第11章 结构稳定性计算
工程力学11章
11.2.1 两端铰支的细长压杆
临界点
F
P
FP>FPcr
当FP>FPcr时，0，
这表明当无限接近临界载荷 时，在直线平衡构形附近无 穷小的邻域内存在微弯的屈
曲平衡构形。
FPcr
FP<FPcr
Δ O
根据这一平衡构形，由 平衡条件和小挠度微分方程， 以及端部约束条件，即可确 定临界载荷。
假设压力FP无限接近临界力FPcr，在外界扰动下压 杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡
Wz 102cm3 A 21.5cm2
max
Mc Wz
FN A
＝15.63106 N.mm 102103 mm3
21.65103 N 21.5102 mm2
163.2MPa
Q235钢的应用强度：
受力后杆仍然维持平衡构形
F FF
给一干扰力Q使杆微弯
Q
当干扰力Q解除后，若杆件能够恢
复到原有平衡构形——稳定平衡。若 不能够恢复到原有构形（仍保持平 F 衡）——不稳定平衡。
判别弹性平衡稳定性的静力学准则
FF
压杆的两种 平衡构形
不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将 转变为其它平衡构形。
例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外 界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过 程称为屈曲或失稳。
M (x) = FP w (x)
M (x) -EI d2w dx 2
d2w k2w 0 dx 2
k 2 FP EI
d2w k2w 0 dx 2
k 2 FP EI
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 0 A＋1 B 0
边界条件
混凝土结构的稳定性计算原理
混凝土结构的稳定性计算原理一、前言混凝土结构的稳定性计算是建筑学中的重要组成部分。
混凝土结构的稳定性是指在荷载作用下，结构不发生破坏或者失稳的能力。
计算混凝土结构的稳定性是为了保证结构的安全性，避免人员和财产的损失。
本文将对混凝土结构的稳定性计算原理进行详细的阐述。
二、混凝土结构的稳定性计算的基本原理混凝土结构的稳定性计算基本上是按照以下步骤进行的：1. 确定结构的荷载2. 确定结构的内力3. 确定结构的稳定性4. 确定结构的尺寸和构造三、确定结构的荷载在建筑设计中，荷载是指对于结构体系所施加的所有重力和外力的合力。
荷载的种类包括自重、活载、风载、地震载、温度载等。
在计算荷载时，需要根据国家有关规定和标准，对各种荷载进行分类和确定。
四、确定结构的内力在确定结构的内力时，需要根据荷载作用下结构的受力特点，进行弹性力学分析计算。
弹性力学分析计算包括静力学、动力学、弹性理论、塑性理论等。
其中，静力学是最常用的分析方法。
在静力学分析中，通常采用平衡方程和受力平衡方程进行计算。
五、确定结构的稳定性在确定结构的稳定性时，需要分析结构的承载能力和稳定性能力。
承载能力是指结构在荷载作用下的破坏承载能力，稳定性能力是指结构在荷载作用下的稳定能力。
结构的稳定性分析包括弯曲稳定性、剪切稳定性、压缩稳定性、扭转稳定性、屈曲稳定性等。
在计算稳定性时，要考虑结构的材料和断面性质、受力形式和结构的几何形状等因素。
六、确定结构的尺寸和构造在确定结构的尺寸和构造时，需要根据结构的荷载和内力计算结果，确定结构的尺寸和构造。
结构的尺寸和构造要满足强度、刚度、稳定性和经济性的要求。
在设计时，还需要考虑施工的可行性和建筑的使用要求等因素。
七、混凝土结构的稳定性计算的具体方法混凝土结构的稳定性计算的具体方法包括以下几个方面：1. 计算结构的荷载：根据建筑设计规范和标准，确定结构所受的各种荷载。
2. 计算结构的内力：根据荷载作用下结构的受力特点，运用弹性力学分析方法，计算结构的内力。
《结构的稳定计算》课件
基本原理和计算方法
平衡方程
根据平衡条件，通过计算 外力和内力的关系得到系 统的稳定性状况。
能量方法
稳定计算可以用势能公式 表示。计算稳定性参数之 间的关系，以判断系统的 稳定性。
叠加法
有些结构失稳问题很难直 接求解，可以用叠加法把 问题拆分பைடு நூலகம்多个方面，逐 步求解。
应用案例分析
1
框架结构的稳定分析
结论
稳定性计算是建筑结 构计算不可或缺的环 节
只有确保结构的稳定性， 才能确保建筑物的安全和 稳定。
稳定性计算的应用会 越来越广泛
随着市场需求的不断增加 和技术的不断发展，稳定 性计算会被广泛应用于各 种建筑物的设计和修建中。
稳定性计算需要不断 创新完善
新材料、新工艺的引入和 新建筑物的设计、建造， 都需要我们不断完善和创 新本领域的计算方法。
常见问题和解决方案
如何准确预测结构失稳 状况？
可以通过大量的实验数据和 成熟的计算方法对新的结构 问题进行预测，尽可能发现 并纠正失稳问题。
如何提高稳定计算的准 确度？
在计算过程中应尽可能准确 地输入计算参数，包括荷载、 材质参数、节点位移等，同 时精确地模拟结构失稳形式。
如何解决结构失稳问题？
可以通过增加材料、加强固 定等方式，对结构弱化部位 进行加固，从而提高稳定性。
参考文献和附件
1. 《结构工程师手册》 2. 《结构体系稳定性计算手册》 3. 《建筑结构》 4. 专业计算软件：AutoCAD, Revit, Midas NFX等 附件：稳定性失效模式图、相应的数学公式
我们通过一个实际的框架结构来介绍稳定性计算方法。结合研究对象的特点，阐 明失稳形式、计算方法和解决方案。
稳定性计算公式范文
稳定性计算公式范文稳定性计算是指对于一些系统、结构或者物体，在特定条件下的抗倾覆、抗位移的能力。
稳定性计算的结果可以指导设计和改善结构的性能，确保其在使用过程中能够保持稳定和安全。
本文将介绍稳定性计算的公式范文，帮助读者理解和应用于工程实践中。
一、极限弯矩计算极限弯矩是指结构或构件在受到外力作用时，发生塑性变形或发生破坏的临界点。
计算极限弯矩是判断结构稳定性的重要步骤之一对于一维结构（如梁）、柱、杆件等，其极限弯矩计算公式如下：$M_{cr} = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{{L_e}^2}$其中，$M_{cr}$代表极限弯矩，$E$代表弹性模量，$I$代表截面惯性矩，$L_e$代表有效长度。
这个公式适用于考虑了弯曲应变响应的情况，能够较准确地预测结构的极限弯矩。
二、稳定系数计算稳定系数是用来评估结构相比于极限弯矩所承受的外力大小的一种参数。
稳定系数越大，说明结构的稳定性越好。
对于柱、杆件等挠曲构件，其稳定系数计算公式如下：$C_r = \frac{N_{cr}}{{P_{cr}} \cdot A}$其中，$C_r$代表稳定系数，$N_{cr}$代表临界压力，$P_{cr}$代表临界轴向力，$A$代表截面面积。
这个公式适用于计算长挠曲构件在临界载荷作用下的稳定系数。
对于板、薄壁结构等弯曲构件，其稳定系数计算公式如下：$C_r = \frac{F_{cr}}{{P_{cr}} \cdot L \cdot b}$其中，$C_r$代表稳定系数，$F_{cr}$代表临界弯矩，$P_{cr}$代表临界轴向力，$L$代表构件长度，$b$代表构件宽度。
这个公式适用于计算板、薄壁结构在临界载荷作用下的稳定系数。
三、应力计算应力是物体在受到外力作用时产生的内部应变引起的力的大小。
应力计算是结构稳定性计算的基础，能够帮助确定结构在承受外力时的强度和稳定性。
对于受弯构件，其应力计算公式如下：$\sigma = \frac{M \cdot c}{{I \cdot y}}$其中，$\sigma$代表应力，$M$代表弯矩，$c$代表截面到受力点的距离，$I$代表截面惯性矩，$y$代表截面到受力点的垂直距离。
结构的稳定性分析
结构的稳定性分析结构的稳定性是指在外力作用下，结构是否能保持其原有的形状和稳定性能。
在工程领域中，结构的稳定性分析是非常重要的一项内容，它关系到工程结构的性能和安全性。
本文将从理论基础、分析方法和实际案例三个方面，对结构的稳定性分析进行探讨。
一、理论基础结构的稳定性分析依托于力学和结构力学的基本理论。
结构的稳定性问题可以归结为结构的等效刚度和等效长度的问题。
等效刚度是指结构在外力作用下的变形程度，而等效长度则是指结构的几何形状与尺寸。
通过对结构的等效刚度和等效长度进行计算和分析，可以判断结构的稳定性。
二、分析方法1. 静力分析法静力分析法是最常用的结构稳定性分析方法之一。
它基于结构在平衡状态下的力学平衡方程，通过计算结构内力和外力的平衡关系，确定结构是否能保持稳定。
静力分析法主要适用于简单的结构体系，如悬臂梁、简支梁等。
2. 动力分析法动力分析法是一种基于结构的振动特性进行稳定性判断的方法。
通过分析结构的自然频率、振型和阻尼比等参数，可以确定结构的稳定性。
动力分析法适用于复杂的结构体系，如桥梁、高层建筑等。
3. 线性稳定性分析法线性稳定性分析法是一种通过求解结构的特征方程，得到结构的临界荷载（临界力）的方法。
线性稳定性分析法适用于线弹性结构，在分析过程中通常假设结构材料的性质符合线弹性假设，结构的变形量较小，且作用于结构的荷载为线性荷载。
三、实际案例以钢柱稳定性为例，介绍结构的稳定性分析在实际工程中的应用。
钢柱是承受垂直荷载的重要组成部分，其稳定性直接关系到整个结构的安全性。
通过使用静力分析法和线性稳定性分析法，可以确定钢柱的临界荷载并判断其稳定性。
在静力分析中，需要计算钢柱受力状态下的内力和外力之间的平衡关系。
通过引入等效长度和等效刚度的概念，可以将实际的钢柱简化为等效的杆件模型，从而进行稳定性计算。
在线性稳定性分析中，通过建立钢柱的特征方程，并求解其特征值和特征向量，可以得到钢柱的临界荷载。
第11章 稳定分析与稳定性设计
第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计工程力学学习指导第11章压杆稳定性分析与稳定设计11.1 教学要求与学习目标1. 掌握有关弹性体稳定的基本概念：1)稳定的平衡构形(位置)与不稳定的平衡构形(位置)。
2) 平衡路径，分叉，分叉点。
3) 屈曲(丧失稳定)。
4)判别压杆平衡稳定性的静力学准则。
5)细长压杆分叉点的平衡稳定性。
特别要掌握弹性体失稳时其直线平衡构形将突然转变为弯曲构形这一物理本质，并用以理解、分析和处理一些理论问题和实际问题。
2. 弄清影响压杆承载能力的因素，正确理解弹性压杆临界力公式推导过程，弄清临界力公式中每一项的意义以及公式的应用条件，正确计算临界力。
3. 正确区分弹性失稳及超过比例极限的失稳问题，区别三类不同长细比杆，分别采用不同的公式进行计算。
11.2 理 论 要 点11.2.1平衡构形的稳定性和不稳定性图11-1 压杆的两种平衡构形结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形。
承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形－直线的平衡构形与弯曲的平衡构形，分别如图11-1所示。
当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡构形，外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的。
扰动除去后，构件不能回复到原来的平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的。
此即判别弹性平衡稳定性的静力学准则。
不稳定的平衡构形在任意微小的外界扰动下，将转变为其他平衡构形。
例如，不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。
这一过程称为屈曲或失稳。
通常，屈曲将使构件失效,并导致相关的结构发生坍塌。
由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。
11.2.2临界状态与临界载荷介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态。
处于临界状态的平衡构形，有的是稳定的，有时是不稳定的，也有的是中性的。
建筑结构稳定性分析与计算
建筑结构稳定性分析与计算建筑物作为人们生活和工作的基础设施，其结构稳定性显得尤为重要。
对于高层建筑、桥梁、公路交通等特殊建筑工程，更是需要考虑其在风、震、雪、水、火等特殊自然条件下的结构稳定性，并进行相应的分析和计算。
那么，建筑结构稳定性分析与计算究竟是怎样的呢？建筑结构稳定性分析建筑结构稳定性分析主要是指在考虑建筑物所受外力作用的情况下，通过数学手段进行力学分析，得出建筑物结构是否稳定的结论。
建筑结构稳定性分析可从静力学、动力学和稳定性三个方面考虑。
首先，静力学稳定性分析一般是指建筑物所受静态荷载时的分析。
静力学稳定性分析方法包括弹性模型方法、塑性模型方法和其他建筑模型方法。
其中，弹性模型方法是最常用的一种方法，其所假设的建筑结构材料为线性弹性材料，且建筑物所受荷载是小幅振动引起的小变形。
而塑性模型方法则主要用于非线性材料和较大变形情况下的建筑结构。
其次，动力学稳定性分析主要是考虑建筑物所受地震、风力等动态荷载情况下的结构稳定性。
动力学稳定性分析的方法包括地震反应谱法、时程分析法、反应谱分析法等。
其中，地震反应谱法是广泛应用于地震工程领域的一种方法，其通过地震反应谱来计算结构的响应，然后再通过分析响应来得出结构的稳定性。
最后，稳定性分析主要针对建筑物中可能存在的基础沉降、地质变化和变形等问题进行分析。
稳定性分析的方法主要包括三种，即极限稳定性分析、等效增量法和有限元法。
极限稳定性分析通过假定结构中的某些部分失稳来计算稳定性，进而得出结构的破坏点。
等效增量法则是建立在极限稳定性分析的基础上，使用可以计算非线性材料和较大变形的方法，通过计算结构的最终破坏点并返回到破坏前的状态来得出结构的稳定性。
而有限元法则是目前较为广泛使用的计算方法，其通过将结构分割成离散的小单元，对每个小单元进行计算，再通过组合计算结果得出整个结构的稳定性。
建筑结构稳定性计算建筑结构稳定性计算主要是指在进行稳定性分析的基础上，通过计算得出建筑物材料强度、载荷等参数，以及在考虑材料强度下，建筑物所能承受的最大载荷等参数。
第十一章 结构的稳定计算
§11-3无限自由度体系的稳定分析
1、静力法
FP
y
B
FP FR
B
k
B k y
x
l
A
A
x
FR y A cosx B sin x x FP
特征方程
FP EI
2
式中的待定常数A、B和未知反力FR可由边界条件确定。
l 3 EI tanl l
kl 3
上式为一个超越方程，事先给定k值，讨论三种情形下的解：
FP B FQ
FP B FQ
FPcr B
B
B
B
A
A
A
A
稳定平衡状态 随遇平衡状态或中性平衡状态 不稳定平衡状态 临界状态 失稳
根据失稳前后结构变形性质（即平衡构形和平衡路径的 性质）是否改变，结构的失稳现象可分为如下两类： （1）分支点失稳
FP
FP
Ⅰ(不稳定)
l/2
Ⅱ(大挠度理论) C Ⅱ(小挠度理论) C
y
§11-2有限自由度体系的稳定分析
1、静力法
FP B
FP B R1
λ
B
y
FP R1
k
EI=∞
l
B
B
A
A
A
静力法求解多自由度体系临界荷载 的步骤如下：
（1）设定新的平衡形式； （2）建立新平衡位置的平衡方程； （3）由临界状态平衡的二重性建立特征方程； （4）求荷载特征值，最小者即为临界荷载Fpcr。
2
FP U P FP 2
l
n
l 0
y dx
2
2
FP 2
ai i ( x) dx 0 i 1
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l/2
两类稳定问题概述
稳定问题分类
1. 定义 结构中凡受压的杆件均为理想中心受压杆，这类结构体 系称为完善体系。图示的结构,在不考虑轴向变形时，均为完 善体系。
结构中受压的杆件或有初曲率，或荷载有偏心（例如为 压弯联合受力状态），这类结构体系称为非完善体系。
分支点失稳 分支点处既可在原始位置平衡，也可在偏 离后的新位置平衡，即平衡具有二重性。
7
Pe
极值点失稳的特点：非完善体系出现极值点失 具有初曲率的压杆 稳。平衡形式不出现分支现象，P-Δ曲线具有极值 5、极值点失稳：非完善体系： 点。结构的变形形式并不发生质的改变，由于结构 承受偏心荷载的压杆 P 的变形过大,结构将不能正常使用. 对于工程结构两种失稳形式都是不允许的 P .因为 P (小挠度理论 ) 它们或使得结构不能维持原来的工作状态或使其丧 失承载能力,导致结构破坏.
对称问题可利用对称性做。
(静力法线性与非线性理论分析分支点失稳的步骤均为：
(1)令结构偏离初始平衡位置，产生可能的变形状态； (2)分析结构在可能变形状态下的受力，作隔离体受力 FUZHOU UNIVERSITY 图； (3)由平衡条件建立稳定分析的特征方程； (4)由特征方程在平衡两重性条件下求解临界荷载。 P96 11.2
极值点失稳 失稳前后变形性质 没有变化，力-位移 关系曲线存在极值 FUZHOU UNIVERSITY 点，其对应的荷载 即为临界荷载FPcr， FP达临界荷载FPcr 变形将迅速增长， 很快结构即告破坏。
2004年8月
§11.2
有限自由度体系的稳定——静力法和能量法
能量法：考虑临界状态的能量特征。 （势能有驻值，位移有非零解） 确定体系变形形式(新的平衡形式)的 P P 独立位移参数的数目即稳定体系的自由度. B 1、静力法：要点是利用临界状态平衡形式的 B´ λ 二重性，在原始平衡路径之外寻 找新的平衡 路径，确定分支点， EI=∞ 由此求临界荷载。
临界荷载 小挠度理论 （或线性理论） 大挠度理论 （或非线性理 论）
qcr
Pcr Pcr
原始平衡：轴向受压
新平衡形式：压弯组合
原始平衡：轴向受压
Pcr
新平衡形式：压弯组合
原始平衡：平面弯曲
分支点失稳的特点：
新平衡形式：斜弯曲加扭转
结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定 而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时， 这种现象带有突然性。
C Ⅰ(不稳定) P
Ⅱ(大挠度理论)
P2
l/2
Pcr P1
2 EI P1<Pcr= 2 l 原始平衡状态是 稳定的是唯一的
P2>Pcr
原始平衡状态是不 稳定的。存在两种 不同形式的平衡状 态(直线、弯曲）。
D
Ⅱ(小挠度理论)
B A
Ⅰ(稳定)
D´
Δ
Δ
O
分支点B将原始平衡路径Ⅰ 分为两段。在分支点B出现 平衡的二重性。原始平衡由 稳定转变为不稳定。 临界荷载、临界状态 4
刚架、拱、窄长截面梁整体失稳示意图
2004年8月
§11.1 两类稳定问题概述
1、稳定演算的重要性 设 计 结 构 •强度演算 最基本的必不可少 •刚度演算 •稳定性演算：高强度材料应用、结构形式的发展，结构 趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算 日益重要。 2、平衡状态的三种情况 稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。 中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。
用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变形状态建立 n 个平 静力法：考虑临界状态的静力特征。 衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数的齐次线性方程，因失稳时 n 个位移 稳定计算最基本 参数不全为零，则方程的系数行列式 D因等于零，得到稳定方程： D=0 （平衡形式的二重性） 最重要的方法 它有 n 个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载。
Pl 0 0 k A ( Pl M k ) ( Pl k ) 0 k
θ=0≠0，新平衡形式
Pcr
临界荷载
l
Pl k 0
特征方程（稳定方程）
MA=kθ10
l
例：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方 法求其临界荷载。 -1C A B D P 解：1）静力法 1 k k l l l •设变形状态 λ P 求支座反力 A D y1 M B 0 Y A y2 B k B左 C Y =Py /l k A 1 M C 0 YD YD=Py2/l C右 R1=ky1 R2=ky2 •列变形状态 的平衡方程 Py1 (kl 2P) y1 Py2 0 )2l Py2 0 M C 0 ky1l ( l （a） C左 Py1 (kl 2P) y2 0 Py2 )2l Py1 0 M B 0 ky2l ( y1 1 l B右 y2 1 kl 如果系数行列式 • 如果系数行列式 ≠=0 0 kl 2 P 2 P P Pcr y1 1 2 0 3 (kl 2P) P 0 y1，y2不为零，对应 为零，对应 P kl 2P y2 1 P kl 原始平衡形式。 新的平衡形式。 11
第11章 结构稳定计算的基本知识
11. 1
11. 2
两类稳定问题概述
两类稳定问题分析的方法及简例
10. 1 两类稳定问题概述
1工程结构的稳定问题
加拿大魁北克大桥、美国华盛顿剧院的倒塌事故， 1983 年北京社会科学院科研楼兴建中脚手架的整体失稳等都是工 FUZHOU UNIVERSITY 程结构失稳的典型例子。 高层、大跨、高强方向发展，结构的部件或整体丧失稳 定性的可能性增大。因此，结构设计除须保证足够的强度和 刚度外，保证结构具有足够的稳定性也就日显重要。
Pcr O
(大挠度理论)
Δ
Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载
稳定问题与强度问题的区别： max 重点是求 •强度问题是在稳定平衡状态下： 内力、 当 P ,小变形，进行线性分析（一阶分析）。 应力 当 P ,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。 •稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变 形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位 置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。 •非线性分析，叠加原理不再适用。 8
不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，不能恢复原位。 3
3、失稳:随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转 为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性. 完善体系 4、分支点失稳： （或理想体系）：
P1 >P Pcr 2< cr
直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心）。
2004年8月