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工程设计中的优化方法教学课件PPT
（4）数学模型 建立数学模型是解决优化设计的关键 优化设计的数学模型是实际设计的数学抽象。
任何一个优化设计问题可归结为如下描述：
在给定的约束条件下，选择适当的设计变量X， 使其目标函数 f (X)达到最优值。
其数学表达式(数学模型)为
设计变量
X= (x1, x2, ···, xn)T X∈Rn
在满足约束方程
无约束优化方法的特点和适用范围
计算方法
消去 黄金分割法 法 Fibonacci
直 插值 二次插值法
接 搜
法
三次插值法
索 爬山 坐标轮换法
法
法非导
共轭方向法
数法 单纯形法
最速下降法
间 接 寻 优 法
爬山 法导数 法
共轭梯度法 牛顿法
变尺度法
特点及适用范围
黄金分割法计算过程简单，收敛较快，应用较广
二次插值法算法成熟，收敛较快，应用广。函数性态较好时， 其效果比消去法好
所用数据为：F1=120kN， F2=12kN，[σ]=140MPa
表5-1 箱形梁设计结果比铰
跨度 l(cm)
常规设计（mm）
x1
x2
x3
x4
1050 760 340 6 10 1350 880 390 6 10 1650 1010 440 6 10
优化设计(mm)
x1
x2
x3
x4
790 310 5
计算简单，占内存少，收敛慢，可靠性差，适用于维数n<10 收敛较快，可靠性较好，占用内存少，特别适用于n<10-20 的二次函数 计算简单,收敛快,效果好，适用于中小型设计问题 计算简单，占用内存少，对初始点的选择要求低。最初几步 迭代函数值下降很快，但越靠近极值点越慢。和他法混用 所用公式结构简单，收敛速度较快，要求内存量少。适用于 多维优化问题求解 算法复杂，计算是大，对初始点要求高。一定条件下收敛速 度很快。高维优化问题不宜采用 收敛速度快，稳定性好，是目前最有效的方法之一，适用于 求解多维优化问题8Βιβλιοθήκη 870 380 66
工程优化
牛顿法
牛顿法是一种函数逼近法。基本思想是：在极小点附近利用函数的二
阶泰勒多项式近似代替目标函数，求得目标函数在极小点的近似值。
对������(������)在������������ 二阶泰勒展开并略去高阶项可得：
������ ������ ≈ ������ ������������ + ������ ������������ ������ − ������������
若算法有效，则它产生的解序列将收敛于问题的最优解。
线搜索迭代法
迭代法可分为线搜索方法（迭代点沿某方向产骤： 1. 选定初始点������ 0 ，令������ ≔ 0 2. 确定搜索方向������ ������ 3. 从������ ������ 出发，沿������ ������ 求步长 k ，以产生下一个迭代点������ ������+1 4. 检查新点������ ������+1 是否为极小点或近似极小点。若是，停止迭代；否 则，令������ ≔ ������ + 1，返回步骤2
无约束优化的最优性条件 —凸优化的一阶条件
一阶充要条件 设������: ������ ������ → ������ 是凸函数且在������ ∗ 处连续可微，则������ ∗ 为������(������)的全局极小 点的充要条件是������������(������ ∗ ) = 0 一阶必要条件 设������: ������ ������ → ������ 是严格凸函数且在������ ∗ 处连续可微，若������������(������ ∗ ) = 0，则������ ∗ 为������(������)的唯一全局极小点 对于一般函数，求解������������(������) = 0较难，因此经常使用迭代法
第一节广义优化
2020/9/23
客户要求的多样
化导致基于全性能 的多目标优化。把 优化准则由传统优 化的单方面性能优 化扩展到技术性、 经济性和社会性的 综合评估和优化。 技术上追求实现目 的性能、约束性能 、使用性能和结构 性能的综合优化； 结构上追求静态性 能和动态性能的组 合优化。称为~。
全设计过程优化
2020/9/23
2020/9/23
全系统优化
2020/9/23
现代机械产
品的系统性、综 合性和规模化导 致设计模型的横 向扩展。把研究 对象由传统优化 的简单零部件扩 展到复杂零部件 、整机、系列产 品和组合产品的 整体优化，由单 学科领域的优化 发展到机、液、 光、电、信息的 集成优化。统称 为~。
全性能优化
2020/9/23
现代优化理论和方法的研究重点
仿生演化设计理论与方法 多学科协同优化设计理论与方法 结构优化、拓朴优化设计理论与方法 工程优化设计建模理论与方法 寻优求解算法与求解过程控制 优化结果智能处理与评价
2020/9/23
仿生演化设计理论 与方法
2020/9/23
仿生演化设计理论和方法
对产品寿命周
期优化的市场需求 导致设计模型的纵 向扩展。把优化范 围由传统优化的产 品技术设计阶段的 优化扩展到包含功 能、原理方案和参 数、结构方案、参 数和形状，以及工 艺和公差优化的全 设计过程，进而面 向制造、经销、使 用和用后处置的寿 命周期设计过程。
全 寿 命 周 期 优 化
2020/9/23
2020/9/23
• 优化是合理化、科学化、满意化，是一个系 统分析、系统综合、系统检验的反复交叉过 程，是一个永无止境的过程。在优化设计过 程中，常常需要根据产品设计的要求，合理 确定各种参数，以期达到最佳的设计目标。
客户要求的多样
化导致基于全性能 的多目标优化。把 优化准则由传统优 化的单方面性能优 化扩展到技术性、 经济性和社会性的 综合评估和优化。 技术上追求实现目 的性能、约束性能 、使用性能和结构 性能的综合优化； 结构上追求静态性 能和动态性能的组 合优化。称为~。
全设计过程优化
2020/9/23
2020/9/23
全系统优化
2020/9/23
现代机械产
品的系统性、综 合性和规模化导 致设计模型的横 向扩展。把研究 对象由传统优化 的简单零部件扩 展到复杂零部件 、整机、系列产 品和组合产品的 整体优化，由单 学科领域的优化 发展到机、液、 光、电、信息的 集成优化。统称 为~。
全性能优化
2020/9/23
现代优化理论和方法的研究重点
仿生演化设计理论与方法 多学科协同优化设计理论与方法 结构优化、拓朴优化设计理论与方法 工程优化设计建模理论与方法 寻优求解算法与求解过程控制 优化结果智能处理与评价
2020/9/23
仿生演化设计理论 与方法
2020/9/23
仿生演化设计理论和方法
对产品寿命周
期优化的市场需求 导致设计模型的纵 向扩展。把优化范 围由传统优化的产 品技术设计阶段的 优化扩展到包含功 能、原理方案和参 数、结构方案、参 数和形状，以及工 艺和公差优化的全 设计过程，进而面 向制造、经销、使 用和用后处置的寿 命周期设计过程。
全 寿 命 周 期 优 化
2020/9/23
2020/9/23
• 优化是合理化、科学化、满意化，是一个系 统分析、系统综合、系统检验的反复交叉过 程，是一个永无止境的过程。在优化设计过 程中，常常需要根据产品设计的要求，合理 确定各种参数，以期达到最佳的设计目标。
工程优化方法及应用 第四章1-2节
2 x x -0f x 1/2
1 0 0
Page 8
第2次迭代：
-1 f x , -2
1
|| f x1 || 5 0.5,
1
2+1 x x -1f x = 1/2+2 1 ( )=f x1 -f x1 =f 2+ ,1/2+2
2、其基本思想和逻辑结构可以推广到约束问题；
3、约束问题可以转化成无约束问题求解。
f ( x), x D min f ( x) min F ( x), 其中F ( x) n xD 类
解析法：对简单问题，求解必要条件或充分条件； 零阶法：只需计算函数值 f(x) 迭代算法 一阶法：需计算 ▽f(x) 梯度法 二阶法：需计算 ▽2f(x) 建立迭代算法的关键：确定迭代格式
3
5/2+22 3 x x -2f ( x )= = ， 3/2 2 5/4
继续迭代可得到函数的近似最优解。
Page 10
2 2 例 用最速下降法求函数 f ( x1 , x2 )＝x1 的极小点（迭代两 4 x2 T 次）。 并验证相邻两个搜索方向是正交的。初始点 x 0 1,1 。
No
Page 6
Yes stop. x* =xk
dk= －▽f(xk ) min f(xk+λdk) s.t. λ >0 得最佳步长因子λk 令： xk+1=xk+λkdk 解
最速下降法的算例
取 x 0 1,1T , =0.5. 解：函数的梯度为
Page 7
2 2 min f ( x ) x 2 x 例 利用最速下降法求解 1 2 2 x1 x2 4 x1 ,
xx项目景观优化案例PPT课件
7
400*400*30锈石黄荔枝面花岗石
106.57
m2
莆田锈
405
43161
其他锈石黄
203
21580
-21580
8
440*440*30锈石黄荔枝面花岗石
18.88
m2
莆田锈
368
6951
其他锈石黄
184
3476
-3476
9
500*150*30锈石黄荔枝面花岗石
8.03
m2
差额 (元)
备注
规格
单价(元)
合价(元)
规格
单价(元)
合价(元)
二、xx组团景观工程
14
600*150*50锈石黄荔枝面
1.85
m2
莆田锈
450
833
其他锈石黄
200
370
-463
15
900*150*50锈石黄荔枝面
2
m2
莆田锈
450
900
其他锈石黄
200
400
莆田锈
270
2168
其他锈石黄
135
1084
-1084
10
600*600*30锈石黄荔枝面花岗石
92.35
m2
莆田锈
270
24935
其他锈石黄
135
12467
-12467
11
1000*500*30锈石黄荔枝面花岗石压顶
5.97
m2
莆田锈
324
1934
其他锈石黄
162
967
工程造价汇总表
400*400*30锈石黄荔枝面花岗石
106.57
m2
莆田锈
405
43161
其他锈石黄
203
21580
-21580
8
440*440*30锈石黄荔枝面花岗石
18.88
m2
莆田锈
368
6951
其他锈石黄
184
3476
-3476
9
500*150*30锈石黄荔枝面花岗石
8.03
m2
差额 (元)
备注
规格
单价(元)
合价(元)
规格
单价(元)
合价(元)
二、xx组团景观工程
14
600*150*50锈石黄荔枝面
1.85
m2
莆田锈
450
833
其他锈石黄
200
370
-463
15
900*150*50锈石黄荔枝面
2
m2
莆田锈
450
900
其他锈石黄
200
400
莆田锈
270
2168
其他锈石黄
135
1084
-1084
10
600*600*30锈石黄荔枝面花岗石
92.35
m2
莆田锈
270
24935
其他锈石黄
135
12467
-12467
11
1000*500*30锈石黄荔枝面花岗石压顶
5.97
m2
莆田锈
324
1934
其他锈石黄
162
967
工程造价汇总表
工程项目管理课件-工期优化
00 1
4 10(8)
10 10
2
3 20(15)
3 30(18)
2
3
40(20) 40 40
3 60(30)
100
5
100
8
6 150 150
50(25)
1 50(30)
2
4
30(20) 90 100
（4）选择关键工作压缩作业时间，并重新计算工期Tc′ 第二次：选择工作③－⑤，压缩10天，成为50天； 工期变为140天，③－④和④－⑤也变为关键工作。
4
4(2)
15 15
6
1
3
5
6(3)
3(2)
12 12
（4）选择关键工作压缩作业时间，并重新计算工期Tc′ 第一次：选择工作③-⑤，压缩2天，成为4天；
工期变为13天，③－④和④－⑥也变为关键工作。
00 1
26
4
8
2
2(1)
3(2)
7
2
3
6(5) 6 6
3(2)
99 6
4
4(2)
13 13
6
1
3
5
第七章自测题（一）
６.工期优化时，当出现多条关键线路时 A.压缩最原始的一条关键线路 B.要同时压缩多条关键线路
答案 B ７.当需要同时压缩多个关键工作的持续时间
时，应选择（ ）的组合进行压缩。 答案 优选系数之和最小
第七章自测题（一）
８.总时差和自由时差的关系是 A. TFi-j≥FFi-j B. TFi-j≤FFi-j
F(4)
H(2)
2. 计算工期大于要求工期的优化
方法：
压缩关键线路中关键工作的持续时间。
工程优化方法第1章精选文档PPT课件
最优化方法
1
第一章 最优化简介
主 要 内
第二章 基本概念和理论基础 第三章 线性规划 第四章 最优化搜索算法结构与一维搜索 第五章 无约束最优化方法
容 第六章 约束最优化方法
2
第一章
最优化简介
3
最优化—寻求最优方案的方法称为最优化方法。
最优方案：从所有可能的方案中选择最合理的一 种以达到最优目标。
12
§3 基本概念 1、最优解与极值点
p m x iR n n fx s.t. gix0
i1,2, ,m
容许解集： R x g ix 0 ,i 1 ,2 , ,m
Def1:若 x R x g ix 0 ,ixfx
称 为x 问题（p）的最优解or全局极小
记
L(
d
(1)
,
d
(2)
,
…,d
j =1
(m)
)={
x
=
m
j
d
(j)
jR
}
为由向量d (1) , d (2) , … , d (m) 生成的子空间，简记
为L。
正交子空间：设 L 为Rn的子空间，其正交子空间为 L＝{ x Rn xTy=0 , y L }
子空间投影定理：设 L 为Rn的子空间。那么 z Rn，
x 的长度：
‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝
Rn
,
x
Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
lim
k
x(k)
=
x
lim‖x(k)-
1
第一章 最优化简介
主 要 内
第二章 基本概念和理论基础 第三章 线性规划 第四章 最优化搜索算法结构与一维搜索 第五章 无约束最优化方法
容 第六章 约束最优化方法
2
第一章
最优化简介
3
最优化—寻求最优方案的方法称为最优化方法。
最优方案：从所有可能的方案中选择最合理的一 种以达到最优目标。
12
§3 基本概念 1、最优解与极值点
p m x iR n n fx s.t. gix0
i1,2, ,m
容许解集： R x g ix 0 ,i 1 ,2 , ,m
Def1:若 x R x g ix 0 ,ixfx
称 为x 问题（p）的最优解or全局极小
记
L(
d
(1)
,
d
(2)
,
…,d
j =1
(m)
)={
x
=
m
j
d
(j)
jR
}
为由向量d (1) , d (2) , … , d (m) 生成的子空间，简记
为L。
正交子空间：设 L 为Rn的子空间，其正交子空间为 L＝{ x Rn xTy=0 , y L }
子空间投影定理：设 L 为Rn的子空间。那么 z Rn，
x 的长度：
‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式： ‖x + y ‖≤‖x‖＋‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛：设点列｛x(k)｝
Rn
,
x
Rn
点列｛x(k)｝收敛到 x ，记
lim
k
x(k)
=
x
lim‖x(k)-
工程优化方法-第1章 极值理论与最优化问题的数学表达
f ( X *) 0
展开式：
f ( X * X ) f ( X *) f ( X *)T X 1 X T H ( X *)X 2
f ( X * X ) f (X *) 1 X T H (X *)X 0 2
f ( X * X ) f ( X *)
可见，通过梯度为零点的海辛矩阵是否是正定可 以判别是否是极小点。
j
h11, h12,
H
hn1, hn2,
, h1n
, hnn
nn
nn
hij x j xi
hij x j xi
[ i1 j1
, i1 j1
,
x1
x2
nn
hij x j xi
, i1 j1
]T
xn
n
n
n
n
n
n
[ h1 j x j hi1xi , h2 j x j hi2xi , , hnj x j hin xi ]T
j 1
(1 5)
L( X ,W ,) xi
f ( X ) xi
m
j
j 1
g j ( X ) xi
0
L( X ,W ,)
w j
2 jwj
0
L( X ,W
j
,)
g
j(X
)
w2j
0
由上式可推导：
f ( X )
xi
jg j(X )
m
j
j 1
0
g j ( X xi
)
0
j 0
(1 6)
求极小问题的 j 取值推导：
梯度方向是函数值变化率最大方向证明：
证明：设X为任意迭代点，设沿任意迭代方向移动到新点：
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一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。
建立最优化问题数学模型的三要素：
（1）决策变量和参数。
决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。
（2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内，即约束条件，而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的。
y
a1
1
a3
a2 ln 1 exp
x
a4 a5
其中 a1 a2 a3 a4 和 a5待定参数,为确定这些参数,
对x，y测得m个实验点: x1, y1 , x2, y2 , xm, ym .
试将确定参数的问题表示成最优化问题.
解:很显然对参数a1 a2 a3 a4和 a5 任意给定的一组数值,就由上
xi
a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
2
min
m i 1
yi
a1
1
a4 a5
则得原问题的数学模型：
min 2 rh 2 r2
s.t.
r2h 4 0
3
s.t. Subject to.固定.
利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
L
r,
h,
2
rh
2
r
2
r
2h
4 3
分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零.有:
最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常生活中，在工农 业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。
比如我们自己所接触过的课题有：结构最优设计、电子器件最 优设计、光学仪器最优设计、化工工程最优设计、运输方案、机 器最优配备、油田开发、水库调度、饲料最优配方、食品结构优 化等等。
最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际产生或科技问 题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加 工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资 料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目 前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问 题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水 之源，难以健康发展。
因此，我们在学习本科程时要尽可能了解如何由实 际问题形成最优化的数学模型。 为了便于大家今后在处 理实际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关 数学模型的一些事项作一些说明。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述 所研究的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的 结果可能不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分 析计算带来困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰 富的经验和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之 后，通常也必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、 计算。
式确定了 y关于x的一个函数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条
曲线不一定通过那m个测量点，而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最 优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称 为最优化理论。
最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求 的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为 静态最优化问题，否则称为动态最优化问题。
本科程专门讲授静态最优化问题。
工程优化
硕士研究生课程
理学院数学系：叶峰 E-mail:yefeng2323@
第一章 基础知识
背景知识 最优化问题举例 优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点
§1 背景知识
最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世纪五十年 代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为 一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题 是在一定的限制条件下，在众多的可行方案中怎样选择最合理 的一种方案以达到最优目标。
L
r
2
h
4
r
2rh
0
L 2 r r2 0
h
h 2r
L r2h 4 0
3
2
2
r 3 . h 23
3
3
2
此时圆柱体的表面积为
6 2 3
3
例2. 多参数曲线拟合问题
已知两个物理量x和y之间的依赖关系为:
（3）目标函数。
这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率，即系统追求的目标。
§2 最优化问题举例
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。
例1. 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
r2 h 4 R3
3
为金属比重. 0.R 1
即
r2 h 4
,即
r2h 4 0
3
3
问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
min 2rh 2 r2
例3：旅游售货员问题
旅游线路安排 预定景点走且只走一次 路上时间最短
配送线路—货郎担问题 送货地到达一次 总路程最短
有一旅行团从
已知从vi 到v
jv的0 旅出费发为要c遍ij游，城问市应如v1何, v安2 ,排..行.,程vn使，总
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次