2.2.2椭圆的简单几何性质
学案12：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．观察教材，思考以下问题：(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中x，y的取值范围各是什么？(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的对称轴和对称中心各是什么？(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与坐标轴的交点坐标是什么？(4)椭圆的长轴和短轴分别对应图中的哪些线段？(5)椭圆的离心率是什么？用什么符号表示？其取值范围是什么？(6)如果保持椭圆的长半轴长a不变，改变椭圆的短半轴长b的值，你发现b的变化与椭圆的扁圆程度有什么关系？(7)根据离心率的定义及椭圆中a，b，c的关系可知，e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝1－⎝⎛⎭⎫ba2，所以e越接近于1，则c越接近于a，从而b＝a2－c2就越小；e越接近于0，则c越接近于0，从而b越接近于a.那么e的大小与椭圆的扁圆程度有什么关系？2．归纳总结，核心必记椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程续表焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)离心率e＝ca(0<e<1)问题思考(1)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？(2)借助椭圆图形分析，你认为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值各是何值？(3)如何用a，b表示离心率？课堂互动区知识点1 由椭圆的标准方程研究几何性质讲一讲1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．类题·通法解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量． 练一练1．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．知识点2 由椭圆的几何性质求方程 讲一讲2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5，0)； (2)离心率e ＝35，焦距为12.类题·通法(1)根据椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．(2)在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定其所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长、焦距时，则不能确定焦点的位置，这时应对两种情况分别求解并进行取舍．练一练2．求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2，3)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.知识点3 求椭圆的离心率讲一讲3．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c，0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为b7，求椭圆的离心率e.类题·通法求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝ca求解．若已知a，b或b，c，可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．练一练3．如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是椭圆的几何性质及椭圆离心率的求法，难点是求椭圆的离心率．2．由椭圆的几何性质求标准方程时易忽视椭圆的焦点位置，这也是本节课的易错点．3．本节课要重点掌握的规律方法(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式，见讲1.(2)根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法，见讲2.(3)求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用，见讲3.参考答案预习导引区核心必知1．(1)提示：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ．(2)提示：对称轴为x 轴和y 轴，对称中心为坐标原点(0，0)． (3)提示：与x 轴的交点坐标为(±a ，0)，与y 轴的交点坐标为(0，±b )． (4)提示：长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2. (5)提示：离心率e ＝ca；0<e <1.(6)提示：b 越大，椭圆越圆；b 越小，椭圆越扁． (7)提示：e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 问题思考(1)提示：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远． (2)提示：点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离，分别为a ＋c 和a －c ． (3)提示：由e ＝c a 得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2， ∴e ＝ 1－⎝⎛⎭⎫b a 2. ∴e ＝1－b 2a2. 课堂互动区知识点1 由椭圆的标准方程研究几何性质 讲一讲1．解：将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6，2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3，0)，A 2(3，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，离心率e ＝c a ＝53.练一练1．解：椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)， 可转化为x 21m 2＋y 214m 2＝1.∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.知识点2 由椭圆的几何性质求方程 讲一讲2．解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. (2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1.练一练2．解：(1)若椭圆的焦点在x 轴上， 设标准方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴1b 2＋9b 2＝1，b 2＝10.∴方程为x 240＋y 210＝1.若椭圆的焦点在y 轴上． 设椭圆方程为y 24b 2＋x 2b2＝1(b >0)，∵椭圆过点A (2，3)，∴94b 2＋4b 2＝1，b 2＝254.∴方程为y 225＋4x 225＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋4x 225＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.知识点3 求椭圆的离心率 讲一讲3．解：由A (－a ，0)，B (0，b )， 得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b ＝bax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7， ∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0， 即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a ＋5＝0.∴8e 2－14e ＋5＝0. 解得e ＝12或e ＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.练一练3．解：由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则由题意可知P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ， ∴PF 1BO ＝F 1O OA . ∴b 2a b ＝ca ，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.。
2.2.2椭圆的简单几何性质2(第二定义)
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
M
F (c,0) 0
F (c,0)
a xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c
2
a2 x c
x y 对于椭圆 2 2 1(a b 0) a b 相应于焦点 F (c,0) 的准线 x a2 方程是 x c
由椭圆的对称性，相应于焦点
a2 F (c,0) 的准线方程是 x c
三.知识迁移，深化认识
a2 x c
这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为2a, 短轴长为 2b 的椭圆.
二.问题探究，构建新知
概念分析
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c F -c ,, 0 ) 2 线的距离的比是一个常数 时 这个点的 e (0 M e 1 ) ( 能不能说 到 a a 的距离与到直线 x 轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的 c 的距离比也是离 焦点,定直线叫做椭圆的准线 心率,, e常数 呢? e是椭圆的离心率. y 2 2
二.课题引入 已知动点P到定点(4,0)的距离与到定直线
4 25 的距离之比等于 ,求动点P的轨迹. x 5 4
问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么？ 问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？ 若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它 c a2 到定直线l:x 的距离的比是常数 e a c (0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
2.2.2椭圆的简单几何性质习题课
θ
θ
2
2
cos
θ
2 cos
θ
2
2 = b 2 tan θ 2
x y 3、已知点 P 是椭圆 + = 1上的一点， 9 7 焦点分别是 F 1、 F 2，且 ∠ PF 1 F 2 = 45 ο , 则 ∆ PF 1 F 2的面积为 _____ 。
2
2
法一： 设PF1 = x, 则PF2 = 6 − x. 在∆PF1 F2中，由余弦定理可以 7 1 求出x = ，然后用 S = ab sin C 2 2 求出三角形的面积。
推广： 推广：
设 PF 1 = x , PF 2 = y , x 2 + y 2 − 2 xy cos θ = 4 c 2 ; 则 x + y = 2a; ∴ ( x + y ) 2 − 2 xy − 2 xy cos θ = 4 c 2 2b 2 ∴ xy = cos θ + 1 1 b 2 sin θ ∴ S = xy sin θ = 2 cos θ + 1 = b 2 sin
三、求椭圆的离心率
如图所示， 和上顶点， F1 为椭圆的左焦点， P 为椭圆上的点， ) 时， A 、 B 分别为椭圆的右顶点 当 PF 1 ⊥ F1 A ， PO // AB ( O 为椭圆中心 求椭圆的离心率。
解： ∵ A ( a , 0 ), B ( o , b ) b ∴ k AB = − a b 2 ∵ P (− c, )∴ k a 又 ∵ k AB = k OP b b ∴ − = − a ac ∴ b = c c ∴ e = = a
设出椭圆上 P 点的坐标， 写出两个向量的坐标， 运算数量积，运用二次 函数 的有关知识求最值。
2.2.2椭圆的简单几何性质2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角 、 1 形，则其离心率为 2 。 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其 、 的两个焦点把长轴分成三等分， 1 离心率为 3 。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=__________ 则其离心率 5
如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地 例1 如图 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 是以地 地球的中心)F 已知它的近地点A(离 心(地球的中心 2为一个焦点的椭圆 已知它的近地点 离 地球的中心 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点 地面最近的点)距地面 距地面439km,远地点 距地面 远地点B距地面 地面最近的点 距地面 远地点 距地面2384km.并且 并且 F2、A、B在同一直线上，地球半径约为 在同一直线上， 、 在同一直线上 地球半径约为6371km,求卫星运 求卫星运 行的轨道方程（精确到1km). 行的轨道方程（精确到
( x − c)2 + y2 a2 −x c
c = . a
将上式两边平方，并化 ，得 将上式两边平方， 简
a （ 2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2(a2 − c2 ). a 设 2 − c2 = b2 ,则方程可化成 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0). 2 a b
这是椭圆的标准方程， 所以点 的轨迹是长轴、短轴长 M 的轨迹是长轴、 这是椭圆的标准方程，
x y + 2 =1 2 a b
(a > b > 0),
F1 B D
Y
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
2.2.2椭圆的简单几何性质课件人教新课标2
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
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a
a2 b2
b2
1
a2
a2
标准方程
图形
焦点坐标 范围 对称性
三.椭圆的几何性质
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
B2 y
A1 •
• O
•Ax2
B•1
(-c,0)和(c,0)
y2 a2
bx22A2 •1y(a
b
0)
B1 •
•B2
Ox
A1•
(0,-c)和(0,c)
a x a, b y b a y a, b x b
y
（1） MP 1 MF MP d
e
有最小值 （2） MP MF
M1
M
P
F1
F M2 x
分析 MP MF PF
PF MP MF PF
M1 使左边等号成立，M2 使右边等号成立 此式有最大值有最小值
例2 在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段
PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点
| |
PF1 PM
| |
e
x0
| PF1 | ( a2
c
)
e
a2 | PF1 | e( x0 c ) ex0 a
| PF2 | 2a | PF1 | 2a (ex0 a) a ex0
该公式的记忆方法为‘‘左加右减”，即在a与ex0之 间， 如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用 “－”号连接．
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
学生活动
思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2 ，
怎样确定椭圆焦点的位置？
B2
a
A1
F1 c
b
oc
a
A2
F2
因为a2=b2+c2,所以以椭圆B1 短轴端点为 圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为 椭圆焦点.
4
法
方法总结
❖ 1.椭圆定义要特别注意条件2a>2c ❖ 2.利用相关点法求动点轨迹时,寻找两个相关
的动点关系是关键 ❖ 3.求出轨迹方程后,检验特殊点是否在轨迹上
是必须要做的一步,判断是否需要去“杂”添 “点”.
小结
1. 椭圆的第二定义 2.焦半径： ①焦点在x轴上时：
│PF1│=a+ex0，│PF2│=a-ex0； ②焦点在y轴上时：
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
x2 y2
x2 y2
1
1
25 y 16
4
25y 4
A1
3
2 1
B2
4 3
B2
A2
A1
F1
2 1
F2 A2
-5 -4 -3 -2 --11 B11 2 3 4 5 x
-2
F1 -3
F2
-4
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
焦半径公式 ①焦点在x轴上时：
“左加右减”
│PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo； ②焦点在y轴上时：
│PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。
课堂练习
“上减下加”
1点、（椭-2圆，0）1x的12 距 离y72的比1是上一点到（准B线）x
11 2
与到焦
( A) 2 11 11
(B) 11 2
离心率、焦点和顶点坐标
x
2
解：把已知方程化成标准方程
y2
1
52 42
这里， a 5, b 4, c 25 16 3
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
离心率 e c 3 0.6 a5
焦点坐标分别是
F1(3,0), F2 (3,0)
四个顶点坐标是
A1 (5,0), A2 (5,0), B1 (0,4), B2 (0,4)
a2 x x
c
x2 b2
y2 a2
1(a
A2 •y
b
0)
B1 • F2 •B2 Ox
A1•
y a2 c
由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：
设 点P,F(x10(,cy,00)是), 椭F2圆(c,0a)x分22 别by2是2 椭1(a圆的b 左0焦) 上点的、一右焦点, 我们把线段PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦 半径、右焦半径.
(C) 2 11
(D) 7 11
2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆
的离心率是( C )
A 3
B 3
2
C 3
3
D 3
4
3.若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F （2，0），则椭圆的方程是 _3_x_2_-8_x_+_4_y_2_=_0_
例7. 解：
例
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程 2、确定焦点的位置和长轴的位置
例6 点M (x, y)与定点F (4,0)的距离和它到直线
l : x 25的距离的比是常数 4，求点M的轨迹。
4
解：设d是点M到直线l
:
x
25的距5离，根据题意，
4
y
点M的轨迹就是集合P M
MF d
4 5
,
l Md
H
│PF1│=a+ey0,│PF2│=a-ey0。
2.已知椭圆 x2 y2 1内有一点 P(1,-1) ，F是椭圆的右
43
焦点，在椭圆上有一点 M，使 |MP|+2|MF|的值最小，求 M 的坐标．
变式：⑴若 1|MP|+|MF|的最小值？
2
⑵ |MP|-|MF|的值最小
(3) |MP|+|MF|的值最小
(4)|MF|的最小值
求距离最值的类型：
4、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭
圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭 圆就越圆
[3]e与a,b的关系:
e
c
过M做MN垂直于左准线，垂足N,若 MN 为
MF1 , MF2 的等比中项，则
MN 2 MF1 MF2
即
( x0
4)2
(2
x0 2
)(2
x0 2
)
得 5 x02 32 x0 48 0
12 x0 4或x0 5
因为椭圆上的点的横坐标x0 [-2,2],故椭圆上 不存在点M,使 MN 为 MF1 , MF2 的等比中项。
x2 对于椭圆 a 2
准线方程是 x
a
y2 2b 2
1，相应于焦点F（c,0)
, 根据椭圆的对称性，相应于
c
焦点F‘(-c.0) 准线方程是
x a2 ,
所以椭圆有两条准线。
c
标准方程 图形
准线
三.椭圆的几何性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
B2 y
A1 •
•
A2
O F2 •
B1•
能否在椭圆x42
y2 3
1
上找到一点M，使M到左
准线的距离为M到两焦点F1 ，F2的距离的等比中项ຫໍສະໝຸດ 若能，求出M的坐标；若不能，说明理由。
解：椭圆上任一点M(x0,y0)到左右焦点的距离分
别为a+ex0,a-e0,且a=2,b= 3 ,c=1,e=1/2.
1
1
MF1 2 2 x0, MF2 2 2 x0
B1
思考：
观察上面两个图，说出椭圆
x2 a2
y2 b2
-4
1(a b 0)
有什么特征？你能从图中看出它的范围吗?它具有 怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?
椭圆
简单的几何性质
x2 1、范围：由 a 2 ≤1,
y 2 ≤1 得 b2
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
由此得 (x 4) y2 4.
25 x
5
oF
x
4
将上式两边平方，并化简，得9x2 25y2 225, 即 x2 y2 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
变式、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线 l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的
动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
当焦点在Y轴上时
y2 x2 1(a b 0) a2 b2
M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为(x, y),
y P
M
点P的坐标为(x0, y0 ),
oD
x
由D的坐标为( x0 ,0), 则x
x0 ,
y
y0 . 2
因为点P( x0 ,
y0 )在圆x2
y2
4上，所以x02
y2 0