圆心角定理
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•那么
•弦心距所对应的圆心角相等 •弦心距所对应的弧相等 •弦心距所对应的弦相等
•
•推论：(圆心角定理的逆定理) • • 在同圆或等圆中，如果两个圆心角 、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距 中有一组量相等，那么它们所对应的 其余的各组量都分别相等。
•
•巩固练习 •1、已知：如图，：AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、
•圆心角所对的弦的弦心距相等
•
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的 弦相等,所对的弦的弦心距相等.
•A
•D
•A
•D
•B
O •●
•B
O •●
•●O′
•┏
•A′ •D′ •B′
•由条件: •①∠AOB=∠A′O′B′
•可推 出
•┏
•②•A⌒B=A′⌒B•′ A′ •D′ •B′
•③AB=A′B′
•④ OD=O′D′
•
• 请大家思考一下这个定理的逆命题
•
•在同圆或等圆中 •如果弧相等
•那么
•弧所对的圆心角相等 •弧所对的弦相等 •弧所对的弦的弦心距相等
•在同圆或等圆中 •如果弦相等
•那么
•弦所对的圆心角相等 •弦所对的弧（指劣弧）相等 •弦的弦心距相等
•在同圆或等圆中 •如果弦心距相等
• ∴ 当点A与点C重合时， • 点B与点D也重合。 • ∴ AB=CD，
•⌒ •⌒ •∴ AB = CD。
•A •B
•o
•C •D
•圆心角定理：在同圆中， • •相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
•
•如图，⊙O 和⊙O' 是等圆， •如果 ∠AOB= ∠ A'O'B'
•那么 AB•=?A'B' 、AB•=? A'B' 、OM•=?O'M',
•OM是唯一的 。
•B •M
•O
•A
•图1
• •1、判别下列各图中的角是不是圆心角， •并说明理由。
•①
•②
•③
•④
•
•2、下列图中弦心距做对了的是（ ）
•┐
•①
•②
•┐
•③
•④
••探究：
•任意给圆心角，对应出现四个量：
•弧 •圆心角 •弦
•弦心距
•A •O•·
•B
•疑问：这四个量之间会有什么关系呢 ？
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
• •
（_1_）_•_∠如_果A__OA_BB_==_∠C_DC_，O_,D那__么_O_E_=_O_F_,_A•_⌒B_=_C•_⌒D_______。
• •
（_2_）_如•_∠_果_AO_OE_B=_=_O∠_F_C，_O那,D_么__A_B_=_C_D_,_•_A⌒_B_=_•C⌒_D______。
•
•下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？ （请举出两个例子，并说•A出圆心角所对的弧，弦。）
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•C
•如果：
• ∠AOB=∠ COD
•D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
• （1）圆心角定理中能忽略“在同圆或等圆中 ”这个前提条件吗?
•
• 同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧， 一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧” 是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。
•
• 这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦 ，∠CEA、∠BFD不是圆心角，就不可以用 圆心角定理推论证明。
•为什么？
•对于等圆的情况 ，因为两个等 圆可叠合成同圆，所以等圆问题 可转化为同圆问题，命题成立。
•
•圆心角定理 : •在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧相等 ，所对的弦相等，所对 的弦的弦心距相等。
•图 5
•
•条件
•结论
•在同圆或等圆中
•圆心角所对的弧相等
•那么 •圆心角所对的弦相等
•如果圆∠ COD
•C •D
•
•下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的 弦、弧有什么关系？
•A
•B
•o
•如果： • ∠AOB=∠ COD
•C •D
• •已知:如图∠AOB=∠ COD,
• •求证: AB=CD，••A⌒B =•C⌒D。 • 证明:∵OA=OC ，OB=OD， • ∠AOB=∠COD,
圆心角定理
•
复习回忆
• 1：垂径定理的内容是什么？ • 2：垂径定理的推论内容是什么？ • 3：圆的对称性
•
• 顶点在圆心的角,叫圆心角，
••如
, 圆心角
所
对
•所对的弦为AB；
•的弧为 AB， • 过点O作弦AB的垂线, 垂
足• 则垂线段OM的长度,即圆
••为心M到,弦的距离，叫弦心距 , 图
1 •中，OM为AB弦的弦心距。
• （3）如果•⌒AB=•⌒CD 那么
• ___•_∠__A_O_B_=_∠__C_O_D,___A_B_=_C_D___,____________
。
OE=OF
• •
（_4_）_•如_O_果E_=∠_OA_FO_B,_=_A∠_BC_=O_CD_D_，_•那⌒,A_么B_•⌒=_C_D_____。
•
初中数学 什么是圆心角
初中数学什么是圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
下面我将详细介绍什么是圆心角，并提供相关的定义、性质和应用：1. 圆心角的定义：圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是从圆心出发的两条射线，这两条射线与圆上的两点相交。
圆心角通常用大写字母表示，如∠AOB。
2. 圆心角的性质：-圆心角的度数等于所对弧的度数：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
例如，如果圆上的弧AB的度数为x度，那么以圆心为顶点的圆心角∠AOB的度数也为x度。
-圆心角的度数范围：圆心角的度数范围是0度到360度（或0到2π弧度）。
-圆心角的度数与弧长的关系：圆心角的度数与所对弧的弧长有一定的比例关系。
具体关系是：圆心角的度数等于所对弧的弧长与圆的半径的比值乘以360度（或2π弧度）。
-圆心角的特殊情况：如果圆心角的度数为90度（或π/2弧度），那么这个圆心角称为直角；如果圆心角的度数为180度（或π弧度），那么这个圆心角称为半圆；如果圆心角的度数为360度（或2π弧度），那么这个圆心角称为整圆。
3. 圆心角的应用：圆心角在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如：-圆心角可用于计算弧长：通过圆心角的度数和所对弧的半径，可以计算出所对弧的弧长。
-圆心角可用于解决几何问题：通过圆心角的性质，可以解决与圆相关的角度、长度及面积等问题。
-圆心角可用于描述物理现象：在物理学中，圆心角可用于描述物体在圆周运动中所转过的角度。
需要注意的是，圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧的度数。
圆心角的度数范围是0度到360度，它与所对弧的弧长有一定的比例关系。
圆心角在几何学和物理学中有广泛的应用。
以上是关于圆心角的定义、性质和应用的介绍。
希望以上内容能够满足你对圆心角的了解。
4弧、弦、圆心角定理
BAEDCBAOE DC BA（二）弧、弦、圆心角一、知识回顾1．定义： 叫做圆心角．2．定理：在 中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 ．3．推论1：在 中，相等的弧所对的 相等，所对的 相等．4．推论2：在 中，相等的弦所对的 相等，所对的 相等．5．定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中 相等，那么 也相等． 二、例题讲解1、如图（1），弦AD=BC ，E 是CD 上任一点（C ，D 除外），则下列结论不一定成立的是（ ）A ．»»ADBC =； B ．AB=CD ； C ．∠ AED=∠CEB ； D ．¼»A B BC = 2、如图（2），AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是»BE 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ）A ．40°；B ．60°；C ．80°；D ．120°．3、如图（3），AB 是 ⊙O 的直径，»»BC =BD ,∠A=25°，则∠BOD= °．4、如图（4），在⊙O 中，»»AB =AC ，∠A=40°，则∠C= °5、在⊙O 中，»»AB =AC ，∠ACB=60°．求证：∠AOB = ∠BOC = ∠AOC ．三、达标练习1、如果两个圆心角相等，那么（ ） A ．这两个圆心角所对的弦相等； BC ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等；D ．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则»AB与»CD 的关系是（ ） A ．»»AB=2CD ； B ．»»AB CD >； C ．»»AB 2CD <； D ．不能确定 3．在同圆中，¼»AB BC =，则（ ） A ．AB+BC=AC ； B ．AB+BC ＞AC ； C AB+BC ＜AC ；D ． 不能确定4．下列说法正确的是（ ）A ．等弦所对的圆心角相等；B ．等弦所对的弧相等；C ．等弧所对的圆心角相等；D ．相等的圆心角所对的弧相等． 5．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上．求证：¼»AM=BN四、课堂小结在运用定理及推论时易漏条件“在同圆或等圆中”，导致推理不严密，如半径不等的两个同心图，显然相等的圆心角所对的弧、弦均不等．ODCB A图（3）A图（4）A第5题图图（1）图（2）五、课后作业1、如图，已知OA 、OB 是⊙O 的半径，点C 为AB 的中点，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，求证：MC=NC2、如图，AB 是⊙O 的弦，»»AE=BF ，半径OE ，OF 分别交AB 于C ，D ．求证：△OCD 是等腰三角形．3、如图，在圆O 中，弦AB 、CD 相交于E ，且AB=CD ，求证：CE=BE4、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF ． 求证：PA=PC ．OA BEFCDONMAC BA B DC E OPAD E FCB。
圆周角弧长公式
圆周角弧长公式
弧长计算公式是一个数学公式，为L=n×π×r/180，L=α×r。
其中n是圆心角度数（角度制），r是半径，L是圆心角弧长，α是圆心角度数（弧度制）。
与圆心角有关的定理圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。
理解：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧。
（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角
![[初中教育][初三数学]圆心角和圆周角](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/28c4c55cd1f34693dbef3e25.webp)
小班辅导教案知识点一圆心角定理1.概念填空：（1）把圆绕旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合.圆是中心对称图形，就是它的对称中心.（2）顶点在的角叫做圆心角.（3）圆心角定理：在同圆会等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等.（4）我们把1°圆心角所对的弧叫做，则n°的圆心角所对的弧就是 .2.把一个圆分成相等的6段弧，每段弧所对的圆心角的度数是 >3.如图，MN为⊙○的弦，∠M=50°，则圆心角∠MON等于（）A.50°B.55°C.65°D.80°̂= .4.如图，在⊙○中，∠AOB=∠COD，则AC= ，AĈ的度数5.如图，两个同心圆的圆心为O，大圆半径OA,OB分别交小圆于A′,B′两点，如果AB̂的度数是60°，那么A′B′为（）A.60°B.大于60°C.小于60°D.不能确定题型一利用圆心角定理证明角（弧）度、线段间的等量关系例1：如图，O为等腰三角形ABC的底边AB上的中点，以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E，连结OD,OE.求证：（1）∠AOE=∠BOD；̂=BÊ.（2）AD巩固练习1：如图，在⊙○中，弦AB=CD.求证：AC=BD.题型二利用圆心角定理计算弧的度数̂的度数为40°，例2：如图，AB,DF是⊙○的两条直径，C是⊙○的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD=CO.若AD̂的度数.求BE巩固练习2：如图，以Rt△ABC的直角顶点为圆心，以BA为半径的圆分别交AC于点D，交BC于点E.若∠C=31°，̂的度数.求AD知识点二圆心角定理的逆定理1.在同圆或等圆中，如果、、、中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.2.下列命题中，真命题是（）A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弦所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等3.在⊙○中，弦AB=2cm，圆心角∠AOB=60°，则⊙○的直径为 cm.4.已知AB,CD是⊙○的两条弦，且AB=CD,OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F.若OE=3，则OF= .̂=BĈ.若AB=3,则CD= .5.如图，在⊙○中，AD题型一：利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行相关证明例1：如图，⊙○的弦AB,CD相交于点P，PO平分∠APD.求证：AB=CD.̂=BD̂.求巩固练习1：如图所示，⊙○的两条弦AB,CD互相垂直且相交于点P,OE⊥AB,OF⊥CD，垂足分别为E,F,AC证：四边形OEPF是正方形.例2：如图，P为⊙○的直径EF延长线上一点，PA交⊙○于点B，A,PC交⊙○于点D,C,∠1=∠2.求证：PB=PD.巩固练习2：如图，P为⊙○外一点，∠APC的两边分别交⊙○于点A,B和点C,D.如果PA=PC,求证：AB=CD.知识点三圆周角定理及其推论1.顶点在圆上，的角，叫做圆周角.2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的度数的一半.圆周角定理的推论1：半径（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 .3.如图，A,C,B是⊙○上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是 .4.已知一条弧的度数为80°，则这条弧所对的圆心角和圆周角分别是和 .5.在⊙○中，一条6cm长的弦所对的圆周角为90°，则⊙○的直径是 cm.6.已知Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，则它的外接圆的半径为 cm.题型一与圆周角定理有关的计算例1：如图，A,B,C,D四个点均在⊙○上，∠AOD=70°，AO//DC，求∠B的度数.巩固练习1：如图，A,B,C是⊙○上三点，AB=2,∠ACB=30°，求⊙○的半径.题型二利用圆周角定理的推理1进行计算与证明例2：如图AB,AC是⊙○的两条弦，且AB=AC.延长CA到点D，使AD=AC，连结DB并延长，交⊙○于点E.求证：CE是⊙○的直径.巩固练习2：如图，△ABC是⊙○的内接三角形，AD是⊙○的直径.若∠ABC=50°，求∠CAD的度数.知识点四圆周角定理的推理21.圆周角定理的推理2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；的圆周角所对的弧也相等.2.如图，点A,B,C,D在⊙○上，若∠BDC=30°，则∠BAC= .3.如图，∠DBC=20°，∠APB=80°，则∠D= .4.若⊙○的弦AB所对的弧的度数是180°，则AB必是⊙○.5.如图，AB是⊙○的直径，∠CAB=60°，则∠D= .题型一：利用圆周角定理及其推论进行计算例1：如图，已知在⊙○中，直径AB=10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙○于点D，求BC,AD,BD的长.巩固练习1：如图，点A,B,C,D都在⊙○上，AD是⊙○的直径，且AD=6cm.若∠ABC=∠CAD，求弦AC的长.题型二：利用圆周角定理及其推论进行证明例2：如图，已知在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE,BE交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于点D，连结BD,CD,CE且∠BDA=60°.（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想四边形BDCE是怎样的四边形？并证明你的猜想.巩固练习2：如图，过圆内一点P作弦AB和CD，且AP=CP.求证：PB=PD.1.如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆半径OA,OB 交小圆于点C,D ，下列结论中正确的个数有（ ）①∠OCD=∠OAB ；②AB=CD;③AB̂=CD ̂. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.如图，BE 是半径为6的⊙D 的14圆周，C 点是BÊ上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ）A.12<P ≤18B. 18<P ≤24C. 18<P ≤18+6√2D. 12<P ≤12+6√23.已知AB 是⊙○的直径，AC,AD 是弦，且AB=2，AC=√2，AD=1，则圆周角∠CAD 的度数是（ ）A.45°和60°B.60°C.105°D.15°或105°4.如图，AB 是⊙○的直径，点C 在⊙○上，弦BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是（ ）A.AD=DCB.AD̂=DC ̂ C.∠ADB=∠ACB D.∠DAB=∠CBA5.如图，已知AB 是⊙○的直径，PA=PB ，∠P=60°，则CD̂所对的圆心角等于 度.6.如图，AB,CD 是⊙○的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC=130°，AD,CB 的延长线相交于点P ，则∠P 的度数为 .7.如图，∠A 的两边交⊙○于点B,C,D,E ，若BD̂:BC ̂:CE ̂:DE ̂=1:3:4:4，则∠A 的度数为 .8.如图为⊙○的部分图形，OA,OB 是⊙○的两条互相垂直的半径，M 是弦AB 的中点，过点M 作MC//OA ，交AB̂于点C.求证：AC ̂=13AB ̂.9.已知：如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是AN̂的中点，P 是直径MN 上一动点，⊙○的半径为1，则AP+BP 的最小值为多少？1.若⊙○内的一条弦与直径相交成30°的角，并把直径分成2cm 和6cm 两端，则这条弦的弦心距为（ ）A.1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm2.如图，用四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A,B,O是小正方形的顶点，⊙○的半径为1，P是⊙○上的一点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.15°或105°3.如图，MN是半圆O的直径，点A是MN延长线上一点，AP交半圆于点Q,P.若∠A=20°，∠PMQ=40°，则∠MQP等于（）A.30°B.35°C.40°D.50°4.如图，AB为⊙○的一固定直径，它把⊙○分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙○于点P，当点C在上半圆（不包括A,B两点）上移动时，点P（）A.到CD的距离保持不变B.位置不变̂ D.随C点移动而移动C.等分BD（第4题）（第5题）（第7题）5.如图，已知A,B,C三点在⊙○上，AC⊥BO于点D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 .6.圆内的一条弦把圆分成5:1两部分，如果圆的半径是2cm，那么这条弦的长是 cm.7.如图，CD是半圆的直径，点O是圆心，点A在CD的延长线上，点E在半圆上，EA与半圆相交于点B.若AB=OC,̂的度数为 .∠DAE=15°，则DE8.如图，在⊙○中，AB是直角，CD是弦，AB⊥CD.̂上一点（不与C,D重合）.求证：∠CPD=∠COB.（1）P是CAD̂上（不与C,D重合）时，∠C P′D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论.（2）点P′在CD9.如图，AB ̂是⊙○的14圆周，半径OA ⊥OB ，C,D 是AB ̂的三等分点，AB 分别交OC,OD 于点E,F.求证：AE=BF=CD.。
圆心角--知识讲解(基础)
圆心角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角的概念；2.掌握弧、弦和圆心角定理及其推论，并能解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角.要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2．1°的弧的定义.如下图，1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角的概念1. 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.【思路点拨】根据圆心角的定义进行判断．【答案与解析】解：①不是，因为顶点在圆内非圆心的位置;②不是，因为顶点在圆外，没有在圆心;③不是，因为顶点在圆上，而不是在圆心;④是，满足圆心角定义.【总结升华】掌握与圆有关的概念：弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、圆心角等. 类型二、圆心角定理及推论2.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（）A．25 B．40 C．50 D．55【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【答案】B【解析】解：连接OB、OC，∵OA=OB=OC=OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A=65°，∠D=60°，∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，∵=150°，∴∠AOD=150°，∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，则=40°．故选B【总结升华】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．举一反三：【变式】如图，AB是⊙O的直径，BC CD DE==，∠COD＝35°，求∠AOE的度数．【答案】解：∵BC CD DE==，∠COD＝35°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°，∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75°．3.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连结OE，已知AD=BC，AD⊥CB．（1）求证：AB=CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．【答案与解析】（1）证明：如图，∵AD=BC，∴=，∴﹣=﹣，即=∴AB=CD；（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF=FD，BG=CG．∵AD=BC，∴AF=CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF=EF．设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，解得x=3．则AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．【总结升华】本题考查了勾股定理，垂径定理以及圆心角、弧、弦间的关系．注意过圆心作弦的垂线是圆中常见的辅助线．举一反三：【变式】已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B D C D B D -=-，即AD BC =，∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．4.如图所示，AB 是⊙O 的弦，C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD ，分别交⊙O 于点E 、F. 试证: =A E B F .【思路点拨】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE ＝∠BOF.【答案与解析】证明： ∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC.∵AO ＝OB ，∴∠A ＝∠B.∴∠OCD －∠A ＝∠ODC －∠B ，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.AE BF.∴=【总结升华】本题利用了在同圆或等圆中，等弧对等弦及等弦对等弧求解．举一反三：=. 【变式】如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA. 求证：AC AEA【答案】证明：连接OE，∵BE∥OA，∴∠B=∠COA，∠E=∠AOE，∵OE=OB，∴∠B=∠E，∴∠COA=∠AOE，=.∴AC AE。
圆心角教案
理解与掌握圆心角定理及推论，并会熟练使用解决问题一：圆心角1.圆心角的定义与弧的度数（1）顶点在圆心的角叫圆心角（2）当我们把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角，所以我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，这样n°的圆心角所对的弧就是n°的弧Array注意：在圆中，圆心角是顶点在圆心，由两条半径所构成的角圆心角的度数与弧所对的度数是一致的2.圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系（1）圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各量都相等注意：定理的条件是在同圆或等圆中。
缺了这个前提，所得结论不一定正确在确定的圆中，一个圆心角所对的弧，所对的弦。
所对的弦心距都是唯一确定的随堂练习1.用直尺和圆规把一条直线AB二等分2用直尺和圆规把☉0六等分3用直尺和圆规把☉0四等分4用直尺和圆规把☉0三等分5.只用圆规把一个圆四等分以为半径画圆将圆六等分，其中四点为、、、（如图）。
以为圆心，为半径画弧；以为圆心，为半径画弧，两弧交于点。
以为圆心，为半径，交圆于、两点。
、、、四点将圆四等分。
6. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对7. 点O是两个同心圆的圆心，大圆的半径QA, OB分别交小圆于点C, D．给出下列结论：①AB CD、②AB=CD；③的度数=CD的度数；④AB的长度=CD的长度．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C.3 个D.4 个8如图,AB, CD是⊙O的两条直径，过点A作AE//CD交⊙O于点E，连结BD , DE.求证：BD=DE.9. 如图，在⊙O中，弦AD//BC ,DA=DC, ∠AOC=160°，则∠BCO等于( )A. 20° B . 30°C40° D. 50°10：已知：如图，A,B,C,D是圆O上的点，∠1=∠2，求证：AC=BD11：已知等边三角形ABC的边长为ɑ，求他的外接圆半径12：已知：如图，在⊙O中，弦AD=BC．求证：AB=CD13已知，如图，AB,AC是圆O的两条弦，OA平分∠BAC，求证：弧AB=弧AC例14．如图4，在⊙O中，AB的度数是︒50，∠OBC=︒40，·OABC那么∠OAC等于例15．如图，在Rt△AOB中，∠B=40°，以OA为半径，O为圆心作⊙O，交AB于点C，交OB于点D．CD的度数．求例16. 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，交AC于点E, BD=CE．求证：AB=AC.。
弦弧圆心角关系定理
弦弧圆心角关系定理
弦弧圆心角关系定理，又称为圆心角定理，是描述圆周上圆心角和弦长关系的定理。
其表述如下：
“在同一个圆中，圆心角所对应的的弧长是该圆上所有弦所对应的弦长之中最大的一段。
”
换言之，在同一个圆中，对于任意圆心角和其对应的弦，它们所对应的弧长都有大小关系。
即当圆心角相同时，对应的弧长越长，则对应的弦长越大；而当弧长相同时，对应的圆心角越大，则对应的弦长也越大。
这个定理的重要性在于，它将圆心角与弦长联系起来，使我们能够更加深入地理解圆的性质，并在相关问题的解决中提供便利。
同时也是许多几何证明中常用的定理之一。
圆心角、弧、弦关系定理
上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，
求证：AB=CD
B
A P
C
O
M
D B
（1）
变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与
A
A、B、C、D，AB=CD
P
O
求证：点O在∠BPD的平分线上
C
D
（2）
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB， 求证：PA=PB
A
P
O
(3) B
变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中 还存在相等的弦吗？
（2）如果 AB CD，那么____________，_____________
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，__
_____________ _______．
（4）如果OE=OF，那么_____________ ，_____________ ，
_____________
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆
心角、两条弧、两条弦或两条弦的 弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余的各组量都分别相等。
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． OE⊥AB于E，OF⊥CD于F
（1）如果AB=CD，那么___________， _____________ ， _________________。
B
C PO
A
D （４）
1、在同圆或等圆中, 圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系。
2、定理和推论
课堂检测：
课本39页练习1、2
E
D
C
A
o
B
例题选讲
例1 如图, 在⊙O中， AB AC ，∠ACB=60°，
第08讲 圆心角与圆周角
第08讲圆心角与圆周角（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【核心考点精讲】一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（）A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：取的中点E，连接AE，BE，则＝，∵＝2，∴＝＝，∴CD＝AE＝BE，∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故选：C．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键．2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是30或150度．【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60°，所以弦所对的圆周角为30°或150°．【解答】解：如图示，AB＝OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴∠ADB＝150°．故弦AB所对的圆周角是30或150度．故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用＝2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论；（2）先利用勾股定理计算出DE＝，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF．【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵＝2，∴∠COE＝2∠AOE，∴∠COE＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE＝＝，在Rt△EFD中，EF＝＝＝2．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．二．圆周角定理（共5小题）5．（2022•浦江县模拟）已知：如图，OA是⊙O的半径，若∠BAO＝27°，则圆周角∠BDA 的度数是（）A．63°B．60°C．58°D．54°【分析】连接OB，可先求出∠AOB的度数，进而根据圆周角定理可得∠BDA的度数．【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∠BAO＝27°，∴∠BOA＝180°﹣2∠BAO＝180°﹣54°＝126°，∴∠BDA＝∠BOA＝63°，故选：A．【点评】本题考查圆的性质定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．6．（2021秋•嘉兴期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC 的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．20°【分析】由AB是⊙•O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C的度数，又由∠ABC＝70°，利用直角三角形中两锐角互余，即可求得∠BAC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用，注意数形结合思想的应用．7．（2022•柯桥区一模）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADC的度数，又由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案．【解答】解：∵∠ABC＝35°，∴∠ADC＝∠ABC＝35°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADC＝55°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝20°．【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵OA∥BC，∴∠A＝∠ABC，∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，∴∠BOC＝5∠ABC，∴∠AOB＝7∠ABC，在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，∴9∠ABC＝180°，∴∠ABC＝20°，故答案为：20．【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2021秋•嵊州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，∠B＝∠C，再判断OD∥AC，然后利用平行线分线段成比例得到BD＝DC；（2）利用三角形内角和计算出∠B＝∠C＝65°，则∠ODB＝∠B＝65°，再利用圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠A＝50°，然后利用平角定义可计算出∠ODE的度数．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴＝＝1，∴BD＝DC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠ODB＝∠B＝65°，∵∠EDC＝∠A＝50°，∴∠ODE＝180°﹣∠ODB﹣∠EDC＝180°﹣65°﹣50°＝65°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．三．相交弦定理（共2小题）10．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE ＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．16【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．11．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP ＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠P AQ＝∠CQN∵∠AQP+∠P AQ＝90°，∴∠AQP+∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．（2022•富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AGDB．若∠ADC＝∠GAD，则＝2C．若＝，则△ADG是等腰三角形D．若＝，则△AGF是等腰三角形【分析】根据圆周角定理求解判断即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴∠ADC＝∠AGD，故A正确，不符合题意；∵∠ADC＝∠GAD，∴＝，∴＝，∵＝2，∴＝2，故B正确，不符合题意；若＝，∴＝，∵＝，∴＝，∴AD＝DG，∴△ADG是等腰三角形，故C正确，不符合题意；由＝，不能推出△AGF是等腰三角形，故D错误，符合题意；故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．3．（2022•舟山二模）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°【分析】连接OA，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，从而求出的度数，然后再利用垂径定理可得＝，即可解答．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝50°，∴的度数为50°，∴BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴弧CD的度数为50°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．4．（2022•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC ＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（）A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝β，∴∠BCD＝90°﹣β，∵∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝γ，∠ABC＝α，∴γ＝α+90°﹣β，即γ+β﹣α＝90°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．5．（1999•山西）如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0B．x2﹣8x+15＝0C．x2+8x﹣15＝0D．x2+8x+15＝0【分析】如果设AP＝a，PB＝b；根据相交弦定理：AP×PB＝DP×PC；可知ab＝15，又根据a+b＝AB＝8；根据一元二次方程根与系数的关系，可判断谁是正确的．【解答】解：设AP＝a，PB＝b；则根据相交弦定理可得：AP×PB＝DP×PC，∴ab＝15，又知：a+b＝AB＝8；∴根据一元二次方程根与系数的关系可得方程为：x2﹣8x+15＝0；故选：B．【点评】本题考查的知识点是相交弦定理和一元二次方程根与系数的关系．6．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°【分析】根据平行线的性质得到∠ADE＝46°，进而得到的度数，再用180°减去的度数即可得到答案．【解答】解：∵DE||BC，∴∠C＝∠ADE＝46°，∴的度数是92°，∴的度数为180°﹣92°＝88°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和圆周角定理，解题的关键是先求出的度数．7．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A．B．2C．2﹣2D．2﹣2【分析】根据题意可得AB＝4，利用等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，由AB是⊙O的直径可得∠APB＝90°，由三角形内角和定理可得∠ABP＝30°，由此可得AP＝2，根据勾股定理可以求得BP的长，进而可以得到点Q表示的数．【解答】解：由题意可得AB＝4，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝2，在Rt△APB中，AB＝4，AP＝2，∴PB＝＝＝＝2，∵BP为半径作弧交数轴于点Q，∴BQ＝PB＝2．∴点Q表示数为2﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查实数与数轴、圆周角定理、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的运用．8．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P 是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°【分析】连接CB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再利用三角形的外角即可解答．【解答】解：连接CB，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵∠ABC是△PBC的一个外角，∴∠ABC＞∠APC，∴∠APC的度数不可能是30°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．16【分析】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．（2021秋•杭州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据圆周角定理，可证∠C＝∠B，又由AD＝BD，可证∠B＝∠DAB，即得∠DAP ＝∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD＝DP：AD，代值计算即可求CD的长．【解答】解：连接AC，由圆周角定理知，∠C＝∠B，∵AD＝BD∴∠B＝∠DAB，∴∠DAP＝∠C∴△DAP∽△DCA，∴AD：CD＝DP：AD，得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．二．填空题（共4小题）11．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2014秋•柯城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE ＝6cm，DE＝3cm，则CE＝4cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH与线段PK的积等于21．【分析】根据相交弦定理得AE•BE＝CE•DE，然后把AE＝2，BE＝6，DE＝3代入即可计算出CE的长；如图过P点的直径为MN，先计算出PM＝QM﹣PQ＝3，PN＝QN+PQ＝7，然后根据相交弦定理进行计算．【解答】解：∵AE•BE＝CE•DE，∴2×6＝3×CE，∴CE＝4；如图，过P点的直径为MN，∵PQ＝2，∴PM＝QM﹣PQ＝5﹣2＝3，PN＝QN+PQ＝5+2＝7，∵PH•PK＝PM•PN，∴PH•PK＝3×7＝21．故答案为4；21．【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．13．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为60°．【分析】利用圆周角定理，圆心角、弧、弦的知识解决问题即可．【解答】解：连接OB、OC，∵∠A＝30°，又∵∠BOC＝2∠A，∴∠BOC＝60°，∴弧BC的度数为60°，故答案为：60°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是求得圆心角的度数．14．（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．【解答】解：连接OA，∵，BC是直径，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，AB＝2，∴OA＝OB＝，∴BC＝2OA＝．故答案为：．【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．（2021秋•淳安县期中）如图，在⊙O中，弦AD＝BC，连接AB、CD．求证：AB＝CD．【分析】在⊙O中，由弦AD＝BC，可得＝，根据等式的性质可得+＝+，即＝，进而得出AB＝CD．【解答】解：在⊙O中，∵AD＝BC，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质是正确解答的关键．16．（2021秋•上城区期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．【分析】根据弦和弧的关系，由AB＝CD可得，进而得到＝，即可证明AD ＝BC．【解答】证明：∵AB＝CD，∴，∴，∴＝，∴AD＝BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键．17．（2021秋•长兴县期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．【分析】欲证明BM＝DM，只要证明＝即可．【解答】证明：∵M是的中点，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴MB＝MD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．18．（2021秋•诸暨市期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．【分析】（1）连接BC，由CD＝BD，AB为直径可得∠E＝∠ECD，进而求解．（2）由勾股定理求出BC的值，再由△AEB为等腰三角形可得BD＝BE，再通过勾股定理求解．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵CD＝BD，∴∠EAD＝∠DAB，∴∠E＝∠ABE，连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，∴∠E＝∠ECD，∴CD＝DE．（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ABE，∴△AEB为等腰三角形，∴AB＝AE，BD＝DE，∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，∴BD＝BE＝2．【点评】本题考查圆与三角形的结合，解题关键是掌握圆周角定理，掌握解直角三角形的方法．19．（2021秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．【分析】（1）利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可；（2）利用圆周角定理，三角形内角和定理，三角形的外角的性质解决问题．【解答】（1）证明：如图，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）证明：连接AD．∵＝，∴∠ADC＝∠BAD，∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAB+∠AMC＝90°，∴∠CAB+2∠BAD＝90°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2001•温州）⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD 的长．【分析】求CD，已知了CP的长，关键是求出PD的长．已知了AP，BP的长，可根据相交弦定理来求出PD的长，进而可求出CD的长．【解答】解：∵圆O的弦AB，CD相交于P，∴AP•PB＝CP•PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝AP•PB÷CP＝4×6÷3＝8，∴CD＝CP+PD＝3+8＝11．即：CD的长是11．【点评】本题主要考查的是相交弦定理的应用，根据相交弦定理求出PD的长是解题的关键．。