高一数学16必修四复习试题学案

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第一章三角函数1.1 任意角和弧度制►1.1.1 任意角课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、角的概念1．角的概念(1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边；终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边．2．角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照逆时针旋转而成的角负角按照顺时针旋转而成的角零角当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限．三、终边相同的角设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．( )(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．( )(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．( )提示：(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)下列各组角中，终边不相同的是( )A．60°与－300° B．230°与950°C．1050°与－300° D．－1000°与80°答案 C(2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．答案195°＋(－3)×360°课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1终边相同的角之间有什么关系？提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍．2如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)；终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)；第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．题型一正确理解角的概念例1 下列结论：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)．[解析] ①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确；③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．[答案] ①角的概念的理解正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【跟踪训练1】(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了( )A．60° B．－60°C．30° D．－30°(2)如图∠α＝__________，∠β＝__________. 答案 (1)B (2)－150° 210°解析 (1)钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°12＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.题型二终边相同的角的表示及象限角例2 已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°<θ≤0°. [解] (1)∵－1910°÷360°＝－6余250°， ∴－1910°＝－6×360°＋250°.相应β＝250°，从而α＝－6×360°＋250°是第三象限的角． (2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到适合－720°<θ≤0°的角： 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. ∴θ＝－110°或θ＝－470°.[变式探究] 与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．答案 240° －120°解析与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.怎样表示终边相同的角及象限角(1)已知终边所处的位置，写角的集合时，可先写出0°～360°范围内的角，然后再加k ·360°(k ∈Z )组成集合即可．(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．二是根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．【跟踪训练2】在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)640°；(3)－950°12′.解(1)－120°＝－360°＋240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°角，它是第三象限的角．(2)640°＝360°＋280°，∴在0°到360°范围内与640°终边相同的角是280°角，它是第四象限的角．(3)－950°12′＝－3×360°＋129°48′，∴在0°到360°范围内与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限的角．题型三区域角的表示例3 写出终边落在阴影部分的角的集合．[解] 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[变式探究] 将例3改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．解(1){α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．(2){α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角．(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．【跟踪训练3】写出终边在如下图所示阴影部分内的角α的取值范围．解(1)与45°角终边相同的角的集合为{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，与30°－180°＝－150°角终边相同的角的集合为{α|α＝－150°＋k·360°，k∈Z}，因此终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)方法同(1)，可得终边在阴影部分内的角α的取值范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．[规律小结]1.角的概念的理解(1)弄清角的始边与终边．(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．(3)注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．2.研究象限角时应注意的问题(1)前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：终边所在的位置角的集合x轴非负半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴非正半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}y轴非负半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴非正半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}3.表示与α终边相同的角时应注意的问题(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k ·360°与α之间是“＋”号，如k ·360°－30°应看成k ·360°＋(－30°)(k ∈Z )；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． [走出误区]易错点⊳分角所在象限及范围的确定的误区 [典例] 若α是第三象限的角，则α3是( )A.第一象限的角B.第三象限的角C.第四象限的角D.第一象限或第三象限或第四象限的角[错解档案] 因为α是第三象限的角，所以取α＝210°，得到α3＝70°，是第一象限的角，故选A.[误区警示] 第三象限的角α有无数个，用α＝210°得到α3＝70°而选择答案A ，犯了以偏概全的错误．[规范解答] 因为α是第三象限的角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，则k ·120°＋60°<α3<k ·120°＋90°(k ∈Z )，取k ＝0，得到α3可在第一象限；取k ＝1，得到α3可在第三象限；取k ＝2，得到α3可在第四象限．故选D.矫正训练若α为第二象限的角，则α2为第几象限角？解若α为第二象限角，则有随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．[2016·吉林实验高一期中]下列叙述正确的是( ) A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．钝角是第二象限角 C ．第二象限角比第一象限角大 D ．不相等的角终边一定不同答案 B解析三角形的内角是第一象限角、第二象限角或在y 轴非负半轴上的角，故A 错误；钝角是第二象限角，B 正确；象限角不能比较大小，故C 错误；不相等的角终边也可能相同，如40°和400°，故D 错误．2．[2016·山东枣庄模拟]若α是第四象限角，则180°＋α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 B解析因为α与180°＋α的终边关于点(0,0)对称，所以角180°＋α的终边在第二象限．3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．答案－5 －60解析将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.4．若α为锐角，则－α＋k ·360°(k ∈Z )在第________象限．答案四解析由于0°<α<90°，所以－90°<－α<0°，所以－α是第四象限角，从而－α＋k ·360°(k ∈Z )在第四象限．5．[2016·大连高一检测]写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α≤720°的元素α写出来：(1)60°；(2)－21°.解第一步：利用终边相同的角的集合公式写出： (1)S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }； (2)S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }．第二步：在第一步的基础上，利用约束条件对其中的k 值分别采用赋值法求出元素α； (1)－300°，60°，420°；(2)－21°，339°，699°.课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN 时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知α＝－130°，则α的终边落在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析∵－130°＝－360°＋230°，而230°是第三象限角，∴α的终边落在第三象限．2．已知角α的终边落在直线y＝x上，则角α的集合S＝( )A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}答案 D解析本题考查终边在特殊直线上的角以及分类讨论的数学思想．由于角α的终边落在直线y＝x上，故角α在0°～360°内所对应的两个角分别为45°及225°，从而角α的集合S＝{α|α＝k·360°＋45°或α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，故选D.3．若α是钝角，则θ＝k·180°＋α，k∈Z是( )A．第二象限角B．第三象限角C．第二象限角或第三象限角D．第二象限角或第四象限角答案 D解析当k为偶数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第二象限角，当k为奇数时，θ＝k·180°＋α，k∈Z是第四象限角．4．已知角α、β的终边互为反向延长线，则α－β的终边在( )A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上答案 C解析由题意知β＋180°应与α终边相同，即α＝β＋180°＋k·360°(k∈Z)，∴α－β＝180°＋k·360°.故选C.5．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角答案 C解析由条件知k·360°<2α<k·360°＋180°，(k∈Z)，∴k·180°<α<k·180°＋90°(k∈Z)，当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．二、填空题(每小题5分，共15分)6．[2016·广东佛山一中期中]终边在x轴上的角β的集合是________．答案{β|β＝180°·k，k∈Z}解析本题考查终边相同的角的概念．终边在x 轴正半轴上的角的集合为{β|β＝360°·k ，k ∈Z }，终边在x 轴负半轴上的角的集合为{β|β＝180°·(2k ＋1)，k ∈Z }，所以终边在x 轴上的角β的集合为{β|β＝180°·k ，k ∈Z }．7．时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为________．答案－480°解析时针走过了1小时20分钟，则分针转了43圈，又因顺时针旋转的角为负角，∴分针转过的角为－43×360°＝－480°.8．若集合M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }，则M ________N ．(填“”“”)答案解析 M ＝{x |x ＝k ·90°＋45°，k ∈Z } ＝{x |x ＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ·45°＋90°，k ∈Z }＝{x |x ＝45°·(k ＋2)，k ∈Z }，∵k ∈Z ，∴k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，∴M N . 三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，试写出终边落在阴影区域内的角的集合S (包括边界)，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解由题图可知，终边落在阴影区域内的角的集合S ＝{β|120°＋k ·360°≤β≤250°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－950°12′＝－3×360°＋129°48′，且120°<129°48′<250°，∴－950°12′是该集合中的角． 10．已知α为第二象限角，问2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k2·360°<α2<90°＋k2·360°. 当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． ►1.1.2 弧度制课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI[基础自学]一、弧度的概念设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制扇形的弧长 l ＝πr ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪α180l ＝r |α| 扇形的面积S ＝πr 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪α360S ＝12r 2|α|＝12rl1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度量角的单位．( )(2)终边落在x 轴非正半轴上的角可表示为α＝k ·360°＋π(k ∈Z )．( ) (3)1 rad 的角和1°的角大小一样．( )(4)用圆心角所对的弧长与半径的比来度量圆心角是合理的．( ) 提示：(1)× (2)× (3)× (4)√2．做一做(1)半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A.4π3 B ．π C.2π3D.π3答案 C解析由扇形面积公式S ＝12r 2·|α|可得S ＝12×4×π3＝2π3，故选C. (2)角度与弧度互化： ①7π6＝________；②－75°＝________. 答案 ①210° ②－5π12课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1角度制与弧度制如何换算？提示：360°＝2π rad,180°＝π rad,1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57.30°.2扇形的弧长与面积的计算公式是什么？提示：l ＝|α|·r ，S ＝12l ·r ＝12|α|·r 2.题型一弧度制的概念例1 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关[解析] 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 是假命题．选项A 、B 、C 均为真命题．[答案] D“度”与“弧度”的区别和联系(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360. (3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的值．【跟踪训练1】下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案 D解析根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角．对照各选项，可知D 为真命题．故选D.题型二弧度和角度的换算例2 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.[解] (1)20°＝20×π180＝π9.(2)－15°＝－15×π180＝－π12.(3)712π＝712π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.(4)－115π＝－115π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.角度制与弧度制互化的注意事项(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【跟踪训练2】 (1)－450°化成弧度是________． (2)75π化成角度是________．答案 (1)－52π (2)252°解析 (1)－450°＝－450×π180＝－52π.(2)75π＝75π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝252°.题型三用弧度表示角例3 (1)把下列角化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式：①16π3；②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)． [解] (1)①16π3＝4π＋4π3.∵0≤4π3<2π，∴16π3＝4π＋4π3.②－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4.∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4.(2)330°＝360°－30°＝2π－π6，而60°＝π3，它所表示的区域位于－π6与π3之间且跨越x 轴的正半轴．所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋π3，k ∈Z.弧度制表示角的注意事项(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．可以先写(－π，π)或(0,2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .(2)终边在同一直线上的角可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两直线上的角可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z.【跟踪训练3】 (1)把－1480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1480°＝－1480π180＝－74π9＝－10π＋16π9，又0≤16π9<2π，∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9.令k ＝－2, 则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.题型四扇形的弧长与面积例4 扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . [解] 设这个扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)． (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝8，12lR ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝3，l ＝2.或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，l ＝6.由|α|＝l R 可得：α＝23或α＝6.(2)扇形的面积 S ＝12lR ＝12(8－2R )R ＝－(R －2)2＋4(0<R <4)，所以，当且仅当R ＝2时，S 取得最大值4. 这时，l ＝8－2R ＝4，可求出：α＝lR＝2. 又∵0<2<π，∴|AB |＝2R ·sin α2＝4sin1.[变式探究] 将例4中扇形周长改为6 cm ，面积改为2 cm 2，求圆心角的大小．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α(α>0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝612lR ＝2解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2l ＝2，由|α|＝lR得α＝4或α＝1.扇形周长及面积的最值(1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S 转化为关于r 的二次函数，但要注意r 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l <2πr .(2)当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值．其求法是把扇形周长L 转化为关于r 的函数，但要注意r 的取值范围．【跟踪训练4】已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1) AB ︵的长； (2)弓形AOB 的面积．解 (1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示．又S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点)＝12×2×6cos30°×6×sin30°＝9 3. ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.[规律小结]1.弧度制与角度制的区别与联系 (1)区别①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； ②定义不同． (2)联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值． 2.角度制与弧度制换算时应注意的问题(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可； (2)如无特别要求，不必把π写成小数；(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度； (4)同一个式子中角度和弧度不能混用． [走出误区]易错点⊳角度制与弧度制的应用误区[典例] 将－1485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． [错解档案] 因为－1485°＝－4×360°－45°＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°，所以－1485°化为2k π＋α形式应为－10π＋315°.[误区警示] 只考虑了将－1485°写成了“2k π”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一个错误．[规范解答] 由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示为－10π＋74π.矫正训练将17π4化成k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式为________．答案 2·360°＋45° 解析 17π4＝765°＝720°＋45°＝2×360°＋45°，故17π4＝2·360°＋45°.随堂消化吸收 SUITANGXIAOHUAXISHOU1．1920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3答案 D解析 ∵1°＝π180弧度，∴1920°＝1920×π180＝323π.2．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 ∵－3≈－171.9°，∴α＝－3表示的角的终边在第三象限．3．[2016·南昌市高一月考]已知扇形的半径为R ，面积为R 2，那么这个扇形中心角的弧度数是________．答案 2解析由l ＝|α|·R 及S ＝12lR ，得S ＝12|α|R 2.∴|α|＝2S R 2＝2R2R2＝2.4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．答案 ⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z解析若角α的终边落在第二象限，则 2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .5．将下列各角转化成2k π＋α(k ∈Z )，且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－1725°；(2)64π3.解 (1)∵－1725°＝－5×360°＋75°＝－10π＋5π12，∴－1725°角与角5π12的终边相同．又∵5π12是第一象限角，∴－1725°是第一象限角． (2)∵64π3＝20π＋4π3，∴角64π3与角4π3的终边相同．又∵4π3是第三象限角，∴64π3是第三象限角． ,课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN时间：25分钟满分：60分一、选择题(每小题5分，共25分) 1．－300°化为弧度是( ) A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6答案 B解析 ∵1°＝π180 rad ，∴－300°＝－5π3 rad.2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°答案 C 解析 ∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，∴8π5＝8π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝288°.3．[2016·清华附中月考]若角α，β的终边关于y 轴对称，则α，β的关系一定是( ) A ．α＋β＝π B ．α－β＝π2C ．α－β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )D ．α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z ) 答案 D解析本题考查关于y 轴对称的两个角之间的关系．角α，β的终边关于y 轴对称，则画图可知α＋β＝(2k ＋1)π(k ∈Z )，D 选项正确；也可以用特殊值方法，例如取α＝π4，β＝3π4或α＝－π4，β＝－3π4，结合选项可知D 正确．故选D. 4．[2016·兰州一中高一期末]已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 B解析由S ＝12lR 及|α|＝l R ，得S ＝12l 2|α|＝12·422＝4.5．[2016·浙江永嘉高一月考]集合⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，} k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案 C解析当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.二、填空题(每小题5分，共15分) 6．角度制与弧度制间的互化：(1)1095°＝__________rad ；(2)－94π＝__________.答案 (1)7312π (2)－405°解析 (1)1095°＝1095×π180＝73π12.(2)－94π＝－94π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－405°. 7．若圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角所对的弧长为________，扇形面积为________．(用π表示)答案π2 cm 32π cm 2解析 15°＝15×π180＝π12，l ＝|α|·r ＝π12×6＝π2cm ， S ＝12l ·r ＝12×π2×6＝32π cm 2.8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．答案 13解析本题考查弧长公式的应用．设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr ，设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.三、解答题(每小题10分，共20分) 9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 解 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝149π＋(－3)×2π.∵角α与14π9终边相同，∴角α是第四象限角．(2)∵与角α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为α，半径为R cm ，面积为S cm 2，弧长为l cm ，则有l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R ，∴S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ＝－(R －5)2＋25.故当半径R ＝5时，扇形的面积有最大值25 cm 2.此时扇形的圆心角为α＝l R ＝20－2×55＝2.[基础自学]一、三角函数的定义 1．单位圆中三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③yx 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x(x ≠0)． 2．任意角的三角函数的定义直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P 的坐标(x ，y )，它到原点的距离是r (r >0)，r ＝x 2＋y 2，那么任意角的三角函数的定义：tanαyxtanα＝yx⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠kπ＋π2，k∈Z记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三、诱导公式(一)名称符号语言文字语言诱导公式(一)sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)cos(2kπ＋α)＝cosα(k∈Z)tan(2kπ＋α)＝tanα(k∈Z)终边相同的角的同名三角函数值相等1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sinα，cosα，tanα中可以将“α”与“sin”“cos”“tan”分开．( )(2)同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．( )(3)sin253π＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝sinπ3＝32.( )提示：(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)若sinα<0，且tanα<0，则角α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 D解析若sinα<0，则α为第三或第四象限角．若tanα<0，则α为第二或第四象限角，故α为第四象限角，选D.(2)计算：sin180°＋2cos270°的值为________．答案0解析sin180°＋2cos270°＝0＋2×0＝0.(3)tan390°的值为________．答案33解析tan390°＝tan(360°＋30°)＝tan30°＝33.课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？提示：由三角函数的定义知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(r >0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P (x ，y )的坐标确定的，可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2诱导公式一的作用是什么？提示：公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．题型一求任意角的三角函数值例1 [2015·黑龙江五校联考]已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ 的值．[解] 由已知有24m ＝m3＋m2，得m ＝0，或m ＝± 5.(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153. [变式探究] 将例1中的P 点坐标改为(3，m )再去求解．解 ∵24m ＝mm 2＋3，∴m ＝0或m ＝±5，当m ＝0时，cos θ＝1，tan θ＝0；当m ＝5时，cos θ＝64，tan θ＝153；当m ＝－5时，cos θ＝64，tan θ＝－153.利用三角函数的定义求值的策略(1)求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离．(2)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．(3)若已知角，则需确定出角的终边与单位圆的交点坐标．【跟踪训练1】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则2cos 2θ－1＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则 cos θ＝t5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. ∴2cos 2θ－1＝25－1＝－35.题型二三角函数值的符号例2 (1)α是第四象限角，判断sin α·tan α的符号； (2)若sin α|sin α|＋|cos α|cos α＝0，试判断α所在象限．[解] (1)∵α是第四象限角，∴sin α<0，tan α<0，∴sin α·tan α>0. (2)由条件知，sin α与cos α异号． ∴α是第二象限角或第四象限角．[变式探究] 将例2(1)中α改为第三象限角，则sin α·tan α的符号如何？解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，tan α>0，∴sin α·tan α<0.熟记各象限函数值的符号准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号并牢记记忆口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”是解决这类问题的关键．【跟踪训练2】 (1)若sin α＝－2cos α，判断sin α·tan α的符号；(2)判断符号：sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.解 (1)∵sin α＝－2cos α，∴sin α与cos α异号． ∴α是第二或第四象限角．当α是第二象限角时，tan α<0，sin α>0，∴sin α·tan α<0. 当α是第四象限角时，tan α<0，sin α<0，∴sin α·tan α>0.(2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0.∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4>0. ∴sin3·cos4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π<0.题型三诱导公式(一)的应用例3 计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π. [解] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.利用诱导公式化简(1)将已知角化为k ·360°＋α(k 为整数，0°≤α<360°)或2k π＋β(k 为整数，0≤β<2π)的形式．(2)将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．(3)借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的．【跟踪训练3】求值： (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin810°＋ta n765°＋tan1125°＋cos360°. 解 (1)原式＝cos(8π＋π3)＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°＝1＋1＋1＋1＝4.[规律小结]1.对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应．三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P 的横坐标x 等于0，则tan α无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2.三角函数值在各象限内的符号(1)三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的． (2)对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．3.诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k ·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．[走出误区]易错点⊳求三角函数定义域的误区[典例] 求满足y ＝sin x ·tan x 的x 的取值范围． [错解档案] 由题意知，只需要sin x ·tan x ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0tan x ≥0①或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0tan x ≤0②对①可知x 为第一象限角或终边在x 轴或y 轴上的角．对②可知x 为第四象限角或终边在x 轴或y 轴上的角．因此x的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ 2k π－π2≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋π2或x ＝⎭⎬⎫k π2，k ∈Z .[误区警示] 求y ＝sin x ·tan x 的x 取值范围时没有考虑tan x 的条件，致使思考问题不周全而出错．[规范解答] 所求x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ·tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≤0，x ≠k π＋π2k ∈Z .根据x 所在象限情况可判断x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π－π2<x <2k π或2k π<x <2k π＋π2或x ＝k π，k ∈Z .矫正训练求y ＝cos xsin x的x 的取值范围．解 ∵cos x ≥0∴x 为第一、四象限角或x 轴非负半轴上的角或y 轴上又∵sin x ≠0 ∴x 不能在x 轴上∴x 为第一或第四象限角或y 轴上．x 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －π2＋2k π≤x <2k π或2k π<x ≤2k π＋⎭⎬⎫π2，k ∈Z。

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案

北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】(1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ??2sin x －1>0，1－2c os x ≥0，即sin x >12，cos x ≤12，解得π6＋2k π<5<="" p="">6π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】函数f (x )有意义，则－sin x ≥0，tan x －1≥0，即sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <="" p="" π＋π2(k="" ∈z="">∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ? ????－α＋π2cos ? ??3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】直接应用诱导公式求解．【规范解答】(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ? ????－25π3＝－cos ? ????－25π3＝－cos ? ?8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ? ????3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】因为sin ? ????3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】(1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】(1)由图像知，A ＝－12－? ???－322＝12，k ＝－12＋? ???－322＝－1，T ＝2×? ????2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ? ??2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ? ????x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ? ?2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ? ????2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ? ????2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ? ?2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ? ?2x －π6的图像．【解】因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ? ??π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ? ?2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin2?x －π6＋π6＝3sin ? ????2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解．(2)先求x ∈0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ? ??2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )．∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )．∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是x ?x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间π8，34π上的最大值和最小值．【解】(1)∵f (x )＝2sin ? ?2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ? ????2x －π4在区间π8，3π8上是增函数，在区间3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．又f ? ????π8＝0，f ? ??3π8＝ 2.F ? ????34π＝2sin ? ??3π2－π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝?θsin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝?θcos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线．如图：由单位圆三角函数线知：M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域．【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<－1<="" p="" x="">2.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为x2π3＋2k π<="" ＝sin="">由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1，∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ? 4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】由y ＝sin ? ????4x －π3＝sin 4? ?x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．? ?k π－14，k π＋34，k ∈ZB.? ?2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．? ????k －14，k ＋34，k ∈ZD.? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】由图像知，周期T ＝2? ????54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ? ?πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<="">4，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ? ????π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6D ．10【解析】根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在? ??π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在? ????π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ? ????11x －π4，f (x )在? ????π18，3π44上单调递增，在? ??3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ? ????9x ＋π4，满足f (x )在? ????π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为? ??5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ? ???2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ? ?2x －π6，则g (x )＝5sin ? ?2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点? ????5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式。

人教A版高中数学必修4复习学案1

学案1 1.1 , 1.2 复习学案基础知识梳理1.1.1任意角1.正角、负角、零角：按照____________方向旋转所成的角叫正角；按照____________方向旋转所成的角叫负角；如果一条射线_________________,我们称它形成了一个零角。

2.象限角与轴线角：我们使角的顶点与_________重合，角的始边与_________________________重合，则角的终边在第几象限，就叫第几象限角；如果角的终边在_________________上，就认为这个叫不属于任何象限（通常称为轴线角）。

3.终边相同的角的表示法：与角α的终边相同的角的集合为：角度制：____________________________弧度制：____________________________1.1.2弧度制3.“1度的角”：把______分成_________等份，每一份的弧所对的________角，就是1度。

“1度弧的角”：把长度等于_________的弧所对的________________叫做1弧度。

4.如果半径为R 的圆的圆心角α所对的弧长为l ,那么，角α的弧度数的计算公式是：______5.扇形的弧长公式是：__________ 面积公式是_______________1.2.1任意角的三角函数6. 单位圆定义：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P_(_________)_,则sin α=______, cos α=_____, tan α=_______.7. 坐标定义：设α是任意角，它的终边过点P_(_________)_,则r=_________.sin α=______, cos α=_____, tan α=_______.8.三角函数各象限的符号：sin α cos α tan α 9.诱导公式1：（文字表述）__________________________(符号表示)：____________________;______________________;______________________.10.有向线段与三角函数线（1）带有________的线段叫有向线段（2）画图并指出角α的正弦线，余弦线、正切线。

高中数学必修4复习教案

高中数学必修4复习教案
第一部分：向量与空间解析几何
1. 向量的概念与运算
- 向量的定义：大小和方向确定的量
- 向量的运算：加法、减法、数乘、数量积、向量积
2. 向量的数量积
- 定义：两个向量的数量积等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积- 性质：交换律、分配律、数量积为零的条件
3. 向量的向量积
- 定义：两个向量的向量积是一个垂直于这两个向量构成的平面的向量
- 性质：满足右手定则、交换律、分配律等
4. 空间直线和平面
- 空间直线的方程：点向式、对称式、参数式等
- 空间平面的方程：点法式、一般式等
第二部分：概率与统计
1. 概率的基本概念
- 概率的定义：某一事件发生的可能性大小
- 概率的性质：介于0和1之间、互斥事件、独立事件等
2. 随机事件与概率
- 随机事件的分类：必然事件、不可能事件、对立事件等
- 求概率的方法：古典概型、几何概型、统计概型等
3. 统计的基本概念
- 统计的定义：收集、整理、分析和解释数据的方法
- 数据的统计特征：均值、中位数、众数等
4. 统计图的作画
- 直方图、饼图、散点图等的绘制方法
- 图形的解读：分布情况、相关性等
以上是高中数学必修4的复习教案范本，希望对你的复习有所帮助。

祝学习顺利！。

高中数学必修4 复习导学案深夜修改

高中数学必修4 复习导学案4-1任意角及任意角的三角函数基础知识加固：1．任意角（正角、负角、零角、锐角、钝角、象限角、终边相同角等）的概念；1︒= rad, 1 rad=o2．任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角， (,)P x y 是α终边上的任一异于原点的点，则=αsin ，=αcos ，=αtan3．（1）终边落在第一象限的角的集合可表示为（2）终边落在X 轴上的角的集合可表示为（3）终边落在Y 轴上的角的集合可表示为4．sin α的值在第象限及为正；cos α在第象限及为正值；tan α 在第象限及象限为正值．5．扇形弧长公式l = ;扇形面积公式S= 课初5分钟：1．0330- = 弧度，是第____象限的角；=π53度，与它有相同终边的角的集合为__________，2．3tan 2cos 1sin ⋅⋅的结果的符号为。

3．已知角α的终边过点)3,4(-P ,则a sin =_______,a cos =_______,a tan =_______。

4．已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的中心角θ的弧度数是。

课堂15分钟： 1．若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标是（，）。

2．若0360,1690-=的终边相同，且与αθα＜θ＜0360，则θ= _。

4．若,cos sin θθ>且,0cos sin <⋅θθ则θ是第象限的角。

5．已知角α的终边上一点的坐标为（－4，3），则ααcos sin 2+的值为。

6．已知角α的终边上一点的坐标为（32cos,32sin ππ）,则角α的最小正值为( ) A.65π B.32πC.35πD.611π 7．已知角α的终边上有一点)0)(3,4(≠-t t t A ,求：ααcos sin 2+的值。

8.已知α是第二象限的角,问：(1)α2是第几象限的角？(2) 2α是第几象限的角？必修4 4-2 同角三角函数的基本关系基础知识加固：阅读教材完成下面填空： 1、同角三角函数关系的基本关系式：（1）平方关系：（α∈ ）；（2）商数关系：（α≠ ）；（3）倒数关系：（α≠ ）。

高中数学必修4全册精品教案(例题+练习)

高中数学必修4全册教案（例题+练习）1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2.1任意角的三角函数第一课时1.2.2任意角的三角函数第二课时1.3三角函数的诱导公式第一课时1.3三角函数的诱导公式第二课时1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第二课时1.4.3正切函数的性质与图像1.5函数)y+=的图像第一课时Asin(awx1.5函数)=的图像第二课时y+sin(aAwx2.1平面向量的实际背景及基本概念2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义2.2.3向量数乘运算及其几何意义2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角3.1.1两角差的余弦公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式3.2简单的三角恒等变换第一课时3.3简单的三角恒等变换第二课时1.1.1任意角一、教学目标1、推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义2、理解任意角以及象限角的概念3、掌握所有与角α终边相同的角（包括α）的表示方法二、教学重难点重点：理解任意角中正角、负角和零角和象限角的定义难点：终边相同的角的表示方法三、教学内容复习回顾：问题1：什么是角？范围是多大？【解析】定义：有公共端点的两射线组成的几何图形叫角。

角的范围：00360~0一：任意角的概念问题2：一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转，你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所形成的角是否相符？【解析】我们以前学过的角都是00360~0范围内，那么方向如何确定？如何解决这一问题？有必要将角的概念及范围推广。

高中数学必修四全部学案

向量的概念1、高中阶段，我们暂且把具有的量称为向量，如无特别说明，以后我们说到向量，都指。

2、具有方向的线段叫，表示向量的方向，叫向量的长度，也称模。

3、的有向线段表示同一向量或相等向量，记作。

4、通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的，如果向量的基线，则称这些向量共线或平行，向量a 平行于b ，记作。

5、下列命题中，正确的是（） A=⇔= B>⇔> C ．⇔=∥D．0=⇔=6、如图，在中，E ，F 分别是AB 、CD 的中点，图中的7个向量中，设=，=，则与相等的向量有，与相等的向量有，与平行的向量有，与共线的向量有。

课堂练习：1、给出下列四个命题①力、位移、速度、加速度都是向量 ②所有的单位向量都相等 ③共线的向量一定在同一条直线上 ④模相等的向量是相等的向量其中真命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2、下列结论中，正确的是（）A ．向量与共线和∥同义B ．零向量只有大小，没有方向C =b a =或b a -=D ．若两个向量共线，则这两个向量在同一条直线上 3、设P 、Q 是线段AB 的两个三等分点，以A 、P 、Q 、B 四个点中的两个点为起点和终点，则不同的有向线段最多可得（） A ．3条 B ．6条 C ．9条 D ．12条4、点O 是平面上一定点，点P 在点O “东偏北60°，3cm ”处，点Q 在点O “南偏西 30°，3cm ”处，则点Q 相对于点P 的位置向量是（） A ．“南偏西60°，6cm ” B ．“南偏西30°，3cm ” C ．“西偏南60°，6cm ” D ．“西偏南30°，3cm ”5、设O 为△ABC 的外心，则，，是（）A ．相等向量B ．平行向量C ．模相等的向量D ．起点相同的向量 6、把平面上所有单位向量的起点都平移到同一点时，它们的终点构成的图形是。

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

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高中数学必修4复习测试题
一.选择题：
1．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为
（）
A 、4
B 、－3
C 、
5
4
D 、5
3-
2．若0cos sin <αα，则角α的终边在
（）
A 、第二象限
B 、第四象限
C 、第二、四象限
D 、第三、四象限
3.若a =(2,1)，b =(3,4)，则向量a 在向量b 方向上的投影为（）
A 、52
B 、2
C 、5
D 、10
4．化简︒-160sin 1的结果是
（）
A 、︒80cos
B 、︒-160cos
C 、︒-︒80sin 80cos
D 、︒-︒80cos 80sin 5．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）
A 、)322sin(2π+
=x y B 、)3
2sin(2π
+=x y C 、)32sin(2π-=x y D 、)3
2sin(2π
-=x y
6.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（）
A 、(5,10)--
B 、(4,8)--
C 、(3,6)--
D 、(2,4)-- 7.已知(1,2),(3,2),a b ==-并且()(3)ka b a b +⊥-，则k 的值为 ( )
A ．
1119 B ．2- C ．1
3
- D ．19 8．在ABC ∆中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么ABC ∆一定是 ( )
Ａ．等腰直角三角形Ｂ．等腰三角形Ｃ．直角三角形
Ｄ．等边三角形
9.已知函数)5
2
cos(
4)(π
π
+
=x x f ，如果存在实数1x 、2x ，使得对任意的实数x 都有
)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则21x x -的最小值是 ( )
A ．6
B ．4
C ．2
D ．1
10．已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
二.填空题： 11．若21tan =
α，则α
αα
αcos 3sin 2cos sin -+= . 12．函数x x y sin 22cos -=的值域是 . 13. 已知向量(1,2)a =，(2,4)b =--，5
||2
c =
，若()53a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为； 14、已知函数()sin 2cos 2f x x k x =-的图像关于直线8
x π
=对称，则k 的值是
．
1521==，
与
的夹角为3
π
+= . 三．解答题
16、已知函数2
()sin sin 2f x x x m π⎡⎤⎛⎫
=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
．
（１）求()f x 的最小正周期；
（２）若()f x 的最大值为3，求m 的值．
17．设)1,3(=，)2,1(-=，OB OC ⊥，BC ∥OA ，试求满足OC OA OD =+的OD 的坐标（O 为坐标原点）。

18．已知3sin 22B A +＋cos 22
B A -＝２（cos Ａcos Ｂ≠0），求tan ＡtanB 的值．
19.已知函数f(x)=A sin(x +ϕ)(A >0,0<ϕ<π),x ∈R 的最大值是1，其图像经过点M 132π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，. (1) 求f (x )的解析式；
(2) 已知α，β∈02π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，且f (α)=
35，f (β)=1213
，求f (βα-)的值.
20.已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()
()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=
（1）求角A ；（2）若
22
1sin 23cos sin B
B B
+=--，求tan B .
21、已知向量求且],2
,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos π
∈-==x x x x x (1) ||+⋅及;
(2) 若;,2
3
||2)(的值求的最小值是λλ-
+-⋅=x f。