杠杆定理
杠杆原理
关于阿基米德推动地球的说法， 却还是他在亚历山大里亚留学时候 的事。当时他从埃及农民提水用的吊杆和奴隶们撬石头用的撬棍受到 启发，发现可以借助一种杠杆来达到省力的目的， 而且发现，手握 的地方到支点的这一段距离越长， 就越省力气。由此他提出了这样 一个定理：力臂和力（重量）的关系成反比例。这就是杠杆原理。用 我们现在的表达方式表述就是：动力×动力臂=阻力×阻力臂。为此， 他曾给当时的国王亥尼洛写信说： `我不费吹灰之力，就可以随便移 动任何重量的东西；只要给我一个支点， 给我一根足够长的杠杆， 我连地球都可以推动．'可现在这个小国王并不懂得什么叫科学， 他 只知道在大难临头的时候，借助阿基米德的神力来救他的驾。 可是罗马军队实在太厉害了．他们作战时列成方队， 前面和两侧的 士兵将盾牌护着身子，中间的士兵将盾牌举在头上， 战鼓一响这一 个个方队就如同现代的坦克一样，向敌方阵营步步推进， 任你乱箭 射来也丝毫无损。罗马军队还有特别严明的军纪，发现临阵脱逃的立 即处死， 士兵立功晋级，统帅获胜返回罗马时要举行隆重的凯旋仪 式。这支军队称霸地中海,所向无敌， 一个小小的叙拉古哪里放在眼 里。况且旧恨新仇，早想进行一次彻底清算。这时由罗马执政官马赛 拉斯统帅的四个陆军军团已经挺进到了叙拉古城的西北。现在城外已 是鼓声齐鸣， 杀声震天了。在这危急的关头，阿基米德虽然对因国 王目光短浅造成的这场祸灾非常不满， 但木已成舟，国家为重， 他 扫了一眼沉闷的大殿，捻着银白的胡须说：“如果单靠军事实力， 我们决不是罗马人的对手。现在若能造出一种新式武器来，或许还可 守住城池， 以待援兵。”国王一听这话，立即转忧为喜说：“先王 在世时早就说过， 凡是你说的，大家都要相信．这场守卫战就由你 全权指挥吧。”
1、杠杆的五要素：支点、动力、阻力、动力臂和
杠杆定理在数学中的应用
杠杆定理在数学中的应用摘要：数学是一门逻辑的学科，是一门智慧的学科，是一门美的学科……要想学好数学，需要具备独立的思考能力、解题的自信心和美感、融会贯通的理解能力和知识的迁移能力。
关键词：杠杆平衡1、引出：在平时做练习的时候，发现有这么一道题目：如图所示，在数轴上有a、b两点（a在b的左侧），点a表示的数是a，点b表示的数为b，点c在线段ab上，且cacb=mn，求点c在数轴上表示的数。
（用a，b，m，n表示）我就这道题目做了如下解答，以下是解题过程：解：设点c表示的数为x，根据题意得：x-ab-x=mn 即（n+m）x=mb+an，解得x=mb+anm+n2、构造模型适当解释：如果把线段ab视为无质量杠杆ab，c为支点，要使得该杠杆平衡，∵cacb=mn，∴设在b点受到mn的力的作用（方向为垂直ab向下），那么在 a点须受到nn的力的作用（方向为垂直ab向下），此时，杠杆ab在支点c上处于平衡状态。
即c点受到一个垂直于ab大小为（m+n）n的方向向上的支持力的作用。
在该平衡条件下，对直线ab上的任意一点k，都处于杠杆平衡，有ka·nn+kb·mn=kc·（m+n）n，其中ka，kb，kc，具有方向性。
当k点为数轴原点o时，设ab方向为正，此时oa，ob，oc所表示的量恰好为a，b，c三点在数轴上所表示的数。
∴mb+an=（n+m）x（省略了单位n）∴x=mb+anm+n（方便记忆称：交叉乘除以合力）3、拓展1在平面直角坐标系中，由于对坐标点的横坐标、纵坐标可作如图分解，因此证明过程与上题的情况基本相同仍旧成立。
即在平面直角坐标系中若a表示（x0，y0）b表示（x1，y1），且cacb=mn，则c点坐标为m（x1，y1）+n（x0，y0）m+n=（mx1+nx0m+n，my1+ny0m+n），由于其可分解性和独立性因此在n维坐标系中也成立。
上两题可简记为：原理：交叉乘坐标点（数轴点）找平衡，支点在中间保平衡。
杠杆原理和浮力定律的发现
32. 杠杆原理杠杆原理也被称为“杠杆平衡条件”，即两个重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。
物理学中把在力的作用下可以围绕固定点转动的坚硬物体叫做杠杆，转动的固定点叫做支点，推动杠杆运动的力叫做施力（F1），阻碍杠杆运动的力叫做抗力（F2）。
支点到施力的作用线之间的距离叫做施力臂（L1），支点到抗力的作用线之间的距离叫做抗力臂（L2）。
要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力的大小跟它们的力臂成反比，即动力×动力臂＝阻力×阻力臂，用代数式表示为F1×L1＝F2×L2。
从上式可看出，要想使杠杆达到平衡，那么，动力臂是阻力臂的几倍，动力就是阻力的几分之一。
1．杠杆原理的提出者是谁？是在什么时间提出来的？在总结了关于埃及人用杠杆来抬起重物的经验的基础上，阿基米德系统地研究了物体的“重心”并提出了“杠杆原理”。
阿基米德（前287—前212），古希腊哲学家、数学家、物理学家。
他出生于西西里岛的叙拉古（今意大利锡拉库萨）。
他的家庭与叙拉古的赫农王有亲戚关系，家庭十分富有。
他的父亲是天文学家兼数学家，学识渊博，为人谦逊。
他11岁时，借助与王室的关系，被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城学习。
他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。
在学习天文学时，他发明了用水利推动的星球仪，并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。
为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，他还发明了圆筒状的螺旋扬水机，后人称它为“阿基米德螺旋”扬水机。
公元前240年，阿基米德回到叙拉古，当了赫农王的顾问，帮助国王解决生产实践、军事技术和日常生活中的各种科学技术问题。
公元前212年，古罗马军队攻陷叙拉古，正在聚精会神研究科学问题的阿基米德，不幸被蛮横的罗马士兵杀死，终年75岁。
阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球的图形，以纪念他在数学和力学上的卓越贡献，他被后人称为“力学之父”。
2．杠杆有几种类型？在生活中分别有哪些实例？第一类：支点在施力点和抗力点的中间，既可以是省力杠杆的，也可以是费力杠杆，主要由支点的位置决定，或者说由臂的长度决定。
初中物理 杠杆定理 PPT课件 图文
直距离
阻力臂 Ｌ２
杠杆结构
支点O
Ｆ２
阻力
动力臂 Ｌ１
Ｆ１
动力
例1：找出下列支点
支
F2
点
F1
例2：在下图中找出动 力的作用线
F2 F1
支 点
F1
F1 下一张
例3：在下图中作出F1的力臂
L1
F2 F1
L1 F1
怎样找力臂
（1）：找出支点 （2）：作出力的作用线（用虚线） （3）：从支点作这些力的作用线的 垂线（用虚线） （4）：标出垂直符号；标出力臂
A
O
B
B、 G＜F C、 G＝F
G F
D、无法确定
练一练
如图所示，要使杠杆平衡，可在 N点施加F1、F2、F3、F4几个 力，其中最小的一个是（ B ）
A、 F1 B、 F2 C、 F3 D、 F4
O
G
F1 N
F4 F2
F3
练一练
如图，一杆秤悬挂在空中 处于平衡状态，挂钩A到 提纽O的距离为3cm，秤 砣B到提纽O的距离为 27cm，已知秤砣的质量 为2kg。问物体的质量是 多少kg？
F1（动力） F2（阻力）
支点
F1
L1
（动力臂）
F2
L2 （阻力臂）
作出下图的力臂
F1 F2
F1
下列哪一组器具都是生活中常见 的杠杆（ B ） A、铅笔、筷子、电灯泡 B、筷子、剪刀、钓鱼杆
C、扁担、剪刀、手杖
D、铅球、扳手、小拖车
下列关于力臂的说法中正确的是 （D ）
Ａ、力臂是从支点到力的距离 Ｂ、力臂是从支点到力的作用线之 间的杠杆的长度
桥梁杠杆原理法
桥梁杠杆原理法桥梁杠杆原理法是建筑工程中常用的一种结构设计方法，利用物理学中的杠杆原理来平衡外力和内力，使结构更加稳定。
下面将详细介绍桥梁杠杆原理法的原理及应用。
1. 杠杆原理的基本原理杠杆原理又称称杠杆定理，它是物理学中的基本原理之一，也是力学和机械学等学科的基础。
其基本原理是描述两个力在杠杆上的平衡关系，即当两个力在杠杆上成反比例关系时，可以实现平衡状态，施力点越靠近支点，需要的力就越小，反之则需要的力就越大。
根据杠杆原理，可以设定支点，并可以根据外力情况来计算所需的内力大小和方向。
桥梁杠杆原理法是结构设计领域中最常见的方法之一，该方法使用杠杆原理来设计桥梁支撑结构，使其能够稳定承受外部荷载。
桥梁支撑结构通常由多个按特定布局排列的单元结构组成，称之为构件，构件内部有所谓的支点，即承受荷载的地方。
构件中也包含支点之外的位置，称为杠杆本体，杠杆本体的长度和弯曲程度将影响结构的强度和稳定性。
桥梁杠杆原理法的原理如下：当外部荷载由桥面施加于桥墩上，并由于地面和桥墩自身的重量产生一定的反向力时，此时荷载和反向力便会在桥墩上产生一定的受力情况。
为了保证桥墩稳定，需要采取合适的结构设计方案，可以利用杠杆原理来解决这个问题。
具体做法是：假设桥墩作为杠杆的支点，外部荷载作为施力点，可以根据杠杆原理计算出桥墩受到的反向力的力量和方向，并设计出支撑结构来平衡这些力，从而使整个桥梁保持稳定。
桥梁杠杆原理法采用了物理学中的杠杆原理，既简单易懂又很实用，设计的结果也更为准确和稳定。
桥梁杠杆原理法的优点还包括：（1）灵活性强：桥梁杠杆原理法能适用于各种桥梁结构的设计，无论其形状和材料如何，都能够通过设定支点来实现平衡状态，从而保证桥梁稳定。
（2）计算简单：桥梁杠杆原理法的计算相对简单，只需根据外部荷载情况设定支点，然后利用杠杆原理进行计算即可。
（3）成本较低：桥梁杠杆原理法不需要大量的技术支持和设备，可以在不过多花费的前提下，得到良好的设计效果，是一种经济实用的结构设计方法。
杠杆定理
目标
知识与能力：认识杠杆，能从常见的工具和简单机械中识别出杠杆。
过程与方法：采用观察并主动参与的方法培养学生的观察能力和主动学习能力。
情感态度价值观：关心社会生活中杠杆的情况，提高对生活的关注和对科学的学习兴趣。
教学重点难点
教学重点：杠杆的概念、杠杆的五要素、杠杆的示意图
教学难点；力臂的绘制
教学方法
本节课主要运用自学法、传授法、启发式教学法等形式综合教学。
教学准备
教师准备直角尺、多媒体课件；学生自备直角尺
教学过程
教师活动
学生活动
教学活动意图
播放多媒体
观看并思考问题：
（1）这些工具在生活中有什么作用？
（2）它们在什么情况下才能这样运动？
（3）它们有什么共同之处？
从学生的讨论结果中归纳引导出本节课课题：杠杆。
学生分析
社会人文环境、科技神速发展等因素的参半影响下，当前学生一代受到的影响是不能不重视的一个问题。尤其针对初中三年中的八年级学生来说，形成比较明显的是学习不够主动以及对待学习问题不够细致谨慎。但总体上他们仍具有较强的表现欲。为了充分调动学生的积极性，让课堂活起来，使不同层次的学生都能主动参与学习，本节课主要运用自学法、传授法、启发式教学法等形式综合教学。
(五)课堂小结，布置作业。
教材分析
杠杆是前面几章关于力学知识的延伸，也是后面学习简单机械的基础。本节内容由“杠杆”、“杠杆平衡条件”、“生活中的杠杆”三部分知识点构成。从学生的整体情况出发，我将本节内容分成两个课时。第一课时的教学难点是画杠杆的力臂，为了使学生能比较准确地画出力臂，我在教学过程中会明确力臂的概念，在课堂上稍微花时间去训练一二。
（3）它们有什么共同之处？
合金相图中杠杆定律的教学及应用举例
合金相图中杠杆定律的教学及应用举例摘要：杠杆定律是确定合金相图中平衡相或组织组成物质量分数的重要工具，掌握杠杆定律关键要学会灵活运用。
本文从杠杆定律教学的角度，阐述对杠杆定律的理解，理清杠杆定律使用中的典型问题，探讨教学生在工程实践和科研工作中如何正确运用杠杆定律。
一、引言合金相图是表示平衡条件下合金状态、成为和温度之间关系的几何图解1，2，对认识、学习和研究金属及其合金结晶过程中的普遍规律具有重要意义。
在二元合金相图中，杠杆定律是计算平衡相或组织组成物质量分数的必备工具3。
在教学过程中，如何使用标准的专业术语讲解杠杆定律，如何采用恰当的教学方法，才能使学生更容易理解、掌握并熟练的运用相图这一工具，值得深入研究和探讨。
俞善元4以铁碳相图为例，阐述了杠杆定律在求解合金的相组成物、组织组成物质量分数中的应用。
崔成梅等5也已铁碳相图为例，分析了杠杆定律在机械工程材料中的典型应用，谢希文3探讨了在杠杆定律应用中与张照煌6的不同意见.可见，对于杠杆定律，虽然人们关注的焦点主要在于其如何运用，但是研究学者对于杠杆定律的正确运用仍存在分歧。
本文从教学的角度，阐述对杠杆定律的理解，理清杠杆定律使用中的典型问题，探讨教学生在工程实践和科研工作中如何正确运用杠杆定律。
1.杠杆定律概述杠杆定律是指给定成分的合金处于两相平衡时，利用相图计算两平衡相之间相对质量分数的数学方法，其平衡式可以简述如下：在两平衡相(组织)组成的合金中，两相(组织)的质量分数之比等于各自成分所在位置到合金平均成分所在位置距离之比的倒数。
如图1中所示匀晶相图为例，即：(1)图1 匀晶相图中的杠杆定律由上可知，利用杠杆定律可以方便的求解两平衡相在当前温度下各自的化学成分(图1中液相成分为 ,相成分为 )以及两者的相对质量分数。
对研究合金组织与相随温度的动态平衡变化规律具有重要意义。
1.杠杆定律的讲授要点教学过程与研究过程不同。
虽然教师是站在已知者的角度，完全掌握了杠杆定律的相关知识和运用方法，但向学生讲授杠杆定律时，却不应直接将这些知识灌输给学生，而是应当遵循认识事物的科学规律，从一个启发者的角度，引导学生认识和学习杠杆定律。
物理杠杆放大倍数计算公式
物理杠杆放大倍数计算公式1.什么是物理杠杆？物理杠杆是一种利用杠杆原理来实现力的放大或缩小的机械装置。
它通常由杠杆臂、支点、作用力点和负载点四部分组成。
杠杆臂是指杠杆上支点到作用力点或负载点的距离，支点是指杠杆固定的点，作用力点是指施力点，负载点是指受力点。
根据杠杆定理，当杠杆的杠杆臂比相同时，支点处受到的力矩是相等的，因此可以利用这个原理来实现力的放大或缩小。
2.物理杠杆的放大倍数物理杠杆可以实现力的放大或缩小，放大倍数是指输出力和输入力的比值。
放大倍数越大，则输出力越大，可以更容易地完成需要的工作。
物理杠杆的放大倍数计算公式如下：放大倍数=输出力/输入力其中，输入力指施加在杠杆的作用力点上的力，输出力指作用在杠杆的负载点上的力。
放大倍数可以大于1，也可以小于1，具体取决于输入力与输出力的大小关系。
例如，一个力臂比为1：2的物理杠杆，当输入力为10牛时，输出力为20牛，则它的放大倍数为：放大倍数=20牛/10牛=2这意味着，该杠杆可以将输入力放大2倍，输出20牛的力，用于完成需要的工作。
3.物理杠杆的运用物理杠杆在日常生活中有广泛的运用，例如：(1)手动绞肉机：手动绞肉机是一种常见的物理杠杆工具。
输入力由手摇绞肉机的手柄提供，输出力则是绞出的肉馅。
通过增加绞肉机的杠杆臂，可以提高绞肉机的放大倍数，减小摇动手柄的力度，更加方便快捷地处理肉类食材。
(2)重物起吊：起重机、吊车等重型机械也是利用物理杠杆原理来实现起重的。
在这些机械中，输入力是由电机提供的，输出力则是用于起吊重物的吊臂。
通过调整机械的杠杆臂长度，可以完成不同范围的起重任务。
(3)铰接钳：铰接钳也是一种常见的物理杠杆工具。
铰接钳通常由两个钳臂和一个铰接处组成，输入力是由手动操作钳臂提供的，输出力则是用于夹取物品的力量。
铰接钳的放大倍数取决于钳臂的长度，可以通过加长钳臂来提高放大倍数，从而更好地夹取物品。
总之，物理杠杆作为一种实现力的放大或缩小的机械装置，在生活中有着广泛的应用。
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（05&07）绘出Fe-Fe 3C 相图。
标出共晶点、共析点、碳在α相和γ相中最大固溶度点的温度和成分。
画出含碳1.2%钢的结晶过程和冷却曲线示意；计算缓慢冷却到室温后，该合金组织中的二次渗碳体的相对含量。
=
⨯--=%10077
.069.62.169.6)(P w
=
⨯--=
%1000218
.069.62.169.6)(F w
=
⨯--=
%1000218
.069.60218
.02.1)(3C Fe w
(此处C Fe 3由ⅡC Fe 3和珠光体P 中的C Fe 3两部分组成)
=
⨯--⨯
--=
⨯=%1000218
.069.677.069.677
.069.62.169.6(((33中的含量）在））珠光体中P C Fe w P w C Fe w 珠光体P 由铁素体F 和渗碳体C Fe 3组成，室温下的组织组成物珠光体P 和渗碳体C Fe 3；相组成物有铁素体F （α-Fe ）和渗碳体C Fe 3（两部分）；其中渗碳体C Fe 3为化合物，可将其看作组织也可看作相，注意题目中的要求。
（06） 画出Fe-Fe 3C 二元相图，并标出亚共析钢、过共析钢、亚共晶白口铁、过共晶白
口铁所处的相区范围。
画出15钢从液态熔体到室温的冷却曲线示意图，写出各温度段的转变式，计算室温时先共析铁素体的相对含量。
=
⨯--=
%1000218
.077.00218
.015.0)(P w =
--=
0218
.069.60218.015.0)(3C Fe w
=
--=
0218.069.615
.069.6)(铁素体w
※当题目中要求先共析铁素体先F 和珠光体P 时应想到合金由先F 和P 组成，应在左右
分别找到0.0218和0.77两个点(组织组成物)；
※当题目中要求铁素体和渗碳体时应想到合金由铁素体F 和渗碳体C Fe 3组成，应在左右分别找到0.0218和6.69两个点，再利用杠杆定理求解。
（08）珠光体85%，铁素体15%，求合金中α-Fe 相和渗碳体的含量。
解：设合金中含碳量为x,由已知条件，
%
85%1000218
.077.00218.0)(=⨯--=
X P w
解得：x=0.65777
根据合金成分（P 和F ）找到合金的大体位置，利用杠杆定理，求出具体的含碳量。
%
46.90%1000218
.069.665777.069.6)(=⨯--=
-Fe w α
%
54.9%46.901)(3=-=C Fe w
本题中告诉了合金的组织组成物的成分，求相组成物的成分。
解题思路是先利用杠杆定理反求合金的含碳量确定合金在Fe-C 相图的具体位置，再利用杠杆定理求出相组成物的相对含量，区分组织组成物和相组成物及杠杆定理的逆向运用是问题的关键）。
例题1:求45钢中组织组成物和相组成物的相对含量。
组织组成物由先共析铁素体和珠光体组成。
其中
=
⨯--=
%1000218
.077.045.077.0)(先共析F w
=
⨯--=
%1000218
.077.00218
.045.0)(P w 相组成物由铁素体α-Fe 和渗碳体C Fe 3组成。
其中
=
⨯--=
-%1000218
.069.645.069.6)(Fe w α
=⨯--=
%1000218.069.60218
.045.0)(3C Fe w
例题2：求w(C)=3.0%的合金室温下组织组成物中二次渗碳体的相对含量。
解：含碳量3.0%的合金室温下的组织组成物由珠光体、二次渗碳体和变态莱氏体组成。
其中
=
⨯--⨯
--=
%10077
.069.611.269.611
.23.40.33.4)(3ⅡC Fe w
分析：二次渗碳体是由先共晶奥氏体析出的，先求出先共晶奥氏体的含量，再乘以含碳量最大的奥氏体（2.11点）中所能析出的二次渗碳体的相对含量，及时二次渗碳体在合金的组织组成物中的相对含量。