椭圆 椭圆的几何性质

【例1】 设()P x y ，

是椭圆2244x y +=上的一个动点，定点(10)M ，，则2||PM 的最大值是（ ） A ．

2

3

Ｂ．1 C ．3 D ．9

【例2】 点M 是椭圆22

12516

x y +

=上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则||ON =（ ） A ．

32

B ．2

C ．4

D ．8

【例3】 已知P 为椭圆

22

1259

x y +=上动点，F 为椭圆的右焦点，点A 的坐标为(31)，，则||||PF PA +的最小值为（ ）

A ．102+

B ．102-

C ．1052+

D ．1052-

【例4】 已知椭圆方程为22

1499

x y +

=中，12F F ，分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有（ ）

①焦点在x 轴上，其坐标为(70)±，

； ②若椭圆上有一点P 到1F 的距离为10，则P 到2F 的距离为4； ③焦点在y 轴上，其坐标为(0210)±，； ④49a =，9b =，40c =．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

【例5】 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线

典例分析

板块三.椭圆的几何性质

经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4a B ．()2a c - C ．()2a c +

D ．以上答案均有可能

【例6】 设椭圆22

22

11

x y m m +=-(1)m >上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到椭圆的中心的距离为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

【例7】 P 为椭圆

2212516

x y +=上一点，,M N 分别是圆()2234x y ++=和()2

231x y -+=上的点，则PM PN +的取值范围是（ ）

A ． []7,13

B ．[]10,15

C ． []10,13

D ． []7,15

【例8】 过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2

212

x y +=交于A 、C 与B 、D ，

则四边形ABCD 面积的最小值为（ ） A ．8

3

B ．42

C ．22

D ．

43

【例9】 椭圆22

12516

x y +

=的焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于一点P ，那么1PF 的值是_________．

【例10】 求过椭圆22

142

x y +

=的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的三角形2ABF ∆的周长是 ．

【例11】 已知1F 、2F 为椭圆22

1259

x y +

=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB =________．

【例12】 设椭圆22

12516

x y +

=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点

M 满足1

()2

OM OP OF =+，则OM = ．

【例13】 已知P 是椭圆2244x y +=上一点，则P 到点(10)M ，

的最大值为 ____．

【例14】 已知(32)A ，

，(40)F -，，P 是椭圆22

1259

x y +=上一点，则PA PF +的最大值为________．

【例15】 如图，把椭圆

22

12516

x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567P P P P P P P ，

，，，，，七个点，F 是椭圆的左焦点，则1

234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ．

【例16】 设F 是椭圆22176

x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(12321)i P i =，，，，，使12321FP FP FP FP ，

，，，，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ．

【例17】 椭圆22

1925

x y +

=上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是___________．

【例18】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>F A ，分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于________．

【例19】 椭圆22

192

x y +

=的焦点为12F F ，，点P 在椭圆上．若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．

【例20】 椭圆22

194

x y +

=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______．

【例21】 椭圆223721x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是

．

【例22】 设M 是椭圆22

143

x y +

=上的动点，1A 和2A 分别是椭圆的左、右顶点，则12MA MA ⋅的最小值等于 ．

【例23】 点P 为椭圆22

154

x y +

=在第一象限内的一点，以点P 以及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是______．

【例24】 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=°，椭圆的短半

轴长为b ，则三角形12PF F △的面积为______．

【例25】 已知1F 、2F 是椭圆22

22:1x y C a b

+=()0a b >>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，

且12PF PF ⊥．若12PF F ∆的面积为9，则b = ．

【例26】 设12F F ，

为椭圆22

143

x y +=左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P Q ，两点，当四边形12PF QF 面积最大时，12PF PF ⋅的值等于______．

【例28】 设AB 是过椭圆22

221(1)x y a b a b

+=>>中心的弦，椭圆的左焦点为1(0)F c -，

，则1F AB ∆的面积的最大值为_________．