高中数学基本初等函数涉及定义域值域、性质、零点问题
(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
高中数学函数知识点(详细)
第二章 函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。
（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
(2020-1-8)高中数学必修1第二章-基本初等函数告知知识点小结
下列函数中不是幂函数的是（ ）
A． y 3x
B． y x
C． y 3 x
D． y x0
幂函数的图像过点
2,
1 4
，则它的单调递增区间是（
）
A． (0, )
B．[0, )
C． (, 0)
D． (, )
B
在 y 2 x , y log 2 x, y x 2 , 这三个函数中，
方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 n a 表示.
(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反
数，这时，正数的正的n次方根用符号 n a 表示，负的n次 方根用符号 n a表示.正负两个n次方根可以合写为 n a
(a＞0)
(3) n a n a (4)当n为奇数时，n a n a ；当n为偶数时，
1
y=x3 y x 2
y=x-1
R [0,+∞) {x|x≠0}
R [0,+∞) {y|y≠Leabharlann }奇 非奇非偶 奇增
(0,+∞)减
增
(-∞，0)减
(1,1)
图 2.3-1 是幂函数 y x 在第一象限的图像，
已知 取 2, 1 四个值， 则相应于曲线 2
C1, C2 , C3, C4 的 的值依次是_______________．
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二次函数 y ax2 bx c
1、定义域 2、值域 3、单调性
4、图象
a>0
a<0
R
4ac b2
[
, )
三大基本初等函数
第一讲：三大基本初等函数一、一元二次函数：()()0442222≠-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==a a b ac a b x a c bx ax x f y 01性质：以0>a 为例：（1）开口向上；（2）对称轴：ab x 2-=； （3)单调性：在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,↓；在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ↑ （4）定义域：R ；值域：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ； （5）()x f 零点个数：∆。
02最值：()()02≠++==a c bx ax x f y 在[]n m ,上的最值：（三点一轴） ()()()⎪⎩⎪⎨⎧+>-+≤-=22,22,max n m a b m f n m a b n f x f ， 注：比较对称轴与区间的中点的大小，两种情况；()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=n a b n f n a b m a b f m a b m f x f 2,2,22,min 注：比较对称轴与区间两个端点的大小关系，三种情况。
典型例题：例1：已知函数()122--=x x x f ，求()x f 在区间[]1,+t t 上的最大值()t M 与最小值()t N 。
答案：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--=21,221,1222t t t t t t M ； ()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<-=1,1210,20,222t t t t t t t N 变式：求()()t N t M -？例2：已知函数()4212a ax x x f -++-=在区间[]1,0上最大值为2，求a 的值。
解析：法一：分类讨论求最值；法二：利用最大值只可能在两端点或对称轴处取得，求出a ，再检验。
答案：6310-=或a 练习：已知函数()()32log 221+-=ax x x f （1）已知()x f 定义域为R ，求a 的取值范围；（2）已知()x f 值域为R ，求a 的取值范围；（3）()x f 在[)+∞-∈,1x 上有意义，求a 的取值范围；（4）()x f 的值域为(]1,-∞-，求a 的值。
高中数学函数初等函数性质分析
高中数学函数初等函数性质分析一、引言函数是数学中的重要概念，它描述了一种变量之间的关系。
在高中数学中，我们学习了许多不同类型的函数，其中包括初等函数。
初等函数是指可以通过有限次的四则运算、指数函数、对数函数和三角函数来表示的函数。
本文将对初等函数的性质进行分析，并通过具体题目进行举例，帮助读者理解和掌握这些性质。
二、初等函数的性质1. 定义域和值域初等函数的定义域是指使函数有意义的输入值的集合，而值域则是函数所有可能的输出值的集合。
例如，对于函数f(x) = √(x+2)，它的定义域是x≥-2，值域是y≥0。
在解题时，我们需要注意确定函数的定义域和值域，以保证问题的解在函数的范围内。
2. 奇偶性初等函数的奇偶性是指函数关于坐标轴的对称性。
如果对于任意x，有f(-x) =f(x)，则函数为偶函数；如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数，而函数f(x) = x^3是一个奇函数。
在解题时，可以利用函数的奇偶性简化计算，例如，对于奇函数的积分，可以简化为对称区间的一半。
3. 单调性初等函数的单调性是指函数在定义域上的增减性。
如果对于任意x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；如果对于任意x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。
例如，函数f(x) = x^2是一个增函数，而函数f(x) = -x^2是一个减函数。
在解题时，可以通过函数的单调性来确定函数的最值和解方程。
4. 对称轴和极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0，它的对称轴可以通过公式x = -b/2a来求得。
对称轴是函数图像的对称轴，对称轴上的点称为顶点，顶点的纵坐标即为函数的极值。
例如，对于函数f(x) = x^2 + 2x + 1，它的对称轴是x = -1，顶点为(-1, 0)，即函数的最小值为0。
(完整版)六大基本初等函数图像与性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
高一上册数学函数知识点归纳总结
高一上册数学函数知识点归纳总结1. 函数的定义和性质函数是一种具有特定关系的映射关系，包括定义域、值域、对应关系等。
函数可以表示为数学表达式、图像或者数据集合。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 基本初等函数常见的基本初等函数包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们各自具有不同的特性和性质，在数学中有广泛的应用。
3. 函数的图像与性质函数的图像是通过绘制函数的各个点而形成的曲线。
通过观察函数的图像，可以了解函数的特点、性质和变化趋势。
常见的图像包括直线、抛物线、指数增长曲线等。
4. 函数的运算与复合函数函数之间可以进行加减乘除等运算，得到新的函数。
函数的复合指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。
函数的运算和复合可以通过代数运算和函数图像来进行研究。
5. 函数的零点和极限函数的零点是函数取值为零的点，也就是方程 f(x)=0 的解。
函数的极限是指当自变量趋向于某个值时，函数取值的趋势和趋向。
寻找函数的零点和研究函数的极限是解决各种数学问题的基础。
6. 反函数与反比例函数如果函数 f(x) 和函数 g(x) 互为反函数，那么对于 f(g(x))=x 和g(f(x))=x 成立。
反比例函数指的是函数的值和自变量成反比例的关系，可以表示为 y=k/x，其中 k 是常数。
7. 函数的导数与微分导数是函数在某一点的变化率，表示为 f'(x)，可以用来解决函数的最值、曲线的切线和函数的变化趋势等问题。
微分是刻画函数局部变化的工具，通过求取函数在某一点的微分来研究函数的性质。
8. 函数的应用函数在实际问题中有广泛的应用，如模拟、建模、最优化、曲线拟合等。
通过函数的定义和性质，可以将实际问题转化为数学模型，并用函数来解决相关的数学和实际问题。
通过以上对高一上册数学函数知识点的归纳总结，我们可以更好地理解函数的基本概念、性质和运用，进而提升数学解题能力和问题解决能力。
基本初等函数定义域、值域、4大性质、零点问题等考法梳理
基本初等函数题型梳理(一)单调性与值域问题 （1）一次函数型例题1 若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a b 、的范围是【解析】2,()22,ax ab x bf x a x b ax ab x b-+≥⎧=-+=⎨-++⎩＜ ∵函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，∴00a b ≤且＞（2）二次函数型例题2 函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增，求实数m 的取值范围【解析】22(2)3,()23(2)3,x m x x mf x x x m x x m x x m⎧+--≥⎪=-+-=⎨-++-⎪⎩＜∵函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增∴222222mm m m m -⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨+⎪≥⎪⎩ 变式1 函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+的解集为________ 【解析】()(4)f x f x =-恒成立，∴函数关于2x =对称，函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，∴函数在(],2-∞单调递减， 关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+，∴232222x x +->+-，解得212x x +>，即22110x x x ⎧<+⎨+≥⎩或()22110x x x ⎧<-+⎨+<⎩，解得112x -<<，解集为1(,1)2-（3）分式函数型例题3 函数1()2ax f x x +=+在(2)--∞，上为增函数，求实数a 的取值范围【解析】1(2)1212()222ax a x a af x a x x x +++--===++++在(2)--∞，上为增函数 易知120a -＜，得12a ＞ 变式2 设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b ](a <b )，集合N ={M x x f y y ∈=),(}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有几个？【解析】函数f （x ）= (0)11(0)1x x x x xx x x ⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩，图象如图所示 由图象可知，y =f （x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。
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各类基本初等函数涉及定义域值域、性质、零点问题等梳理(一)单调性与值域问题 （1）一次函数型例题1 若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a b 、的范围是【解析】2,()22,ax ab x bf x a x b ax ab x b-+≥⎧=-+=⎨-++⎩＜ ∵函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，∴00a b ≤且＞【小结】亦可对a 的符号进行分类讨论，一一排除。
（2）二次函数型例题2 函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增，求实数m 的取值范围【解析】22(2)3,()23(2)3,x m x x mf x x x m x x m x x m⎧+--≥⎪=-+-=⎨-++-⎪⎩＜∵函数()23f x x x m x =-+-在R 上单调递增∴222222mm m m m -⎧-≤⎪⎪⇒-≤≤⎨+⎪≥⎪⎩变式1 函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+的解集为________ 【解析】()(4)f x f x =-恒成立，∴函数关于2x =对称，函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，∴函数在(],2-∞单调递减， 关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+，∴232222x x +->+-，解得212x x +>，即22110x x x ⎧<+⎨+≥⎩或()22110x x x ⎧<-+⎨+<⎩，解得112x -<<，解集为1(,1)2-例题3 函数1 ()2axf xx+=+在(2)--∞，上为增函数，求实数a的取值范围【解析】1(2)1212()222ax a x a af x ax x x+++--===++++在(2)--∞，上为增函数易知120a-＜，得12a＞变式2设函数)(1)(Rxxxxf∈+-=，区间M=[a，b](a<b)，集合N={Mxxfyy∈=),(}，则使M=N成立的实数对(a，b)有几个？【解析】函数f（x）=(0)11(0)1xxx xxxxx⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩，图象如图所示由图象可知，y=f（x）在Ｒ上是连续单调递减函数。
而N=｛y|y=f（x），x∈M｝表示函数定义域为Ｍ＝［a，b］时其值域为Ｎ。
由Ｍ＝Ｎ得解得a=b=0，这与a<b矛盾，所以0个变式3若函数2+-=xbxy在区间()4,+ba()2-<b上的值域为()+∞,2，则=ba______________．【解析】+2+2+2==1+222x b x b byx x x---=+++（）（）2+20b b∵＜-，∴＜∴2+-=xbxy()2-<b在区间()4,+ba是减函数，∴462a byb a-++＜＜又∵值域为()+∞,2，∴4=226ab=-+，，即24,a b=-=-，∴116ba=例题4 已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增． （1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m ＞0，解不等式可得m 的整数解，结合题意可得m ，即有函数的解析式；（2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，原不等式可化为a +1＜4﹣3a ，解不等式即可得到所求范围．【解析】（1）幂函数f （x ）＝x 9﹣3m（m ∈N *）的图象关于原点对称，且在R 上单调递增，可得9﹣3m ＞0，解得m ＜3，m ∈N *，可得m ＝1，2， 若m ＝1，则f （x ）＝x 6的图象不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f （x ）＝x 3的图象关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f （x ）＝x 3； （2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，f （a +1）+f （3a ﹣4）＜0， 可得f （a +1）＜﹣f （3a ﹣4）＝f （4﹣3a ），即为a +1＜4﹣3a ，解得a ＜．【小结】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．例题5 设幂函数),()1()(Q k R a x a x f k∈∈-=的图像过点)2,2(． （1）求a k ,的值；（2）若函数()()2()1h x f x b f x b =-+-在]2,0[上的最大值为3，求实数b 的值．【解析】（1）211=⇒=-a a ；kx x f =)(过点)2,2(，则22)2(=⇒=k k（2）由（1）知2)(x x f =，则1)(12)(222+-+--=-++-=b b b x b bx x x h 当0<b 时，)(x h 在]2,0[单调递减，231)0()(max -=⇒=-==b b h x h ；当20≤≤b 时，（舍）或1-231)()(2max =⇒=+-==b b b b h x h当2>b 时，)(x h 在]2,0[单调递增，)(2333)2()(max 舍=⇒=-==b b h x h 综上，b 的值为2±．变式4 （I ）若33-m m （+1）＜（32），试求实数m 的取值范围 （II ）若1122-m m （+1）＜（32），试求实数m 的取值范围 （III ）若3355-m m --（+1）＜（32），试求实数m 的取值范围（IV ）若44-m m （+1）＜（32），试求实数m 的取值范围 【解析】（I ）易知幂函数3y x =在R 上单调递增 ∴13-2m m +＜，解得23m ＜（II ）易知幂函数12y x=在定义域[)0,+∞上单调递增∴103-2013-2m m m m +≥⎧⎪≥⎨⎪+⎩＜，解得213m -<≤． （III ）（i ）当图象位于第一象限时，10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332m ＜＜（ii ）当图象位于第三象限时，10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解（iii ）当图象位于第一和第三象限时，10320m m +<⎧⎨->⎩，，，解得1m <-综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞ （IV ）根据幂函数4y x =图象易知，距离y 轴越远，y 值越大∴13-2m m +＜，两边平方后转化为一元二次不等式，解得23m m ＜或＞4（5）指数函数型例题6 已知函数2251()3x x y ++=，求其单调区间及值域．【分析】要求复合函数的单调递增（减)区间的即求内函数的单调递减区间，根据二次函数的性质，求出内函数的单调递减（增)区间和值域后，即可得到答案． 【解析】设22()25(1)44t x x x x =++=++则()t x 的单调递减区间为(-∞，1]-，递增区间为[1-，)+∞ 函数1()3t y =为减函数，故函数2251()3x x y ++=的单调递增区间为(-∞，1]-，递减区间为[1-，)+∞∴1081y< ∴值域为(0，1]81【小结】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，指数函数的性质及二次函数的性质，其中根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题是解答本题的关键．例题7 已知函数1()423x x f x +=-+． （1）当()11f x =时，求x 的值；（2）当[2x ∈-，1]时，求()f x 的最大值和最小值． 【解析】（1）当()11f x =，即142311x x +-+=时，2(2)2280x x --=，(24)(22)0x x ∴-+= 20222x x >+>，240x ∴-=，24x =，故2x =（2）2()(2)223x x f x =-+，令2()(21)2x f x ∴=-+ 当21x =，即0x =时，函数的最小值()2min f x = 当22x =，即1x =时，函数的最大值()3max f x =【小结】本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键．变式5 已知定义域为R 的函数2()2xxa f xb -=+是奇函数 （1）求a ，b 的值．（2）判断()f x 的单调性，并用定义证明（3）若存在t R ∈，使22()(42)0f k t f t t ++-<成立，求k 的取值范围． 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解． （2）利用函数单调性的定义进行证明即可．（3）根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可． 【解析】（1）()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，即1011a ab -=∴=+ (1)f f -=-（1）∴122122a ab b --=-++，即1122121122b b b b b =∴+=+∴=++ 经验证符合题意．1a ∴=，1b =（2）12(21)22()1121212x x x x xf x --++===-++++ ()f x 在R 上是减函数，证明如下：任取1x ，2x R ∈，且12x x <，121212*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++， 12x x <∴1222x x <，12()()0f x f x ∴->即12()()f x f x >()f x ∴在R 上是减函数．（3）22()(42)0f k t f t t ++-<，()f x 是奇函数，22()(24)f k t f t t ∴+<-又()f x 是减函数，222244k t t t k t t ∴+>-∴>-设g 2()4t t t =-，∴问题转化为()min k g t >()min g t g =（2）4=-，4k ∴>-【小结】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和应用，利用定义法，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．变式6 已知定义在R 上的奇函数()33x x f x a -=⨯+，a 为常数． （1）求a 的值；（2）用单调性定义证明()f x 在[0，)+∞上是减函数； （3）解不等式(1)(23)0f x f x -++<． 【分析】（1）根据(0)0f =解出a ；（2）设120x x >，计算12()()f x f x -并化简，只需证明12()()0f x f x -<即可； （3）利用单调性和奇偶性得出(23)(1)f x f x +<-，等价于231x x +>-，解出x ． 【解析】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=，即10a +=，解得1a =-．（2）()33x x f x -=-+，设120x x >，则211212()()3333x x x x f x f x ---=-+-， 120x x >，12x x ∴-<-，∴2133x x <，1233x x --<，即21330x x -<，12330x x ---<211212()()33330x x x x f x f x --∴-=-+-<，()f x ∴在[0，)+∞上是减函数． （3）()f x 是奇函数且在[0，)+∞上单调递减，()f x ∴在R 上是减函数．(1)(23)0f x f x -++<．(23)(1)(1)f x f x f x ∴+<--=-，231x x ∴+>-，解得23x>-． 【小结】本题考查了函数单调性与奇偶性综合应用，属于基础题．变式7 设()31,()()()xf x c b a f c f a f b =-<<>>，，则下列成立的是（ ）.33.33.3A B .332C D 32c b b ac a c a >>+>+<【解析】由题，31,0()13,0xxx f x x <⎧-≥⎪=⎨-⎪⎩，作出()y f x =的图像，如图所示，由 ()()()c b a f c f a f b <<>>，可知三点位置如图所示，即0c b a <<<， 又3xy =为增函数，故333c b a <<，,A B 错误；又 ()()f c f a >，即1331332c a a c ->-⇒+<，故选D 。