第三章离散系统的时域分析知识课件
合集下载
第3章离散系统的时域分析ppt课件
3.1.1离散时间信号 连续系统的激励和响应都是连续时间信号,它们是
连续变量t的函数,离散系统的激励与响应都是离散时间 信号,表示这种信号的函数,只在一系列互相分离的时间 点上才有定义,而在其它点上则未定义,所以它们是离散 变量tk的函数〔或称序列〕.
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
行取样.进行取样的取样器一般由电子开关组成.其工作 原理如图3.2所示.
x(t)
y(t)
T
x(t) 脉冲 y(t) 调制
p(t)
《 信号与线性系统》
图3.2 取样原理图
第3章 离散系统的时域分析
x (t)
p (t)
T
y (t)
(a ) t
(b ) t
(c ) t
图 3.3 信号的取样 <a>连续信号x<t>波形；<b>取样脉冲p<t>波形；<c>取样信号y<t> 波形
=sin<n ω0 ＋2kπ>
=sin<n ω0 >=x<n>
所以,x<n>=sin<n ω0 >是一个周期序列.
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
3.3 离散时间系统的描述和响应
3.3.1 离散时间系统的描述 离散时间系统的输入和输出信号都是离散时间函
数〔序列〕.这种系统的工作情况,不能用连续时间系统 的微分方程来描述,而必须采用差分方程来描述.
y<2>=1,y<3>=2,y<4>=3,y<5>=5,…
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
连续变量t的函数,离散系统的激励与响应都是离散时间 信号,表示这种信号的函数,只在一系列互相分离的时间 点上才有定义,而在其它点上则未定义,所以它们是离散 变量tk的函数〔或称序列〕.
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
行取样.进行取样的取样器一般由电子开关组成.其工作 原理如图3.2所示.
x(t)
y(t)
T
x(t) 脉冲 y(t) 调制
p(t)
《 信号与线性系统》
图3.2 取样原理图
第3章 离散系统的时域分析
x (t)
p (t)
T
y (t)
(a ) t
(b ) t
(c ) t
图 3.3 信号的取样 <a>连续信号x<t>波形；<b>取样脉冲p<t>波形；<c>取样信号y<t> 波形
=sin<n ω0 ＋2kπ>
=sin<n ω0 >=x<n>
所以,x<n>=sin<n ω0 >是一个周期序列.
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
3.3 离散时间系统的描述和响应
3.3.1 离散时间系统的描述 离散时间系统的输入和输出信号都是离散时间函
数〔序列〕.这种系统的工作情况,不能用连续时间系统 的微分方程来描述,而必须采用差分方程来描述.
y<2>=1,y<3>=2,y<4>=3,y<5>=5,…
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
信号与线性系统分析第三章
系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
第 2页
§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
第 13 页
零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
第 16 页
零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析
解 ： h(k)满足h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
第3章离散系统的时域分析精品精品文档
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
(4)序列的标乘：A·x=Ax(n)=y(n)表示序列x的每个取 样值同乘以常数A所形成的新序列，其运算符号如图3.8(c) 所示。
(5)序列的延时：若序列y(n)满足取值y(n)=x(n-n0)，则 称序列y(n)是序列x(n)延时n0个取样间隔的复现，式中n0 为整数。当n0=1时，称为单位延时 ，其运算符号如图 3.8(d)所示。
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
例3―1 试用单位跃迁序列表示单位序列。
解由
u(n)
0 1
n0 n0
可知
即
u (n
1)
0
1
n1 0 n1 0
而
u (n
1)
0
1
n0 n0
(n )
0
n0
1 n 0
输 入 转 换 器 处 理 器 转 换 器输 出
图3.6 模拟信号转换成数字信号进行处理 《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
3.2 离散时间信号的表示
3.2.1 序列的表示方法
序列本来就是离散时间信号或是从数字处理过程
中得到的，所以序列不必以kT作为变量，而直接以x(k) 表示一数字序列x的第k个数字，k表示x［k］在数字序 列x前后变量的序号，则x可以用公式表示为
第3章 离散系统的时域分析
第3章 离散系统的时域分析
3.1 连续时间信号的取样 3.2 离散时间信号的表示 3.3 离散时间系统的描述和响应 3.4 卷积和 3.5 卷积和的计算机模拟 3.6 离散时间系统与连续时间系统时域分析法的比较
第3章 离散系统的时域分析
(4)序列的标乘：A·x=Ax(n)=y(n)表示序列x的每个取 样值同乘以常数A所形成的新序列，其运算符号如图3.8(c) 所示。
(5)序列的延时：若序列y(n)满足取值y(n)=x(n-n0)，则 称序列y(n)是序列x(n)延时n0个取样间隔的复现，式中n0 为整数。当n0=1时，称为单位延时 ，其运算符号如图 3.8(d)所示。
《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
例3―1 试用单位跃迁序列表示单位序列。
解由
u(n)
0 1
n0 n0
可知
即
u (n
1)
0
1
n1 0 n1 0
而
u (n
1)
0
1
n0 n0
(n )
0
n0
1 n 0
输 入 转 换 器 处 理 器 转 换 器输 出
图3.6 模拟信号转换成数字信号进行处理 《 信号与线性系统》
第3章 离散系统的时域分析
3.2 离散时间信号的表示
3.2.1 序列的表示方法
序列本来就是离散时间信号或是从数字处理过程
中得到的，所以序列不必以kT作为变量，而直接以x(k) 表示一数字序列x的第k个数字，k表示x［k］在数字序 列x前后变量的序号，则x可以用公式表示为
第3章 离散系统的时域分析
第3章 离散系统的时域分析
3.1 连续时间信号的取样 3.2 离散时间信号的表示 3.3 离散时间系统的描述和响应 3.4 卷积和 3.5 卷积和的计算机模拟 3.6 离散时间系统与连续时间系统时域分析法的比较
第3章 离散系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的差分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统差分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激序列响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统差分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积和运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积和。
本章重点（1）系统数学模型（差分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激序列响应及其求解；（4）卷积和的定义、性质及运算，特别是()2(1)(1)y k y k f f k +-=--（k ）函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。
离散系统的描述方法：差分方程。
差分方程与微分方程求解方法在相当大的程度上一一对应。
与卷积类似，离散系统中占重要地位的卷积和（简称卷积）。
离散系统中的变换域方法包括z 变换、离散傅里叶变换以及其他多种离散正交变换（如沃尔什变换、离散余弦变换等等）。
与连续时间系统相比较，离散时间系统具有精度高，可靠性好，便于实现大规模集成的优点，借助于软件控制，可编程序控制器得到了广泛应用。
3.1 离散时间信号——序列在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称为离散信号。
这里离散指信号的定义域——时间是离散的，它只是某些规定的值。
通常给出函数值的离散时刻的间隔是均匀的。
若此间隔为T ，以,2,1,0)(±±=n nT x 表示此离散时间信号，一般我们直接以)(n x 表示此序列。
n 表示个函数值在序列中出现的序号。
对应某序号n 的函数值称为在第n 个样点的“序列”。
一、离散信号的描述形式1、解析形式（闭合形式或闭式） 即用函数式表示。
数字信号处理课件第3章 时域离散信号和系统的频域分析2-DTFT的定义
例3、已知 f (n) anu(n) a 1 ,计算其DTFT。 解：
由此可以得到DTFT的幅频特性和相频特性
F (e j )
1
(1 a cos)2 (a sin )2
【随堂练习】
1.设X (e j )是 x(n)的DTFT，试求下面序列的DTFT。
(1) x(n - n0)
(2) x(n) (3) x(n)
X_abs=abs(X)
X_angle=angle(X)
subplot(211)
plot(w/pi,X_abs,'k','lineWidth',2) title('离散时间傅里叶变换幅度')
subplot(212)
plot(w/pi,X_angle,'k','lineWidth',2) title('离散时间傅里叶变换相位')
0, n q
解:
q
X(e j ) x(n)e jn a ne jn
q
(ae j )n
n
n0
n0
1
(ae j ) 1 ae j
q1
等比数列求和公式：
an a1 qn1
Sn
a1
(1 qn ) , 1 q
n 1,2,3,
q 1
X(e j ) x(n)e jn
n
1
(ae j )q 1 ae j
可引入冲激函数，一些绝对不可和的 序列的傅里叶变换可用冲激函数的形式表 示出来。在后面的章节予以介绍。
例1、计算矩形序列 x(n) R N (n) 的DTFT。
解：
X(e j ) RN (n)e jnnFra bibliotekN 1
new第三章离散时间系统的时域分析
3. 举例 • 例1 已知 x(n)=(n),y(-1)=0, 用迭代法解方程：
y(n) ay(n 1) x(n)
• 解：y(0)=ay(-1)+1=1 • y(1)=ay(0)+0=a • y(2)=ay(1)+0=a2 • • y(n)=ay(n-1)+0=an • y(n)=ay(n-1)+0=anu(n)
n y(n) 0.45(0.9) u(n) 0.5u(n) 自由响应 强迫响应
• 零输入响应和零状态响应
用边界条件求系数
C1
5
1
, C2
n
5
1
最终解
1 1 5 1 1 5 y ( n) 5 2 5 2
n
例3 求 y(n)+6y(n-1)+12y(n-2)+8y(n-3)=x(n) 的齐次解 • 解(有重根)
差分方程特解的形式 • • • • • • • • • 激励 x(n) 特解 yp(n)的形式 A(常数) C(常数) An C1n+C2 nk C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 nkan an(C1 nk+ C2 nk-1++ Ck+1 ) sin(bn)或 C1sin(bn)+C2cos(bn) con(bn) an [sin(bn)或 an[C1sin(bn)+C2cos(bn)] cos(bn)]
– 常系数线性差分方程(递归关系式) – 后向(或右移) 差分方程;前向(或左移) 差分方程
例2 已知离散时间系统如图示，写出 系统的差分方程。
《离散系统时域分析》课件
总结和结论
《离散系统时域分析》是一门重要的课程，通过学习时域分析的基本概念和 方法，我们能够更好地理解和分析离散系统的时域行为和特性。
实例分析：时域分析在离散系统中的应 用
数字信号处理
时域分析在数字信号处理中广 泛应用，可用于滤波器设计、 音频处理和图像处理等领域。
控制系统分析
时域分析可用于控制系统的动 态响应分析和控制器的设计， 以实现系统的稳定性和性能要 求。
通信系统分析
时域分析在通信系统中起着重 要的作用，可用于信号传输和 信道估计等方面的分析和优化。
《离散系统时域分析》 PPT课件
本课程将介绍《离散系统时域分析》的重要概念和方法，帮助学生深入理解 离散系统在时域中的行为和特性。
课程概述
《离散系统时域分析》PPT课件将探讨离散系统在时域中的分析方法和应用。 通过本课程，学生将学习如何分析离散系统的时域响应和特性。
时域分析的定义
时域分析是研究系统在时间上的行为和特性的一种方法。通过对信号的时域分析，我们可以了解系统的 时域响应和时域特性。
时域分析的目的
时域分析的目的是通过观察系统在时间上的行为，了解系统的动态行为和特性。通过时域分析，我们可 以提取系统的时域响应和时域特性，进而优化系统设计和调整系统参数。
时域分析的基本概念
时域分析涉及到信号的时域表示、时域响应和时域特性。常用的时域分析方法包括时域卷积、时域离散 傅里叶变换和时域差分方程等。
常见的时域分析方法
时域卷积
时域卷积是一种用于分析两个信号之间的线性叠加关系的方法，常用于系统的时域分析和滤 波器的设计。
时域离散傅里叶变换
时域离散傅里叶变换是一种将时域信号变换到频域的方法，可时域差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，常用于分析系统的时域响应和特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
互对应的.
时域分析 经 零典 输法 入： 响齐 应次 零 解 状 特 态解 响应 变换域分析:z变换法
例: 若描述某离散系统的差分方程为
y ( k ) 3 y ( k - 1 ) 2 y ( k - 2 ) f( k )
已知初始条件 y(0)0,y(1)2, 激励 f (k ) 2 k ( k ) 求 y(k ). 解:将差分方程中除 y ( k )以外的各项都移到等号右端.得 :
Aej
CjD
Ar1kr1 kcos( kr1)Ar2kr2 k cos(kr2)...A0kcos(k0)
2. 特解
激励 f ( k )
特解 y p ( k )
km
PmkmPm1km1...P1kP0
所有特征根均不等于1时;
krPmkmPm1km1...P1kP0 当有r重等于1的特征根时.
y(4)3y(3)2y(2)f(4)10 此方法我们称之为迭代法。
二、差分方程的经典解
y(k)=yh(k)+yp(k)
特解 1. 齐次解
齐次方程: y ( k ) + a n - 1 y ( k -1 ) + ......+ a 0 y ( k -n ) = 0
特征方程: n a n 1n -1 ... a 1 a 0 0
( 2 ) 将 序 列 f 2 ( i ) 沿 正 i 轴 平 移 k 个 单 位 , 成 为 f 2 ( k i )
(3) 求 乘 积 f1(k)f2(ki) (4) 按 公 式 求 各 乘 积 之 和
例 : 有 两 个 序 列
k+1, k=0,1,2 f1(k)0, 其余
1, k=0,1,2,3
..f.2
.(.5.
..
i
.
)
i
.
. .f 1 ( i ) ..
..f2(..6 ..i) ..i
i
二. 卷积和的性质
交 换 律 f 1 ( k ) f2 ( k ) f2 ( k ) f 1 ( k ) 结 合 律 f 1 ( k ) [ f 2 ( k ) f 3 ( k ) ] [ f 1 ( k ) f 2 ( k ) ] f 3 ( k )
初始条件
系数 C 1 , C 2
例： 求下列差分方程的完全解
y ( k ) 2 y ( k 1 ) x ( k ) x ( k 1 )
其中激励函数 x(k) k 2,且已知y(-1)=-1
解:
20
特征方程齐次通解
2 C (2)k
将 x ( k ) 代入方程右端,得:
x(k) x(k 1) k 2 (k 1)2 2k 1
2
Qk0
f1(k)*f3(k) 1 2 k(k)*(k)2 1 1 2 k 1 (k)
二. 卷积和的图示
用 作 图 法 计 算 f 1 ( k ) * f 2 ( k ) 的 步 骤 为 :
(1) 将 序 列 f1 (k)f2(k)的 自 变 量 用 i代 换 ,然 后 将 序 列 f2(i)以 纵 坐 标 为 轴 反 转 ,成 为 f2( i)
自 由 响 应
零 输 入 响 应
零 状 态 响 应
两种分解方式有明显的区别.虽然自由响应与零输入响应
都的是初齐 始次状解态的决形定式,而,但C 它i 是们由的初系始数状并态不和相激同励,C共x同i 仅决由定系.统
例: 若描述某离散系统的差分方程为
y (k )+ 3 y (k -1 )+ 2 y (k -2 )= f(k )
将初始值代入上式,得
y1 3
1
yf
(1)
1Cf
1
2Cf
2
2 3
1
解得
C
f1
1 3
C f 2 1
零状态响应: yf(k)1 3( 1 )k( 2 )k1 3(2 )k,k0
系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和:
y(k)yx(k)yf(k)(114)零 4k输 2入 2响 4(应 423)k1134(41)4k4(224)k4413(423)k
已知激励初始状态求系统的零输入响应,零状态响应 和全响应. 解: (1) 零输入响应 根据定义,零输入响应满足方程:0
其初始状态
y x ( k ) 3 y x ( k 1 ) 2 y x ( k 2 ) 0
yx( 1 )y( 1 )0,yx 2y 21 2
yx(0)3yx(1)2yx21
yx13yx02yx13
求解方法:
1. 求解差分方程法 2. z变换法
例: 求图所示离散系统的单位序列响应y(k)
y(k)
f(k)
D
1
1.求初始值
y(k-1)
D
2
y(k-2)
y ( k ) y ( k 1 ) 2 y ( k 2 ) f( k )
h(k)h(k1)2h(k2)(k)
h(1)h(2)0
h(0)h(1)2h(2)(0)1
h(1)h(0)2h(1)(1)1
令 k 0 ,1 ( (0 ) 1 (1 ) 0 )
求: h ( k )
h (k ) h (k 1 ) 2 h (k 2 ) 0
特征方程: 2 2 ( 1 ) 2 0
得方程齐次解:
h(k)C 1( 1 )kC 2(2)k
代入初始值:
h(0) C1 C2 1
f1(k)*f2(k)i012i 1112 2
i 0时, (i) 0 i 0时, (i) 1
(2) f1(k)*f3(k)i 1 2i(i)(ki)
Q i 0 时 , ( i ) 0 k i 0 时 ( k i ) 0
f1(k)*f3(k)i 012i 11121k12112k1
h (k ) g (k ) g (k ) g k 1
§3.3 卷 积 和
一. 卷积和
若有两个序列 f1(k)和f1(k)*,和式
f (k) f (i)(ki) i
称为 f1(k)和f1(k) 的卷积和.常用符号”*”表示,即:
f(k)f1(k)*f2(k) f1(i)f2(ki)
如果f1(k)为因果序列，即若f1(k)=0, k＜0, 则
f1(k)f2(k) f1(i)f2(ki)
i0
如果f1(k)不受限制，而f 2 ( k ) 为因果序列,即i＞k时, f2(k-i)=0,则
k
f1(k)f2(k) f1(i)f2(ki)
i
如果f1(k)和f2(k)均为因果序列，即 f1(k)f2(k)0,k<0则
k
f1(k)f2(k) f1(i)f2(ki)
特征根
齐次解
系数
不同特征根对应的齐次解:
特征根
单实根
r 重实根
一对共轭复根
1,2ajbej
R重共轭复根
齐次解 y h ( k )
Cr1kr1 k Cr1kr2 k LC1kk C0k
C r 1 k r 1k C r 2 k r 2k .... C 1 K k C 0k
pk[ccosk Dsink] 其 或Apk cos(k) 中
y ( k ) - 3 y ( k - 1 ) - 2 y ( k - 2 ) f( k )
对于k=2,将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式,得:
y ( 2 ) - 3 y ( 1 )-2 y ( 0 ) f( 2 ) -2
类似的,依次迭代可得
y(3)3y(2)2y(1)f(3)10
Pak
当a不等于特征根时
ak
P1kak P0ak
当a是特征单根时
Prkrak Pr1kr1ak ...P1kak P0ak 当a是r重特征根时
cos(k)或 sin(k)
Pcos(k)Qsin(k)
当所用的特征根均不等于
或 Acos(k),其 中 AejPjQ
e
j
激励 f ( k )
特解
原方程
3. 全解:
山东科技大学精品课程
信号与系统
Signals&Systems
主讲人：郭银景
第三章 离散系统的时域分析
目录 ▪ 3.1 LTI离散系统的响应 ▪ 3.2 单位序列和零状态响应 ▪ 3.3 卷积和
§3.1 LTI离散系统的响应
一、 差分与差分方程 连续系统可用微分方程来描述,离散系统可用差分方
程描述. 差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相
设特解为 DkD形式，代入方程得
1
2
x(k) x(k 1) k2 (k 1)2 2k 1
比较两边系数
33DD12
2 2D
1
1
21
解得
D1 3 , D2 9
完全解为 Y(-1)= -1
得c 8 9
y(k)c(2)k2k1
39
1c(2)12(1)1
3
9
y(k)8(2)k2k1
9
39
三、零输入响应和零状态响应
h(1) C1 2C2 1
1 C1 3
C1
得系统的单位序列响应:
2 3
h(k)1 3(1)k3 2(2)k(k)
1 1 2 2
2. 阶跃响应 阶跃响应的定义为: 当LTI系统的激励位单位阶跃序列时,系统的零状态响应
称为单位阶跃响应或阶跃响应,用g ( k ) 表示. h(k)和 g(k)的 关 系 :
. (k i)
. . . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 … i k
(k i) d e f
1, k i
0
,
k
i
2 单位序列(函数)性质为:
比 例 性 c(n),c(nj) 抽 样 性 f(n)(n)f(0)(n)
时域分析 经 零典 输法 入： 响齐 应次 零 解 状 特 态解 响应 变换域分析:z变换法
例: 若描述某离散系统的差分方程为
y ( k ) 3 y ( k - 1 ) 2 y ( k - 2 ) f( k )
已知初始条件 y(0)0,y(1)2, 激励 f (k ) 2 k ( k ) 求 y(k ). 解:将差分方程中除 y ( k )以外的各项都移到等号右端.得 :
Aej
CjD
Ar1kr1 kcos( kr1)Ar2kr2 k cos(kr2)...A0kcos(k0)
2. 特解
激励 f ( k )
特解 y p ( k )
km
PmkmPm1km1...P1kP0
所有特征根均不等于1时;
krPmkmPm1km1...P1kP0 当有r重等于1的特征根时.
y(4)3y(3)2y(2)f(4)10 此方法我们称之为迭代法。
二、差分方程的经典解
y(k)=yh(k)+yp(k)
特解 1. 齐次解
齐次方程: y ( k ) + a n - 1 y ( k -1 ) + ......+ a 0 y ( k -n ) = 0
特征方程: n a n 1n -1 ... a 1 a 0 0
( 2 ) 将 序 列 f 2 ( i ) 沿 正 i 轴 平 移 k 个 单 位 , 成 为 f 2 ( k i )
(3) 求 乘 积 f1(k)f2(ki) (4) 按 公 式 求 各 乘 积 之 和
例 : 有 两 个 序 列
k+1, k=0,1,2 f1(k)0, 其余
1, k=0,1,2,3
..f.2
.(.5.
..
i
.
)
i
.
. .f 1 ( i ) ..
..f2(..6 ..i) ..i
i
二. 卷积和的性质
交 换 律 f 1 ( k ) f2 ( k ) f2 ( k ) f 1 ( k ) 结 合 律 f 1 ( k ) [ f 2 ( k ) f 3 ( k ) ] [ f 1 ( k ) f 2 ( k ) ] f 3 ( k )
初始条件
系数 C 1 , C 2
例： 求下列差分方程的完全解
y ( k ) 2 y ( k 1 ) x ( k ) x ( k 1 )
其中激励函数 x(k) k 2,且已知y(-1)=-1
解:
20
特征方程齐次通解
2 C (2)k
将 x ( k ) 代入方程右端,得:
x(k) x(k 1) k 2 (k 1)2 2k 1
2
Qk0
f1(k)*f3(k) 1 2 k(k)*(k)2 1 1 2 k 1 (k)
二. 卷积和的图示
用 作 图 法 计 算 f 1 ( k ) * f 2 ( k ) 的 步 骤 为 :
(1) 将 序 列 f1 (k)f2(k)的 自 变 量 用 i代 换 ,然 后 将 序 列 f2(i)以 纵 坐 标 为 轴 反 转 ,成 为 f2( i)
自 由 响 应
零 输 入 响 应
零 状 态 响 应
两种分解方式有明显的区别.虽然自由响应与零输入响应
都的是初齐 始次状解态的决形定式,而,但C 它i 是们由的初系始数状并态不和相激同励,C共x同i 仅决由定系.统
例: 若描述某离散系统的差分方程为
y (k )+ 3 y (k -1 )+ 2 y (k -2 )= f(k )
将初始值代入上式,得
y1 3
1
yf
(1)
1Cf
1
2Cf
2
2 3
1
解得
C
f1
1 3
C f 2 1
零状态响应: yf(k)1 3( 1 )k( 2 )k1 3(2 )k,k0
系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和:
y(k)yx(k)yf(k)(114)零 4k输 2入 2响 4(应 423)k1134(41)4k4(224)k4413(423)k
已知激励初始状态求系统的零输入响应,零状态响应 和全响应. 解: (1) 零输入响应 根据定义,零输入响应满足方程:0
其初始状态
y x ( k ) 3 y x ( k 1 ) 2 y x ( k 2 ) 0
yx( 1 )y( 1 )0,yx 2y 21 2
yx(0)3yx(1)2yx21
yx13yx02yx13
求解方法:
1. 求解差分方程法 2. z变换法
例: 求图所示离散系统的单位序列响应y(k)
y(k)
f(k)
D
1
1.求初始值
y(k-1)
D
2
y(k-2)
y ( k ) y ( k 1 ) 2 y ( k 2 ) f( k )
h(k)h(k1)2h(k2)(k)
h(1)h(2)0
h(0)h(1)2h(2)(0)1
h(1)h(0)2h(1)(1)1
令 k 0 ,1 ( (0 ) 1 (1 ) 0 )
求: h ( k )
h (k ) h (k 1 ) 2 h (k 2 ) 0
特征方程: 2 2 ( 1 ) 2 0
得方程齐次解:
h(k)C 1( 1 )kC 2(2)k
代入初始值:
h(0) C1 C2 1
f1(k)*f2(k)i012i 1112 2
i 0时, (i) 0 i 0时, (i) 1
(2) f1(k)*f3(k)i 1 2i(i)(ki)
Q i 0 时 , ( i ) 0 k i 0 时 ( k i ) 0
f1(k)*f3(k)i 012i 11121k12112k1
h (k ) g (k ) g (k ) g k 1
§3.3 卷 积 和
一. 卷积和
若有两个序列 f1(k)和f1(k)*,和式
f (k) f (i)(ki) i
称为 f1(k)和f1(k) 的卷积和.常用符号”*”表示,即:
f(k)f1(k)*f2(k) f1(i)f2(ki)
如果f1(k)为因果序列，即若f1(k)=0, k＜0, 则
f1(k)f2(k) f1(i)f2(ki)
i0
如果f1(k)不受限制，而f 2 ( k ) 为因果序列,即i＞k时, f2(k-i)=0,则
k
f1(k)f2(k) f1(i)f2(ki)
i
如果f1(k)和f2(k)均为因果序列，即 f1(k)f2(k)0,k<0则
k
f1(k)f2(k) f1(i)f2(ki)
特征根
齐次解
系数
不同特征根对应的齐次解:
特征根
单实根
r 重实根
一对共轭复根
1,2ajbej
R重共轭复根
齐次解 y h ( k )
Cr1kr1 k Cr1kr2 k LC1kk C0k
C r 1 k r 1k C r 2 k r 2k .... C 1 K k C 0k
pk[ccosk Dsink] 其 或Apk cos(k) 中
y ( k ) - 3 y ( k - 1 ) - 2 y ( k - 2 ) f( k )
对于k=2,将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式,得:
y ( 2 ) - 3 y ( 1 )-2 y ( 0 ) f( 2 ) -2
类似的,依次迭代可得
y(3)3y(2)2y(1)f(3)10
Pak
当a不等于特征根时
ak
P1kak P0ak
当a是特征单根时
Prkrak Pr1kr1ak ...P1kak P0ak 当a是r重特征根时
cos(k)或 sin(k)
Pcos(k)Qsin(k)
当所用的特征根均不等于
或 Acos(k),其 中 AejPjQ
e
j
激励 f ( k )
特解
原方程
3. 全解:
山东科技大学精品课程
信号与系统
Signals&Systems
主讲人：郭银景
第三章 离散系统的时域分析
目录 ▪ 3.1 LTI离散系统的响应 ▪ 3.2 单位序列和零状态响应 ▪ 3.3 卷积和
§3.1 LTI离散系统的响应
一、 差分与差分方程 连续系统可用微分方程来描述,离散系统可用差分方
程描述. 差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相
设特解为 DkD形式，代入方程得
1
2
x(k) x(k 1) k2 (k 1)2 2k 1
比较两边系数
33DD12
2 2D
1
1
21
解得
D1 3 , D2 9
完全解为 Y(-1)= -1
得c 8 9
y(k)c(2)k2k1
39
1c(2)12(1)1
3
9
y(k)8(2)k2k1
9
39
三、零输入响应和零状态响应
h(1) C1 2C2 1
1 C1 3
C1
得系统的单位序列响应:
2 3
h(k)1 3(1)k3 2(2)k(k)
1 1 2 2
2. 阶跃响应 阶跃响应的定义为: 当LTI系统的激励位单位阶跃序列时,系统的零状态响应
称为单位阶跃响应或阶跃响应,用g ( k ) 表示. h(k)和 g(k)的 关 系 :
. (k i)
. . . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 … i k
(k i) d e f
1, k i
0
,
k
i
2 单位序列(函数)性质为:
比 例 性 c(n),c(nj) 抽 样 性 f(n)(n)f(0)(n)