得出的结论
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-
20
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综
合结论（不讨论
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k
k
k
分
布情况两根都在()n
m,内两根有且仅有一根在
()n
m,内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在()n
m,内，另一根在()q
p,
内，q
p
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大
致图象
（
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得出的结论
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论
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综合结论
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根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()外，即在区间两侧12，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n
0f m f n >???>??
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：
（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以
求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2
220mx m x -++=在区间
()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为
2
m
，由213m <<得223m <<即
为所求；
2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2
4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314
m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3
2
m =
，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =?-，故3
2
m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1
12
m -<<即为所求的范围。 例2、已知方程()2
210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
解：由
()()0102200m f ?>??
-+?->?
?>??
? ()2
18010m m m m ?+->?>-??>? ? 322322
0m m m ?<->+??>??或? 0322m <<-322m >+即为所求的范围。
例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的
取值范围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ? 1
22
m -<<
即为所求的范围。 例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ? ()4310m +< ? 1
3
m <-
即为所求范围。（注：对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0?=计算检验，均不复合题意，计算量稍大）
1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点．
当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．观察图象不难知道．
图像为
观察图象不难知道△=0，a＞0 , △=0，a＜0
当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为
观察图象不难知道．a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R．
a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R．
2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：
（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；
（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．
就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．
设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：
②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑
三、好题解给你 (1)预习题 1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，
当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？
由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？
解：经配方有y＝2(x-2)2-7 ∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边，
∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此y max=f(4)＝1． y min＝f(3)＝-5．
2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？
当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？
由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．
解：经配方有y＝2(x-a)2+3．对称轴为x=a．
当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大．
当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．
当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．
根据上述分析，可知．当a≤3时，y max=f(4)=2a2-16a+35．y min=f(3)＝2a2-12a+21．
当3＜a＜4时，y min＝f(a)＝3．其中，a≤3.5时，y max＝f(4)＝2a2-16a+35．
a≥3.5时，y max＝f(3)＝2a2-12a+21．当a≥4时，y max＝f(3)＝2a2-12a+21．y min＝f(4)＝2a2-16a+35．
(1)(2)基础题例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：
(1)m为何值时，有一正根、一负根．(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．
(3)m为何值时，有两正根．(4)m为何值时，有两负根．
(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？
解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．
∴ m＜-2．反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．
(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．
依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1＜0．
(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件
依韦达定理有
(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即
[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．
∴(7m+1)(9m+10)＜0．
例2. 当m为何值时，方程有两个负数根？
解：负数根首先是实数根，∴，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，
两根之积为正．由以上分析，有
即
∴当时，原方程有两个负数根．
(3)应用题
例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？
解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2
所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．
例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：
