高等数学简明教程
高等数学b2下教材
高等数学b2下教材高等数学是大学本科数学课程的一部分，它是数学专业的重要基础课程之一。
本文将以《高等数学B2下》教材为基础，进行系统的介绍和讲解。
第一章极限与连续1.1 极限的概念与性质在这一章中，我们将学习极限的概念与性质。
极限是微积分的基础，对于理解微分与积分有着重要的作用。
我们将初步认识极限，并了解它的基本性质。
1.2 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是极限的重要概念之一。
在这一节中，我们将学习无穷小与无穷大的定义、性质以及它们与极限的关系。
1.3 函数的极限函数的极限是研究函数性质的重要工具。
我们将学习函数极限的定义、运算法则以及一些重要的极限定理。
1.4 连续与间断连续与间断是函数性质的基础。
我们将学习连续函数的定义、性质以及间断点的分类和判定方法。
第二章函数与导数2.1 函数的概念与性质函数是数学中的重要概念，它描述了数与数之间的对应关系。
在这一章中，我们将学习函数的概念、性质以及一些基本的函数类型。
2.2 导数的概念与定义导数是函数变化率的衡量标准，它在微积分中具有重要地位。
我们将学习导数的定义、基本运算法则以及导数的几何意义。
2.3 常用函数的导数在这一节中，我们将学习一些常用函数的导数。
包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
了解这些函数的导数，对于求解函数极值、图像变化等问题有重要意义。
2.4 高阶导数与隐函数求导高阶导数是导数的推广，而隐函数求导是应用导数的重要方法之一。
我们将学习高阶导数的定义与计算方法，以及隐函数求导的原理与应用。
第三章微分学应用3.1 微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数的性质与变化规律。
本节中，我们将学习微分中值定理的几种形式以及它们的应用。
3.2 泰勒公式与函数的近似泰勒公式是函数在某一点附近展开的一种近似表示。
我们将学习泰勒公式的定义、推导过程以及它在函数近似计算中的应用。
3.3 极值与最值问题极值与最值问题是微分学中的一个重要应用领域。
高等数学(本科少学时)总结
高等数学（本科少学时类型）总结邻域：(){},|U a x x a δδ=-<去心邻域：(){},|0U a x x a δδ=<-<数列极限的证明已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=（N -ε语言）步骤1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦步骤2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}ax n x =∞→lim0x x →时函数极限的证明已知函数()x f ，证明()Ax f x x =→0lim （δε-语言）步骤1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =步骤2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()Ax f x x =→0lim∞→x 时函数极限的证明已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim （X -ε语言）步骤1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，∴()εg X =步骤2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当Xx >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()Ax f x =∞→lim函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦。
在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大。
多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 00b a x q x p x m n m n mn >=< ()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩ ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠==特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用洛必达法则求解。
数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)
第九章 再论实数系§1 实数连续性的等价描述2211.{}({},{})1(1).1; sup 1,inf 0;(2)[2(2)]; sup ,inf ;1(3),1,(1,2,); sup ,inf 2;1(4)[1(1)]; n n n n n n n n n n k k n n n n x x x x x x nx n x x x k x k x x k n x n ++∞-∞=-===+-=+∞=-∞==+==+∞=+=+- 求数列的上下确界若无上下确界则称，是的上下确界： sup 3,inf 0;(5) sup 2,inf 1;12(6)cos ; sup 1,inf .132n n n n n n n n x x x x x n n x x x n π=====-===-+2.(),(1)sup{()}inf (); (2)inf{()}sup ().(1)sup{()},.,();.0,()..,();.x Dx Dx Dx Dx Df x D f x f x f x f x A f x i x D f x A ii x D f x A i x D f x A ii εεε∈∈∈∈∈-=--=-=-∀∈-≤∀>∃∈->-∀∈≥-∀>设在上定义求证：证明：设即有对有 对使得 于是有对有 对0,().inf (),inf (),sup{()}inf ()x Dx Dx Dx Dx D f x A A f x A f x f x f x ε∈∈∈∈∃∈<-+-==--=-使得 那么即因此有成立。
(2)inf{()},.,();.0,()..,();.0,().sup (),sup (),x Dx Dx DB f x i x D f x B ii x D f x B i x D f x B ii x D f x B B f x A f x εεεε∈∈∈=-∀∈-≥∀>∃∈-<+∀∈≤-∀>∃∈>---==-设即有对有 对使得 于是有对有 对使得 那么即因此有inf{()}sup ()x Dx Df x f x ∈∈-=- 成立。
复变函数与场论简明教程：复数与复变函数
n
n
则1的n次方根分别为1, ω， ω2， …， ωn－1。
［例3］ 求 解 因为
6
3+i 1 i
复数与复变函数
3
i
2
cos
π 6
i
sin
π 6
2e
πi 6
1i
2cosຫໍສະໝຸດ π 4isin
π 4
πi
2e 4
复数与复变函数
所以
3i 1i
πi
2e 6 i
2e 4
5πi
2e 12
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。 由于辐角的多值
性， 复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。 复数 的各种表示法可以互相转换， 以适应在讨论不同问题时的
需要。
复数与复变函数 ［例2］ 将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数
解 先求出z的模r和辐角主值arg z:
1
cos
1
π 2
1
arctg
2
sin
π 4
1 2
cos
2
cos2
π 4
π 4 1 2
1 2
π 4
1 2
于是z的三角表示式为
复数与复变函数
z
2
cos
π 4
1 2
cos
π 4
1 2
i
sin
π 4
1 2
z的指数表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
ei
π 4
1 2
复数与复变函数
3π 2(m n)π π 2kπ
数学分析简明教程答案
第二十一章曲线积分与曲面积分§1 第一型曲线积分与曲面积分1.对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。
解：第一型曲线积分的性质:1（线性性）设⎰L ds z y x f ),,(,⎰L ds z y x g ),,(存在，21,k k 是实常数，则[]ds z y x g k z y x f kL ⎰+),,(),,(21存在，且[]ds z y x g k z y x f k L⎰+),,(),,(21⎰⎰+=LLds z y x g kds z y x f k ),,(),,(21;2l ds L=⎰1,其中l 为曲线L 的长度;3(可加性)设L 由1L 与2L 衔接而成，且1L 与2L 只有一个公共点，则⎰Lds z y x f ),,(存在⇔⎰1),,(Lds z y x f 与⎰2),,(L ds z y x f 均存在，且=⎰Lds z y x f ),,(⎰1),,(L ds z y x f +⎰2),,(L ds z y x f ;4(单调性)若⎰L ds z y x f ),,(与⎰L ds z y x g ),,(均存在，且在L 上的每一点p 都有),()(p g p f ≤则⎰⎰≤L L ds p g ds p f )()(;5若⎰L ds p f )(存在，则⎰L ds p f )(亦存在，且≤⎰ds p f L)(⎰Ldsp f )(6（中值定理）设L 是光滑曲线，)(p f 在L 上连续，则存在L p ∈0，使得l p f ds p f L)()(0=⎰,l 是L 的长度;第一型曲面积分的性质: 设S 是光滑曲面，⎰⎰S ds p f )(,⎰⎰S ds p g )(均存在，则有1（线性性）设21,k k 是实常数，则[]⎰⎰+Sds p g k p f k)()(21存在, 且[]⎰⎰+Sds p g k p f k )()(21⎰⎰⎰⎰+=SSds p g k ds p f k )()(21;2s ds S=⎰1, 其中s 为S 的面积;3(可加性)若S 由1S ,2S 组成21S S S =，且1S ,2S 除边界外不相交，则⎰⎰Sds p f )(存在⇔⎰⎰1)(S ds p f 与⎰⎰2)(S ds p f 均存在，且⎰⎰Sds p f )(=⎰⎰1)(S ds p f +⎰⎰2)(S ds p f4 (单调性)若在S 上的的每一点p 均有),()(p g p f ≤则⎰⎰⎰⎰≤SSds p g ds p f )()(;5⎰⎰S ds p f )(也存在，且≤⎰⎰Sdsp f )(⎰⎰Sds p f )(;6 （中值定理）若)(p f 在S 上连续，则存在S p ∈0,使得使得s p f ds p f S⎰⎰=)()(0，其中s 为S 的面积。
数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用
壹第五章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3nx x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。
证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220nx x x f x f x x x x c c n n k x px q x 。
那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。
因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。
当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。
当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p使得函数成立。
那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212n nx x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。
当时,设方程1234111212231334111213111110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(nn x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x 有三个实根,即存在实数使得函数成立。
高等数学完整详细PPT课件
解
原式
lim a cos ax sinbx x0 bcos bx sinax
cos bx lim x0 cos ax
1.
第27页/共175页
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
解
原式
lim
x
sec2 3sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin3x lim sin6x
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
F(b) F(a) f (b) f (a) f () .
F (b) F (a) F ()
当 F ( x) x, F (b) F (a) b a, F ( x) 1,
f (b) f (a) f () F (b) F (a) F ()
f (b) f (a) f (). ba
第10页/共175页
例3 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件,
f ( x) f (0) f ()( x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
大学文科数学简明教程(2015年春季版)姚孟臣北京大学出
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
x1
x2
x
I
递增的函数，其图形是一条沿着 x 轴正向逐渐上升 的曲线
设函数 f ( x)在区间I上有定义,如果对于区间 I 上任意
两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),则称函数f ( x) 在区间I上是单调减少的 ;
x (, ) , cos x 1 ， sin x 1
cos x,sin x在(, )内都是有界的
在区间I内有界的函数， 其图像介于两条平行于 x轴的直线y=M和y= -M 之间
y M
y=f(x)
o
x
I
-M
4．函数的周期性: 设函数f ( x)的定义域为D，如果存在一个正数T，
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
x1 x2
x
I
递减的函数，其图形是一条沿着 x 轴正向逐渐下降的曲线
3．函数的有界性:
设函数f ( x)在区间I有定义,若存在正数M 0,使得对任意 的x I ,有 f ( x) M 成立,则称函数f ( x)在区间I上有界。否则 称无界。
2 函数的表示法 （1） 公式法：优点是便于进行理论分析和计算。
（2） 列表法：优点是使用方便，实际工作中常用
（3） 图像法：优点是形象直观，容易看到函数的变化过 程和趋势。
3、 本书中常用的几种函数
（1）绝对值函数 （2）符号函数 （3）取整函数[x] 表示不超过x的最大整数 （4）狄利克雷函数
3、学习方法 自我为主导，并非教师主导 重点理解定理与知识结构 利用好参考资料和图书馆 多做习题
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第一节 函数
(6)反三角函数
反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数
yarcx,sx in 1,1,yπ 2,π 2
y ar x ,x c 1 c , 1 ,y o 0 ,π s
yarcx,tx a n , ,y π,π
22
y a c r x ,x o c t , ,y 0 , π
例 如 ， y sin x 在 , 上 有 界 , 因 为 sin x 1 对 任 何
x
,
都成立；而函数
y
1 x
在
1,1
上无界，因为不存在
正数 M
，使得
1 x
M
对于 0,1上的一切 x 都成立.
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第一节 函数
二、函数的性质
2.单调性
若 对 任 意 的 x1, x2 I , 当 x1 x2 时 , 恒 有 f x1 f x2 ( 或 f x1 f x2 ),则称函数 y f x在区间 I 上单调增加(或单调减
（1）分式函数的分母不能为零； （2）偶次根式的被开方式必须大于等于零； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）三角函数与反三角函数要符合其定义； （5）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各 部分定义域的交集.
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第一节 函数
二、函数的性质
1. 有界性
2如. 果存在正数 M ,使对任意的 x I ,恒有 f x M ,则称 函数 y f x在区间 I 上有界,否则称 f x 在区间 I 上无界.
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第一节 函数
五、复合函数 设 y f u ,其中 u x ,且函数 u x 的值域包含在
函数 y f u 的定义域内,则称 y f x 为由 y f u 与 u x 复合而成的复合函数,其中 u 称为中间变量.
例如， y u 2 ,u sin x 可复合成 y sin 2 x .
一个周期.通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期.
例如, y cosx 是以 2π 为周期的周期函数; y tan x 是以 π
为周期的周期函数.
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第一节 函数
三、反函数
设函数 y f x的定义域为 D ,值域为 M .如果对于 M 中的每个 数 y ,在 D 中都有唯一确定的数 x 与之对应,且使 y f x成立,则确 定了一个以 y 为自变量, x 为因变量的函数,称为函数 y f x的反函 数,记为 x f 1y,其定义域为 M ,值域为 D .
y f x, x D ，
其中变量 x 称为自变量,变量 y 称为因变量(或函数),数集 D 称
为函数的定义域, f 称为函数的对应法则.
确定函数的两个要素：定义域和对应法则.
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第一节 函数
一、函数的概念
例
函数
y
x
1 与函数
y
x2 1 x 1
是否表示同一函数？
解 否.它们表示两个不同的函数.前者的定义域为
(5)三角函数
正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数
13
y sx , i x n , ,y 1 , 1 y cx ,x o s , ,y 1 , 1
ytax,n xkππ,k Z ,y ,
2
y cx , o x k π t,k Z , y ,
设函数 f x 的定义区间 I 上关于原点对称,若对任意的 xI ,
都有 f x f x ,则称函数 f x 是区间 I 上的偶函数;若对任意
的 xI ,都有 f x f x ,则称函数 f x 是区间 I 上的奇函数;
若函数既不是奇函数也不是偶函数,则称为非奇非偶函数.
例 如 ， y x2 与 y cosx 在 , 上 是 偶 函 数 ， y x3 与
注：并不是任意两个函数都能构成复合函数.
y sin x 在 , 上是奇函数， y x 1 cosx 在 , 上是非
奇非偶函数.
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第一节 函数
二、函数的性质
4.周期性
如果存在不为零的实数T ,使得对于任意的 xI , x T I ,
都有 f x T f x ,则称函数 y f x是周期函数, T 是 y f x的
, ，后者的定义域为 ,1 1, .因为定义域不同，所
以函数不同.
例
求函数
y
1
x2 1 的定义域.
解
由
x2
1
0
，得
x
1，所以函数
y
1 x2 1
的定义域为
,1 1,1 1,.
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第一节 函数
一、函数的概念
函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值 范围.一般考虑以下几个方面：
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第一节 函数
三、反函数
例 求函数 y 3 x 1 的反函数.
解 由 y 3 x 1 解得 x y3 1.当 y 在 ,内任取一值时， 有唯一确定的 x 值与之对应，所以它是一个函数.将 x, y 分别换为 y, x ，得
y x3 1， 即函数 y 3 x 1 的反函数为 y x3 1.
少).区间 I 称为单调增区间(或单调减区间);单调增加函数和单
调减少函数统称为单调函数;单调增区间和单调减区间统称为单 调区间.
例如， y x2 在 [0,) 内单调增加，在 (,0] 内单调减少.
又如， y x3 在 ,内单调增加.
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第一节 函数
二、函数的性质
3.奇偶性
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第一章 函数、极限与连续
第一节 函数
第二节 极限ຫໍສະໝຸດ 第三节 极限的运算第四节 函数的连续性
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第一节 函数
一、函数的概念
设 x ，y 是两个变量, D 是给定的非空数集,如果变量 x 在 D 内任取一个确定的数值时,变量 y 按照一定的法则 f 都有唯一确 定的数值与之对应,则称变量 y 是变量 x 的函数,记为
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第一节 函数
四、基本初等函数
(1)常数函数
y C ( C 为常数）
(2)幂函数
y x ( 为实数)
(3)指数函数
y ax ( a 0 ,且 a 1, a 为常数)
(4)对数函数
12
y log a x ( a 0 ,且 a 1, a 为常数)
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第一节 函数