椭圆-几何性质
高二数学椭圆的几何性质1
e越接近1，椭圆越扁；e越接近 于0，椭圆越接近于圆。
2 2 例1：椭圆25x +16y =400
的长轴长为____，短轴长 为____，焦点坐标为___， 顶点坐标为____，离心率 为 ______。
x y 练习：若椭圆 1的离心率 a8 9 1 为 ，求a的值。 2
2
2
x y (2)若 2 2 1( a b 0 ) 的左焦 a b
x y 2 1 2 a b ( a b 0)
y B2(0,b) o x A2(a,0) B1(0,-b)
2
2
A1(-a,0)
a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长。
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比, 2c c 叫做椭圆的离心率。 e y 2a a
0<e<1
o x
变式： (08江西)已知F1，F2椭圆的两 个焦点，满足 MF1 MF2 0 ，点 M总在椭圆的内部，则椭圆的离心率 的取值范围是___________。
2
2
练习：
2 2
x y 1 ( a b 0 ) 已知 2 2 a b 的长轴两端点为A，B，如果椭圆 上存在一点Q，使∠F1QF2=120°， 求离心率e的取值范围。
一、椭圆的范围 二、椭圆的对称性 三、椭圆的顶点
变量x，y的取 值范围 方程的对称性 x=0或y=0时 方程的解
四、椭圆2 2 2 2 x y x y 由 2 1 2 1和 2 1 2 a b a b
即
x a和 y b
o
y
说明：椭圆位于矩 形之中。
x
二、椭圆的对称性 2 2
椭圆关于x轴对称； 椭圆关于y轴对称； 椭圆关于原点对称；
3.2.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的离心率 e= ．
范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
典型例题
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=
4
比是常数 ，求动点M的轨迹．
5
25
的距离的
4
轨迹方程
轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件
点M所满足的条件
点M与定点F(4,0)的距离和M到定
25
4
直线l:x= 的距离的比是常数
4
转化
5
两点间距离和点到直线的距离
6 − 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
圆 2 + 2 + 6 + 5 = 0
圆心1 (− 3,0),半径r1=2
椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，
经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm，
1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
椭圆的方程
求a,b
建立关于a,b的方程
典型例题
2
4.12
+
2
3⋅4 2
= 1．
方
程
思
想
典型例题
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
椭圆的简单几何性质
由课本一道例题的推广
[课本 47页例6]点M与定点F ( 4,0)的距离和它到直线l : x 4 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹. 5
解后反思：这个定点是什么点？这个常数是什么值？ 这个定直线l与椭圆有什么联系？由此，能否得到一 个更一般的猜想？
25 4
a2 推广：点M与定点F (c ,0)的距离和它到直线l : x 的距离 c c 的比是常数 ，求点M的轨迹. a
(7 )在x轴的一个焦点与短轴的 两端点连线互相垂直， 且这个焦点与较近的长 轴端点的距离是 10 5 .
离心率的理解和运用
2.已知椭圆的焦距是长轴 长和短轴长的等比中项 ，求离心率 . x2 y2 1 3.若椭圆 1的离心率为 ，求k的值. k 8 9 2 3 4.已知椭圆x (m 3) y m(m 0)的离心率e ，求 2 m的值及椭圆的长轴和短 轴的长 .
c
与准线有关问题
x2 y2 11.椭圆 1上有一点P，它到左准线的距离为 10， 100 36 求P到右焦点的距离及 P点坐标 . 12.根据下列条件，求椭圆 的标准方程： (1)长轴长为 12，两焦点恰为两准线间 距离的三等分点 ; 3 50 (2)离心率为 ，一条准线方程为 x ; 5 3 (3) P是椭圆上一点， P与两焦点的连线互相垂 直，且 P到两准线的距离分别为 6和 12.
请写出焦点在y轴上时的范围
6 5
10
8
6
B1
4
4
3
2
2
1
-8
-6
A1
-4
F1
-2
O
-1
2
-15
F2
4
A2
6
8
椭圆的简单几何性质优秀教案
椭圆的简单几何性质优秀教案引言本教案旨在介绍椭圆的简单几何性质，以帮助学生理解椭圆的特点和特性。
通过研究本教案，学生将能够掌握椭圆的定义、主要性质和相关计算方法。
椭圆的定义椭圆是平面上一条固定点F（称焦点）和一条固定线段L（称为准线段）之间的点的轨迹，使得从F到点P的距离与准线段L上的点P到L的距离之和为常数2a。
如下所示：椭圆的性质1. 椭圆的长轴是焦点F之间的线段，短轴是准线段L的垂直平分线段。
长轴和短轴的长度之比为a:b。
2. 椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a，其中c是焦点F到椭圆中心的距离。
3. 椭圆的离心率范围为0 < e < 1。
当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一条直线段。
4. 椭圆的准线段L和长轴之间的夹角称为偏心角，偏心角的大小取决于离心率e的大小。
5. 椭圆的焦距为2ae，其中e是离心率。
相关计算方法1. 椭圆的周长计算公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是第二椭圆积分，需要使用数值积分方法计算。
2. 椭圆的面积计算公式为A = πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
教学活动1. 使用白板或黑板绘制椭圆的定义和性质的图示，并解释相关概念。
2. 分组让学生自己计算给定的椭圆的周长和面积，并与同组同学讨论和比较结果。
3. 设计一些练题，让学生运用所学概念计算椭圆的相关信息。
4. 使用多媒体展示椭圆的实际应用场景，如行星轨道、卫星轨道等，以加深学生对椭圆的理解和感受。
总结本教案通过简洁明了的语言和图示介绍了椭圆的几何性质和相关计算方法。
通过对椭圆的定义、性质和计算的学习，学生能够更好地理解椭圆的特点和特性，并能够应用所学知识解决实际问题。
教师可以根据学生的实际水平和兴趣选择适当的教学方法和活动，提高学生的学习效果和兴趣。
2.1.2椭圆的简单几何性质
（0，±c）
a>b
半轴长
离心率 a,b,c的关系
长半轴长为a,短半轴长为b. c e a a2=b2+c2
例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点 和顶点的坐标。 例5 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其 对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口 BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门 位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋 转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2 ， |F1B|=2.8cm， |F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口 y BAC所在椭圆的方程。
(1)椭圆的定义:
点M满足的几何条件： MF1 MF2 常数 （常数大于 , F1F2 ） (2)椭圆的标准方程:
y y
M
图 形
F 2
M x
F 1
o
F2 x
o
F 1
方 程
焦 点
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
B2
y b -a x a -b 的四个顶点。线段 A1A 2，B1B2叫做椭圆的长轴和短 这说明椭圆位于直线 x= ± a2b 和 y=±b所围成的矩形内. 轴。它们的长分别为 2a 和 。。
1 2 1 2
2.对称性： P1（-x，y） P（x，y） 椭圆是轴对称图形，也是中心对 称图形。坐标轴是它的对称轴， O x 坐标原点是它的对称中心。椭圆 P2（-x，-y） 的对称中心叫椭圆的中心。
B
例6
A F1
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴，2b称为椭圆的短轴，c称为椭圆的焦距，c2=a2−b2。
二、椭圆的几何性质1. 椭圆的对称性椭圆具有中心对称性，即椭圆的中心是对称中心。
2. 椭圆的离心率，0<e<1。
当e=0时，椭圆退化为圆；当e=1时，椭圆的离心率e=ca椭圆退化为抛物线。
3. 椭圆的焦点性质椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴2a，即PF1+PF2= 2a。
4. 椭圆的切线性质椭圆上任意一点P处的切线与椭圆的两个焦点F1和F2的连线的夹角相等。
5. 椭圆的法线性质椭圆上任意一点P处的法线与椭圆的两个焦点F1和F2的连线的夹角相等。
6. 椭圆的直径性质椭圆的长轴2a是椭圆的最长直径，短轴2b是椭圆的最短直径。
7. 椭圆的面积和周长椭圆的面积S=πab，周长C=4aE(e)，其中E(e)是第二类完全椭圆积分。
三、椭圆的应用1. 椭圆的轨道椭圆的轨道在天文学中有广泛的应用，如行星绕太阳的轨道、卫星绕地球的轨道等。
2. 椭圆的几何光学椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦成一个点或将一个点的光线反射成一束平行光线。
3. 椭圆的机械应用椭圆齿轮是一种常见的机械元件，它可以将旋转运动转化为直线运动或将直线运动转化为旋转运动。
四、教学设计1. 教学目标1.理解椭圆的定义和基本性质；2.掌握椭圆的离心率、焦点性质、切线性质、法线性质、直径性质、面积和周长公式；3.了解椭圆的应用领域。
2. 教学内容1.椭圆的定义和基本性质；2.椭圆的离心率、焦点性质、切线性质、法线性质、直径性质、面积和周长公式；3.椭圆的应用领域。
3. 教学方法1.讲授法：通过讲解椭圆的定义和基本性质，引导学生理解椭圆的几何特征；2.演示法：通过演示椭圆的焦点性质、切线性质、法线性质等，帮助学生掌握椭圆的基本性质；3.实验法：通过实验椭圆的面积和周长，让学生深入了解椭圆的几何性质；4.讨论法：通过讨论椭圆的应用领域，激发学生的兴趣和创造力。
椭圆定义及几何性质
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系 准线及离心率
a2=b2+c2
补充：
焦半径： |PF1|= a+ex |PF2|= a-ex
弦长公式：
P
F1 o Y F2 X
|AB|=√1+k2 |x1-x2|
椭圆方程 【解题回顾】|AF2|与|BF2|为焦半 径，所以考虑使用焦半径公式建 立关系式，同时结合图形，利用
平面几何知识在应用椭圆第二
定义时，必须注意相应的焦点和准线问题
四、课堂回顾：
1、椭圆的定义： 第一定义是什么？ 第二定义又是什么？
2、椭圆几何性质： 长轴、短轴、顶点、焦点、对称轴、 对称中心、准线、离心率、焦半径。
过椭圆的一个焦点，求椭圆方程
【解题回顾】本题因椭圆焦点位置未定，故有两种情况， 不能犯“对而不全”的知识性错误
2.如图，从椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线， 垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆 与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=√10+√5，求此椭圆 方程
= √1+(1/k)2 |y1-y2|
二、基础练习
1.椭圆x2/100+y2/64=1上一点P到左焦点F1的距离为 6，Q是 PF1的中点，O是坐标原点，则|OQ|= _____ 7 2.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于
5 短半轴长的2/3，则椭圆的离心率为_______ 3
1.椭圆的几何性质(简单性质)
e =
c a
a2=b2+c2
已知椭圆方程为16x =400， 例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则 它的长轴长是： 10 ；短轴长是 短轴长是： 8 ； 它的长轴长是 短轴长是
焦距是： 焦距是
6
；离心率等于 离心率等于： 离心率等于
焦点坐标是： 焦点坐标是
(±3, 0) ；顶点坐标是 (±5, 0) (0, ±4) ； 顶点坐标是： 顶点坐标是
x2 y2 + = 1 的两个焦点为 1 、F2 ，过左焦点作 的两个焦点为F 椭圆 45 20
直线与椭圆交于A， 两点， 的面积为20， 直线与椭圆交于 ，B 两点，若△ AB F2 的面积为 ， 求直线的方程。 求直线的方程。
y
（x1 , y1） A
o
（x2 , y2） B F1 F2
x
作业
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 已知椭圆的中心在原点 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（ ， ）， ），求 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点 （3，0），求 椭圆的方程. 椭圆的方程 2 2 x + 2 y = 4 的左焦点作倾斜角为 30 0 2.过椭圆 过椭圆 的直线AB， 求线段AB的长度 的长度. 的直线 ， 求线段 的长度
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点 、
x a
2 2
y2 + = 1( a > b > 0 ) 2 b
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 长轴、短轴：线段 长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短 轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 y
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基础知识精练
知识点1由椭圆方程探究其简单性质
1、若点A （m,1）在椭圆12
42
2=+y x 的内部，则实数m 的取值范围是（
）
A.)2,2(
B.),2()2,(+∞∪∞
C.)2,2(
D.)
1,(2、椭圆12222=+b y a x （a>b>0）与椭圆)10.λλ(22
22≠>=+λb
y a x 有（
）
A.相同的焦点
B.相同的顶点
C.相同的离心率
D.相同的长、短轴
3、设e 是椭圆142
2=+k
y x 的离心率，且)1,21(∈e ，则实数k 的取值范围是（
）
A.(0,3)
B.3
16
,
3( C.),3
16
(
)3,0(+∞∪ D.(0,2)
4、把椭圆116
252
2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线分别交椭圆的上半
部分于点,,21P P ...，7P ，F 是左焦点，则||||||721PF PF PF +++ 等于（）
A.21
B.28
C.35
D.42
5、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足△AOF 是等
边三角形，则椭圆的离心率为（）A.
13 B.32 C.
12 D.2
26、比较椭圆①3692
2
=+y x 与②15
92
2=+y x 的形状，
（）更扁。
7、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率=（）。
8、已知椭圆)0()3(2
2
>=++m m y m x 的离心率2
3
=e ，求实数m 的值即椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标。
知识点2由椭圆的简单性质求方程
9、焦点在x 轴上，右焦点到短轴顶点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（
）
A.1
3422=+y x B.1
422
=+y x C.1
3422=+x y D.1
4
2
2
=+y x 10、若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则次椭圆的标准方程为（
）
A.1
72
8122=+y x B.1
98122=+y x C.1
458122=+y x D.1
36
8122=+y x 11、与椭圆36492
2
=+y x 有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（
）
A.1
4222=+y x B.1
6
2
2=+y x C.1
622=+y x D.1
5
822=+y x 12、已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点为F(2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长
为2；②长半轴长为22；③离心率为2
2。
（
）可求得椭圆方程为14
82
2=+y x 。
13、求满足下列条件的椭圆的标准方程。
（1）长轴在x 轴上，长轴长等于12，离心率等于
3
2
；（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点（-2,-4）；
（3）在x 轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8.
14、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率31=e ，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，
P 是椭圆上任意一点，若PA PF •的最大值是12，求椭圆的方程。
知识点3椭圆的实际应用
15、某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面m km ，远地点B 距离地面n km ，地球半径为R km ，关于这个椭圆有下列说法：①焦距为m
n
②短轴长为)
)((R n R m ++③离心率R
n m m
n e 2++=
其中正确说法的序号为（
）。
16、某海面上有A ，B 两个观测点，点B 在点A 正东方向4海里处。
经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P ）洄游的路线是以A ，B 为焦点的椭圆C 。
现有渔船发现该鱼群在与点A ，点B 距离之和为8海里处。
在点A ，B ，P 所在的平面内，以A ，B 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）某日，研究人员在A ，B 两点同时用声呐探测仪发出探测信号探测该鱼群，A ，B 两点收到鱼群的发射信号所用的时间之比为5:3，试确定此时鱼群的位置。
能力提升训练
1、已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为2
1，它的长轴长等于圆01522
2=+x y
x 的半径，则椭圆的标准方程是（
）
A.1
3422=+y x B.1
422
=+y x C.141622=+y x D.112
1622=+y x 2、已知F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点，A ，B 分别是椭圆的右顶点和上顶点，P
是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP//AB ，则该椭圆的离心率是（）
A.
2
2 B.
4
2 C.
2
1 D.
2
33、已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 与圆2C ：2
22b y x =+，若在椭圆1C 上存在点P ，
使得过点P 所做圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）
A.)
1,2
1
[ B.]2
3,22[
C.)1,2
2[
D.)1,2
3[
4、若椭圆C ：13
42
2=+y x 的左、右顶点分别为21,A A ，点P 在椭圆C 上，且直线2PA 斜率
的取值范围是[-2,-1]，则直线1PA 斜率的取值范围是（）A.4
3
,21[ B.]
4
3,83[ C.]
1,21[ D.]
1,4
3[5、若P 为椭圆115162
2=+y x 上任意一点，EF 为圆N ：4)(22=+y x 的任意一条直径，则
PF PE •的取值范围是（
）
A.[0,15]
B.[5,15]
C.[5,21]
D.(5,21)
6、已知点P 是椭圆18
162
2=+y x 上的一个动点（非顶点）
，21,F F 分别是椭圆的左右焦点，O 是坐标原点，若M 是21PF F ∠的角平分线上的一点，且01=•PM M F ，则||OM 的取值范
围为（）
A.)
3,0[ B.)
22,0( C.)
3,22[ D.]
4,0[7、设椭圆13222=+y a x 3(>a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知|
|3||1||1FA e
OA OF =
+，其中O 为坐标原点，e 为椭圆的离心率，则椭圆的方程为（
）。
8、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的
右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且]6
π
,12[
πα∈，求该椭圆的离心率的取值范围。
9、如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行。
若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子：①2
211c a c a +=+②2
211
c a c a =③2
121c a a c >④
2
2
11a c a c <其中正确式子的序号是（
）。
10、设21,F F 分别是椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b y a x 的左右焦点，M 是C 上一点，且2MF 与
x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N 。
（1）若直线MN 的斜率为
4
3
，求椭圆C 的离心率。
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且||5||1N F MN =，求椭圆的标准方程。
11、已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，离心率22=e ，连接
椭圆的四个顶点所得四边形的面积为24。
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设A ，B 是直线l ：22=x 上不同的两点，若021=•BF AF ，求|AB|的最小值。