全国卷理科数学-第18题-概率(精选)
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率(精解精析)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 概率（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻地概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．45【结果】C思路：将4个1和2个0随机排成一行,可利用插空法,4个1产生5个空,若2个0相邻,则有155C =种排法,若2个0不相邻,则有2510C =种排法,所以2个0不相邻地概率为1025103=+．故选：C ．2．(2021年高考全国乙卷理科)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74地概率为( )A ．79B ．2332C ．932D ．29【结果】B思路：如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出地数分别为,x y ,则实验地所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<,其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74,则构成地区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭,即图中地阴影部分,其面积为13323124432A S =-⨯⨯=,所以()2332A S P A S Ω==．故选：B ．【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中地面积问题,解题关键是准确求出事件,A Ω对应地区域面积,即可顺利解出．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在一组样本数据中,1,2,3,4出现地频率分别为1234,,,p p p p ,且411i i p ==∑,则下面四种情形中,对应样本地标准差最大地一组是( )A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【结果】B思路：对于A 选项,该组数据地平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=。
2021年高考全国乙卷数学(理科)试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设2(z+z−)+3(z−z−)=4+6i，则z=()A. 1−2iB. 1+2iC. 1+iD. 1−i2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=()A. ⌀B. SC. TD. Z3.已知命题p：∃x∈R，sinx<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A. p∧qB. ￢p∧qC. p∧￢qD. ￢(p∨q)4.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是()A. f(x−1)−1B. f(x−1)+1C. f(x+1)−1D. f(x+1)+15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A. π2B. π3C. π4D. π66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，则f(x)=()A. sin(x2−7π12) B. sin(x2+π12) C. sin(2x−7π12) D. sin(2x+π12)8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为()A. 79B. 2332C. 932D. 299.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=()A. B.C. D.10.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则()A. a<bB. a>bC. ab<a2D. ab>a211.设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是()A. [√22,1) B. [12,1) C. (0,√22] D. (0,12]12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1，则()A. a<b<cB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0，则C的焦距为______ ．14.已知向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,4)，若(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，则λ=______ ．15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______ ．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______ (写出符合要求的一组答案即可)．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x−和y−，样本方差分别记为s12和s22．(1)求x−，y−，s12，s22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y−−x−≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不2√s12+s2210认为有显著提高)．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A−PM−B的正弦值．19.记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2Sn +1b n=2．(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．20.己知函数f(x)=ln(a−x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点．(1)求a；(2)设函数g(x)=x+f(x)xf(x).证明：g(x)<1．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4．(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．22.在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1．(1)写出⊙C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x+3|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>−a，求a的取值范围．答案解析1.【答案】C【解析】解：设z =a +bi ，a ，b 是实数， 则z −=a −bi ，则由2(z +z −)+3(z −z −)=4+6i ， 得2×2a +3×2bi =4+6i ， 得4a +6bi =4+6i ， 得{4a =46b =6，得a =1，b =1， 即z =1+i ， 故选：C ．利用待定系数法设出z =a +bi ，a ，b 是实数，根据条件建立方程进行求解即可． 本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．2.【答案】C【解析】解：当n 是偶数时，设n =2k ，则s =2n +1=4k +1， 当n 是奇数时，设n =2k +1，则s =2n +1=4k +3，k ∈Z ， 则T ⊊S ， 则S ∩T =T ， 故选：C ．分别讨论当n 是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断即可． 本题主要考查集合的基本运算，利用分类讨论思想结合交集定义是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】A【解析】解：对于命题p ：∃x ∈R ，sinx <1，当x =0时，sinx =0<1，故命题p 为真命题，￢p 为假命题； 对于命题q ：∀x ∈R ，e |x|≥1，因为|x|≥0，又函数y =e x 为单调递增函数，故e |x|≥e 0=1， 故命题q 为真命题，￢q 为假命题，所以p ∧q 为真命题，￢p ∧q 为假命题，p ∧￢q 为假命题，￢(p ∨q)为假命题，故选：A．先分别判断命题p和命题q的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：因为f(x)=1−x1+x =−(x+1)+21+x=−1+2x+1，所以函数f(x)的对称中心为(−1,−1)，所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y=f(x−1)+1，该函数的对称中心为(0,0)，故函数y=f(x−1)+1为奇函数．故选：B．先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为(0,0)，从而得到答案．本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定f(x)的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵AD1//BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则PB1=PC1=12√22+22=√2，BC1=√22+22=2√2，BP=√22+(√2)2=√6，∴cos∠PBC1=PB2+BC12−PC122×PB×BC1=6+8−22×√6×2√2=√32，∴∠PBC1=π6，∴直线PB与AD1所成的角为π6．故选：D．由AD1//BC1，得∠PBC1是直线PB与AD1所成的角(或所成角的补角)，由此利用余弦定理，求出直线PB与AD1所成的角．本题考查异面直线所成角和余弦定理，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：5名志愿者选2个1组，有C 52种方法，然后4组进行全排列，有A 44种， 共有C 52A 44=240种，故选：C ．5分先选2人一组，然后4组全排列即可．本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵把函数y =f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变， 再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y =sin(x −π4)的图像， ∴把函数y =sin(x −π4)的图像，向左平移π3个单位长度， 得到y =sin(x +π3−π4)=sin(x +π12)的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 可得f(x)=sin(12x +π12)的图像． 故选：B ．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图像变换规律，得出结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图像变换规律，属基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意可得可行域：{0<x <11<y <2x +y >74，可得三角形的面积=12×34×34=932， 1−932=2332． 故选：B ．由题意可得可行域：{0<x <11<y <2x +y >74，可得三角形的面积，结合几何概型即可得出结论．本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：DEAB =EHAH，FGBA=CGCA，故EHAH =CGCA，即EHAE+EH=CGAE+EG+GC，解得：AE=EH⋅EGCG−EH，AH=AE+EH，故：AB=DE⋅AHEH =DE(AE+EH)EH=DE⋅EGCG−EH+DE．故选：A．根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出．本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：令f(x)=0，解得x=a或x=b，即x=a及x=b是f(x)的两个零点，当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a<b；当a<0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2．故选：D．分a>0及a<0，结合三次函数的性质及题意，通过图象发现a，b的大小关系，进而得出答案．本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：点B的坐标为(0,b)，因为C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，所以点P的轨迹可以看成以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，即{x2a2+y2b2=1x2+(y−b)2=4b2至多一个解，消去x，可得b2−a2 b2y2−2by+a2−3b2=0，∴△=4b2−4⋅b2−a2b2⋅(a2−3b2)≤0，整理可得4b4−4a2b2+a4≤0，即(a2−2b2)2≤0，解得a2=2b2，∴e=√1−b2a2=√22，故e的范围为(0,√22]，故选：C．由题意可得{x2a2+y2b2=1x2+(y−b)2=4b2至多一个解，根据判别式即可得到a与b的关系式，再求出离心率的取值范围．本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：∵a=2ln1.01=ln1.0201，b=ln1.02，∴a>b，令f(x)=2ln(1+x)−(√1+4 x−1)，0<x<1，令√1+4 x=t，则1<t<√5∴x= t2−14，∴g(t)=2ln(t2+34)−t+1=2ln(t2+3)−t+1−2ln4，∴g′(t)=4tt2+3−1=4t−t2−3t2+3=−(t−1)(t−3)t2+3>0，∴g(t)在(1,√5)上单调递增，∴g(t)>g(1)=2ln4−1+2ln4=0，∴f(x)>0，∴a>c，同理令ℎ(x)=ln(1+2x)−(√1+4 x−1)，再令√1+4 x=t，则1<t<√5∴x= t2−14，∴φ(t)=ln(t2+12)−t+1=ln(t2+1)−t+1−ln2，∴φ′(t)=2tt2+1−1=−(t−1)2t2+1<0，∴φ(t)在(1,√5)上单调递减，∴φ(t)<φ(1)=ln2−1+1−ln2=0，∴ℎ(x)<0，∴c>b，∴a>c>b．故选：B．构造函数f(x)=2ln(1+x)−(√1+4 x−1)，0<x<1，ℎ(x)=ln(1+2x)−(√1+4 x−1)，利用导数和函数的单调性即可判断．本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．13.【答案】4【解析】解：根据题意，双曲线C：x2m−y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0，则有√3=√m，解可得m=3，则双曲线的方程为x23−y2=1，则c=√3+1=2，其焦距2c=4；故答案为：4．根据题意，由双曲线的性质可得√3=√m，解可得m的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算c的值，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题．14.【答案】35【解析】解：因为向量a⃗=(1,3)，b⃗ =(3,4)，则a⃗−λb⃗ =(1−3λ,3−4λ)，又(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，所以(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =3(1−3λ)+4(3−4λ)=15−25λ=0，解得λ=35．故答案为：35．利用向量的坐标运算求得a⃗−λb⃗ =(1−3λ,3−4λ)，再由(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，可得(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =0，即可求解λ的值．本题主要考查数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，∴12acsinB=√3⇒12ac×√32=√3⇒ac=4⇒a2+c2=12，又cosB=a2+c2−b22ac ⇒12=12−b28⇒b=2√2，(负值舍)故答案为：2√2．由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于b的方程，解方程可得．本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．16.【答案】②⑤或③④【解析】解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．通过观察已知条件正视图，确定该正视图的长和高，结合长、高、以及侧视图视图中的实线、虚线来确定俯视图图形．该题考查了三棱锥的三视图，需要学生掌握三视图中各个图形边长的等量关系，以及对于三视图中特殊线条能够还原到原立体图形中，需要较强空间想象，属于中等题．17.【答案】解：(1)由题中的数据可得，x−=110×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+ 10.0+10.1+10.2+9.7)=10，y−=110×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3，s12=110×[(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10−10)2+(10.2−10)2+(9.9−10)2 +(9.8−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2+(9.7−10)2]=0.036；s22=110×[(10.1−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.0−10.3)2+(10.1−10.3)2+(10.3−10.3)2+(10.6−10.3)2+(10.5−10.3)2+(10.4−10.3)2+(10.5−10.3)2]=0.04；(2)y−−x−=10.3−10=0.3，2√s12+s2210=2√0.036+0.0410=2√0.0076≈0.174，所以y−−x−>2√s12+s2210，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【解析】(1)利用平均数和方差的计算公式进行计算即可；(2)比较y−−x−与2√s12+s2210的大小，即可判断得到答案．本题考查了样本特征数的计算，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)连结BD，因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，则AM⊥PD，又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ，又BD ⊂平面PBD ，则AM ⊥BD ， 所以∠ABD +∠DAM =90°，又∠DAM +∠MAB =90°， 则有∠ADB =∠MAB ，所以Rt △DAB∽Rt △ABM ， 则ADAB =BABM ，所以12BC 2=1，解得BC =√2；(2)因为DA ，DC ，DP 两两垂直，故以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则A(√2,0,0),B(√2,1,0),M(√22,1,0)，P(0,0，1)，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,1)， 设平面AMP 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√2x +z =0−√22x +y =0， 令x =√2，则y =1，z =2，故n ⃗ =(√2,1,2)， 设平面BMP 的法向量为m⃗⃗⃗ =(p,q,r)， 则有{m ⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√22p =0−√2p −q +r =0， 令q =1，则r =1，故m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=3√7×√2=3√1414， 设二面角A −PM −B 的平面角为α，则sinα=√1−cos 2α=√1−cos 2<n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=√1−(3√1414)2=√7014，所以二面角A −PM −B 的正弦值为√7014．【解析】(1)连结BD ，利用线面垂直的性质定理证明AM ⊥PD ，从而可以证明AM ⊥平面PBD ，得到AM ⊥BD ，证明Rt △DAB∽Rt △ABM ，即可得到BC 的长度； (2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：当n =1时，b 1=S 1，由2b 1+1b 1=1，解得b 1=32，当n ≥2时，b nbn−1=S n ，代入2S n+1b n=2，消去S n ，可得2 b n−1b n+1b n=2，所以b b −b n−1=12，所以{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列． (2)由题意，得a 1=S 1=b 1=32， 由(1)，可得b n =32+(n −1)×12=n+22，由2S n+1b n=2，可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1= n+2n+1−n+1n=−1n(n+1)，显然a 1不满足该式，所以a n ={32,n =1−1n(n+1),n ≥2．【解析】(1)由题意当n =1时，b 1=S 1，代入已知等式可得b 1的值，当n ≥2时，将b nb n−1=S n ，代入2S n+1b n=2，可得b b −b n−1=12，进一步得到数列{b n }是等差数列；(2)由a 1=S 1=b 1=32，可得b n =n+22，代入已知等式可得S n =n+2n+1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−1n(n+1)，进一步得到数列{a n }的通项公式．本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．20.【答案】(1)解：由题意，f(x)的定义域为(−∞,a)，令g(x)=xf(x)，则g(x)=xln(a −x)，x ∈(−∞,a)， 则g′(x)=ln(a −x)+x ⋅−1a−x =ln(a −x)+−xa−x ，因为x =0是函数y =xf(x)的极值点，则有g′(x)=0，即lna =0，所以a =1， 当a =1时，g′(x)=ln(1−x)+−x1−x =ln(1−x)+−11−x +1，且g′(0)=0， 因为g′′(x)=−11−x +−1(1−x)2=x−2(1−x)2<0， 则g′(x)在(−∞,1)上单调递减， 所以当x ∈(−∞,a)时，g′(x)>0， 当x ∈(0,1)时，g′(x)<0，所以a =1时，x =0时函数y =xf(x)的一个极大值． 综上所述，a =1；(2)证明：由(1)可知，xf(x)=xln(1−x)，要证x+f(x)xf(x)<1，即需证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，因为当x∈(−∞,0)时，xln(1−x)<0，当x∈(0,1)时，xln(1−x)<0，所以需证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，即x+(1−x)ln(1−x)>0，令ℎ(x)=x+(1−x)ln(1−x)，则ℎ′(x)=(1−x)⋅−11−x+1−ln(1−x)，所以ℎ′(0)=0，当x∈(−∞,0)时，ℎ′(x)<0，当x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，所以x=0为ℎ(x)的极小值点，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即x+ln(1−x)>xln(1−x)，故x+ln(1−x)xln(1−x)<1，所以x+f(x)xf(x)<1．【解析】(1)确定函数f(x)的定义域，令g(x)=xf(x)，由极值的定义得到g′(x)=0，求出a的值，然后进行证明，即可得到a的值；(2)将问题转化为证明x+ln(1−x)xln(1−x)<1，进一步转化为证明x+ln(1−x)>xln(1−x)，令ℎ(x)=x+(1−x)ln(1−x)，利用导数研究ℎ(x)的单调性，证明ℎ(x)>ℎ(0)，即可证明．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的极值问题，利用导数证明不等式问题，此类问题经常构造函数，转化为证明函数的取值范围问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于难题．21.【答案】解：(1)点F(0,p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=p2+4−1=4，解得p=2；(2)由(1)知，抛物线的方程为x2=4y，即y=14x2，则y′=12x，设切点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则易得l PA：y=x12x−x124,l PB：y=x22x−x224，从而得到P(x1+x22,x1x24)，设l AB：y=kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2−4ky−4b=0，∴△=16k2+16b>0，即k2+b>0，且x1+x2=4k，x1x2=−4b，∴P(2k,−b)，∵|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2+16b ，d p→AB =2√k 2+1，∴S △PAB =12|AB|d =4(k 2+b)32①，又点P(2k,−b)在圆M ：x 2+(y +4)2=1上，故k 2=1−(b−4)24，代入①得，S △PAB =4(−b 2+12b−154)32，而y p =−b ∈[−5,−3]，∴当b =5时，(S △PAB )max =20√5．【解析】(1)由点F 到圆M 上的点最小值为4建立关于p 的方程，解出即可； (2)对y =14x 2求导，由导数的几何意义可得出直线PA 及PB 的方程，进而得到点P 的坐标，再将AB 的方程与抛物线方程联立，可得P(2k,−b)，|AB|以及点P 到直线AB 的距离，进而表示出△PAB 的面积，再求出其最小值即可．本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)⊙C 的圆心为C(2,1)，半径为1，则⊙C 的标准方程为(x −2)2+(y −1)2=1， ⊙C 的一个参数方程为{x =2+cosθy =1+sinθ(θ为参数)．(2)由题意可知两条切线方程斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −4)，即kx −y −4k +1=0， 圆心C(2,1)到切线的距离d =√k 2+1=1，解得k =±√33，所以切线方程为y =±√33(x −4)+1，因为x =ρcosθ，y =ρsinθ，所以这两条切线的极坐标方程为ρsinθ=±√33(ρcosθ−4)+1．【解析】(1)求出⊙C 的标准方程，即可求得⊙C 的参数方程；(2)求出直角坐标系中的切线方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ即可求解这两条切线的极坐标方程．本题主要考查圆的参数方程，普通方程与极坐标方程的转化，考查运算求解能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x≤−3 4,−3<x<12x+2,x≥1，∵f(x)≥6，∴{x≤−3−2x−2≥6或{−3<x<1 4≥6或{x≥12x+2≥6，∴x≤−4或x≥2，∴不等式的解集为(−∞,−4]∪[2,+∞)．(2)f(x)=|x−a|+|x+3|≥|x−a−x−3|=|a+3|，若f(x)>−a，则|a+3|>−a，两边平方可得a2+6a+9>a2，解得a>−32，即a的取值范围是(−32,+∞)．【解析】(1)将a=1代入f(x)中，根据f(x)≥6，利用零点分段法解不等式即可；(2)利用绝对值三角不等式可得f(x)≥|a+3|，然后根据f(x)>−a，得到|a+3|>−a，求出a的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题
年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）2023理科数学一、选择题1. 设集合{31,},{32,}A xx k k Z B x x k k Z ∣∣，U 为整数集，()A B U ð（ ） A. {|3,}x x k k ZB. {31,}x x k k Z ∣ C {32,}x x k k Z ∣D. 2. 若复数 i 1i 2,R a a a ，则 a （ ）A. -1B. 0 ·C. 1D. 23. 执行下面的程序框遇，输出的B （ ）A. 21B. 34C. 55D. 894.向量||||1,||a b c 0a b c ，则cos ,a c b c （ ）A 15 B. 25 C. 25 D. 455. 已知正项等比数列 n a 中，11,n a S 为 n a 前n 项和，5354S S ，则4S （ ）A. 7B. 9C. 15D. 306. 有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.1..7. “22sin sin 1 ”是“sin cos 0 ”的（ ）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件 8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b22(2)(3)1x y 交于A ，B 两点，则||AB （ ） A. 15B.C.D. 59. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务选择种数为（ ）A. 120B. 60C. 40D. 3010. 已知 f x 为函数πcos 26y x向左平移π6个单位所得函数，则 y f x 与1122y x 的交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411. 在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，4,3,45AB PC PD PCA ，则PBC 的面积为（ ）A.B.C.D. 12. 己知椭圆22196x y ，12,F F 两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ，则||PO （ ） A. 25B. 2C. 35D. 2二、填空题13. 若2π(1)sin 2y x ax x为偶函数，则 a ________． 14. 设x ，y 满足约束条件2333231x y x y x y，设32z x y ，则z 的最大值为____________． 15. 在正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为CD ，11A B 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条的为棱的交点总数为____________．16. 在ABC 中，2AB ，60,BAC BCD 为BC 上一点，AD 为BAC 的平分线，则AD_________． 三、解答题17. 已知数列 n a 中，21a ，设n S 为 n a 前n 项和，2n n S na ．（1）求 n a 的通项公式；（2）求数列12n n a的前n 项和n T ． 18. 在三棱柱111ABC A B C -中，12AA ，1A C 底面ABC ，90ACB ，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC AC ；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i ）求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：（ii ）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用． 参考数据：20. 已知直线210x y 与抛物线2:2(0)C y px p 交于,A B 两点，且||AB ． （1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，0MF NF ，求MNF 面积的最小值． 21. 已知3sin π(),0,cos 2x f x ax x x（1）若8a ，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x 恒成立，求a 的取值范围．四、选做题22. 已知(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t（t 为参数）， 为l 倾斜角，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，||||4PA PB ．（1）求 的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．23. 已知()2||, 0 f x x a a a ．（1）求不等式 f x x 的解集；（2）若曲线 y f x 与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．的2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】C【11题答案】【答案】C【12题答案】【答案】B二、填空题【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】15【15题答案】【答案】12【16题答案】【答案】2三、解答题【17题答案】【答案】（1）1n a n（2） 1222n n T n【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）13【19题答案】【答案】（1）分布列见解析，()1E X （2）（i ）23.4m ；列联表见解析，（ii ）能【20题答案】【答案】（1）2p（2）12 【21题答案】【答案】（1）答案见解析.（2）(,3]四、选做题【22题答案】【答案】（1）3π4（2）cos sin 30 【23题答案】【答案】（1）,33aa（2）3第8页/共8页。
2010年高考数学全国卷Ⅱ理科第18题的解法研究
－ ｌ－ｌ ｉ ｍ
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一
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即／ ／ ， ：ｋ＋１ ，不等式也成立． 时
【 点评】运用 ％＝ 一 一
收稿 日期 ：２ １ － １ １ ０ １Ｏ— ８
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【 点评】运用 Ⅱ＝ 。 及 ％＝ 一 一 ／≥ ２ ∈ Ｉ 。 Ｓ：６ 。（ ／ ，ｎ Ｎ）求 ，
出数 列｛ ｝ 的通项公 式，再计 算１ ．虽然 “ ｉ ｍ 解题长 度” 比解
， ３ ，ｎ
２１ ０ ０年高考数学全 国卷 Ⅱ理科第 ｌ ８题如下 ： 已知数列 ｛ ｝ 的前 ／项 和 Ｓ ＝（ ２ ）・ ／ ， ｎ ＋ｎ ３．
（ ） ｉ １ 求ｌ ｍ ；
法 １稍长一 点，但笔者 认为这种 解法较 为贴近 大 多数 学生 的解
题水平．
（ 证 ： 争＋． ＞ ２ 明 争＋ ．＋ ３ ） ’ ・
本题 短小精 悍 ，简明扼要 ，易 于读题 ，重点考查 数列 与极 限 、数 列与不等式 的综合 知识 ，特别第 （ ） ２ 问证法 的多样性 ，彰 显高考命题 以 “ 能力立意”的宗 旨．因此 ，笔 者对 本题 进行解法 研究 ，仅供 参考 ．
一
二 、第（ 问的证法 ２）
证法 １（ 数学归纳法 ： 当ｎ １ 鲁 ＝ｑ ６ ３ 不 ）① ＝ 时， Ｏ： ＞ ． ，
所 以 Ｓ一＝［ｎ一１ ／一１ ］・ 。 （ ）＋（， ） ３一 １
＝
（ 一 ）・ ｎ ≥ ２ ３一 （ ，ｎ∈Ｎ．， ）
高考全国卷数学理科试题及答案详解
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++ D ．1111+2!3!11!+++7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩假设z ＝2x＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2022年全国甲卷数学(理科)高考真题+答案解析
2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）A ． B ．C ．D ．2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．设全集，集合，则（）1z =-+1zzz =-1-+1-13-+13-70%85%{2,1,0,1,2,3}U =--{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣()U A B = ðA ．B ．C ．D ．4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A ．8B ．12C ．16D ．205．函数在区间的图像大致为（ ）A ． B ．C ．D ．6．当时，函数取得最大值，则（ ）A ．B ． C． D ．17．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）A ．B ．AB 与平面所成的角为C ．D ．与平面所成的角为8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s 的计算公式：．当时，（ ）{1,3}{0,3}{2,1}-{2,0}-()33cos x xy x -=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1x =()ln bf x a x x=+2-(2)f '=1-12-121111ABCD A B C D -1B D ABCD 11AA B B 30︒2AB AD =11AB C D 30︒1AC CB =1B D 11BB C C 45︒»AB »AB CD AB ⊥»AB 2CD s AB OA=+2,60OA AOB =∠=︒s =ABCD9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）AB ．CD10．椭圆的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线的斜率之积为，则C 的离心率为（ ）ABC ．D ．11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ． 12．已知，则（ ）A ． B ． C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)理科数学【含答案】
A．24B．264．已知e()e1xaxxf x=-是偶函数，则A．2-B．1-5．设O为平面坐标系的坐标原点，在区域为A，则直线OA的倾斜角不大于π4(1)证明：//EF平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF(3)求二面角D AO C--的正弦值20．已知椭圆2222:1( Cbxaa y+=(1)求C的方程；6．D【分析】根据题意分别求出其周期，【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间30ABO = ∠，3,232OC AB BC ===显然,,CE DE E CE DE ⋂=因此平面CDE ⊥平面ABC 直线CD ⊂平面CDE ，则直线从而DCE ∠为直线CD 与平面由余弦定理得：当点,A D 位于直线PO 同侧时，设则：PA PD ⋅ =||||cos PA PD α⎛⋅ ⎝12cos cos 4παα⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭22⎛15．2-【分析】根据等比数列公式对24536a a a a a =化简得得55712a a q q q =⋅==-.【详解】设{}n a 的公比为()0q q ≠，则245a a a 则24a q =，即321a q q =，则11a q =，因为910a a=2于是1//,,/2DE AB DE AB OF=平行四边形，//,EF DO EF DO=，又EF⊄所以//EF平面ADO.（2）法一：由（1）可知//EF（3）法一：过点O 作//OH BF 交由AO BF ⊥，得HO AO ⊥，且FH 又由（2）知，OD AO ⊥，则DOH ∠因为,D E 分别为,PB PA 的中点，因此即有11,33DG AD GE BE ==，又FH法二：平面ADO 的法向量为n平面ACO 的法向量为(30,0,1n = 所以131313cos ,1n n n n n n ⋅==+⋅因为[]13,0,πn n ∈ ，所以sin n【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．21．(1)()ln 2ln 2x y +-(2)存在11,22a b ==-满足题意，理由见解析1⎛⎫-；23．(1)[2,2](2)8.【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答3⎧由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -所以ABC 的面积1|2ABC S =。
专题13 概率统计解答题-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 ( )，
其中 ， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第18题)(12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种生产方式，为比较两咱生产方式的效率，选取 名工人，将他们随机分成两组，每组 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位： )绘制了如下茎叶图：
附：相关系数r= ， ≈1．414．
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第18题)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
第一种生产方式
第二种生产方式
8
6
5
5
6
8
9
9
7
6
2
7
0
1
2
2
3
4
5
6
6
8
9
8
7
7
6
5
4
3
3
2
8
1
4
4
5
2
1
1
0
0
9
0
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
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●
如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则
M的面积的估计值为m
S
n
，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并
向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X 表示落入M中的点的数目．
（I）求X的均值EX；
（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)
-0.03
，内的概率．
附表：
10000
10000
()0.250.75
k
t t t t
P k C-
=
=⨯⨯
∑
k2424242525742575
()
P k0.04030.04230.95700.9590
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某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求的分布列；
(2)若要求,确定的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：，
1/ 4
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为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()
2,N μσ．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
()3,3μσμσ-+之外的零件数，求()1P X ≥及X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经
计
算
得
16
1
19.97
16i i x x ===∑，
()1616222
11
11(16)0.2121616i i
i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸， 1,2,,16i =⋅⋅⋅．
用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ
，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()3,ˆˆˆ3ˆμ
σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量
Z
服从正态分布
()
2
,N μσ，则
(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592=， 0.0080.09≈．
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18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。
参考数据：
，
，
，≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
3/ 4
D C
M
B。