2021年角平分线模型精华篇
角平分线的模型
角平分线的模型三角形中角平分线的基本模型在初中阶段，角平分线问题涉及角度的计算和证明。
经过总结归纳，有相当部分可以转化为基本模型，掌握这些模型，可以为我们迅速找到解题思路，形成良好的数学思维习惯奠定基础。
下面举例说明。
【模型一】角平分线+垂直一边（点在线垂两边得全等）若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。
可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；【模型二】角平分线+斜线若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。
可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。
【模型三】角平分线+垂线（角分垂等腰归）若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形；【模型四】角平分线+平行线（角分平等腰呈）若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。
【模型五】角平分线+对角互补若∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线，则AD=CD．【模型六】夹角模型BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，则：∠P=90°+∠A ．BP 、CP 分别是∠CBG 、∠BCD 的角平分线，则： ∠D=90°-∠A ．BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACD 的角平分线，则：∠P=∠A ．模型：角平分线 + 垂直（一）、与角的两边垂直——构全等如果：OP 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，可以过P 点向OA 作垂线交于点N 。
那么：△NOP ≌△MOP例题：1、如图△ABC 中， ∠C=90º，AC=BC ，AD 是∠A 平分线。
角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
专题16 角平分线四大模型(解析版)
专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。
本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。
1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。
这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。
例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。
这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。
2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。
这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。
以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。
这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。
3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。
以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。
这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。
4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。
以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。
这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。
综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。
这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。
角平分线模型总览
角平分线模型总览
1. 背景
角平分线模型是几何学中的一个重要概念，用于描述一条直线
如何将一个角分成两个相等的角。
角平分线模型在数学和工程领域
有广泛的应用，特别是在三角测量和建筑设计中。
2. 定义
在一个角ABC中，角平分线是从顶点A出发的一条直线，它
将角ABC分成两个相等的角，即角BAC和角CAC'。
角平分线同
样也可以从顶点B或顶点C出发。
3. 性质
角平分线模型具有以下重要性质：
- 一条角平分线将一个角分成两个相等的角。
- 三个角平分线的交点称为内心，它是一个三角形内的重要点。
- 内心到角的各边的距离相等。
- 内心到角的各边的连线构成的线段与角平分线垂直。
4. 应用
角平分线模型在实际应用中有多种用途：
- 在三角测量中，角平分线可用于精确测量角的大小。
- 在建筑设计中，角平分线可用于确定房间的布局和角度。
- 在机械加工中，角平分线可用于精确划分材料块的角度。
5. 总结
角平分线模型是几何学中一个重要的概念，用于描述如何将一个角分成两个相等的角。
它具有一些重要的性质，并在数学和工程领域有广泛的应用。
理解角平分线模型对于解决相关问题和推导相关定理非常有帮助。
以上是对角平分线模型的总览，希望对您有所帮助。
2023年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用版)：角平分线的基本模型(二)非全等类(解析版)
专题08角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A 1902BDC A 12BDC A 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】A 【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，∴∠ABP =∠CBP =20°，∠ACP =∠MCP =50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=1 2�；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；(2)如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A(3)如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．【答案】(1)120°，30°，60°(2)见解析(3)70°BO∴2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°解得：α=20°，β=25°∴∠ABC +∠ACB =3α+2β=60°+50°=110°，∴∠A =70°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
全等模型-角平分线模型—2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)(解析版)
全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1 图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==， ∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．八年级校联考期中）如图，ABC中，ACF∠A．①②B．①③C．②③④D．①②③④【答案】D【分析】过点P作PD AC⊥于D，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明()Rt Rt HLPAM PAD≌，()Rt Rt HLPCD PCN≌，得出APM APD∠=∠，CPD CPN∠=∠，进而得到2MPN APC∠=∠，再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论．【详解】解：①如图，过点P作PD AC⊥于D，BP 平分ABC ∠，PM BE ⊥，PN BF ⊥，PM PN ∴=， AP 平分EAC ∠，PM BE ⊥，PD AC ⊥，PM PD ∴=，PN PD ∴=，PN BF ⊥，PD AC ⊥，CP ∴平分ACF ∠，①结论正确；②PM BE ⊥，PD AC ⊥，PN BF ⊥，90PMA PDA PNB ∴∠=∠=∠=︒，在Rt PAM 和Rt PAD △中，PM PD PA PA =⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL PAM PAD ∴≌，APM APD ∴∠=∠，同理可得，()Rt Rt HL PCD PCN ≌，CPD CPN ∴∠=∠，()22MPN APM APD CPD CPN APD CPD APC ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠，360ABC PNB MPN PMA ∠+∠+∠+∠=︒，360180ABC MPN PNB PMA ∴∠+∠=︒−∠−∠=︒，2180ABC APC ∴∠+∠=︒，②结论正确；③AP 平分EAC ∠， 2CAE MAP ∴∠=∠，CAE ABC ACB ∠=∠+∠，MAP ABP APB ∠=∠+∠，()2ABC ACB ABP APB ∴∠+∠=∠+∠， BP 平分ABC ∠，2ABC ABP ∴∠=∠，222ABP ACB ABP APB ∴∠+∠=∠+∠，2ACB APB ∴∠=∠，③结论正确； ④由②可知，Rt Rt PAM PAD ∴≌，Rt Rt PCD PCN ≌，PAM PAD SS ∴=，PCD PCN S S =， PAC PAD PCD S S S =+，PAC PAM PCN S S S =+APM CPN APC S S S ∴+=△△△，④结论正确，∴正确的结论是①②③④，故选：D【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABDC 中，90D ABD ∠=∠=︒，点O 为BD 的中点，且OA平分BAC ∠．(1)求证：OC 平分ACD ∠；(2)求证：OA OC ⊥；(3)求证：AB CD AC +=．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）过点O 作OE AC ⊥于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得OB OE =，从而求出OE OD =，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；（2）利用HL ，证明Rt Rt ABO AEO ≌，根据全等三角形对应角相等，可得AOB AOE ∠=∠，同理可得COD COE ∠=∠，然后求出=90AOC ∠︒，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得AB AE =，CD CE =，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．【详解】（1）证明：过点O 作OE AC ⊥于E ，∵90ABD Ð=°，OA 平分BAC ∠∴OB OE =，∵点O 为BD 的中点，∴OB OD =，∴OE OD =，又∵90D Ð=°，∴OC 平分ACD ∠；（2）证明：在Rt ABO △和Rt AEO △中，AO AO OB OE =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABO AEO △≌△，∴AOB AOE ∠=∠，在Rt CEO △和Rt CDO △中，CO CO OE OD =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL CEO CDO ≌，∴COD COE ∠=∠，∴1180902AOC AOE COE ∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴OA OC ⊥；（3）证明：∵Rt Rt ABO AEO ≌，∴AB AE =，∵Rt Rt CEO CDO ≌，∴CD CE =，∵AE CE AC +=，∴AB CD AC +=．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，∴∠MCN=30°+30°=60°，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。
专题01 角平分线四大模型(知识解读)(老师版)
专题01角平分线四大模型（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】模型1角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。
结论：PB=PA。
【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。
结论：△OPB≌△OPA。
【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△AOB是等腰三角形。
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型4角平分线+平行线如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。
结论：△POQ是等腰三角形。
【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【模型1角平分线上的点向两边作垂线】【典例1】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB 的理由．【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．【变式1-1】（2020秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD＝∠C，∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°．【变式1-2】已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点M作CD的垂线段）【解答】证明：作MN⊥CD于N，如图所示：∵DM平分∠ADC，∠A＝90°，MN⊥CD，∴MA＝MN，∵M是AB的中点，∴MA＝MB，∴MB＝MN，∵∠B＝90°，MN⊥CD，∴CM是∠BCD的平分线，即CM平分∠BCD．【典例2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB 和∠CAP的度数．【解答】解：在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，∴∠ACD＝∠ABC+40°，∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，即∠CAB＝80°．作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，∴∠CAP＝∠CAE＝50°．【变式2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP ＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选：C．【模型2截取构造对称全等】【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．【解答】解：PB+PC＞AB+AC（2分）如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP．（4分）由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP，又AP是公共边，AE＝AC，故△ACP≌△AEP（6分）从而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE（7分）而BE＝AB+AE＝AB+AC，（8分）故PB+PE＞AB+AC，所以PB+PC＞AB+AC（10分）【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的长．【解答】解：如图，在BC上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，在△ACD和△ECD中，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠CED，∵∠A＝2∠B，∴∠CED＝2∠B，∵∠CED＝∠B+∠BDE，∴∠BDE＝∠B，∴BE＝ED，∵AC＝6，AD＝2，∴AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8．【变式3-2】已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD．【解答】证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD．（SAS）∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE+EC＝AB+CD．【变式3-3】如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝；（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为，并给出证明．【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝20°∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，故答案为：60°（2）BC＝AB+CE理由如下：如图，在BC上截取BF＝AB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF，∴△ABD≌△FBD（SAS）∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD∴△CDF≌△CDE（SAS）∴CE＝CF，∴BC＝BF+CF＝AB+CE故答案为：BC＝AB+CE【模型3角平分线+垂线构造等腰三角形】【典例4】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE．【解答】证明：如图所示，延长BA，CE交于点F，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，又∵AB＝AC，在Rt△ABD和Rt△ACF中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACF（ASA），∴BD＝CF，在Rt△FBE和Rt△CBE中，∵BD平分∠ABC，∴∠FBE＝∠CBE，在Rt△FBE和Rt△CBE中，，∴Rt△FBE≌Rt△CBE（ASA），∴EF＝EC，∴CF＝2CE，∴BD＝2CE．【变式4-2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足为E．（1）求∠EAC的度数；（2）用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，∵AE⊥BD，∴∠E＝∠C＝90°，∵∠ADB＝∠E+∠EAC＝∠C+∠CBD，∴∠EAC＝∠CBD＝22.5°；（2）BD＝2AE，理由如下：延长AE、BC交于点F，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠EDA＝∠CDB，∴∠FAC＝∠DBC，在△AFC与DBC中，，∴△AFC≌△DBC（ASA），∴AF＝BD，在△ABE与△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD＝AF＝2AE，【变式4-3】如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．【解答】证明：如图，延长AD交BC于点F，∵BE是角平分线，AD⊥BE，∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，又∵∠AFB＝∠1+∠C，∴∠2＝∠1+∠C．【模型4角平分线+平行线】【典例5】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．【解答】解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．（2）第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．∴第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在．（3）图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO，此时EF＝BE﹣CF，理由：∵BO是∠ABC的平分线，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．∴△BEO是等腰三角形，同理可证△CFO是等腰三角形，∵BE＝EO，OF＝FC∴BE＝EF+FO＝EF+CF，∴EF＝BE﹣CF．【变式5-1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN＝7，则MN的长为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN，∵BM+CN＝7，∴MN＝7，故选：B．【变式5-2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，（1）请判断△BME与△ECN的形状，并说明理由？（2）若BM+CN＝9，求线段MN的长．【解答】解：（1）△BME与△ECN都是等腰三角形；理由如下：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴△BME与△ECN都是等腰三角形；（2）∵MN＝ME+EN，BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝BM+CN．∵BM+CN＝9，∴MN＝9．【变式5-3】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．【解答】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，∵EG∥AC，∴∠DEG＝∠C，在△DEG和△DCA中，，∴△DEG≌△DCA（ASA），∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC，故EG＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG＝EF，∴∠G＝∠EFD，∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB．【变式5-4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD ＝AB﹣BC的理由．【解答】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，，∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°，∵∠AFE+∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，，∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF+BF，∴AB＝AD+BC，即AD＝AB﹣BC．11。
2021年初一几何——三角形内外角平分线模型【精华版】
初一几何——双角平分线模型1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度数为（）A．80度B．50度C．100度D．110度2．如图，△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30°第1题图第2题图第3题图第4题图3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE 于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，则∠A2018的度数是（）A．80 B．802018 C．40 D．80×(12)20186．已知△ABC，下列说法正确的是（只填序号）．①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+12∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°-12∠A；③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12∠A．7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠BOC＝．第7题图第8题图第9题图8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝．9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝．第1页（共15页）10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．11．如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；（1）甲同学不断调整图中射线BO、CO的位置，如图②，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝，并请你帮他说明理由．（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO=1∠ABC，∠BCO=1??∠ACB，∠A＝α，∠BOC＝（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形…，探究角平分线组成的∠O与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，试探究∠O与∠A、∠D的数量关系，并说明理由．（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF中，BO、CO分别平分∠ABC和∠BCD，请直接写出∠O 与∠A、∠D、∠E、∠F的数量关系：．第2页（共15页）13．（1）如图1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；（2）如图2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；（3）如图3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．试确定∠A 和∠F的数量关系；（4）如图4，已知△ABC，将外角∠CBP进行n等分，BF是临近BC边的等分线，将外角∠BCQ进行n等分，CF是临近BC边的等分线，试确定∠A和∠F的数量关系．14．（1）如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A＝46°，则∠BOC＝；若∠A＝n°，则∠BOC＝；（2）如图2，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，求∠BOC；（3）如图3，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD．若∠A＝n°，求∠BOC．第3页（共15页）第4页（共15页）初一几何——双角平分线模型参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度数为（）A．80度B．50度C．100度D．110度【解答】解：∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝100°，∵△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．故选：A．2．如图，△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30°【解答】解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E＝∠ECD﹣∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，∵∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝50°，∴12（∠ACD﹣∠ABC）＝25°，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝25°，故选：C．3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE 于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）第5页（共15页）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12（180°﹣∠1）＝90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（）第6页（共15页）A．15°B．20°C．25°D．30°【解答】解：延长AC交BD于点E，设∠ABP＝α，∵BP平分∠ABD，∴∠ABE＝2α，∴∠AED＝∠ABE+∠A＝2α+60°，∴∠ACD＝∠AED+∠D＝2α+80°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=12∠ACD＝α+40°，∵∠AFP＝∠ABP+∠A＝α+60°，∠AFP＝∠P+∠ACP∴α+60°＝∠P+α+40°，∴∠P＝20°，故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，则∠A2018的度数是（）A．80B．802018C．40D．80×(12)2018【解答】解：∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，由三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，1 2（∠A+∠ABC）＝∠A1+∠A1BC＝∠A1+12∠ABC，整理得，∠A1=12∠A=12×80°＝40°；同理可得∠A n=(12)×80故选：D．二．填空题（共4小题）第7页（共15页）6．已知△ABC，下列说法正确的是①②③（只填序号）．①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+12∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°-12∠A；③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12∠A．【解答】解：①正确．∵P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）＝90°-12∠A，∴∠P＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A；②正确．∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP=12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC=12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC＝180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°-12（∠A+180°）＝90°-12∠A．③正确．∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴12∠ACE=12∠ABC+12∠A，∴12∠ABC+12∠A＝∠PBC+∠P，∠P=12∠A；故答案为①②③．7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠BOC＝113°．第8页（共15页）【解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝46°，∴∠OBC+∠OCB=12（180°﹣46°）＝67°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣67°＝113°．故答案为：113°．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝18°．【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，∴∠EBC=12∠ABC＝20°，∠ECD=12∠ACD＝38°，∵∠ECD＝∠EBC+∠E，∴∠E＝38°﹣20°＝18°，故答案为18°．9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝52°．【解答】解：∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，∴∠ABF=12∠ABC，∠EAB=12∠DAB，∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝104°，∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF=12（∠DAB﹣∠ABC）＝52°，故答案为：52°．第9页（共15页）三．解答题（共5小题）10．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠ACB、∠CAF的平分线所在的直线交于点H，求∠H的度数．【解答】解：∵CH、AD分别为∠ACB、∠CAF的平分线，∴∠CAD=12∠CAF＝∠H+12∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），又∵∠CAF＝∠B+∠ACB＝90°+∠ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即12∠CAF-12∠ACB＝45°，∴∠H=12∠CAF-12∠ACB＝45°．11．如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．（1）如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；（2）猜想：∠E与∠A有什么数量关系；（写出结论即可）（3）如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）根据外角的性质得∠ACD＝∠A+∠ABC＝60°+50°＝110°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠1=12∠ACD＝55°，∠2=12∠ABC＝25°∵∠E+∠2＝∠1，∴∠E＝∠1﹣∠2＝30°；（2）猜想：∠E=12∠A；第10页（共15页）第11页（共15页）（3）∵BE 、CE 是两外角的平分线，∴∠2=12∠CBD ，∠4=12∠BCF ，而∠CBD ＝∠A+∠ACB ，∠BCF ＝∠A+∠ABC ，∴∠2=12（∠A+∠ACB ），∠4=12（∠A+∠ABC ）．∵∠E+∠2+∠4＝180°，∴∠E+12（∠A+∠ACB ）+12（∠A+∠ABC ）＝180°，即∠E+12∠A+12（∠A+∠ACB+∠ABC ）＝180°．∵∠A+∠ACB+∠ABC ＝180°，∴∠E+12∠A ＝90°．12．甲乙两同学对同一个图形进行研究，如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A ＝α，则∠BOC ＝（90+2）°．（说明：本题中角的大小均可用á表示）；（1）甲同学不断调整图中射线BO 、CO 的位置，如图②，∠CBO =13∠ABC ，∠BCO=13∠ACB ，∠A ＝α，则∠BOC ＝120°+13∠α，并请你帮他说明理由．（2）由（1）方法，甲同学猜想：如图③，当∠CBO=1∠ABC ，∠BCO=1??∠ACB ，∠A ＝α，∠BOC ＝(??-1)180°+∠??（3）乙两同学的探究思路是把三角形不断变化为四边形、五边形、六边形…，探究角平分线组成的∠O 与多边形其他角的关系．如图④，在四边形ABCD 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠BCD ，试探究∠O 与∠A 、∠D 的数量关系∠O=12（∠A+∠D ），并说明理由．（4）仿照（3）的方法，如图⑤，在六边形ABCDEF 中，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠BCD ，请直接写出∠O 与∠A 、∠D 、∠E 、∠F的数量关系：∠O =12（∠A+∠∠D+∠E+∠F ）﹣180°．【解答】解：∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵OB、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝90°-??2，∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣90°+2=（90+??2）°；故答案为：（90+2）°；（1）根据∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝120°+13∠α；（2）根据∠CBO=1∠ABC，∠BCO=1??∠ACB，∠A＝α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC=(??-1)180°+∠??；（3）四边形边形ABCDEF的内角和为：（4﹣2）?180°＝360°，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，∴∠O＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°-12∠ABC-12∠BCD＝180°-12（∠ABC+∠BCD）＝180°-12（360°﹣∠A﹣∠D）=12（∠A+∠D）°，第12页（共15页）（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）?180°＝720°，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，∴∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCD＝180°-12∠ABC-12∠BCD＝180°-12（∠ABC+∠BCD）＝180°-12（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）=12（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，故答案为：12（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．13．（1）如图1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；（2）如图2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．试确定∠A和∠F的数量关系；（3）如图3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．试确定∠A 和∠F的数量关系；（4）如图4，已知△ABC，将外角∠CBP进行n等分，BF是临近BC边的等分线，将外角∠BCQ进行n等分，CF是临近BC边的等分线，试确定∠A和∠F的数量关系．【解答】解：（1）由已知得∠=12∠，∠=12∠，第13页（共15页）第14页（共15页）∵∠CBP ＝∠A+∠ACB ，∠BCP ＝∠A+∠ABC ，∴∠+∠=12(∠??+∠+∠??+∠)=12(∠??+180°)∠??=180°-(∠+∠)=180°-12(∠??+180°）=90°-12∠??．（2）由已知得∠=13∠，∠=13∠，∵∠CBP ＝∠A+∠ACB ，∠BCP ＝∠A+∠ABC ，∴∠+∠=13(∠??+∠+∠??+∠)=13(∠??+180°)∠??=180°-(∠+∠)=180°-13(∠??+180°）=120°-13∠??．（3）由已知得∠=14∠，∠=14∠，∵∠CBP ＝∠A+∠ACB ，∠BCP ＝∠A+∠ABC ，∴∠+∠=14(∠??+∠+∠??+∠)=14(∠??+180°)∠??=180°-(∠+∠)=180°-14(∠??+180°）=135°-14∠??．（4）由已知得∠=1∠，∠=1??∠，∴∠CBP ＝∠A+∠ACB ，∠BCP ＝∠A+∠ABC ，∴∠+∠=1(∠??+∠+∠??+∠)=1??(∠??+180°)∠??=180°-(∠+∠)=180°-1(∠??+180°）=??-1??×180°-1??∠??．14．（1）如图1，O 是△ABC 内一点，且BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB 、若∠A ＝46°，则∠BOC ＝113°；若∠A ＝n °，则∠BOC ＝90°+12°；（2）如图2，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF ．若∠A ＝n °，求∠BOC ；（3）如图3，O 是△ABC 外一点，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACD ．若∠A ＝n °，求∠BOC ．【解答】解：（1）∵∠COB ＝180°﹣（∠OBC+∠OCB ），而BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB∴∠BOC ＝180°-12（∠ABC +∠ACB ）＝180°-12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A＝113°，故∠BOC＝113°．∴若∠A＝n°，则∠BOC=90°+12??°；（2）∵∠COB＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠FCB∴∠BOC＝180°-12（∠EBC+∠FCB），而∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠FCB＝∠180°﹣∠ACB∴∠BOC＝180°-12（180°+∠A）＝90°-12∠A，∴∠=90°-12??°；（3）∵∠COB＝∠4﹣∠2，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD，∴∠ACD＝2∠4，∠ABC＝2∠2，∴∠A＝2∠COB，∴∠BOC=12n°．第15页（共15页）。
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角平分线有关的帮助线
欧阳光明（2021.03.07）
角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作帮助线的办法：
（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；
已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；
帮助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B；
结论：①△ACD≌△ABD；②CD= DB
（角分线垂两边，对称全等必呈现）
（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：
遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；
已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；
结论：①△OPM≌△OPN ；
②△OMN为等腰三角形；
③P是MN的中点（三线合一）；
（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；
帮助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，
结论：△OED≌△OFD ；
（4）作平行线
①以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形；
②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，
则△ODH等腰三角形；
已知：OP平分∠MON，AB∥ON，已知：OC平分∠AOD，DH∥OC，
结论：△OAB等腰三角形结论：△ODH等腰三角形
一、角平分线模型应用
1.角平分线+两边垂线→全等三角形
帮助线：过点G作GE 射线AC
已知：AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DB⊥AB，
求证：CD=DB
证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2，∵CD⊥AC，DB⊥AB，
∴∠ACD=∠ABD=90°，在△ACD和△ABD中，
∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴CD=BD
例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．
例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，
垂足辨别为E、F．求证：BE=CF．
例3：如图，在△ABC中，AC＞AB，M是BC中点，AN平分∠BAC，若AN⊥BD且交BD的延长线于点D，求证：MN=1
（ACAB）.
2
例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠B AC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．
角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现
例：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE 交BA的延长于F．
求证：BD=2CE
例、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：2AM=
（AB+AC）
例：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，
∠AFE+∠CAF=180°，
求证：EF ∥BC.
截取构造全等：
例. 如图，AB>AC ，∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。
例: 如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD.
例: 在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．
求证：AB AC PB PC ->-．
例: 已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，。