解读IEEE标准754浮点数定义
浮点数754标准
浮点数754标准
IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是20世纪80年代以来最广泛使
用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。
这个标准定义了
表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number）），一
些特殊数值（无穷（Inf）与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数
运算符”；它也指明了四种数值舍入规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。
IEEE 754规定了四种表示浮点数值的方式：单精确度（32位）、双精确度（64位）、延伸单精确度（43比特以上，很少使用）与延伸双精确度（79比特以上，通常以80位实现）。
具体来说，IEEE 754标准定义了两种浮点数：32位单精度浮点数和64位
双精度浮点数。
其中，32位精度浮点数使用1位表示符号位，8位表示阶码，23位表示尾数；而64位精度浮点数使用1位表示符号位，11位表示
阶码，52位表示尾数。
此外，IEEE 754还规定了四种数值舍入规则和五种
例外状况的处理方式。
如需了解更多信息，可以查阅IEEE官方网站上发布的相关资料，或咨询计
算机领域专业人士。
ieee-754 标准规
ieee-754 标准规
IEEE 754是一种二进制浮点数算术标准，定义了浮点数的表示形式、舍入规则、运算规则等。
该标准由国际电气和电子工程师协会（IEEE）制定，目的是为不同计算机系统之间提供一致的浮点数表示和运算。
IEEE 754标准规定了两种浮点数格式：单精度（32位）和双精度（64位）。
其中，单精度浮点数由1位符号位、8位指数位和23位尾数位组成；双精度浮点数由1位符号位、11位指数位和52位尾数位组成。
除了浮点数的表示形式外，IEEE 754还定义了浮点数的运算规则，包括加法、减法、乘法、除法和开方等操作。
这些运算规则主要涉及舍入模式、溢出处理、无穷大和非数值的表示等方面，以确保在不同计算机系统上进行浮点数运算时能够得到一致的结果。
通过遵循IEEE 754标准，计算机系统能够实现高精度的浮点数计算，并且可以在不同平台之间进行数据交换和计算结果的精确比较。
IEEE 745浮点数标准
IEEE 745浮点数标准解读IEEE标准754：浮点数表示如须转载请注明作者为Lolita@，并请保持文章的完整和提供转载出处。
N的实际值n由下列式子表示：其中：★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
★ S(sign)表示N的符号位。
对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。
对应值e值也可正可负。
★ M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。
M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。
三、浮点数格式IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。
前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。
限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。
★ 单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。
★ 双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。
上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5 。
k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。
此时m的计算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。
如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.6252、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。
此时e，m 的计算都非常简单。
注意，此时小数点左侧的隐含位为0。
为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。
后文我们还会继续讨论。
IEEE 754关于浮点数的规定解析
000C 405ED9999999999A Data4 DQ 123.4;定义双精度浮点数 0014 405ED9999999999A Data5 REAL8 123.4;定义双精度浮点数 001C 4005F6CCCCCCCCCCCCCD Data6 REAL10 123.4 ;定义扩展精度浮点数
255 255
任意
0 非0
规格化数
±无穷大 NaN
三、十进制数转换成浮点数的步骤 1、将十进制数转换成二进制数：整数部分用 2来除，小数部分用2来乘； 2、规格化二进制数：改变阶码，使小数点前 面仅有第一位有效数字； 3、计算阶码： 短型浮点数的阶码加上偏移量7FH 长型浮点数的阶码加上偏移量3FFH 扩展型浮点数的阶码加上偏移量3FFFH 4、以浮点数据格式存储。 把数值的符号位、阶码和尾数合在一起 就得到了该数的浮点存储形式。
例1 把十进制数100.25转换成协处理器中的 浮点数 解：1、进制转换： (100.25)10＝(1100100.01)2 2、规格化： (1100100.01)2＝1.10010001×26 ＝1.10010001×2110 3、计算阶码： 110+01111111＝10000101 4、数值的符号位为：0， 阶码为：10000101， 尾数为： 1001 0001 0000 0000 0000 000
对上溢用无穷大表示=无穷大 任何有限数÷无穷大=0 无穷大÷无穷大=NaN NaN(Not A Number)
。 这样IEEE754有5种类型浮点数据,如下表:
S
0/1 0/1
E
0 0
M
0 非0
意义
±0 非规格化数
0/1
0/1 0/1
1~254
ieee754标准float单精度浮点数
IEEE754标准Float单精度浮点数一、IEEE754标准Float单精度浮点数的定义IEEE754标准Float单精度浮点数是一种用于表示浮点数的二进制编码格式，它由三个部分组成：符号位、指数位和尾数位。
在IEEE754标准下，Float单精度浮点数总长度为32位，其中符号位占据1位，指数位占据8位，尾数位占据23位，这种编码格式的设计旨在能够有效地表示不同大小和精度的浮点数。
二、浮点数的表示范围1. IEEE754标准Float单精度浮点数可以表示的范围为1.4x10^(-45)至3.4x10^38，这个范围非常广泛，可以满足大多数实际需求。
2. 在表示浮点数时，IEEE754标准Float单精度浮点数遵循一定的存储规则，其中指数位用于表示浮点数的阶码，尾数位用于表示浮点数的尾数。
三、浮点数的精度1. 由于IEEE754标准Float单精度浮点数的尾数位只有23位，因此其表示的精度有限。
在进行浮点数计算时，可能会出现精度丢失的情况，因此在设计算法时需要特别注意。
2. 尽管浮点数的精度有限，但在实际应用中，IEEE754标准Float单精度浮点数仍然广泛应用于科学计算、图形处理等领域。
四、浮点数的舍入规则1. 在进行浮点数运算时，由于IEEE754标准Float单精度浮点数的精度有限，可能会出现舍入误差。
在进行舍入时，IEEE754标准规定了一套标准的舍入规则，以确保浮点数运算的结果尽可能地准确。
2. 浮点数的舍入规则在不同的编程语言中可能会有所不同，但大多数编程语言都遵循IEEE754标准的舍入规则。
五、浮点数的特殊值1. 在IEEE754标准Float单精度浮点数中，有一些特殊的浮点数值，例如正无穷大、负无穷大、NaN（Not a Number）等。
这些特殊的浮点数值在实际计算中可能会起到重要的作用，需要特别注意处理。
2. 特殊值的存在使得IEEE754标准Float单精度浮点数在表示浮点数时更加灵活和丰富。
ieee754短浮点数解释
ieee754短浮点数解释IEEE 754短浮点数解释IEEE 754是一种用于表示浮点数的标准。
其中，短浮点数是一种特殊的浮点数格式，它使用较少的比特数来表示浮点数。
本文将解释IEEE 754短浮点数的具体含义及其工作原理。
IEEE 754短浮点数是一种用于表示小范围数字的浮点数格式。
它主要用于嵌入式系统和其他资源受限的环境中。
短浮点数格式使用较少的位数，因此在存储和计算上要比标准的单精度（32位）和双精度（64位）浮点数更加有效。
短浮点数格式包括3个主要组成部分：符号位、指数位和尾数位。
符号位用于表示浮点数的正负，指数位用于表示浮点数的幂次，而尾数位用于表示浮点数的有效数字。
具体来说，对于IEEE 754短浮点数，通常使用1位表示符号位。
如果这一位为0，则表示正数；如果为1，则表示负数。
指数位和尾数位的位数通常是在规范中明确规定的，比如10位指数和11位尾数。
指数位用于确定浮点数的范围，以及对其进行规范化。
通过对指数位的解释，我们可以计算出浮点数的实际幂次。
尾数位用于表示浮点数的有效数字。
根据尾数位的位数，我们可以确定浮点数的精度。
IEEE 754短浮点数解释的过程一般包括以下步骤：1. 首先，确定符号位。
根据规范中定义的符号位的位置，我们可以判断浮点数的正负。
2. 接下来，解释指数位。
根据规范中定义的指数位的位置和位数，我们可以将指数位转换为一个整数值。
通常，指数位都是使用二进制补码编码的。
3. 然后，解释尾数位。
根据规范中定义的尾数位的位数，我们可以将这些位解释为一个小数值。
根据位数的不同，我们可以计算出不同的精度。
4. 最后，通过符号位、指数位和尾数位的解释，结合规范中的其他约定，我们可以计算出最终的短浮点数值。
总而言之，IEEE 754短浮点数是一种用于表示小范围数字的浮点数格式。
它使用较少的位数，使得在存储和计算上更加高效。
通过解释符号位、指数位和尾数位，我们可以计算出短浮点数的实际值。
ieee754标准32位浮点数
ieee754标准32位浮点数
IEEE 754标准定义的32位浮点数，通常称为单精度浮点数，其结构如下：
符号位（Sign bit）: 占用1位，位于最左边。
用于表示数值的正负，0代表正数，1代表负数。
指数位（Exponent）: 占用8位，用于表示数值的指数部分。
这8位按照偏移量（bias）计算实际的指数值。
对于32位浮点数，偏移量是127。
也就是说，存储的指数值等于实际指数加上127。
尾数位（Mantissa）或有效数字位（Fraction）: 占用剩下的23位。
这部分用于表示数值的有效数字。
在标准化的浮点数表示中，有效数字的最高位总是1，因此在存储时通常省略这一位，以提高精度。
例如，一个32位浮点数的二进制表示为11000001010100000000000000000000，可以这样解析：
符号位：1（表示负数）
指数位：10000010（表示130，实际指数为130 - 127 = 3）
尾数位：10100000000000000000000（表示有效数字1.101）
因此，该浮点数的值为-1.101 \times 2^3，转换为十进制为-1.625 \times 8 = -13.0。
解读IEEE标准754浮点数定义
解读IEEE标准754浮点数定义更新：20060623-06:44 添加了求最大非规格数的公式20060622-23:40 修正了几处笔误，换掉了实验局部的那张大图，改用代码显示。
一、背景在IEEE规范754之前，业界并没有一个一致的浮点数规范，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规那么，以及运算细节。
那时，完成的速度和简易性比数字的准确性更受注重。
直到1985年Intel计划为其的8086微处置器引进一种浮点数协处置器的时分，聪明地看法到，作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能经过数值剖析来选择最合理的浮点数二进制格式。
于是Intel在请加州大学伯克利分校的 William Kahan教授──最优秀的数值剖析家之一来为8087 FPU设计浮点数格式; 而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合〔Kahn, Coonan, and Stone〕。
他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，致使于IEEE组织决议采用一个十分接近KCS的方案作为IEEE的规范浮点格式。
目前，简直一切计算机都支持该规范，大大改善了迷信运用顺序的可移植性。
二、表示方式从外表上看，浮点数也是一串0和1构成的位序列(bit sequence)，并不是三头六臂的怪物，更不会咬人。
但是IEEE规范从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如以下图所示：N的实践值n由以下式子表示：其中：★ n,s,e,m区分为N,S,E,M对应的实践数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
★ S(sign)表示N的符号位。
对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的假定干位。
对应值e 值也可正可负。
★ M(mantissa)表示N的尾数位，恰恰，它位于N末尾。
M也叫有效数字位〔sinificand〕、系数位〔coefficient〕, 甚至被称作〝小数〞。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解读IEEE标准754：浮点数表示，并请保持文章的完整和提供转载出处。
更新：20060623-06:44 增加了求最大非规格数的公式20060622-23:40 修改了几处笔误，换掉了实验部分的那张大图，改用代码显示。
一、背景在IEEE标准754之前，业界并没有一个统一的浮点数标准，相反，很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则，以及运算细节。
那时，实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。
直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候，聪明地意识到，作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们，也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。
于是Intel在请加州大学伯克利分校的 William Kahan教授──最优秀的数值分析家之一来为8087 FPU设计浮点数格式; 而这个家伙又找来两个专家来协助他，于是就有了KCS组合（Kahn, Coonan, and Stone）。
他们共同完成了Intel的浮点数格式设计，而且完成地如此出色，以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。
目前，几乎所有计算机都支持该标准，大大改善了科学应用程序的可移植性。
二、表示形式从表面上看，浮点数也是一串0和1构成的位序列(bit sequence)，并不是三头六臂的怪物，更不会咬人。
然而IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如下图所示：N的实际值n由下列式子表示：其中：★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
★ S(sign)表示N的符号位。
对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。
对应值e值也可正可负。
★ M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。
M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。
三、浮点数格式IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。
前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。
限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。
★ 单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。
★ 双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。
值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数，也就是说，假定 M为“010110011...”, 在二进制数值上其实是“.010110011...”。
而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位通常，哦不，应该说绝大多数情况下是1，那什么情况下是0呢？答案是N对应的n非常小的时候，比如小于 2^(-126)(32位单精度浮点数)。
不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白。
总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是"m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”四、计算e、m首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。
噢，其实并没有这么难的，跟我来！掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是，规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要。
请牢记这句话：规格化与否全看指数E！下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m:1、规格化：当E的二进制位不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。
此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数,e值计算公式如下图所示：上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5 。
k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。
此时m的计算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。
如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.6252、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。
此时e，m的计算都非常简单。
注意，此时小数点左侧的隐含位为0。
为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。
后文我们还会继续讨论。
有了非规格化形式，我们就可以表示0了。
把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,则得到 +0.0。
非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually underflow)”属性。
3、特殊数值：当E的二进制位全为1时为特殊数值。
此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。
五、范例仔细研读第四点后，再回忆一下文章开头计算n的公式，你应该写出一个浮点编码的实际值n了吧？还不能吗？不急，我先给你示范一下。
我们假定N是一个8位浮点数，其中，S占1位，E占4位，M占3位。
下面这张表罗列了N 可能的正数形式，也包含了e、m等值，请你对照着这张表，重温一下第四点，你会慢慢明白的。
说实在的，这张表花了我不少功夫呢,幸好TeX画表格还算省事！这张表里头有很多有趣的地方，我提醒一下：★ 看 N 列，从上到下，二进制位表示是均匀递增的，且增量都是一个最小二进制位。
这不是偶然，正是巧妙设计的结果。
观察最大的非规格数，发现恰好就是M全为1, E全为0的情况。
于是我们求出最大的非规格数为：上面的公式中，h为M的位数(如范例中为3)。
注意，公式等号右边的第一项同时又是最小规格数的值（如范例中为 8/512 ）;第二项则正是最小非规格数的值(如范例中为1/512)即该浮点数能表示的最小正数。
★ 看 m 列，规格化数都是 1+ x 的形式，这个1正是隐含位1; 而非规格化数隐含位为0, 所以没有 "1+" 。
★ 看 n 列，非规格化数从上到下的增量都是 1/512, 且过渡到规格化数时，增量是平滑的，依旧是1/512。
这正是非规格化数中e等于(1-bias)而不是(-bias)的缘故，也是巧妙设计的结果。
再继续往下看，发现增量值逐渐增大。
可见，浮点数的取值范围不是均匀的。
六、实战我们用一小段汇编来测试一下，浮点数在内存中是如何表示的。
测试环境：GentooLinux2006.0/GNU assembler version 2.16.1/GNU gdb 6.4/AMD XP1600+。
如下所示代码:~/coding/assemble $ gdb(gdb) list1 .section .data2 f1:3 .float 54 f2:5 .float 0.16 .section .text7 .global _start8 _start:9 nop10(gdb) x/f &f10x80490a4 <f1>: 5(gdb) x/xw &f10x80490a4 <f1>: 0x40a00000(gdb) x/f &f20x80490a8 <f2>: 0.100000001(gdb) x/xw &f20x80490a8 <f2>: 0x3dcccccd(gdb)从上面的gdb命令结果可以看出，浮点数5被表示为 0x40a00000，二进制形式为( 0100 0000 1010 0000 (0000)0000)。
红色数字为E，可以看出|E|=129>0, 则e=129-bias=129-127=2 ；蓝色数字为M, 且|E|>0，说明是规格化数，则m=|1.M|=|1.01000..000|=1.25 ; 由n的计算公式可以求得 n=(-1)^0 * 1.25 * 2^2 = 5，结果被验证了。
同样，你也可以验证一下十进制浮点数0.1的二进制形式是否正确，你会发现，0.1不能表示为有限个二进制位，因此在内存中的表示是舍入(rounding)以后的结果，即 0x3dcccccd, 十进制为0.100000001，误差0.000000001由此产生了。
七、未完成关于浮点数，还有很多东西（比如舍入误差、除零异常等等）值得我们深入探讨，但已经无法在此继续。
这篇文章的目的仅在初步解释IEEE标准754对浮点数的规定以及一些奇妙的地方。
写这篇文章花掉了我整天的时间，但也使我彻底记住了以前让我胆怯的东西──最重要的是，希望这篇文章对大家有点用处，也算我为计算机科学基础理论版以及做的一点贡献。
参考书目：①: Randall Hyde, The Art of Assembly Language, Vol.1, 4.2.1②: Randal E. Bryant, David R. O’Hallaron, Computer Systems A Programmer’s Perspective (Beta Draft), PartⅠ，Chapt.Ⅱ， 2.4③: Rechard Blum, Professional Assembly Language。