2.2.2椭圆的简单几何性质(最全)
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2.2.2椭圆的简单几何性质2(第二定义)
2.2.2椭圆的简单几何性质(二)
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
M
F (c,0) 0
F (c,0)
a xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c
2
a2 x c
x y 对于椭圆 2 2 1(a b 0) a b 相应于焦点 F (c,0) 的准线 x a2 方程是 x c
由椭圆的对称性，相应于焦点
a2 F (c,0) 的准线方程是 x c
三.知识迁移，深化认识
a2 x c
这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为2a, 短轴长为 2b 的椭圆.
二.问题探究，构建新知
概念分析
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c F -c ,, 0 ) 2 线的距离的比是一个常数 时 这个点的 e (0 M e 1 ) ( 能不能说 到 a a 的距离与到直线 x 轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的 c 的距离比也是离 焦点,定直线叫做椭圆的准线 心率,, e常数 呢? e是椭圆的离心率. y 2 2
二.课题引入 已知动点P到定点(4,0)的距离与到定直线
4 25 的距离之比等于 ,求动点P的轨迹. x 5 4
问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么？ 问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？ 若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它 c a2 到定直线l:x 的距离的比是常数 e a c (0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
M
F (c,0) 0
F (c,0)
a xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c
2
a2 x c
x y 对于椭圆 2 2 1(a b 0) a b 相应于焦点 F (c,0) 的准线 x a2 方程是 x c
由椭圆的对称性，相应于焦点
a2 F (c,0) 的准线方程是 x c
三.知识迁移，深化认识
a2 x c
这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为2a, 短轴长为 2b 的椭圆.
二.问题探究，构建新知
概念分析
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c F -c ,, 0 ) 2 线的距离的比是一个常数 时 这个点的 e (0 M e 1 ) ( 能不能说 到 a a 的距离与到直线 x 轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的 c 的距离比也是离 焦点,定直线叫做椭圆的准线 心率,, e常数 呢? e是椭圆的离心率. y 2 2
二.课题引入 已知动点P到定点(4,0)的距离与到定直线
4 25 的距离之比等于 ,求动点P的轨迹. x 5 4
问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么？ 问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？ 若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它 c a2 到定直线l:x 的距离的比是常数 e a c (0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
心一定是原点吗？ y
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
2.2.2椭圆的简单几何性质2
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角 、 1 形，则其离心率为 2 。 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其 、 的两个焦点把长轴分成三等分， 1 离心率为 3 。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=__________ 则其离心率 5
如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地 例1 如图 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 是以地 地球的中心)F 已知它的近地点A(离 心(地球的中心 2为一个焦点的椭圆 已知它的近地点 离 地球的中心 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点 地面最近的点)距地面 距地面439km,远地点 距地面 远地点B距地面 地面最近的点 距地面 远地点 距地面2384km.并且 并且 F2、A、B在同一直线上，地球半径约为 在同一直线上， 、 在同一直线上 地球半径约为6371km,求卫星运 求卫星运 行的轨道方程（精确到1km). 行的轨道方程（精确到
( x − c)2 + y2 a2 −x c
c = . a
将上式两边平方，并化 ，得 将上式两边平方， 简
a （ 2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2(a2 − c2 ). a 设 2 − c2 = b2 ,则方程可化成 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0). 2 a b
这是椭圆的标准方程， 所以点 的轨迹是长轴、短轴长 M 的轨迹是长轴、 这是椭圆的标准方程，
x y + 2 =1 2 a b
(a > b > 0),
F1 B D
Y
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角 、 1 形，则其离心率为 2 。 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其 、 的两个焦点把长轴分成三等分， 1 离心率为 3 。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=__________ 则其离心率 5
如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地 例1 如图 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 是以地 地球的中心)F 已知它的近地点A(离 心(地球的中心 2为一个焦点的椭圆 已知它的近地点 离 地球的中心 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点 地面最近的点)距地面 距地面439km,远地点 距地面 远地点B距地面 地面最近的点 距地面 远地点 距地面2384km.并且 并且 F2、A、B在同一直线上，地球半径约为 在同一直线上， 、 在同一直线上 地球半径约为6371km,求卫星运 求卫星运 行的轨道方程（精确到1km). 行的轨道方程（精确到
( x − c)2 + y2 a2 −x c
c = . a
将上式两边平方，并化 ，得 将上式两边平方， 简
a （ 2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2(a2 − c2 ). a 设 2 − c2 = b2 ,则方程可化成 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0). 2 a b
这是椭圆的标准方程， 所以点 的轨迹是长轴、短轴长 M 的轨迹是长轴、 这是椭圆的标准方程，
x y + 2 =1 2 a b
(a > b > 0),
F1 B D
Y
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
椭圆的简单几何性质
活页规范训练
焦点的位置 范围
顶点 轴长
焦点在x轴上
__－__a_≤_x_≤__a_ _且__－__b_≤__y≤__b__
_A_1_(_－__a_，__0_)、__A__2(_a_，__0_) _B_1_(_0_，__－__b_)、__B__2(_0_，__b_)
焦点在y轴上 __－__b_≤_x_≤__b_ _且__－__a_≤__y≤__a__
y2 3.42
1.
例6.点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到
定直线
l:x
a2 的距离的比是常数
c
c (a a
c
0)
，求
点M的轨迹
.
解：设 d是点M到直线 l的距离，则 l '
y
l
由题意知
|
MF d
|
c a
即
(x c)2 y2
|
a2 c
x
|
c a
.
.M d
..
F’O F
x
化简 (a2 c2)x2 a2 y2 a2(a2 c2) .
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
名师点睛
1．椭圆几何性质的应用 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小， 离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征， 顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已 知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质． (2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不 要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭 圆的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端 点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点 就是焦点．
2.2.2椭圆的简单几何性质(3)直线与椭圆的位置关系
题型三：中点弦问题
例1、已知椭圆 x2 y2 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程.
点 作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
例2、如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2 ，试求a、b的值。
2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
x y 1 0
A
=4b2 -4(a b)(b 1) 0 ab a b 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
M
o
x
B
x1
x2
2b ab
0)
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
18
9
x1 x2
7
, x1 x2
14
弦长
1 k2
(x1 x2 )2
4x1 x2
6
11 7
练习： 已知椭圆5x2+9y2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ45，椭圆的右焦点为F，
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质椭圆是一种重要的几何图形，它具有一些独特的性质和特征。
在本文档中，我们将介绍一些椭圆的简单几何性质，包括定义、方程、焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线等内容。
1. 定义椭圆是平面上的一个闭合曲线，其定义如下：对于给定的两个点F₁ 和F₂ 以及一条固定长度的线段 2a（长轴），满足到椭圆上任意一点的两个焦点到该点的距离之和始终等于 2a（F₁P + F₂P = 2a，其中 P 为椭圆上任意一点）。
2. 方程一般来说，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中 (h, k) 为椭圆的中心坐标，a 和 b 分别为长轴和短轴的长度。
3. 焦点与准线椭圆的焦点是定义椭圆的两个特殊点，记作F₁ 和F₂。
它们位于椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离为 c（c² = a² - b²，对于椭圆来说，c < a）。
准线是垂直于长轴且通过中心的直线，可表示为 x = h ± a/e，其中 e 为离心率。
4. 长轴和短轴椭圆的长轴为横坐标轴的长度，并且它是离心率 e 的倒数（2a = 1/e）。
短轴则为纵坐标轴的长度，且它与长轴的关系为 b² = a² - c²。
5. 离心率离心率 e 描述了椭圆形状的独特特征。
在数值上，离心率是一个小于 1 的正实数，可以通过以下公式计算：e = c / a离心率越接近0，椭圆形状越接近于圆形；离心率越接近1，椭圆形状越扁平。
6. 切线椭圆上任意一点的切线是与该点相切且仅与椭圆相交于此点的直线。
切线的斜率可通过直线与椭圆方程联立解得。
一般来说，椭圆有两条切线与其相切。
结论椭圆作为一种重要的几何图形，具有许多简单而重要的性质。
从定义到方程，再到焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线，椭圆的性质非常丰富。
通过研究这些性质，我们可以更好地理解椭圆的形状和特征，为后续的几何学习奠定基础。
2.2.2椭圆的简单几何性质
e
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
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(3,0) .
0 ,其长轴长是短轴 例2 椭圆的一个顶点为 A2， 长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
a 2， A2， 0为长轴端点时， b 1， 2 2 x y 椭圆的标准方程为： ； 1 4 1 （2）当 A2， ， 0 为短轴端点时，b 2 , a 4 x2 y2 椭圆的标准方程为： 1 4 16 2 x y2 x2 y2 1 或 1 综上所述，椭圆的标准方程是 4 1 4 16
2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e 则椭圆的方程 为（ C ） (A) (C)
x2 y 2 1 36 20
2 2 x2 y 2 y x 1 或 1 9 5 9 5
(B)
(D)
09:23:04
28
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为 :
解：（1）当
09:23:04 26
练习2：
已知椭圆
x2 y2 1 k 8 9
1 的离心率 e 2
，求
k 的值
解：当椭圆的焦点在
2
x 轴上时，
2 2 c k 1 b 9 a k 8 1 由 e ，得： k 4 2
当椭圆的焦点在
2
y 轴上时，
2
2 c 1 k a 9 b k 8 1 5 1 k 1 ，即 由 e ，得 ． k 9 4 2 4 5 ∴满足条件的 k 4 或 k ． 4
c=3
x o
20
练习
为
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则 1 其离心率为 。 2 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率 1 为 。 3 4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=__________ 5
a ,0
(
）;(0, b)
c, 0)
b ,0 ）; (0, a) (0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c
a2=b2+c2 a＞b>0 a>c>0
c e a
2 2 x y 课堂小结用曲线的图形和方程 2 2 1 (a b 0) a b
来研究椭圆的简单几何性质
y B1(0,b) o A2 x
B2(0,-b)
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长 |A1A2|=2a
短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b 焦 距 |F1F2| =2c
注意
B2(0,b)
y
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？ 椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁 2)c 越接近 0，e就越接近 0，b就越大，椭圆就越圆 3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，
令x=0,得y=？说明椭圆
A1(-a,0)
2 2
B1(0,b)
o
A2(a,0) x
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b) 令y=0,得x=？说明椭圆
B2(0,-b)
与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
三、椭圆的顶点
长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长 A1 轴和短轴。
椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。
b F1 a
a
长半轴长和短半轴长；
②
o
c
A2 (a, 0) F2
x
|B2F2|=a； a2=b2+c2，
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小 结：
由椭圆的范围、对称性和顶点，
再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （ 1） 25 16
y
y
y
F2
F1
o
F2
x
F1
o
F2
x
F1
o
x
Ax By C 0 则由 x 2 y 2 a/ x2 b/ x c/ 0 2 2 1 b a
标准方程 图象 范围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
（
关于x轴，y轴，原点对称 （
椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
小试身手：
2.说出椭圆
x y2 1 9 16
2
的范围,长轴
长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
3 x 3, 4 y 4 2a 8, 2b 6
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0)， 2 a b a 2b a 2 5 依题意有： 得： 16 1 b 5 2 2 1 a b
x y 故椭圆方程为 : + = 1. 20 5
2 2
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上 (C) 点(-3,6)在椭圆上
C
(D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭 圆的顶点。 y
x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
2
2
2
2
练习1： 比较下列每组椭圆的形状，哪一个 更圆，哪一个更扁？为什么？
x y (1)9 x y 36与 1； 16 12 2 2 x y 2 2 （2）x 9 y 36与 1。 6 10
2 2
2
2
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 焦距是
解： 若焦点在y轴上，
4x 同理求得椭圆方程为： 1. 65 65 所以椭圆的标准方程为：
y
2
2
x
2
20
y
2
5
1 或
y
2
65
x
2
65 4
1.
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1. 经过点P（－3,0）、Q（0，－2）；
注意：焦点落在椭圆的长轴上
x2 y2 1 9 4
3 2. 长轴的长等于20，离心率等于 . 5
注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上， 必须讨论两种情况 x2 y2 x2 y2 1或 1 100 64 64 100
2.2.2 椭圆的简单几何性质
复习： 1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点 的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是
2 2 2 a =b +c
09:23:03 2
椭圆的标准方程
焦点在x 轴上
y
M F1
x y 2 1 2 a b
-a
o
2
y
b a
x
x y x 由 2 2 1 2 a b a
2
2
-b 2 y 1和 2 1 b
即： x a和 y b
结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成 的矩形里． 即
-a≤x≤a -b ≤y≤b
二、椭圆的对称性
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 心对称。
即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为 对称中心。
8
x2 y 2 练习：1.已知点P(3，6)在 a2 b2 1 上,则(
y
4 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （ 2） 25 4
y
4 3 2 1
B2
A2
1 2 3 4 5
B2 A2
1 2 3 4 5
A1
A1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
x
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
x
B1
09:23:04
14
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率．
x2 y2 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的存在范围是什么？ [2]上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？ [3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？
0 ,其长轴长是短轴 例2 椭圆的一个顶点为 A2， 长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
a 2， A2， 0为长轴端点时， b 1， 2 2 x y 椭圆的标准方程为： ； 1 4 1 （2）当 A2， ， 0 为短轴端点时，b 2 , a 4 x2 y2 椭圆的标准方程为： 1 4 16 2 x y2 x2 y2 1 或 1 综上所述，椭圆的标准方程是 4 1 4 16
2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e 则椭圆的方程 为（ C ） (A) (C)
x2 y 2 1 36 20
2 2 x2 y 2 y x 1 或 1 9 5 9 5
(B)
(D)
09:23:04
28
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为 :
解：（1）当
09:23:04 26
练习2：
已知椭圆
x2 y2 1 k 8 9
1 的离心率 e 2
，求
k 的值
解：当椭圆的焦点在
2
x 轴上时，
2 2 c k 1 b 9 a k 8 1 由 e ，得： k 4 2
当椭圆的焦点在
2
y 轴上时，
2
2 c 1 k a 9 b k 8 1 5 1 k 1 ，即 由 e ，得 ． k 9 4 2 4 5 ∴满足条件的 k 4 或 k ． 4
c=3
x o
20
练习
为
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则 1 其离心率为 。 2 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率 1 为 。 3 4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=__________ 5
a ,0
(
）;(0, b)
c, 0)
b ,0 ）; (0, a) (0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c
a2=b2+c2 a＞b>0 a>c>0
c e a
2 2 x y 课堂小结用曲线的图形和方程 2 2 1 (a b 0) a b
来研究椭圆的简单几何性质
y B1(0,b) o A2 x
B2(0,-b)
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长 |A1A2|=2a
短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b 焦 距 |F1F2| =2c
注意
B2(0,b)
y
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响：
观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？ 椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁 2)c 越接近 0，e就越接近 0，b就越大，椭圆就越圆 3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，
令x=0,得y=？说明椭圆
A1(-a,0)
2 2
B1(0,b)
o
A2(a,0) x
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b) 令y=0,得x=？说明椭圆
B2(0,-b)
与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
三、椭圆的顶点
长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长 A1 轴和短轴。
椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。
b F1 a
a
长半轴长和短半轴长；
②
o
c
A2 (a, 0) F2
x
|B2F2|=a； a2=b2+c2，
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小 结：
由椭圆的范围、对称性和顶点，
再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （ 1） 25 16
y
y
y
F2
F1
o
F2
x
F1
o
F2
x
F1
o
x
Ax By C 0 则由 x 2 y 2 a/ x2 b/ x c/ 0 2 2 1 b a
标准方程 图象 范围 对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 a,b,c关系 离 心 率
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
（
关于x轴，y轴，原点对称 （
椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
小试身手：
2.说出椭圆
x y2 1 9 16
2
的范围,长轴
长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
3 x 3, 4 y 4 2a 8, 2b 6
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0)， 2 a b a 2b a 2 5 依题意有： 得： 16 1 b 5 2 2 1 a b
x y 故椭圆方程为 : + = 1. 20 5
2 2
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆的标准方程.
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上 (C) 点(-3,6)在椭圆上
C
(D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭 圆的顶点。 y
x y + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
2
2
2
2
练习1： 比较下列每组椭圆的形状，哪一个 更圆，哪一个更扁？为什么？
x y (1)9 x y 36与 1； 16 12 2 2 x y 2 2 （2）x 9 y 36与 1。 6 10
2 2
2
2
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 焦距是
解： 若焦点在y轴上，
4x 同理求得椭圆方程为： 1. 65 65 所以椭圆的标准方程为：
y
2
2
x
2
20
y
2
5
1 或
y
2
65
x
2
65 4
1.
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1. 经过点P（－3,0）、Q（0，－2）；
注意：焦点落在椭圆的长轴上
x2 y2 1 9 4
3 2. 长轴的长等于20，离心率等于 . 5
注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上， 必须讨论两种情况 x2 y2 x2 y2 1或 1 100 64 64 100
2.2.2 椭圆的简单几何性质
复习： 1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点 的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是
2 2 2 a =b +c
09:23:03 2
椭圆的标准方程
焦点在x 轴上
y
M F1
x y 2 1 2 a b
-a
o
2
y
b a
x
x y x 由 2 2 1 2 a b a
2
2
-b 2 y 1和 2 1 b
即： x a和 y b
结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成 的矩形里． 即
-a≤x≤a -b ≤y≤b
二、椭圆的对称性
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 心对称。
即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为 对称中心。
8
x2 y 2 练习：1.已知点P(3，6)在 a2 b2 1 上,则(
y
4 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （ 2） 25 4
y
4 3 2 1
B2
A2
1 2 3 4 5
B2 A2
1 2 3 4 5
A1
A1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
x
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
x
B1
09:23:04
14
四、椭圆的离心率
c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e = ,叫做 a 椭圆的离心率．
x2 y2 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b
所表示的椭圆的存在范围是什么？ [2]上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？ [3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？