有理数压轴题
有理数章节压轴题专项训练(解析版)(人教版)-2023-2024学年七年级数学上学期期中真题分类汇编
专题04有理数章节压轴题专项训练【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．P ，则原点是（A ．M 或NB ．N 或P 【答案】B 【分析】利用数轴特点确定a 、b 的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案．【详解】因为1MN NP PR ===，所以1MN NP PR ===，(1)直接写出：线段MN的长度是，线段MN的中点表示的数为x．(1)3-和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若x 和2关于3的“美好关联数”为4，求x 的值；(3)若0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，1x 和2x 关于2的“美好关联数”为1，2x 和3x 关于3的“美好关联数”为1，…，40x 和41x 的“美好关联数”为1，…．①01x x +的最小值为______；②12340x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______．【答案】(1)8(2)6x =或0x =；(3)①1；②840【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；（2）利用新定义计算求未知数x ；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．【详解】（1）解：|32||52|8--+-=，故答案为：8；（2）解：∵x 和2关于3的“美好关联数”为4，∴|3||23|4x -+-=，∴|3|3x -=，解得6x =或0x =；（3）解：①∵0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，∴01|1||1|1x x -+-=，∴在数轴上可以看作数0x 到1的距离与数1x 到1的距离和为1，∴只有当0101x x ==，时，01x x +有最小值1，故答案为：1；②由题意可知：-【答案】x y +的最大值为5,最小值为3-【分析】分4种情况讨论：(1)<2x -,3y <；(2)<2x -,3y ≥；(3)2x ≥-,3y ≥；(4)2x ≥-,3y <.分别求出每种情况x y +的最大值与最小值，最后再综合起来找出x y +的最大值与最小值即可.【详解】(1)当<2x -,3y <时,有243x y --=+-∴3x y +=-；(2)当<2x -,3y ≥时,有243x y --=-+∴9x y =-或=9y x +；∴293x y y +=--≥或295x y x +=+<(3)当2x ≥-,3y ≥时,有243x y +=-+，∴5x y +=；(4)当2x ≥-,3y <时,有243x y +=+-，∴1x y =-或1y x =+∴215x y y +=-<或233x y x +=+-≥综上,可得:x y +的最大值为5,最小值为3-.【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，绝对值中含有未知数时要进行分类讨论，这是解题的关键.18．阅读：如图，已知数轴上有A 、B 、C 三个点，它们表示的数分别是18-，8-，8．A 到C 的距离可以用AC 表示，计算方法：C 表示的数8，A 表示的数18-，8大于18-，用()818--．用式子表示为：()81826AC =--=．根据阅读完成下列问题：(1)填空：AB =______，BC =______．(2)若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC AB -的值是否随着时间t 的变化而改变？请说明理由．(3)现有动点P 、Q 都从A 点出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P 移动6秒时，点Q 才从A 点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P 移动的时间为t 秒()019t ≤≤，写出P 、Q 两点间的距离（用含t 的代数式表示）．【答案】(1)10，16(2)不会改变，见解析(3)t 或12t -+或12t -【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；（2）根据题意求出点A ，B ，C 向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB ，BC 的值，最后再进行计算即可；（3）分三种情况讨论，点Q 在点A 处，点P 在点Q 的右边，点Q 在点P 的右边．【详解】（1）解：()81810AB =---=，()8816BC =--=，（2）解：不变，因为：经过t 秒后，A ，B ，C 三点所对应的数分别是18t --，84t -+，89t +，所以：()8984165BC t t t =+--+=+，()8418105AB t t t =-+---=+，所以：()1651056BC AB t t -=+-+=，所以BC AB -的值不会随着时间t 的变化而改变；（3）解：经过t 秒后，P ，Q 两点所对应的数分别是18t -+，()1826t -+-，当点Q 追上点P 时，()1818260[]t t -+--+-=，解得：12t =，①当06t <≤时，点Q 在还点A 处，所以：PQ t =，②当612t <≤时，点P 在点Q 的右边，所以：()18182612PQ t t t =-+--+-=-+⎡⎤⎣⎦，③当1219t <≤时，点Q 在点P 的右边，所以：()()18261812PQ t t t =-+---+=-，综上所述，P 、Q 两点间的距离为t 或12t -+或12t -．【点睛】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．。
有理数(压轴必刷30题8种题型专项训练)—2023-2024学年七年级数学上册(人教版)(解析版)
有理数（压轴必刷30题8种题型专项训练）一．正数和负数（共1小题）1．（2022秋•江都区期中）“十一”国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化记作 上升4.4km4.4km 下降3.2km﹣3.2km 上升1.1km+1.1km 下降1.5km ﹣1.5km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？【分析】（1）根据表格列出算式，计算即可得到结果；（2）求出表格中数据绝对值之和，再乘以2即可得到结果．【解答】解：（1）4.4﹣3.2+1.1﹣1.5＝0.8（千米），答：这架飞机比起飞点高了0.8千米；（2）|4.4|+|﹣3.2|+|+1.1|+|﹣1.5|＝10.2（千米）10.2×2＝20.4升．答：一共消耗了20.4升燃油．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，弄清题意是解本题的关键．二．有理数（共1小题） 2．（2022秋•浏阳市期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求的值．【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．z①a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则．综上所述，值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求的值； （2）若a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且，求的值．【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a ，b ，c 中负数有2个，正数有1个，判断出abc 的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．【解答】解：（1）∵abc ＜0，∴a ，b ，c 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a ，b ，c 都是负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则：＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； ②a ，b ，c 有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则＝++＝﹣1+1+1＝1． （2）∵a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且，∴a ，b ，c 中负数有2个，正数有1个，∴abc ＞0，∴＝＝1． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．三．数轴（共11小题）3．（2022秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A ，B 两点对应数分别为﹣4，20．（1）若P 点为线段AB 的中点，求P 点对应的数．（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用中点坐标计算方法直接得出答案即可；（2）①画出图形，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，分别表示出AM和BM的长度，建立方程求得答案即可；②利用（2）中的AM和BM的长度，分两种情况：M在AB之间，A在BM之间，结合3MA＝2MB建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）P点表示的数是＝8；（2）①如图，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，则2t+4＝20﹣6t，z解得t＝2，M表示2×4＝8．A、B重合时，MA＝BM，此时t＝6，此时M表示24．②如图①，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，∵3MA＝2MB，∴3（2t+4）＝2（20﹣6t），∴t＝，∴点M表示×4＝；z 如图②，AM ＝4t ﹣（﹣4+2t ）＝2t+4，BM ＝2t+4t ﹣20＝6t ﹣20，∵3MA ＝2MB ，∴3（2t+4）＝2（6t ﹣20），∴t ＝，∴点M 表示×4＝． 【点评】此题考查数轴，一元一次方程的实际运用，利用图形，得出数量关系是解决问题的关键．4．（2022秋•鲤城区校级期末）如图，数轴上点A 、C 对应的数分别为a 、c ，且a 、c 满足|a +4|+（c ﹣1）2＝0．，点B 对应的数为﹣3，（1）求a 、c 的值；（2）点A ，B 沿数轴同时出发向右匀速运动，点A 速度为2个单位长度/秒，点B 速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t 秒，运动过程中，当A ，B 两点到原点O 的距离相等时，求t 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 运动到点C 处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A 运动至点C 处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C 运动，当点B 停止运动时，点A 随之停止运动，在此运动过程中，A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数是 ．（说明：直接在横线上写出答案，答案不唯一，不解、错解均不得分，少解、漏解酌情给分）【分析】（1）根据非负数的性质列式求解即可得到a 、c 的值；（2）求出AB ，再根据到原点距离相等时，分两种情况：①点A 、B 重合，②点A 在原点的右边，点B 在原点的左边，列出方程求解即可；（3）由（2）可知A ，B 两点第一次同时到达的点为﹣2，A ，B 两点第二次同时到达的点，是在A 点到达C 点返回与B 点相遇的点，A ，B 两点第三次同时到达的点，是在A 点返回到出发点后又折返向点C 运动，与B 点运动到点C 处后返回的相遇点．【解答】解：（1）∵|a+4|+（c ﹣1）2＝0，且|a+4|≥0，+（c ﹣1）2≥0，∴a+4＝0，c ﹣1＝0，∴a ＝﹣4，c ＝1；（2）由（1）可知A点表示的数为﹣4，C点表示的数为1，∵点B对应的数为﹣3，∴AB＝1，由A，B两点到原点O的距离相等，分两种情况：①点A、B重合，②点A在原点的右边，点B在原点的左边①当点A、B重合时，A、B均在原点的左边，此时A点运动的距离等于B点运动的距离+1，即：2t＝t+1，解得：t＝1；②当点A在原点的右边，点B在原点的左边时，A、B两点表示的数互为相反数，即：（2t﹣4）+（﹣3+t）＝0，解得：t＝，综上所述当t＝1或t＝时，A，B两点到原点O的距离相等；（3）由（2）可知A，B两点第一次同时到达的点，在数轴上表示的数为：﹣2；A，B两点第二次同时到达的点，A点从﹣2到达C点（C点表示1）时，用时1.5秒，此时B点运动1.5个单位长度，到达﹣2+1.5＝﹣0.5的位置，A、B之间相距1.5个单位长度，经过1.5÷（1+2）＝0.5秒，A、B相遇，此时A、B两点均在原点，即A，B两点第二次同时到达的点在数轴上表示的数为：0；A，B两点第三次同时到达的点，在第二次相遇后，B到C点用时1秒，A点到出发点（表示﹣4的点）用时2秒，此时B点有到达原点，A、B两点再一次相遇用时4÷（2+1）＝秒，此时A、B两点均在数轴上表示的数为﹣．综上所述，在此运动过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数是﹣2，0，﹣．故答案为：﹣2，0，﹣．【点评】此题考查了数轴的有关知识，解题的关键是：借助数轴分析A，B两点同时到达的点．5．（2022秋•新城区期中）一辆货车从仓库0出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为A，B，C，D，E，最后回到仓库0．货车行驶的记录（单位：千米）如下：+1，+3，﹣6，﹣1，﹣2，+5．请问：（1）请以仓库0为原点，向东为正方向，选择适当的单位长度，画出数轴，并标出A，B，C，D，E的位置；（2）试求出该货车共行驶了多少千米？（3）如果货车运送的水果以100千克为标准重量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往A，B，C，D，E五个地点的水果重量可记为：+50，﹣15，+25，﹣10，﹣15，则该货车运送的水果总重量是多少千克？【分析】（1）根据数轴的三要素画出数轴，并根据题意在数轴上表示出A、B、C、D、E的位置；（2）求出行驶记录的数据的绝对值的和即可；（3）根据有理数的加法进行计算即可．【解答】解：（1如图所示：取1个单位长度表示1千米，；（2）1+3+|﹣6|+|﹣1|+|﹣2|+5＝18，答：该货车共行驶了18千米；（3）100×5+50﹣15+25﹣10﹣15＝535（千克），答：货车运送的水果总重量是535千克．z【点评】本题考查了正数和负数和数轴，掌握数轴的画法，掌握正负数所表示的意义是解决问题的关键．6．（2022秋•法库县期中）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0；（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；当t＝3时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出a，b即可；（2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论．②根据（I）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵|a+2|+|b﹣4|＝0；∴a＝﹣2，b＝4，∴点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4，故答案为：﹣2，4；（2）①当t＝1时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离＝3，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离＝4﹣2＝2，故答案为：3，2；当t＝3时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离＝5，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球2秒钟向左运动2个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2个单位，∴乙小球到原点的距离＝2．②当0＜t≤2时，得t+2＝4﹣2t，解得t＝；当t＞2时，得t+2＝2t﹣4，解得t＝6．故当t＝秒或t＝6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．故答案为：5，2．【点评】此题主要考查了数轴，点的运动特点，解本题的关键是抓住运动特点确定出结论．7．（2022秋•宜兴市期中）已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且（a﹣1）2+|b+2|＝0．（1）求a，b的值；（2）点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；（3）小蜗牛甲以1个单位长度/s的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3s后位于点A 的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/s的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？【分析】（1）根据几个非负数的和为0的性质得到a﹣1＝0，b+2＝0，求出a、b的值；（2）分类讨论：点C在点B的左边时或点C在点A的右边，利用数轴上两点间的距离表示方法得到关于c 的方程，解方程求出c的值即可；（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，根据题意得到t+2t＝1﹣（﹣2）﹣（﹣6）+（6﹣1×3），解方程得t＝4，点D表示的有理数是1﹣2×4，小蜗牛甲共用的时间为3+4．【解答】解：（1）根据题意得a﹣1＝0，b+2＝0，解得a＝1，b＝﹣2．（2）①当点C在点B的左边时，1﹣c+（﹣2﹣c）＝11，解得c＝﹣6；②当点C在点A的右边时，c﹣1+c﹣（﹣2）＝11，解得c＝5；（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，根据题意得：t+2t＝1﹣（﹣2）﹣（﹣6）+（6﹣1×3），∴t＝4，∴1﹣2×4＝﹣7，3+4＝7．答：点D表示的有理数是﹣7，小蜗牛甲共用去7秒．【点评】本题考查了数轴的三要素：正方向、原点和单位长度．也考查了几个非负数的和为0的性质以及数轴上两点间的距离．8．（2022秋•天河区校级期中）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．z（1）求a 、b 、c 的值；（2）若点P 到A 点的距离是点P 到B 点的距离的2倍，求点P 对应的数；（3）当点P 运动到B 点时，点Q 从点A 出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A ．在点Q 开始运动后第几秒时，P 、Q 两点之间的距离为4？请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c ﹣10＝0，解可得a 、b 、c 的值；（2）分两种情况讨论可求点P 的对应的数；（3）分类讨论：当P 点在Q 点的右侧，且Q 点还没追上P 点时；当P 在Q 点左侧时，且Q 点追上P 点后；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点左侧时；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c ﹣10）2＝0∴a+24＝0，b+10＝0，c ﹣10＝0解得a ＝﹣24，b ＝﹣10，c ＝10（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，①点P 在AB 之间，AP ＝14×＝， ﹣24+＝﹣，点P 的对应的数是﹣； ②点P 在AB 的延长线上，AP ＝14×2＝28，﹣24+28＝4，点P 的对应的数是4；（3）设在点Q 开始运动后第a 秒时，P 、Q 两点之间的距离为4，当P 点在Q 点的右侧，且Q 点还没追上P 点时，3a+4＝14+a ，解得a ＝5；当P 在Q 点左侧时，且Q 点追上P 点后，3a ﹣4＝14+a ，解得a ＝9；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点左侧时，14+a+4+3a ﹣34＝34，a ＝12.5；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点右侧时，14+a ﹣4+3a ﹣34＝34，解得a ＝14.5，综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．9．（2022秋•临平区月考）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数；（3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可．z【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40；（2）A，B之间的距离为120，它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒），即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位），即从数﹣20向右运动48个单位到数28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程＝速度×时间．10．（2022秋•南安市月考）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{ M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而z得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知，分2种情况讨论：①P是{A，B}的奇点；②P是{B，A}的奇点．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故数3所表示的点是{ M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点．故答案为：3；﹣1；（2）∵A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30，∴AB＝30﹣（﹣50）＝80．分2种情况：①P是{A，B}的奇点，PA＝3PB，∴PB＝20，P点表示的数为10；②P是{B，A}的奇点，PB＝3PA，∴PB＝60，P点表示的数为﹣30；故P点运动到数轴上的10或﹣30的位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A 的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．11．（2022秋•魏都区校级月考）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数 表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少．【分析】（1）1与﹣1重合，可以发现1与﹣1互为相反数，因此﹣3表示的点与3表示的点重合；（2）①﹣1表示的点与3表示的点重合，则折痕点为1，因此5表示的点与数﹣3表示的点重合；z②由①知折痕点为1，且A、B两点之间距离为11，则A表示1﹣5.5＝﹣4.5，B点表示1+5.5＝6.5．【解答】解：（1）∵1与﹣1重合，∴折痕点为原点，∴﹣3表示的点与3表示的点重合．故答案为：3．（2）①∵由表示﹣1的点与表示3的点重合，∴可确定折痕点是表示1的点，∴5表示的点与数﹣3表示的点重合．故答案为：﹣3．②由题意可得，A、B两点距离折痕点的距离为11÷2＝5.5，∵折痕点是表示1的点，∴A、B两点表示的数分别是﹣4.5，6.5．【点评】题目考查了数轴上点的对称，通过点的对称，发现对称点的规律，题目设计新颖，难易程度适中，适合课后训练．12．（2022秋•槐荫区校级月考）如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB 的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）．（1）当x＝ 秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是 （用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．【分析】（1）直接得出AB的长，进而利用P点运动速度得出答案；（2）根据题意得出P点运动的距离减去4即可得出答案；（3）利用当点P运动到点C左侧2个单位长度时，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，分别得出答案．【解答】解：（1）∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，∴AB＝10，∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，z∴运动时间为10÷2＝5（秒），故答案为：5；（2）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动过程中点P表示的数是：2x﹣4；故答案为：2x﹣4；（3）点C表示的数为：[6+（﹣4）]÷2＝1，当点P运动到点C左侧2个单位长度时，2x﹣4＝1﹣2解得：x＝1.5，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，2x﹣4＝1+2解得：x＝3.5综上所述，x＝1.5或3.5．【点评】此题主要考查了数轴，正确分类讨论得出PC的长是解题关键．13．（2022秋•和平区校级期中）数轴上点A，C对应的数分别是a，c，且a，c满足：|a+6|+（c﹣1）2＝0，点B对应的数是﹣2．（1）填空：a＝ ，c＝ ；在数轴上描出点A，B，C；（2）若点M在数轴上对应的数为m，且满足|m﹣1|+|m+6|＝15，则m＝ ；（3）若A，B两点同时沿数轴正方向匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，在运动过程中，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍时，点A对应的数是多少？【分析】（1）根据非负数的性质得出a、c的值，再在数轴上描点即可得；（2）分m＜﹣6、﹣6≤m≤1、m＞1三种情况去绝对值符号，再解所得方程可得；（3）设运动时间为t，则点A表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为﹣2+t，根据点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍列出方程|﹣6+2t﹣1|＝3|﹣2+t﹣1|，解之可得．【解答】解：（1）∵|a+6|+（c﹣1）2＝0，∴a+6＝0且c﹣1＝0，z解得：a＝﹣6、c＝1，如图所示：，故答案为：﹣6、1；（2）若m＜﹣6，则1﹣m﹣m﹣6＝15，解得：m＝﹣10；若﹣6≤m≤1时，1﹣m+m+6＝5≠15，此情况不存在；若m＞1，则m﹣1+m+6＝15，解得：m＝5；综上，m＝﹣10或5，故答案为：﹣10或5；（3）设t秒时，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，则此时点A表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为﹣2+t，则|﹣6+2t﹣1|＝3|﹣2+t﹣1|，整理，得：|2t﹣7|＝3|t﹣3|，∴2t﹣7＝3（t﹣3）或2t﹣7＝﹣3（t﹣3），解得：t＝2或t＝，∴点A表示的数为﹣2或，答：点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，点A对应的数为﹣2或．【点评】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．四．绝对值（共6小题）14．（2022秋•包河区期末）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是 ．【分析】数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．画数轴易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x 到﹣3，﹣1，1，2这四个点的距离之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3时，y＝11，x＝﹣1时，y＝7，x＝1时，y＝7，x＝2时，y＝9，可以观察知：当﹣1≤x≤1时，由于四点分列在x两边，恒有y＝7，当﹣3≤x＜﹣1时，7＜y≤11，当x＜﹣3时，y＞11，当1≤x＜2时，7≤y＜9，当x≥2时，y≥9，综合以上：y≥7 所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7对一切实数x恒成立．从而a的取值范围为a≤7．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．（2022秋•深圳校级期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是．【分析】依题意a≤b≤c≤d 原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，所以d＝9，a＝1，即可求解．【解答】解：依题意a≤b≤c≤d，则原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，则d＝9，a＝1 四位数要取最小值且可以重复，故答案为1119．【点评】此题考查了绝对值的性质，同时要根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理．16．（2022秋•定远县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 ．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7；（2）在数轴上，找到﹣1008和1005的中点坐标即可求解；（3）利用数轴解决：把|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；（4）把丨x﹣3丨+丨x﹣6丨理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，求出表示3和6的两点之间的距离即可．【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7；（2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5；（3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）有，最小值为﹣3﹣（﹣6）＝3．故答案为：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．【点评】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．17．（2022秋•南城县校级月考）先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为；（3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；z（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．【点评】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．18．（2022秋•隆昌市校级月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|＝ ．（2）若|x﹣2|＝5，则x＝（3）同理|x﹣4|+|x+2|＝6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|＝6，这样的整数是 ．【分析】（1）根据4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，可得|4﹣（﹣2）|＝6．（2）根据|x﹣2|＝5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得x＝﹣3或7．（3）因为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，所以使得|x﹣4|+|x+2|＝6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），据此求出这样的整数有哪些即可．【解答】解：（1）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，∴|4﹣（﹣2）|＝6．（2）|x﹣2|＝5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，∵﹣3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，∴若|x﹣2|＝5，则x＝﹣3或7．（3）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，∴使得|x﹣4|+|x+2|＝6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．故答案为：6；﹣3或7；﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．【点评】（1）此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．（2）解答此题的关键是要明确：|x﹣a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离．19．（2022秋•花垣县月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：。
部编数学七年级上册专题1.8有理数(压轴题综合训练卷)(人教版)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题1.8 有理数（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得 分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022•黔东南州）下列说法中，正确的是（ ）A ．2与﹣2互为倒数B ．2与12互为相反数C ．0的相反数是0D ．2的绝对值是﹣2【思路点拨】根据倒数的定义判断A 选项；根据相反数的定义判断B 选项；根据0的相反数是0判断C 选项；根据正数的绝对值等于它本身判断D 选项．【解题过程】解：A 选项，2与﹣2互为相反数，故该选项不符合题意；B 选项，2与12互为倒数，故该选项不符合题意；C 选项，0的相反数是0，故该选项符合题意；D 选项，2的绝对值是2，故该选项不符合题意；故选：C ．2．（2021秋•滕州市月考）下列说法中正确的有（ ）个．①0是整数，也是正数：②﹣123是负分数；③3.2是正小数，不是正分数；④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数；⑥非负数就是正数和零．A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】分别根据有理数的定义与分类以及正数和负数的定义逐一判断即可．【解题过程】解：①0是整数，但0既不是正数，也不是负数，故原说法错误：②﹣123是负分数，说法正确；③3.2是正小数，也是正分数，故原说法错误；④自然数一定是正数，说法错误，0是自然数，但0既不是正数，也不是负数；⑤负分数一定是负有理数，说法正确；⑥非负数就是正数和零，说法正确．所以说法中正确的有3个．故选：D ．3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）A ．253B ．255C ．257D ．259【思路点拨】根据题意，n 个小时后细胞存活的个数是2n +1，求出n ＝8时的值即可．【解题过程】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1；3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，9＝23+1；……n 个小时后细胞存活的个数是2n +1，当n ＝8时，存活个数是28+1＝257．故选：C ．4．（2021秋•新华区校级期中）若a ，b 互为相反数，且ab ≠0，c 、d 互为倒数，|m |＝2，则（a +b ）2021+（ba）3﹣3cd +2m 的值（ ）A ．0B ．0或﹣8C ．﹣2成6D ．2或﹣6【思路点拨】根据相反数、倒数、绝对值得出a +b ＝0，ba=−1，cd ＝1，m ＝±2，代入求出即可．【解题过程】解：∵a 、b 互为相反数，且ab ≠0，c 、d 互为倒数，|m |＝2，∴a+b＝0，ba=−1，cd＝1，m＝±2，当m＝2时，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×2＝0﹣1﹣3+4＝0，当m＝﹣2时，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3﹣3×1+2×（﹣2）＝0﹣1﹣3﹣4＝﹣8．故（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m的值是0或﹣8．故选：B．5．（2020秋•江阴市校级月考）电子跳蚤落在数轴上的某点K0，第一步从K0向左跳1个单位到K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3跳4个单位到K4，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数为（ ）A．﹣26B．﹣20C．﹣30D．30【思路点拨】设电子跳蚤落在数轴上的某点K0＝a，规定向左为负，向右为正，根据题意列出方程，再进一步根据有理数的加法法则进行计算．【解题过程】解：设电子跳蚤落在数轴上的某点K0＝a，规定向左为负，向右为正．根据题意，得a﹣1+2﹣3+4﹣…+100＝30，a+（2﹣1）+…+（100﹣99）＝30，a+50＝30，a＝﹣20．故选：B．6．（2022•钟山县模拟）计算：1+12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100结果是（ ）A．1−12100B．1−12101C．2−12100D．2−12101【思路点拨】根据2×（12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100）＝1+12+122+123+124+⋯⋯+1299，可得12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100=1+12+122+123+124+⋯⋯+1299−（12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100）＝1−12100计算即可求解．【解题过程】解：1+12+122+123+124+⋯⋯+1299+12100＝1+1−1 2100＝2−1 2100．故选：C．7．（2022春•岳麓区校级月考）在一次数学活动课上，某数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到，根据以上信息，下列判断正确的是（ ）A．四个正整数中最小的是1B．四个正整数中最大的是8C．四个正整数中有两个是2D．四个正整数中一定有3【思路点拨】分别列出两数相加为5，6，7，8的所有可能性求解．【解题过程】解：相加得5的两个整数可能为：1，4或2，3．相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3．相加得7的两个整数可能为：1，6或2，5或3，4．相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4．∵每次所得两个整数和最小是5，∴最小两个数字为2，3，∵每次所得两个整数和最大是8，∴最大数字为4或5，当最大数字为4的时，四个整数分别为2，3，4，4．当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5．∴四个正整数中一定有3．故选：D．8．（2022•平邑县一模）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为（ ）km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息00000A．35B．36C．37D．38【思路点拨】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．【解题过程】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，∴当“高强度”的徒步距离＞前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，∵15＞6+6，12＞6+5，∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，又∵第一天可选择“高强度”，∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12+0+15+5+4＝36（km），方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12+6+0+12+4＝34（km），综上，徒步的最远距离为36km．故选：B．9．（2020秋•江夏区校级月考）观察下列等式：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，…，若12+22+32+42+52+…+n2的个位数字是1（0＜n≤2020，且n为整数），则n的最大值是（ ）A．2001B．2006C．2011D．2019【思路点拨】通过计算发现每10个数，末位数字循环一次，再结合选项进行判断即可求解．【解题过程】解：∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169，…，∴每10个数，末位数字循环一次，∴1+4+9+6+5+6+9+1+0＝45，∵2001÷10＝200……1，∴200×45+1＝9001；∵2006÷10＝200……6，∴200×45+1+4+9+6+5+6＝9031；∵2011÷10＝201……1，∴201×45+1＝9046；∵2019÷10＝201……9，∴202×45＝9090；∵2006＞2001，∴n的最大值为2006，故选：B．10．（2021秋•江岸区校级月考）下列说法中，正确的个数是（ ）①若|1a |=1a，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；⑤a+b+c＝0，abc＜0，则b c|a|+a c|b|+a b|c|的值为±1．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可．【解题过程】解：若|1a|=1a，则a＞0，故①错误，不合题意；若|a|＞|b|，则a＞b＞0或a＞0＞b＞﹣a或﹣a＞b＞0＞a或0＞a＞b，当a＞b＞0时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，当a＞0＞b＞﹣a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，当﹣a＞b＞0＞a时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，当0＞a＞b时，则有（a+b）（a﹣b）＞0是正数，由上可得，（a+b）（a﹣b）＞0是正数，故②正确，符合题意；A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2或﹣10或14，故③错误，不合题意；若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x+x﹣1+2011＝2019，故④错误，不合题意；∵a+b+c＝0，abc＜0，∴a、b、c中一定是一负两正，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，∴b c|a|+a c|b|+a b|c|=−aa+−b−b+−c−c＝﹣1+1+1＝1，故⑤错误，不合题意；故选：A．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2021秋•东城区期末）现把2021个连续整数1，2，3…2021的每个数的前面任意填上“+”号或者“﹣”号，然后将它们相加，则所得的结果绝对值的最小值为 1 ．【思路点拨】根据有理数和绝对值的意义，得出绝对值和最小时数的符号规律，进而求出答案．【解题过程】解：根据绝对值的意义和题意可得，∵2021÷4＝505……1，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+13……+2018﹣2019﹣2020+2021＝1+（2﹣3﹣4+5）+（6﹣7﹣8+9）+（10﹣11﹣12+13）+……+（2018﹣2019﹣2020+2021）＝1+0+0+……+0＝1，故答案为：1．12．（2021秋•公安县期末）小聪在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为10，且A，B两点经上述折叠后重合，则B点表示的数为 6.5或﹣3.5 ．【思路点拨】折叠后数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，点﹣2和点5的中点是1.5，数轴上A，B两点经上述折叠后重合，且A，B两点之间的距离为10，则A点与B点到1.5的距离都是5，进而求出B点表示的数即可．【解题过程】解：折叠后数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，折叠点为﹣2和5的中点：1.5．∵数轴上A，B两点经上述折叠后重合，且A，B两点之间的距离为10，∴A点与B点到1.5的距离都是5，当B点在中点右侧时，对应的数为1.5+5＝6.5，当B点在中点左侧时，对应的数是1.5﹣5＝﹣3.5．故答案为：6.5或﹣3.5．13．（2021秋•大田县期中）三个整数a，b，c满足a＜b＜c，且a+b+c＝0．若|a|＜10，则|a|+|b|+|c|的最大值为 34 ．【思路点拨】根据a+b+c＝0，a＜b＜c，可得a＜0，c＞0，a+b＜0，则|a|＞|b|，再由|a|＜10，a，b，c都是整数，得到|a|≤9，则|b|≤8，根据|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，即可得到|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，由此求解即可．【解题过程】解：∵a+b+c＝0，a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，a+b＜0，∴|a|＞|b|，∵|a|＜10，a，b，c都是整数，∴|a|≤9，∴|b|≤8，∵|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，∴|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，∴|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17＝34，故答案为：34．14．（2021春•杨浦区校级期末）已知a，b，c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝ 0或2 ．【思路点拨】因为a、b、c都为整数，而且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，所以|a﹣b|与|c﹣a|只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出．【解题过程】解：∵a、b、c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，∴有|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1①若|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0，则a﹣b＝±1，a＝c，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|a﹣b|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝1+1+0＝2，②|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1，则a＝b，c﹣a＝±1，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|c﹣a|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝0+1﹣1＝0，故答案为：0或2．15．（2020秋•鄞州区期末）已知整数a，b，c，d的绝对值均小于5，且满足1000a+100b2+10c3+d4＝2021，则abcd的值为 ±4 ．【思路点拨】先根据条件确认个位上的1一定为d4产生，得d＝±1或±3，①当d＝±1时，d4＝1，②当d＝±3时，d4＝81，分别代入计算可得答案．【解题过程】解：∵1000a+100b2+10c3+d4＝2021，整数a，b，c，d的绝对值均小于5，∴个位上的1一定为d4产生，（±3）4＝81，（±1）4＝1，∴d＝±1或±3，①当d＝±1时，d4＝1，∴1000a+100b2+10c3＝2020，∴100a+10b2+c3＝202，∴个位上的2是由c3产生的，∴c3＝2或﹣8（﹣4～4中没有立方的个位数是2的），∴c3＝﹣8，∴c＝﹣2，∴100a+10b2﹣8＝202，100a+10b2＝210，10a+b2＝21，∴个位上的1是由b2产生的，（±1）2＝1，∴当b＝±1时，10a＝20，a＝2，∴abcd=2×1×(−2)×1=−42×(−1)×(−2)×1=42×1×(−2)×(−1)=42×(−1)×(−2)×(−1)=−4，∴abcd＝±4；②当d＝±3时，d4＝81，∴1000a+100b2+10c3＝2021﹣81＝1940，∴100a+10b2+c3＝194，同理43＝64，∴c＝4，∴100a+10b2+64＝194，100a+10b2＝130，10a+b2＝13，不存在整数满足条件，故d≠±3；综上，abcd ＝±4．故答案为：±4． 评卷人得 分三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（2021秋•随县期末）计算：①﹣2×3﹣|﹣4|；②﹣32+（−12）×（﹣8）+（﹣6）2；③（134−78−712）×（﹣117）；④8÷（﹣6）﹣[﹣3+116×（−27）]．【思路点拨】①先算乘法和去绝对值，然后计算减法即可；②先算乘方，然后算乘法、最后算加法即可；③根据乘法分配律计算即可；④先算括号内的式子，然后算括号外的除法、最后算减法．【解题过程】解：①﹣2×3﹣|﹣4|＝﹣6﹣4＝﹣10；②﹣32+（−12）×（﹣8）+（﹣6）2＝﹣9+4+36＝31；③（134−78−712）×（﹣117）=74×（−87）−78×（−87）−712×（−87）＝﹣2+1+23=−13；④8÷（﹣6）﹣[﹣3+116×（−27）]＝8÷（﹣6）﹣（﹣3−76×27）．＝8÷（﹣6）﹣（﹣3−13）＝8÷（﹣6）+103=−43+103 ＝2．17．（2022春•南岸区校级月考）我国约有9600000平方千米的土地，平均1平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧150000吨煤所产生的能量．（1）一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所产生的能量？（2）若1吨煤大约可以发出8000度电，那么（1）中的煤大约发出多少度电？（结果用科学记数法表示）【思路点拨】（1）根据乘法的意义列出算式（9.6×106）×（1.5×105）计算，再用科学记数法表示即可；（2）用（1）的结果乘以8×103，求出结果后再用科学记数法表示即可．【解题过程】解：（1）（9.6×106）×（1.5×105）＝（9.6×1.5）×（106×105）＝1.44×1012（吨）．答：一年内我国土地从太阳得到的能量相当于燃烧1.44×1012吨煤．（2）（1.44×1012）×（8×103）＝（1.44×8）×（1012×103）＝1.152×1016（度）．答：（1）中的煤大约发出1.152×1016度电．18．（2021秋•邹城市期中）已知下列各有理数：a ，b ，c 的大小关系为a ＜﹣1＜b ＜0＜1＜c ．（1）画出数轴，在数轴上标出这些数表示的点；（2）在横线上填上合适的符号（＞或＜或＝）：①a +c ＜ b +c ；②a ﹣c ＜ a ﹣b ；③ab ＞ ac ；④a b ＞ a c ；（3）化简：|a +b |﹣|b ﹣c |﹣|1﹣c |．【思路点拨】（1）准确把握a ，b ，c ，三点在数轴上的位置即可；（2）利用特殊值法，例如a ＝﹣2，b =−12，c ＝2，计算出各式的值，再进行比较；（3）利用绝对值的意义，先化简各式，再进行计算．【解题过程】解：（1）在数轴上表示各数如图所示：（2）当a ＝﹣2，b =−12，c ＝2时，①∵a +c ＝0，b +c =32，∴a +c ＜b +c ，②∵a ﹣c ＝﹣4，a ﹣b =−32∴a ﹣c ＜a ﹣b ，③∵ab ＝1，ac ＝﹣4，∴ab ＞ac ，④∵a b =4，a c =−1，∴a b ＞a c ，（3）|a +b |﹣|b ﹣c |﹣|1﹣c |＝﹣（a +b ）﹣（c ﹣b ）﹣（c ﹣1）＝﹣a ﹣b ﹣c +b ﹣c +1＝﹣a ﹣2c +1．19．（2022•义安区模拟）观察以下算式：①1×11×5=18×(1+31×5)；②2×35×9=18×(1+35×9)；③3×59×13=18×(1+39×13)．（1）请写出第④个算式： 4×713×17=18×(1+313×17) ．（2）请用n （n 是正整数）表示出第n 个算式，并计算1×11×5+2×35×9+3×59×13+⋯+9×1733×37+10×1937×41．【思路点拨】（1）观察已知等式即可写出第④个式子；（2）结合（1）即可用n （n 是正整数）表示出第n 个算式，再根据发现的规律解决问题即可．【解题过程】解：（1）∵①1×11×5=18×(1+31×5)；②2×35×9=18×(1+35×9)；③3×59×13=18×(1+39×13)．∴第④个算式：4×713×17=18×(1+313×17)．故答案为：4×713×17=18×(1+313×17)；（2）第n 个算式：n(2n−1)(4n−3)(4n 1)=18×(1+3(4n−3)(4n 1))；1×11×5+2×35×9+3×59×13+⋯+9×1733×37+10×1937×41=18×（1+31×5）+18×（1+35×9）+•••+18×（1+333×37）+18×（1+337×41）=18×（10+31×5+35×9+•••+333×37+337×41）=18×10+18×34×（1−15+15−19+•••+133−137+137−141）=54+18×34×4041 =5541．20．（2021秋•汝阳县期末）某批发商于上周日买进某产品10000kg ，每千克2.4元，进入批发市场后共占5个摊位，每个摊位最多能容纳2000kg 该品种的产品，每个摊位的市场管理价为每天20元．如表为本周内该产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况．（涨记为正，跌记为负，上周日当天的售价刚好为每千克2.4元） 星期一二三四五与前一天相比价格的涨跌+0.3﹣0.1+0.25+0.2﹣0.5情况/元当天的交易量/kg25002000300015001000（1）星期四该产品价格为每千克多少元？（2）本周内该产品的最高价格为每千克多少元？最低价格为每千克多少元？（3）该批发商在销售过程中采用逐步减少摊位个数（每天减少一个）的方法来降低成本，增加收益，请你帮他算一算，这样他在本周的买卖中共赚了多少钱？【思路点拨】（1）根据价格的涨跌情况即可作出判断；（2）计算出每天的价格即可作出判断；（3）根据售价﹣进价﹣摊位费用＝收益，即可进行计算．【解题过程】解：（1）2.4+0.3﹣0.1+0.25+0.2＝3.05（元）；答：星期四该产品价格为每千克3.05元；（2）星期一的价格是：2.4+0.3＝2.7（元）；星期二的价格是：2.7﹣0.1＝2.6（元）；星期三的价格是：2.6+0.25＝2.85（元）；星期四是：2.85+0.2＝3.05（元）；星期五是：3.05﹣0.5＝2.55（元）；因而本周内该农产品的最高价格为每斤3.05元，最低价格为每斤2.55元；（3）（2500×2.7﹣5×20）+（2000×2.6﹣4×20）+（3000×2.85﹣3×20）+（1500×3.05﹣2×20）+（1000×2.55﹣20）﹣10000×2.4＝6650+5120+8490+4535+2530﹣24000＝27325﹣24000＝3325（元）．答：他在本周的买卖中共赚了3325元钱．21．（2021秋•嘉鱼县期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题：（1）几何意义是数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是 |2﹣（﹣3）| ；式子|a+5|的几何意义是 数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离 ；（2）根据绝对值的几何意义，当|m﹣2|＝3时，m＝ ﹣1或5 ；（3）探究：|m+1|+|m﹣9|的最小值为 10 ，此时m满足的条件是 ﹣1≤m≤9 ；（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为 17 ，此时m满足的条件是 m＝9 ．【思路点拨】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）根据||a﹣b|的几何意义求解可得；（3）根据m＜﹣1，﹣1≤m≤9，m＞9三种情况确定最小值和此时m的取值；（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|＝（|m+1|+|m﹣16|）+|m﹣9|，根据问题（3）可知，要使|m+1|+|m﹣16|的值最小，m的值只要取﹣1到16之间（包括﹣1、16）的任意一个数，要使|m﹣9|的值最小，m应取9，显然当m＝9时能同时满足要求，从而得结论．【解题过程】解：（1）数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|；式子|a+5|的几何意义是数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；故答案为：|2﹣（﹣3）|，数轴上表示数a的点与数﹣5的点之间的距离；（2）等式|m﹣2|＝3的几何意义是表示m到数2的距离为3的点，则m的值为﹣1或5；故答案为：﹣1或5；（3）式子|m+1|+|m﹣9|表示数m到﹣1和9的距离之和，当m＜﹣1时，原式＝﹣m﹣1﹣m+9＝﹣2m+8＞10，当﹣1≤m≤9时，原式＝m+1+9﹣m＝10，当m＞9时，原式＝m+1+m﹣9＝2m﹣8＞10，故式子|m+1|+|m﹣9|的最小值为10，此时m满足的条件是﹣1≤m≤9；（4）由分析可知，|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为17，此时m满足的条件是m＝9．22．（2021秋•江北区校级期中）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“广益点”．（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；（2）若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“广益点”时，求点P的运动时间；（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“广益点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．【思路点拨】（1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离即可得到结论；（2）根据题意可得PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，再根据“广益点”的定义即可求解；（3）分五种情况进行讨论：当点A是关于P→B的“广益点”时；当点A是关于B→P的“广益点”时；当点P 是关于A→B的“广益点”时；当点P是关于B→A的“广益点”时；当点B是关于P→A的“广益点”时，分别代入计算即可．【解题过程】解：（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，∴AB＝4﹣（﹣8）＝12，∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离，∴点P是AB的中点，∴BP＝AP=12AB＝6，∴点P表示的数为﹣2；（2）设点P运动时间为t秒，根据题意可知，PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，∴t+8＝3|4﹣t|，解得：t＝1或10，∴点P运动的时间为1秒或10秒；（3）设点P表示的数为n，根据题意可得，PA＝n+8或﹣n﹣8，PB＝4﹣n，AB＝12，分五种情况进行讨论：①当点A是关于P→B的“广益点”时，得PA＝3AB，即﹣n﹣8＝36，解得n＝﹣44；②当点A是关于B→P的“广益点”时，得AB＝3AP，即3（﹣n﹣8）＝12，解得n＝﹣12；或3（n+8）＝12，解得n＝﹣4；③当点P是关于A→B的“广益点”时，得PA＝3PB，即﹣n﹣8＝3（4﹣n），解得n＝10；（不符合题意，舍去）或n+8＝3（4﹣n），解得n＝1（不符合题意，舍去）；④当点P是关于B→A的“广益点”时，得PB＝3AB，即4﹣n＝3（n+8），解得n＝﹣5；或4﹣n＝3（﹣n﹣8），解得n＝﹣14；⑤当点B是关于P→A的“广益点”时，得BP＝3AB，即4﹣n＝36，解得n＝﹣32，综上所述，所有符合条件的点P表示的数是：﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44．23．（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组： 第一列 第二列 第一排 1 2 第二排4 3然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为 3或11 ．（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．【思路点拨】（1）按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；（2）利用分类讨论的方法，分0＜a＜6和a＞8两种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可；（3）利用分类讨论的方法，分c＜﹣5，﹣5＜c＜﹣2，﹣2＜c＜1，1＜d＜2四种情况解答，按要求分组，利用分组方式的“M值”的意义计算即可．【解题过程】解：（1）将“1，2，3，4”进行如下分组：∴以上分组方式的“M值”为：M＝|1﹣4|+|3﹣2|＝4；（2）①当0＜a＜6时，将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为6，∴|a﹣8|+|7﹣6|＝6．∴a＝3；②当a＜8时，将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为6，∴|a﹣6|+|7﹣8|＝6．∴a＝11；综上，a＝3或11．故答案为：3或11；（3）∵c+d＝2，且c＜d，∴c＝2﹣d，c＜1，d＞1．①当c＜﹣5时，则d＞7，将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为18，∴|2﹣d﹣d|+|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|＝18．解得：d=72（不合题意，舍去）．②当﹣5＜c＜﹣2时，则4＜d＜7，将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为18，∴|﹣5﹣d|+|2﹣d﹣4|+|﹣2﹣2|＝18．∴d=72（不合题意，舍去）．③当﹣2＜c＜1时，则1＜d＜4，将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求进行如下分组：∵以上分组方式的“M值”为18，∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣d|+|2﹣d﹣2|＝18．∴d=72（符合题意）．④当1＜d＜2时，∵以上分组方式的“M值”为18，∴|﹣5﹣4|+|﹣2﹣2|+|2﹣d﹣d|＝18．∴d=72（不合题意，舍去）．综上分析可得：d=7 2．。
最新有理数专题练习(word版
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0；（1）点A表示的数为________；点B表示的数为________；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t=1时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；当t=3时，甲小球到原点的距离=________；乙小球到原点的距离=________；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．________【答案】（1）-2；4（2）3；2；5；2；能.理由：当0＜t≤2时，t+2=4-2t解之：当t＞2时，t+2=2t-4解之：t=6∴当或6时，甲乙两小球到原点的距离相等.【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足|a+2|+|b﹣4|=0，∴a+2=0且b-4=0解之：a=-2且b=4，∵在数轴上A点表示数a，B点表示数b，∴点A表示的数是-2，点B表示的数是4.故答案为：-2，4.（2）当0＜t≤2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（4-2t）个单位长度；当t＞2时，甲小球距离原点为（t+2）个单位长度；乙小球距离原点为（2t-4）个单位长度；①当t=1时，甲小球到原点的距离为：1+2=3；乙小球到原点的距离为4-2×1=2；当t=3时，甲小球到原点的距离为：3+2=5；乙小球到原点的距离为2×3-4=2；故答案为：3，2；5，2【分析】（1）利用几个非负数之和为0，则每一个数都是0，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，就可得到点A，B所表示的数。
有理数压轴题
有理数压轴题六、小虫从某点A 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+12，-3，+10，-8，-6，+12，-10．（每小题3分，计9分） （1）小虫最后是否回到出发点A ？若不能回到A 点，它应在A 点的什么方向？距离A 点有多远？（2）小虫离开A 点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 4、若已知a ＞0，b ＜0，|b|＞|a|，试讨论a ，－a ，b ，－b 四个数的大小关系，并用“＞”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解）（7分）1、某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。
（单位：km ）（1）求收工时距A 地多远？（2）若每km 耗油0.3升，问共耗油多少升？ （3）在第 次纪录时距A 地最远。
（12分）中央电视台每一期的“开心辞典”栏目，都有一个“二十四点”的趣味题，将四个数（四个数都用且只能用一次）进行“＋”、“－”、“×”、“÷”运算，可加括号使其结果等于24。
例如：对1、2、3、4可作运算()244321=⨯++，也可写成()243214=++⨯，但视作相同方法的运算。
①现有四个有理数3，4，－6，10请你用两种不同的算法计算出24，请分别写出三个算式。
②若给你四个有理数3，－5，7，－13，你还能凑出24吗？请写出一个算式。
7、已知∣x+3∣+∣y-5∣=0 求代数式-yx-xy 的值 27．某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。
（单位：km ）（1）求收工时距A地多远？（2）在第次纪录时距A地最远。
（3）若每km 耗油0.3升，问共耗油多少升？(10分)26、（7分）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记整数为正数，向左爬的路程为负数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10。
有理数压轴题
有理数压轴题六、小虫从某点A 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+12，-3，+10，-8，-6，+12，-10．（每小题3分，计9分）（1）小虫最后是否回到出发点A ？若不能回到A 点，它应在A 点的什么方向？距离A 点有多远？（2）小虫离开A 点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？4、若已知a ＞0，b ＜0，|b|＞|a|，试讨论a ，－a ，b ，－b 四个数的大小关系，并用“＞”把它们连接起来．（提示：画数轴帮助理解）（7分）1、某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。
（单位：km ）（1）求收工时距A 地多远？（2）若每km 耗油0.3升，问共耗油多少升？ （3）在第 次纪录时距A 地最远。
（12分）中央电视台每一期的“开心辞典”栏目，都有一个“二十四点”的趣味题，将四个数（四个数都用且只能用一次）进行“＋”、“－”、“×”、“÷”运算，可加括号使其结果等于24。
例如：对1、2、3、4可作运算()244321=⨯++，也可写成()243214=++⨯，但视作相同方法的运算。
①现有四个有理数3，4，－6，10请你用两种不同的算法计算出24，请分别写出三个算式。
②若给你四个有理数3，－5，7，－13，你还能凑出24吗？请写出一个算式。
7、已知∣x+3∣+∣y-5∣=0 求代数式-yx-xy 的值27．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下。
（单位：km）（1）求收工时距A地多远？（2）在第次纪录时距A地最远。
（3）若每km 耗油0.3升，问共耗油多少升？(10分)26、（7分）小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记整数为正数，向左爬的路程为负数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10。
有理数的运算压轴训练(绝对值、数轴的压轴)(原卷版)—2024-2025学年七年级数学上册单元人教版
有理数的运算压轴训练目录压轴题型一 根据点在数轴的位置判断式子的正负...............................................................................................1压轴题型二 根据点在数轴的位置化简绝对值. (3)压轴题型三 利用分类讨论数学思想化简绝对值 (6)压轴题型四 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值 (9)压轴题型一 根据点在数轴的位置判断式子的正负例题：（2024·江苏徐州·二模）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b >B ．a b ->-C ． a b >D ．a b->-巩固训练1.（23-24六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知a 、b 、c 三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A ．0a b +<B ．0b a ->C ．0b c +<D ．0a c +<2.（2023·陕西渭南·一模）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a b (填“>”，“<”或“=”)3.（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)先把“a -”表示在数轴上，再用“>”或“<”填空．b c -___________0，a b +___________0，a c -___________0．(2)用“<”将a 、b、c 、a -、b -、c -连接起来：___________．01 压轴总结02 压轴题型压轴题型二 根据点在数轴的位置化简绝对值例题：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：(1)比较a﹣b与a+b的大小；(2)化简|b﹣a|+|a+b|．巩固训练（1）判断正负，用“>”、“<”或压轴题型三 利用分类讨论数学思想化简绝对值2．（2024六年级下·上海·专题练习）若0a >，||a a= ；若a<0，||a a = ；①若0||||a b a b +=，则||ab ab =- ；②若<0abc ，则||||||a b c a b c ++= ．压轴题型四 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值例6.（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是 ；(2)数轴上若点A 表示的数是x ，点B 表示的数是2-，则点A 和B 之间的距离是 ，若2AB =，那么x 为 ；(3)利用数轴，求21x x ++-的最小值 ；(4)当x 是 时，代数式215x x ++-=；巩固训练1.（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与2-，1-与5-．并回答下列各题：(1)数轴上表示4和2-两点间的距离是______；表示1-和5-两点间的距离是______．(2)若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为3-．①数轴上A 、B 两点间的距离可以表示为______（用含x 的代数式表示）；②如果数轴上A 、B 两点间的距离为1=AB ，求x 的值．(3)直接写出代数式23x x ++-的最小值为______．2.（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ．则AB a b =-．所以式子3x -的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：(1)若12x -=，则x = ；(2)若51x x -=+，则x = ；(3)式子32x x -++的最小值为 ；(4)若327x x -++=，则x = ；(5)式子213x x x ++-+-的最小值为 ，此时x = ．3.（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）：数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；①数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|--= ；②则|4|x +的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离．（2）实际应用（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料 才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A ，B ，C ，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料 才能使P 到A ，B ，C 三点的距离之和最小；③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A ，B ，C ，D ，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料 才能使P 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和最小．（3）结论应用（填空）；①代数式|3||4|x x ++-的最小值是 ；②代数式|6||3||2|x x x ++++-的最小值是 ；③代数式|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是 ．4．（23-24六年级上·山东淄博·期中）阅读下列材料：经过有理数运算的学习，我们知道53-可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5上3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，()52--可以表示5与2-之差的绝对值，也可以表示5与2-两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．探究：(1)41-表示数轴上4与______所对应的两点之间的距离；(2)5x -表示数轴上有理数x 所对应的点到______所对应的点之间的距离；2x +表示数轴上有理数x 所对应的点到______所对应的点之间的距离；(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x ，使得257x x ++-=，则这样的整数x 有______个；(4)利用绝对值的几何意义，可以知道32x x ++-的最小值是______．。
第2章 有理数(压轴必刷30题10种题型专项训练)(原卷版)-2024-2025学年七年级数学上册同
第2章有理数（压轴必刷30题10种题型专项训练）一．正数和负数（共3小题）1．（2022秋•锡山区校级月考）某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，﹣3，+12，﹣7，﹣10，﹣4，﹣8，+1，0，+10；（1）这10名同学中的最高分是多少？最低分是多少？（2）10名同学中，低于80分的占的百分比是多少？（3）10名同学的平均成绩是多少？2．（2022秋•无锡期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：星期一二三四五六日增减（单位：个）+5﹣2﹣5+15﹣10﹣6﹣9（1）写出该厂星期三生产工艺品的数量；（2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？（3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；（4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．3．（2022秋•江都区期中）“十一”国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：高度变化记作上升4.4km 4.4km下降3.2km﹣3.2km上升1.1km+1.1km下降1.5km﹣1.5km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？二．数轴（共10小题）4．（2021秋•邗江区期中）我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n则点M，N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为．5．（2021秋•广陵区期中）阅读材料点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．也就是说，|4﹣（﹣3）|表示4与﹣3之差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣3两数在数轴上所对的两点之间的距离．比如|x+3|可以写成|x﹣（﹣3）|，它的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣3的点之间的距离再举个例子：等式|x﹣1|＝1的几何意义可表示为：在数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，这样的数x可以是0或2．解决问题（1）|4﹣（﹣3）|＝．（2）若|x+3|＝7，则x＝；若|x+3|＝|x﹣1|，则x＝．（3）|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对的点到﹣3和1所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4．（4）若x表示一个有理数，则|x+5|+|x+3|+|x﹣1|有最小值吗？若有，请直接写出最小值．若没有，说出理由．6．（2021秋•宝应县期末）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：，B：；（2）在数轴上与点A的距离为2的点所表示的数是；（3）若经过折叠，A点与﹣3表示的点重合，则B点与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为11（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）中折叠后重合，M、N两点表示的数分别是：M：，N：．7．（2021秋•普宁市期末）已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）运动前线段AB的长为；运动1秒后线段AB的长为；（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为和；（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．8．（2020秋•扬州期中）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0；（1）点A表示的数为；点B表示的数为；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝；乙小球到原点的距离＝；当t＝3时，甲小球到原点的距离＝；乙小球到原点的距离＝；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．9．（2022秋•宜兴市期中）已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且（a﹣1）2+|b+2|＝0．（1）求a，b的值；（2）点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；（3）小蜗牛甲以1个单位长度/s的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3s后位于点A 的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/s的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？10．（2022秋•江岸区校级月考）在数轴上，表示数x的点与表示数1的点的距离等于1，其几何意义可表示为：|x﹣1|＝1，这样的数x可以是0或2．（1）等式|x﹣2|＝2的几何意义可仿上解释为：在数轴上，其中x的值可以是．（2）等式|x+3|＝2的几何意义可仿上解释为：在数轴上，其中x的值可以是．（3）在数轴上，表示数x的点与表示数5的点的距离等于6，其几何意义可以表示为，其中x的值可以是．11．（2021秋•相城区月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．12．（2020秋•滨海县月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|．问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数﹣5、﹣1、3，那么A到B的距离是，A到C 的距离是（直接填最后结果）．问题（2）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．问题（3）：利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是；②设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是．问题（4）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值．13．（2022秋•宜兴市月考）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数表示的点重合；（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？三．绝对值（共4小题）14．（2022秋•崇川区期中）对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3．（1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为；（2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值；（3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…．①x0+x1的最小值为；②x1+x2+x3+……+x40的值为．15．（2022秋•江阴市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．16．（2022秋•秦淮区校级月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．17．（2021秋•金坛区月考）先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x 为；（3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．四．有理数的加法（共2小题）18．（2021秋•祁东县校级期中）将15、12、9、6、3、0、﹣3、﹣6、﹣9填入下列方格内，使大方格的横、竖、斜对角的三个数字之和都相等．19．（2021秋•灌南县校级月考）阅读第（1）小题计算方法，再类比计算第（2）小题．（1）﹣5+（﹣9）+17+（﹣3）解：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1上面这种方法叫做拆项法．（2）计算：（﹣2015）+（﹣2014）+（﹣1）+4030．五．有理数的减法（共1小题）20．（2022秋•昆山市校级月考）（1）已知|a|＝4，|b|＝6，求a+b的值；（2）在（1）的条件下，若|a﹣b|＝|a|+|b|，求a﹣b的值；（3）在（1）的条件下，若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．六．有理数的加减混合运算（共1小题）21．（2021秋•宜兴市月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7；根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：（1）|7﹣21|＝；（2）||＝；（3）||＝；（4）||＝；（5）用合理的方法计算：||+||﹣||．七．有理数的乘法（共1小题）22．（2021秋•秦淮区校级月考）阅读下列材料：|x|＝，即当x＜0时，＝﹣1．用这个结论可以解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值；（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．八．有理数的乘方（共1小题）23．（2021秋•惠山区校级月考）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（）A．46B．45C．44D．43九．非负数的性质：偶次方（共1小题）24．（2022秋•鼓楼区校级月考）在数轴上有三个点A、B、C，它们表示的有理数分别为a、b、c．已知a是最大的负整数，且|b+4|+（c﹣2）2＝0．（1）求A、B、C三点表示的有理数分别是多少？（2）填空：①如果数轴上点D到A，C两点的距离相等，则点D表示的数为；②如果数轴上点E到点A的距离为2，则点E表示的数为；（3）在数轴上是否存在一点F，使点F到点A的距离是点F到点B的距离的2倍？若存在，请直接写出点F表示的数；若不存在，请说明理由．一十．有理数的混合运算（共6小题）25．（2021秋•泰兴市期中）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是．26．（2021秋•鼓楼区校级月考）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．0*0＝02+02＝0（1）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，．（2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝．（3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．27．（2021秋•邳州市期中）定义一种新运算：a⊕b＝a﹣b+ab．（1）求（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）求5⊕[1⊕（﹣2）]的值．28．（2021秋•淮安区期中）观察下列各式，回答问题1﹣＝×，1﹣＝×，1﹣＝×…．按上述规律填空：（1）1﹣＝×．（2）计算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝．29．（2022秋•东海县月考）数学老师布置了一道思考题“计算：﹣÷（﹣），小明仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．小明的解法：原式的倒数为（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣12）＝﹣4+10＝6，所以﹣÷（﹣）＝（1）请你判断小明的解答是否正确？答；并说明理由；．（2）请你运用小明的解法解答问题．计算：（﹣）÷（﹣﹣）30．（2022秋•射阳县校级月考）2006年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区﹣﹣张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：高度变化记作上升4.5km+4.5km下降3.2km﹣3.2km上升1.1km+1.1km下降1.4km﹣1.4km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？。
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有理数压轴题
1、重庆高速公路养护小组，乘车沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+17，-9,+7，-15,-3，+11，-6，-8，+5，+16，
（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？
（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车耗油量为0.5L/KM,则这次养护共耗油多少升？
2、观察下面三行数：-2,4，-8,16，-32,64，-128……①
1,-3,5,-7,9,-11,13……②
-3,7,-13,23,-41,75,-141……③
(1)用含N的代数式表示第①行第N个数
（2）用含N的代数式表示第②行第N个数
（3）第③行数与第①、②行的数有什么关系？判断-529是否是第③行的数，如果是，是第几个数？
3、动点A从原点出发向数轴负方向匀速运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向匀速运动，3秒后，两点相距15个单位长度，已知动点A,B速度比是1:4（速度单位：单位长度/秒）
①求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A,B两点从原点出发运动3秒时的位置？
②若A,B两点从①中的位置同时向数轴负方向匀速运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？
③若A，B两点从①中的位置同时向数轴负方向匀速运动，几秒时，两点相距3个单位长度？
4、某中学附近的文具用品店最近新进了一批涂卡笔，每支8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，文具店售货员记录了第一周涂卡笔的售价情况和售出的情况：（1）这一周文具用品店的涂卡笔在星期售出的单机最高，最高单价是元；在星期售出的单价最低，最低单价是元；
(2)这一周文具用品店出售此种涂卡笔的收益如何？（求盈利或亏损的钱数）
（3）文具用品店为了促销这种涂卡笔，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过3支涂卡笔，每支12元，超过3支的部分，每支打九折；
方式二：每支售价12元，购买一支涂卡笔就赠送成本价为0.8元的矿泉水一瓶。
①有名同学想一次性购买6支涂卡笔，文具店希望该同学通过哪些方式购买会使文具店盈利较多？请通过计算说明理由。
②有名同学想一次性购买x(x>3)支涂卡笔，文具店希望该同学通过哪种方式购买才会使文具店盈利较
多？请通过计算说明理由。