑
∑
是矢量式
与质点平动对比
2019/11/17
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3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 由
若
刚体所受合外力矩
则
即
刚体的转动定律
6
例2、求质量为 ， 、求质量为m， 长度为l的均匀细棒 的均匀细棒， 长度为 的均匀细棒， l/2 h 对下列转轴C、 、 对下列转轴 、G、H H G C 的转动惯量。 的转动惯量。 设棒的线密度为λ， 解：设棒的线密度为 ，由转动惯量的定义式 2 J = ∫ x λdx 对C点： 点
1 3 2λ l 3 ml 2 J C = x λdx = λx = ( ) = 3 3 2 12 −l / 2 −l / 2
θ
dω dω dθ dω β= = =ω dt dθ dt dθ
得
两边乘以dθ后积分得： 两边乘以 后积分得： 后积分得
1 2 3g cosθ 3g sin θ ∫ ωdω = 2 ω = ∫ 2l dθ = 2l 0 0
ω=
3g sin θ l
用能量守恒原理也可以解出ω 用能量守恒原理也可以解出 下降时重力做的功为: 由于均匀细棒的质心在 l/2 处，下降时重力做的功为: 下降时重力做的功为
在机械能守恒定律中， 在机械能守恒定律中，刚体定轴转动的动能由上式 12 计算。 计算。
的均匀细直棒， 例4、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位 角时的角加速度和角速度。 置，求它由此下摆θ角时的角加速度和角速度。 解：棒下摆为加速过程，外力 棒下摆为加速过程， 矩为重力对O的力矩。 矩为重力对O的力矩。 在棒上 取质元dm,当棒处在下摆θ角时， dm,当棒处在下摆 取质元dm,当棒处在下摆θ角时， 质元的重力为： 质元的重力为： dM=ldm g sin(900-θ) =λgldlcos(θ)
dt
角加速度 切向加速度为