2020年上海市闵行区数学二模试卷(有答案)
上海市闵行区2020届高三数学二模
上海市闵行区2020届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|47}B x x =≤≤，则A B =I2. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则Im z =3. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a =5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为6. 在831()x x-的二项展开式中，常数项的值为7. 若x 、y 满足||1x y ≤+，且1y ≤，则3x y +的最大值为8. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为 （结果用最简分数表示）9. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与 x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞= 10. 已知(2)f x +是定义在R 上的偶函数，当12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有 12120()()x x f x f x -<-，则不等式1(31)(12)x f f +-+<的解集为 11. 已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB AC ⋅uu u r uuu r 的取值范围为12. 已知函数()|sin ||cos |4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k ==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ）A. 45B. 46C. 47D. 4815. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=uuu r uuu r ，2EN NF λ=uuu r uuu r ，则12λλ+=（ ）A. 2-B. 12- C. 1 D. 1- 16. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}-U三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，123AA =，M 是侧棱1C C 上一点，设MC h =.（1）若3h =，求多面体111ABM A B C -的体积；（2）若异面直线BM 与11A C 所成的角为60°，求h 的值.18. 已知函数2()3cos 3sin cos f x x x x ωωω=+（0ω>）.（1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当1ω=时，设△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32A f =，且27a =，6b =，求△ABC 的面积.19. 如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米（0100x <<），A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为0.5(100)x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位：万元）.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若规划仓库使用的年限为n （*N n ∈），()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实际意义.20. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过 点(0,)P b （1b >），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q .（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值；（2）若3b =，且32PD PC =uu u r uu u r ，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？ 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.21. 已知数列{}n x ，若对任意*N n ∈，都有212n n n x x x +++>成立， 则称数列{}n x 为“差增数列”. （1）试判断数列2n a n =（*N n ∈）是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 为“差增数列”，且*N n a ∈，121a a ==，对于给定的正整数m ， 当k a m =，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；（3）若数列{lg }n x 为“差增数列”，（*N n ∈，2020n ≤），且122020lg lg lg 0x x x ++⋅⋅⋅+=，证明：101010111x x <.参考答案一. 填空题1. {5,7}2. 1-3. 4π 4. 6 5. 50π 6. 28 7. 5 8.128 9. 1a q -10. (1,)+∞ 11. 1[,2]4- 12. 1（122之和）二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. D三. 解答题17.（1）3；（2）218.（1）3())32f x x πω=++，12ω=；（2）3A π=，2c =或4，面积为19.（1）当050x <≤，100000()f x x =；当50100x <<，100000()100f x x =-；（2）50n +20.（1）2π；（2）:1AD y x =-+，:21BC y x =-，23Q x =；（3）(0,3)P 21.（1）是；（2）{|,172190}m m m ∈≤≤*N ；（3）略.。
上海市闵行区2020-2021年高三数学二模试卷含答案
闵行区2020-2021年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷考生注意：1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．设集合2{|340}A x x x =--<，{|22}B x x =-<<，则A B = ．2．复数12i(i iz +=为虚数单位）的共轭复数为 ． 3．在无穷等比数列{}n a 中，2511,,27a a ==则12lim()n n a a a →∞+++= ．4．已知函数13sin 1()1x f x x =，若()2021f a =，则()f a -= ． 5．已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则cos2α= ．6．若直线l 的参数方程为1,()13x t t y t=+⎧⎪∈⎨=+⎪⎩R ，则直线l 的倾斜角为 ．7．在621x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，中间一项的系数为 ．（用数字作答）8．如右图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为 ．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一点，2PF x ⊥轴，且2PF 是1PF 与12F F 的等差中项，则双曲线的渐近线方程为 .10．若四边形ABCD 是边长为4的菱形，P 为其所在平面上的任意点，则PA PC PB PD ⋅-⋅的取值范围是 .11．已知函数()ππ2π3πtan ,,,233263π2π33,33x x f x x x ⎧⎛⎤⎛⎫∈- ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪-+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，，，若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式[){}[]{}0,3,2K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是 .12．已知数列{}n a （*n ∈N ）满足121321n n n a a a a a a a +-=-+-++-（2n ≥）,且11a =，()21a a a =>，则12324=a a a a ++++ ．(结果用含a 的式子表示)二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．设2:log 0p x <，:q 1x <，则p 是q 成立的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分亦非必要条件14．右图是函数()πsin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的图像，该图像分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，与过点A 的直线相交于另外两点C 、D ，i 为x 轴上的基本单位向量，则()BC BD i +⋅=（ ） (A) 1- (B) 56- (C) 56 (D) 5315．已知函数()+af x x x=（0a >），120x x <<， 且()()12f x f x =，给出以下结论: ①122x x a +>恒成立；②()()122f a x f x -<恒成立.则（ ） (A) ①正确，②正确 (B) ①正确，②错误(C) ①错误，②正确 (D) ①错误，②错误16．在直角坐标平面上，到两条直线0y =与y x =的距离和为3的点的轨迹所围成的图形的面积是（ ）(A) 18 (B) 182 (C) 36 (D) 362三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数()2()log 21x f x =+．(1) 证明()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数；(2) 若函数()()F x m f x =+在区间[0,2]上存在零点，求实数m 的取值范围．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥M ABCD -中，已知AM ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB CD =，且2AB AM AD ===． (1) 求四棱锥M ABCD -的体积；(2) 求直线MC 与平面ADM 所成的角．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某植物园中有一块等腰三角形ABC 的花圃，腰长为20米，顶角为30，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线DE 表示（D E 、两点分别在腰AB AC 、上，以下结果精确到0.01）． (1) 如果曲线DE 是以A 为圆心的一段圆弧（如图1），求AD 的长；(2) 如果曲线DE 是直道（如图2），求AD AE +的最小值，并求此时直道DE 的长度．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)如图，已知椭圆22:14x y Γ+=的左右顶点分别为A B 、，P 是椭圆Γ上异于A B 、的一点，直线:4l x =，直线AP BP 、分别交直线l 于两点C D 、，线段CD 的中点为E .(1)设直线AP BP 、的斜率分别为AP BP k k 、，求AP BP k k ⋅的值；(2)设ABP ABC △、△的面积分别为12S S 、，如果212S S =，求直线AP 的方程；(3) 在x 轴上是否存在定点(),0N n ，使得当直线NP NE 、的斜率NP NE k k 、存在时，NP NE k k ⋅为定值？若存在，求出NP NE k k ⋅的值；若不存在，请说明理由.21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 对于有限集{}1231,,,,,m m S a a a a a -=（*,3m m ∈≥N ），如果存在函数()f x （()=f x x 除外），其图像在区间D 上是一段连续曲线，且满足()f S S =，其中()(){},f S f x x S S D =∈⊆，那么称这个函数()f x 是P 变换，集合S 是P 集合，数列1231,,,,,m m a a a a a -是P 数列.例如，{}=1,2,3S 是P 集合，此时函数()4f x x =-是P 变换，数列1,2,3或3,2,1等都是P 数列．(1)判断数列1,2,5,8,9是否是P 数列？说明理由；(2)若各项均为正数的递增数列{}n a （*12021,n n ≤≤∈N ）是P 数列，若P 变换()9f x x=，求122021a a a ⋅⋅⋅的值； (3)元素都是正数的有限集{}1231,,,,,m m S a a a a a -=（*,3m m ∈≥N ），若i j a a <，总有j ia S a ∈，其中1,i j m ≤≤．试判断集合S 是否是P 集合？请说明理由．闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．()1,2-； 2．2i +； 3．92； 4．2021-； 5．725-； 6．3π；7．160-；8．1651；9．22y x =±； 10．[)0,16； 11．47912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，；12．23210a +.二. 选择题 13．A ； 14．D ； 15．A ； 16．B ．三. 解答题17．[证明]（1）任取12x x <，则:()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，…………2分1212,02121x x x x <∴<+<+11222212101,log 02121x x x x ++∴<<<++， ………………………4分12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增. …… 6分[解]（2）()2()log 21x F x m =++在[0,2]上存在零点所以只需求函数()2log 21x m =-+在[0,2]上的值域， ……………8分 由（1）可知函数()2log 21x m =-+在[0,2]上是减函数， …………10分 所以()()2022log 21log 21m -+≤≤-+， ………………………12分 即2log 51m -≤≤-，所以m 的取值范围为[]2log 5,1--． ………………………14分18．[解]（1）在梯形ABCD 中，2AB =，2CD AB =，则1CD =所以1()=32ABCD S AB CD AD =+⋅，………………………2分又四棱锥M ABCD -的高2h AM ==，所以棱锥M ABCD -的体积123ABCD V S h =⋅=．…………6分（2）AM ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD 内所以AM CD ⊥， ………………………8分 ,//AB AD AB CD ⊥，CD AD ∴⊥．所以CD ⊥面ADM ，所以CMD ∠为直线MC 与平面ADM 所成的角．………………………10分 Rt CDM △中，1CD =，22MD =2tan 22CMD ∠==, ………………………12分所以2arctanCMD ∠= 即直线MC 与平面ADM 所成的角为2arctan.………………………14分 19．[解]（1）设AD x =，依题知，扇形DAE 的面积为21=26DAE S x π⋅⋅扇形……2分 又ABC △的面积为2120sin301002ABC S =⋅=△ 由1=2ABC DAE S S △扇形得 21=5026x π⋅⋅ ………………………4分 解得2600=x π，13.82x ≈（米）故AD 的长约为13.82米 ………………………6分（2）如图2，线段DE 平分ABC △的面积.设y AE x AD ==,，由ABC ADE S S ∆∆=21知200xy = ………………………8分又2202AD AE x y xy +=+≥=(当且仅当=102x y =时取等号)，……10分 此时20228.28AD AE +=≈（米）， ………………………12分22=22cos307.32DE x x -≈（米）综上，AD AE +的最小值约为28.28米，此时直道DE 的长度约为7.32米．…14分20．[解]（1）可求点A B 、的坐标分别为(2,0)(2,0)-、， 2分 设(,)P x y ，则2214x y =-，所以222211422444AP BP x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---；…4分（2）设点()2cos ,sin (sin 0)P θθθ≠，则直线AP 的方程为()sin 22cos 2y x θθ=++………………………6分令4x =得3sin cos 1y θθ=+，所以点C 的坐标为3sin 4,cos 1θθ⎛⎫⎪+⎝⎭………8分由212S S =得3sin 2sin cos 1θθθ=+，所以13cos ,sin 2θθ==±，所以直线AP 的方程为()32y x =±+.………………………10分（3）同（2），设点()2cos ,sin (sin 0)P θθθ≠，直线AP 的方程为()sin 22cos 2y x θθ=++同理可求直线BP 的方程为：()sin 22cos 2y x θθ=--，令4x =得sin cos 1y θθ=-， 所以点D 的坐标为sin 4,cos 1θθ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ CD 中点12cos 4,sin E θθ-⎛⎫⎪⎝⎭………………………12分12cos sin sin 2cos 4NP NE k k n n θθθθ-⋅=⋅--()()()()12cos 12cos 2cos 4424cos n n n n n θθθθ--==---+-………………………14分 要使NP NE k k ⋅为定值，只需()()12424n n n -=--，解得1n =，此时13NP NE k k ⋅=-所以在x 轴上存在定点()1,0N ，使得NP NE k k ⋅为定值13-.………16分21． [解]（1）记{}1,2,5,8,9S =，存在函数()10f x x =-，……………2分 使得()f S S =，所以数列1,2,5,8,9是P 数列．………………………4分 （2）因为函数()9f x x =在区间()0,+∞上是减函数， 所以1232020202199999a a a a a >>>>>，………………………6分 因为递增数列{}n a （*12021,n n N ≤≤∈）是P 数列， 所以20212020202221122020202199999,,,,,,n na a a a a a a a a a -=====……8分记122021A a a a =⋅⋅⋅，则()()()()2202112021220202022202119n n A a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅=所以202112320213a a a a =． ………………………10分(3)不妨设1231m m a a a a a -<<<<<1°当11a ≠时，考察312411111m m a a a a aa a a a a -<<<<<因为312411111,m m a a a a a S a a a a a -⎧⎫⊆⎨⎬⎩⎭,,,,，故11a >，且31241232111111,m m m m a a a a aa a a a a a a a a a ---=====,,,,，…………12分 即()112n n a a n m a -=≤≤所以{}()1n a n m ≤≤是等比数列，()11nn a a n m =≤≤， 此时存在P 变换()11m a f x x+=，使得()f S S =，故集合S 是P 集合．………14分2°当11a =时，考察3141222221,m m a a a a a a a a a a -=<<<<< 因为3142222m m a a a a S a a a a -⎧⎫⊆⎨⎬⎩⎭,,,,，故31423212222m m m m a a a aa a a a a a a a ---====,,,,，………………………16分 即()213n n a a n m a -=≤≤，所以{}()1n a n m ≤≤是等比数列，()121n n a a n m -=≤≤，此时存在P 变换()12m a f x x-=，使得()f S S =，故集合S 是一个P 集合．综合1°2°可知，集合S 是一个P 集合．………………………18分坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
上海市闵行区2020-2021学年第二学期九年级数学二模试卷(电子版有答案)
所以 4 3 m 8
三、解答题： 19．原式 = 0 20． −2 x 3，数轴略
21．（1） 45
（2） 7 2 10
22．60
23．（1）由 ABE = ECF ,AEB = EFC, EA = EF 可证 （2） AB2 = BG BD AB = BD ABD∽ GBA
点 A 处，从点 A 处开始，在河流南岸立 4 根标杆，以这 4 根标杆为顶点，组成边长为 10 米的正方形 ABCD ，
且 A，D，E 三点在一条直线上，在标杆 B 处观察塔 E，视线 BE 与边 DC 相交于点 F，如果测得 FC = 4
米，那么塔与树的距离 AE 为_______米．
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17．如图，在 Rt ABC 中，ACB = 90 ，A = 60 ，点 D 为 AB 中点，将 ACD 沿直线 CD 翻折后， 点 A 落在点 E 处，设 BC = a ， DB = b ，那么向量 DE 用向量 a ， b 表示为________．
A．这组数据的方差是 0
B．这组数据的众数是 0
C．这组数据的中位数是 0
D．这组数据的平均数是 0
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．有两个内角是 90 的四边形是矩形
B．一组邻边互相垂直的菱形是正方形
C．对角线相互垂直的梯形是等腰梯形
D．两组内角相等的四边形是平行四边形
6．如图，在 ABC 中， C = 90 ， AC = BC ， AB = 8 ，点 P 在边 AB 上， P 的半径为 3， C 的
3
4
5
6
B
C
D
A
B
上海2020届高三数学 二模考试(闵行区)
上海市2020届高三数学 二模数学试卷（闵行区） 2020.5 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|47}B x x =≤≤，则A B =I2. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则Im z =3. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a =5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为6. 在831()x x-的二项展开式中，常数项的值为7. 若x 、y 满足||1x y ≤+，且1y ≤，则3x y +的最大值为8. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为 （结果用最简分数表示）9. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与 x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞= 10. 已知(2)f x +是定义在R 上的偶函数，当12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式1(31)(12)x f f +-+<的解集为 11. 已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB AC ⋅uu u r uuu r 的取值范围为12. 已知函数()|sin ||cos |4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k ==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ）A. 45B. 46C. 47D. 4815. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=uuu r uuu r ，2EN NF λ=uuu r uuu r ，则12λλ+=（ ）A. 2-B. 12- C. 1 D. 1- 16. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}-U三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，123AA =，M 是侧棱1C C 上一点，设MC h =.（1）若3h =，求多面体111ABM A B C -的体积；（2）若异面直线BM 与11A C 所成的角为60°，求h 的值.18. 已知函数2()3cos 3sin cos f x x x x ωωω=+（0ω>）.（1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当1ω=时，设△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32A f =，且27a =，6b =，求△ABC 的面积.19. 如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米（0100x <<），A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为0.5(100)x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位：万元）.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若规划仓库使用的年限为n （*N n ∈），()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实际意义.20. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点(0,)P b （1b >），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q .（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值；（2）若3b =，且32PD PC =uu u r uu u r ，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.21. 已知数列{}n x ，若对任意*N n ∈，都有212n n n x x x +++>成立，则称数列{}n x 为“差增数列”. （1）试判断数列2n a n =（*N n ∈）是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 为“差增数列”，且*N n a ∈，121a a ==，对于给定的正整数m ，当k a m =，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；（3）若数列{lg }n x 为“差增数列”，（*N n ∈，2020n ≤），且122020lg lg lg 0x x x ++⋅⋅⋅+=，证明：101010111x x <.参考答案一. 填空题1. {5,7}2. 1-3. 4π 4. 6 5. 50π 6. 28 7. 5 8.128 9. 1a q -10. (1,)+∞ 11. 1[,2]4- 12. 1+（122之和）二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. D三. 解答题17.（1；（2）218.（1）3())32f x x πω=++，12ω=；（2）3A π=，2c =或4，面积为19.（1）当050x <≤，100000()f x x =；当50100x <<，100000()100f x x =-；（2）50n +20.（1）2π；（2）:1AD y x =-+，:21BC y x =-，23Q x =；（3）(0,3)P 21.（1）是；（2）{|,172190}m m m ∈≤≤*N ；（3）略.。
上海市闵行区2020年第二学期高三年级质量调研考试数学试题(文理科)
上海市闵行区2020年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（文理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．方程2log (34)1x -=的解=x .2．（理）若直线l 经过点(1,2)P ，且法向量为(3,4)n =-r，则直线l 的方程是 （结果用直线的一般式表示）.（文）计算221lim 3(1)n n n n →∞+=- .3．（理）若函数31(1),()4(1).2x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪-⎩则1(2)f -= .（文）若4()2x f x x -=-，则1(2)f -= .4．（理）若()sin 3cos f x a x x =+是偶函数，则实数a = .（文）若直线l 经过点(1,2)P ，且法向量为(3,4)n =-r，则直线l 的方程是 （结果用直线的一般式表示）.5．（理）在极坐标系中，两点的极坐标分别为(2,)3A π、(1,)3B π-，O 为极点，则OAB ∆面积为 .（文）若5,(0,0)2 6.x y x y x y +≤⎧≥≥⎨+≤⎩，则函数68k x y =+的最大值为 .6．（理）无穷数列1sin 22n n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项和为 .（文）若()sin 3cos f x a x x =+是偶函数，则实数a = .7．根据右面的框图，该程序运行后输出的结果为 .8．（理）已知地球半径为6378公里，位于赤道上两点A 、B 分别在东经23o和143o上，则A 、B 两点的球面距离为 公里（π取3.14，结果精确到1公里）.（文）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为 . 9．（理）一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球和2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球计1分，摸得一个绿球计2分，摸得一个红球计4分，记随机摸出一个球的得分为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .（文）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6道程序，则满足程序A 只能出现在最后一步，且程序B 和程序C 必须相邻实施的概率为 .10．（理）若关于x 的方程2310x a -+=在(],1-∞上有解，则实数a 的取值范围是 .（文）若关于x 的方程2310x a -+=在[1,)-+∞上有解，则实数a 的取值范围是 . 11．（理）对于任意0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式242sin cos 2sin p x x x +≥恒成立，则实数p 的范围为 . （文）对于任意0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，不等式24sin cos 0p x x +≥恒成立，则实数p 的最小值为 .12．（理）通过研究函数42()21021f x x x x =-+-在实数范围内的零点个数，进一步研究可得2()21021(3,)ng x x x x n n =+--≥∈N 在实数范围内的零点个数为 . （文）通过研究方程4221021x x x =-++在实数范围内的解的个数，进一步研究可得函数212()21021(3,)n g x x x x n n -=+--≥∈N 在实数范围内的零点个数为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 13．（理）“21<-x ”是“103x <-”的 [答]（ ） (A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件.（文）“21<-x ”是“3<x ”的 [答]（ ）(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件. (C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件.14．（理）若z ∈C ，且221z i +-=，则22z i --的取值范围是 [答]（ ）(A) []2,3. (B) []3,5. (C) []4,5. (D) []4,6.（文）若z ∈C ，且1z =，则2z i -的最大值是 [答]（ ）(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 15．函数xx x f 52)(+=图像上的动点P 到直线x y 2=的距离为1d ，点P 到y 轴的距离为2d ，则=21d d [答]（ ）(A) 5. (B)55. (C)5. (D) 不确定的正数. 16．（理）已知椭圆cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点P 到它的两个焦点1F 、2F的距离之比12:PF PF =12(0)2PF F παα∠=<<，则α的最大值为[答]（ ）(A)6π. (B) 4π. (C) 3π.(D) arccos 3.（文）椭圆22221x y a b+=上的点P 到它的两个焦点1F 、2F的距离之比12:PF PF =且12(0)2PF F παα∠=<<，则α的最大值为 [答]（ ）(A)6π. (B) 4π. (C) 3π.(D) .三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤． 17.（本题满分12分）（理）已知22cos 10()210311xf x m x-=的最大值为2，求实数m 的值．D 1 . A 1C 1EABCD B 1（文）已知sin 10()cos 10101xf x m x=-的最大值为2，求实数m 的值．18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （理）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动.（1）探求AE 等于何值时，直线1D E 与平面11AA D D 成45o角； （2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -与一个侧棱长为2的正四棱锥1111P A B C D -组合而成. （1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 与1PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.A 1B 1C 1D 1E C BAPD.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．课本中介绍了诺贝尔奖，其发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达19516万美元，假设基金平均年利率为 6.24%r =.（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？（2）设()f x 表示为第x (*x ∈N )年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1998年记为(1)f ),试求函数()f x 的表达式.并据此判断新民网一则新闻 “2008年度诺贝尔奖各项奖金高达168万美元”是否与计算结果相符，并说明理由.20.（本题满分17分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分7分．（理）斜率为1的直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且与抛物线交于两点A 、B . （1）若2p =，求AB 的值；（2）将直线AB 按向量(,0)a p =-r平移得直线m ，N 是m 上的动点，求NA NB ⋅u u u r u u u r 的最小值．（3）设(,0)C p ，D 为抛物线22(0)y px p =>上一动点，是否存在直线l ，使得l 被以CD 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由. （文）斜率为1的直线过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线交于两点A 、B ． （1）求AB 的值；（2）将直线AB 按向量(2,0)a =-r平移得直线m ，N 是m 上的动点，求NA NB ⋅u u u r u u u r 的最小值．（3）设(2,0)C ，D 为抛物线24y x =上一动点，证明：存在一条定直线l ：x a =，使得l被以CD 为直径的圆截得的弦长为定值，并求出直线l 的方程．21.（本题满分17分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．对于数列{}n a（1）当{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）且1n na q a +=（常数）， 证明：{}n a 为非零常数列.（2）当{}n a 满足221n naa d +'-=（常数）且212n na q a +'=（常数）， 判断{}n a 是否为非零常数列，并说明理由.（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论,并说明理由. （文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．对于数列{}n a（1）当{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）且1n na q a +=（常数）， 证明：{}n a 为非零常数列.（2）当{}n a 满足221n naa d +'-=（常数）且212n na q a +'=（常数）， 判断{}n a 是否为非零常数列，并说明理由.（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）.闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案和评分标准一、填空题：（每题5分）1. 2；2. 理：3450x y -+=、文：23； 3. 理：0、文：0；4.理：0、文：3450x y -+=；5.40；6.理：25、文：0； 7. 16； 8.理：13351、文：16π； 9.理：1.9、文：115； 10.理：1,13⎛⎤⎥⎝⎦、文：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 11.理：[)2,+∞、文：0； 12.理：当n 为大于3的偶数时，2个零点；当n 为大于或等于3的奇数时，3个零点、文：3个零点. 二、选择题：（每题4分）13. A ； 14. B ； 15. C ； 16. C 三、解答题： 17.（本题满分12分） (理) 解：按行列式展开可得：2()2cos 2f x x x m =+ (3分)2cos 21x x m =+++ (6分)2sin(2)16x m π=+++，(9分)从而可得：212m ++=1m ⇒=-．(12分)(文) 解：按行列式展开可得()sin cos f x x m x =- (3分))x φ=+ (6分)由题意得：2= (9分) m =(12分)18.（本题满分14分）（理）解：（1）法一：长方体1111ABCD A B C D -中，因为点E 在棱AB 上移动，所以EA ⊥平面11AA D D ，从而1ED A ∠为直线1D E 与平面11AA D D 所成的平面角，(3分)1Rt ED A ∆中，145ED A ∠=o 1AE AD ⇒== (6分)法二：以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、DD 1依次为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系，则点1(0,0,1)D ，平面11AA D D 的法向量为(0,2,0)DC =u u u r ，设(1,,0)E y ，得1(1,,1)D E y =-u u u u r，(3分)由11sin 4D E DC D E DCπ⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，得y =AE = (6分)（2）以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、DD 1依次为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则点(1,1,0)E ，1(1,0,1)A ， 1(0,2,1)C ，从而1(1,0,1)DA =u u u u r ，1(0,2,1)DC =u u u u r，(1,1,0)DE =u u u r (3分) 设平面11DA C 的法向量为(,,)n x y z =r ，由1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u u r020x z y z +=⎧⇒⎨+=⎩ 令1(1,,1)2n =--r ， (5分)所以点E 到平面11A DC 的距离为n DEd n⋅=r u u u r r1=. (8分) （文）解：（1）画出其主视图（如下图）， 可知其面积S 为三角形与正方形面积之和. 在正四棱锥1111P A B C D -中，棱锥的高h =(2分)12442S =⋅=. (6分)（2）取11B C 中点1E ，联结11A E ，11A E AE Q P 则11PA E ∠为异面直线AE 与1PA 所成角. (2分) 在11PA E ∆中，1112A E PA ==，又在正四棱锥1111P A B C D -中，斜高为1PE ， (4分) 由余弦定理可得11cos PA E ∠== (6分)所以11PA E ∠=，异面直线AE 与1PA所成的角为 (8分) 19.（本题满分14分）解：（1）由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为119516(1 6.24%)19516 6.24%2⨯+-⨯⨯20124.899220125=≈万美元； (3分)每项奖金发放额为11(19516 6.24%)101.483210162⨯⨯⨯=≈万美元； (6分)（2）由题意知：(1)19516f =，1(2)(1)(1 6.24%)(1)6.24%2f f f =⋅+-⋅⋅(1)(1 3.12%)f =⋅+，1(3)(2)(1 6.24%)(2)6.24%2f f f =⋅+-⋅⋅(2)(1 3.12%)f =⋅+2(1)(1 3.12%)f =⋅+所以， 1()19516(1 3.12%)x f x -=⋅+（*x ∈N ）. (5分)2007年诺贝尔奖发奖后基金总额为9(10)19516(1 3.12%)f =⋅+ 2008年度诺贝尔奖各项奖金额为11(10) 6.24%13462f ⨯⨯⨯≈万美元，与168万美元相比少了34万美元，计算结果与新闻不符. (8分)1千万瑞典克朗怎么换成美元成了，137，154，168万美元？20.（本题满分17分）（理）解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，2p =时，直线AB ：1,y x =-代入24y x =中可得：2610x x -+= （2分） 则126x x +=，由定义可得：128AB x x p =++=. （4分） （2）直线AB ：2p y x =-，代入22(0)y px p =>中，可得：221304x px p -+= 则123x x p +=，2124p x x =，设00(,)2pN x x +，则10102020(,),(,)22p p NA x x y x NB x x y x =---=---u u u r u u u r即22120120120120()()()()22p p NA NB x x x x x x y y x y y x ⋅=-+++-++++u u u r u u u r （2分）由22121212123,,,24p x x p x x y y p y y p +===-+= （4分） 则222200037242()22NA NB x px p x p p ⋅=--=--u u u r u u u r当0x p =时，NA NB ⋅u u u r u u u r 的最小值为272p -． （6分）（3）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，设CD 的中点为O '，l 与以CD 为直径的圆相交于点P 、Q ，设PQ 的中点为H ， 则O H PQ '⊥，O '点的坐标为1122x p y +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P CD '===∵ 111222x p O H a a x p +'=-=--， （2分） 222PH O P O H ''=-∴2221111()(2)44x p a x p =+---1()2p a x a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a x a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （5分）令02p a -=，得2pa =，此时PQ p =为定值， 故满足条件的直线l 存在，其方程为2px =，即抛物线的通径所在的直线． （7分）（文）（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB ：1,y x =-代入24y x =中可得：2610x x -+= （2分） 则126x x +=，由定义可得：128AB x x p =++=. （4分） （2）由（1）可设00(,1)N x x +，则10102020(,1),(,1)NA x x y x NB x x y x =---=---u u u r u u u r即22120120120120()(1)()(1)NA NB x x x x x x y y x y y x ⋅=-+++-++++u u u r u u u r （2分）由126x x +=，121x x =，12124,4y y y y =-+= （4分）则220002862(2)14NA NB x x x ⋅=--=--u u u r u u u r当02x =时，NA NB ⋅u u u r u u u r的最小值为14-． （6分）（3）设CD 的中点为O '，l 与以CD 为直径的圆相交于点P 、Q ， 设PQ 的中点为H ，则O H PQ '⊥，O '点的坐标为11222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．12O P CD '===∵， 11212222x O H a a x +'=-=--， （2分）222PH O P O H ''=-∴221111(4)(22)44x a x =+---()2112a x a a =--+，22(2)PQ PH =∴()21412a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦． （5分）令10a -=，得1a =，此时2PQ =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =，即抛物线的通径所在的直线． （7分） 21.（本题满分17分）（理）解：（1）（法一）11n n n n a a da q a ++-=⎧⎪⎨=⎪⎩(1)n n n qa a d q a d ⇒-=⇒-= 当1q =时，0n a ≠Q ，所以0d =； 当1q ≠时，1n da q ⇒=-是一常数，矛盾，所以{}n a 为非零常数列； （4分） （法二）设1(1)n a a n d =+-，则有：111(11)(1)n n a a n dq a a n d+++-==+-， 即11()a nd a q qd qdn +=-+所以11d qd a qa qd =⎧⎨=-⎩，解得01d q =⎧⎨=⎩.由此可知数列{}n a 为非零常数列； （4分）（2）记2n n a b =，由（1）证明的结论知： {}2n a 为非零常数列. （2分） 显然，{}2n a 为非零常数列时，{}n a 不一定为非零常数列,如:非常数数列()nn a p =-（p 为大于0的正常数）和常数列(n a p p =为非零常数）均满足题意要求. （5分） （3）根据不同思维层次表现予以不同评分．1o 仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论 （结论1分，解答1分） 2o{}n a 满足1m m n naa d +'-=（常数）且1m n m na q a +'=（常数），则当m 为奇数时，{}n a 必为非零常数列；当m 为偶数时，{}n a 不一定为非零常数列.事实上，记mn n a b =，由（1）证明的结论知：{}n b 为非零常数列，即{}m n a 为非零常数列.所以当m 为奇数时，{}n a 为非零常数列；当m 为偶数时，{}n a 不一定为非零常数列. （结论2分，解答2分）或者：设1(1)mm na a n d =+-，即m na A Bn =+，则1(1)mm n m n a A n B q a A nB +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭,即1mB A Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有m n a A =，当m为奇数时，n a =m为偶数时，0)n a A =>或者(0)n a A <.3o{}n a 满足1m m n naa d +'-=（常数）且1l nl na q a +'=（常数），且m l 、为整数，当m l 、均为奇数时，{}n a 必为非零常数列；否则{}n a 不一定为常数列.事实上，条件1l n l n a q a +'=（正常数）可以转化为1()m mn l m na q a +'=（常数），整个问题转化为2o ，结论显然成立. （结论3分，解答3分）或者：设1(1)m m n a a n d =+-,即mn a A Bn =+，当m为奇数时，有n a =则1(1)l l m n l na A n B q a A nB +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭，即1l mB A Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有m n a A =，则n a =m 为偶数时，如反例：(1)n n a =-n *∈N ,它既满足m 次方后是等差数列，又是l （不管l 为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.4o{}n a 满足1m m n naa d +'-=（常数）且1l nl na q a +'=（常数）,m l 、为有理数，'0q >, 则{}n a 必为非零常数列；否则{}n a 不一定为常数列.证明过程同3o（结论4分，解答3分）5o{}n a 满足1m m n naa d +'-=（常数）且1l n l na q a +'=（常数），且m l 、为实数，'0q >,{}na 是不等于1的正数数列，则{}na 必为非零且不等于1的常数列；否则{}na 不一定为常数列.事实上，当'0q >，m l 、为实数时，条件1l n l n a q a +'=同样可以转化为1()m mn l m na q a +'=,记m n n a b =，由第（1）题的结论知：{}n b 必为不等于1的正常数数列，也即{}m n a 为不等于1的正常数数列，n a =，从而{}n a 也是不等于1的正常数数列.（结论5分，解答3分）（文）解：（1）（法一）11n n n n a a da q a ++-=⎧⎪⎨=⎪⎩(1)n n n qa a d q a d ⇒-=⇒-= （2分） 当1q =时，0n a ≠Q ，所以0d =； 当1q ≠时，1n da q ⇒=-是一常数，矛盾，所以{}n a 为非零常数列； （5分） （法二）设1(1)n a a n d =+-，则有：111(11)(1)n n a a n dq a a n d+++-==+-， 即11()a nd a q qd qdn +=-+ （2分） 所以11d qda qa qd=⎧⎨=-⎩，解得01d q =⎧⎨=⎩.由此可知数列{}n a 为非零常数列； （5分）（2）记2n n a b =，由（1）证明的结论知： {}2n a 为非零常数列. （2分） 显然，{}2n a 为非零常数列时，{}n a 不一定为非零常数列,如:非常数数列()nn a p =-（p 为大于0的正常数）和常数列(n a p p =为非零常数）均满足题意要求. （5分） （3）根据不同思维层次表现予以不同评分．1o 仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论 （结论1分） 2o{}n a 满足1m m n naa d +'-=（常数）且1m n m na q a +'=（常数），则当m 为奇数时，{}n a 必为非零常数列；当m 为偶数时，{}n a 不一定为非零常数列.事实上，记mn n a b =，由（1）证明的结论知：{}n b 为非零常数列，即{}m n a 为非零常数列.所以当m 为奇数时，{}n a 为非零常数列；当m 为偶数时，{}n a 不一定为非零常数列.（结论3分）或者：设1(1)m m n a a n d =+-，即m n a A Bn =+，则1(1)mm n m n a A n B q a A nB +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭,即1mB A Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有m n a A =，当m为奇数时，n a =m为偶数时，0)n a A =>或者(0)n a A <.3o{}n a 满足1m m n naa d +'-=（常数）且1l nl na q a +'=（常数），且m l 、为整数，当m l 、均为奇数时，{}n a 必为非零常数列；否则{}n a 不一定为常数列.事实上，条件1l n l n a q a +'=（正常数）可以转化为1()m mn l m na q a +'=（常数），整个问题转化为2o ，结论显然成立. （结论5分）或者：设1(1)m m n a a n d =+-,即mn a A Bn =+，当m为奇数时，有n a =则1(1)l l m n l na A n B q a A nB +++⎛⎫'== ⎪+⎝⎭，即1l mB A Bn ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭对一切n *∈N 均为常数，则必有0B =，即有m n a A =，则n a =m 为偶数时，如反例：(1)n n a =-n *∈N ,它既满足m 次方后是等差数列，又是l （不管l 为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.4o{}n a 满足1m m n naa d +'-=（常数）且1l nl na q a +'=（常数）,m l 、为有理数，'0q >, 则{}n a 必为非零常数列；否则{}n a 不一定为常数列.证明过程同3o（结论6分）5o{}n a 满足1m m n naa d +'-=（常数）且1l n l na q a +'=（常数），且m l 、为实数，'0q >,{}na 是不等于1的正数数列，则{}na 必为非零且不等于1的常数列；否则{}na 不一定为常数列.事实上，当'0q >，m l 、为实数时，条件1l n l n a q a +'=同样可以转化为1()m mn l m na q a +'=,记m n n a b =，由第（1）题的结论知：{}n b 必为不等于1的正常数数列，也即{}m n a 为不等于1的正常数数列，n a =，从而{}n a 也是不等于1的正常数数列.（结论7分）。
2020年上海市闵行区高考数学二模试卷(Word 含解析)
2020年高考数学二模试卷一.填空题（共12小题）1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |4≤x ≤7}，则A ∩B ＝ ． 2．已知复数z 满足i •z ＝1+i （i 为虚数单位），则Imz ＝ ．3．若直线ax +by +1＝0的方向向量为（1，1），则此直线的倾斜角为 ． 4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝2S 1+S 2，a 1＝2，则a 5＝ ． 5．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 ． 6．在(√x 3−1x)8的二项展开式中，常数项的值为 ． 7．若x 、y 满足|x |≤y +1，且y ≤1，则x +3y 的最大值为 ．8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为 ．（结果用最简分数表示）9．已知直线l 1：y ＝x ，斜率为q （0＜q ＜1）的直线l 2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 0（0，a ），过B 0作x 轴的平行线，交l 1于点A 1，过A 1作y 轴的平行线，交l 2于点B 1，再过B 1作x 轴的平行线交l 1于点A 2，…，这样依次得线段B 0A 1、A 1B 1、B 1A 2、A 2B 2…．、B n ﹣1A n 、A n B n ，记x n 为点B n 的横坐标，则lim n→∞x n = ． 10．已知f （x +2）是定义在R 上的偶函数，当x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，总有x 1−x 2f(x 1)−f(x 2)＜0，则不等式f （﹣3x +1+1）＜f （12）的解集为 ．11．已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB →⋅AC →的取值范围为 ． 12．已知函数f （x ）＝|sin x |+|cos x |﹣4sin x cos x ﹣k ，若函数y ＝f （x ）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为 ． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数k =30015=20，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（）A．45B．46C．47D．4815．已知抛物线的方程为y2＝4x，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若EM→=λ1MF→，EN→=λ2NF→，则λ1+λ2＝（）A．﹣2B．−12C．1D．﹣116．关于x的实系数方程x2﹣4x+5＝0和x2+2mx+m＝0有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（）A．{5}B．{﹣1}C．（0，1）D．（0，1）∪{﹣1}三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1=2√3，M是侧棱C1C上一点，设MC＝h．（1）若h=√3，求多面体ABM﹣A1B1C1的体积；（2）若异面直线BM与A1C1所成的角为60°，求h的值．18．已知函数f(x)=3cos2ωx+√3sinωxcosωx(ω＞0)．（1）当f（x）的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当ω＝1时，设△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知f(A2)=3，且a=2√7，b=6，求△ABC的面积．19．如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A 之间的距离为x千米（0＜x＜100），A地所需该物资每年的运输费用为2.5x万元，B 地所需该物资每年的运输费用为0.5（100﹣x）万元，f（x）表示建造仓库费用，g（x）表示两地物资每年的运输总费用（单位：万元）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若规划仓库使用的年限为n （n ∈N *），H （x ）＝f （x ）+ng （x ），求H （x ）的最小值，并解释其实际意义．20．（16分）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆Γ：x 22+y 2=1的上、下顶点，若动直线l 过点P （0，b ）（b ＞1），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ． （1）设Γ的两焦点为F 1、F 2，求∠F 1AF 2的值； （2）若b ＝3，且PD →=32PC →，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n +x n+22＞x n+1成立，则称数列{x n }为“差增数列”．（1）试判断数列a n =n 2(n ∈N ∗)是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列{a n }为“差增数列”，且a n ∈N ∗，a 1=a 2=1，对于给定的正整数m ，当a k ＝m ，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；（3）若数列{lgx n }为“差增数列”，（n ∈N *，n ≤2020），且lgx 1+lgx 2+…+lgx 2020＝0，证明：x 1010x 1011＜1．参考答案一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |4≤x ≤7}，则A ∩B ＝ {5，7} ． 【分析】进行交集的运算即可．解：∵A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |4≤x ≤7}， ∴A ∩B ＝{5，7}． 故答案为：{5，7}．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z 满足i •z ＝1+i （i 为虚数单位），则Imz ＝ ﹣1 ． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由i •z ＝1+i ，得z =1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i ， ∴Imz ＝﹣1． 故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．若直线ax +by +1＝0的方向向量为（1，1），则此直线的倾斜角为π4．【分析】利用直线的方向向量算出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角． 解：∵直线ax +by +1＝0的方向向量为（1，1）， ∴直线的斜率为1， ∴直线的倾斜角为π4，故答案为：π4．【点评】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的倾斜角，是基础题． 4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝2S 1+S 2，a 1＝2，则a 5＝ 6 ． 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出． 解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3＝2S 1+S 2，a 1＝2， ∴3×2+3d ＝2×2+2×2+d ，解得d ＝1． 则a 5＝2+4＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 50π ． 【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算． 解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°， ∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10＝50π． 故答案为：50π．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的侧面积计算，属于基础题． 6．在(√x 3−1x )8的二项展开式中，常数项的值为 28 ． 【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．解：(√x 3−1x )8二项展开式的通项公式：T r +1=∁8r (√x 3)8−r (−1x )r =（﹣1）r ∁8r x83−4r3， 令83−4r 3=0，解得r ＝2．∴常数项=∁82=28． 故答案为：28．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．若x 、y 满足|x |≤y +1，且y ≤1，则x +3y 的最大值为 5 ．【分析】画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值．解：由x 、y 满足|x |≤y +1，且y ≤1，画出可行域如图所示，{y =1x =y +1可得A （2，1），则目标函数z ＝x +3y 在点A （2，1）取得最大值， 代入得x +3y ＝5，故x +3y 的最大值为5． 故答案为：5．【点评】本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键．8．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为128．（结果用最简分数表示）【分析】先求出基本事件总数n =C 93=84，再用列举法求出此数列为等比数列包含的基本事件有3个，由此能求出此数列为等比数列的概率．解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列， 基本事件总数n =C 93=84，此数列为等比数列包含的基本事件有：（1，2，4），（1，3，9），（2，4，8），共3个， ∴此数列为等比数列的概率为p =384=128． 故答案为：128．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知直线l 1：y ＝x ，斜率为q （0＜q ＜1）的直线l 2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 0（0，a ），过B 0作x 轴的平行线，交l 1于点A 1，过A 1作y 轴的平行线，交l 2于点B 1，再过B 1作x 轴的平行线交l 1于点A 2，…，这样依次得线段B 0A 1、A 1B 1、B 1A 2、A 2B 2…．、B n ﹣1A n 、A n B n ，记x n 为点B n 的横坐标，则lim n→∞x n = a 1−q．【分析】先由题设条件得出点B 1，B 2，B 3的坐标，根据它们之间的关系求出点B n 的坐标，然后利用数列极限的运算性质求出lim n→∞x n ． 解：∵斜率为q （0＜q ＜1）的直线l 2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 0（0，a ），直线l1：y＝x，∴A1（a，a）．∵A1B0∥x轴，∴B1（a，aq+a），A2（aq+a，aq+a）．∵B1A2∥x轴，∴B2（aq+a，aq2+aq+a）．同理可得：A3（aq2+aq+a，aq2+aq+a），B3（aq2+aq+a，aq3+aq2+aq+a），…，B n（aq n﹣1+aq n﹣2+aq n﹣3+…aq2+aq+a，aq n+aq n﹣1+aq n﹣2+aq n﹣3+…aq2+aq+a），∵x n为点B n的横坐标，∴x n＝aq n﹣1+aq n﹣2+aq n﹣3+…aq2+aq+a．故x n是首项为a，公比为q（0＜q＜1）的等比数列的前n项的和，由数列极限的运算性质得：limn→∞x n=a1−q．故填：a1−q．【点评】本题主要考查数列在实际问题中的应用及数列极限的求法，属于基础题．10．已知f（x+2）是定义在R上的偶函数，当x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，总有x1−x2f(x1)−f(x2)＜0，则不等式f（﹣3x+1+1）＜f（12）的解集为（1，+∞）．【分析】根据题意可得出f（x+2）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（12）＝f（﹣10+2），f（﹣3x+1+1）＝f[（﹣3x+1﹣1）+2]，从而根据原不等式即可得出﹣3x+1﹣1＜﹣10，解出x的范围即可．解：∵x1，x2∈[2．+∞），且x1≠x2时，x1−x2f(x1)−f(x2)＜0，∴f（x）在[2，+∞）上单调递减，∴f （x +2）在（﹣∞，0）上单调递增，∴由f （﹣3x +1+1）＜f （12）得，f [（﹣3x +1﹣1）+2]＜f （﹣10+2）， ∴﹣3x +1﹣1＜﹣10，解得x ＞1， ∴原不等式的解集为（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查了偶函数的定义，偶函数在对称区间上的函数的单调性的特点，减函数和增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．11．已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB →⋅AC →的取值范围为 [−14，2] ．【分析】建系，设A （a ，0），B （p ，q ），C （r ，s ），利用不等式，考虑极限情况求范围． 解：建系如图，M （1，0），N （1，1），P （0，1），设A （a ，0），B （p ，q ），C （r ，s ），其中a ，p ，q ，r ，s ∈[0，1]，AB →⋅AC →=（p ﹣a ，q ）（r ﹣a ，s ）＝（p ﹣a ）（r ﹣a ）+qs ≤（1﹣0）×（1﹣0）+1×1＝2，AB →⋅AC →=（p ﹣a ，q ）（r ﹣a ，s ）＝（p ﹣a ）（r ﹣a ）+qs ≥（p ﹣a ）（r ﹣a ）+0＝﹣（a ﹣p ）（r ﹣a ）≥﹣（p−r 2）2≥−14，故答案为：[−14，2]．【点评】本题考查了正方形的性质、考查向量坐标表示，数形结合思想，极限思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数f （x ）＝|sin x |+|cos x |﹣4sin x cos x ﹣k ，若函数y ＝f （x ）在区间（0，π）内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为 2√2+1 ．【分析】讨论0＜x ≤π2时与π2＜x ＜π时函数解析式，令k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ，k ＝sin x ﹣cos x ﹣4sin x cos x ，换元，作出示意图，数形结合讨论即可解：（1）当0＜x ≤π2时，设k ＝sin x +cos x ﹣4sin x cos x ，令t ＝sin x +cos x =√2sin （x +π4），则t ∈[1，√2]，k ＝t ﹣2（t 2﹣1）t ∈[1，√2]为单调函数， 如图，则可知当t ＝1时，即k ＝1时，一解；当t =√2时，即k =√2−2时，一解； 当1＜t ＜√2时，即√2−2＜k ＜1时两解；（2）当π2＜x ＜π时，设k ＝sin x ﹣cos x ﹣4sin x cos x ，令t ＝sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4），则t ∈[1，√2]，k ＝t +2（t 2﹣1）t ∈[1，√2]也为单调函数，则可知当1＜t ＜√2时，即1＜k ＜2+√2时两解， 当t =√2时，即k =√2+2时一解， 综上：k ＝1或k =√2−2或k =√2+2， 故所有k 的和＝2√2+1， 故答案为：2√2+1．【点评】本题考查函数零点与方程根的转化，数形结合思想，换元思想，分类讨论思想，属于中档偏难题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【分析】在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交．即可判断出结论．解：在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交． ∴“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件． 故选：B ．【点评】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数k =30015=20，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ） A ．45B ．46C ．47D ．48【分析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论． 解：根据题意，样本间隔数k =30015=20， 在1到20中抽到的是7，则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47． 故选：C ．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键．比较基础． 15．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若EM →=λ1MF →，EN →=λ2NF →，则λ1+λ2＝（ ） A ．﹣2B ．−12C ．1D ．﹣1【分析】设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），与抛物线方程联立，由EM →=λ1MF →，EN →=λ2NF →，分别表示出λ1，λ2，利用根与系数关系即可算得答案．解：根据条件可得F （1，0），则设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），所以E （0，﹣k ），联立{y =k(x −1)y 2=4x，整理可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，则x1+x2=2k2+4k2，x1x2＝1，因为EM→=λ1MF→，EN→=λ2NF→，所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，即有λ1=x11−x1，λ2=x21−x2，所以λ1+λ2=x11−x1+x21−x2=x1+x2−2x1x21−(x1+x2)+x1x2=2k2+4k2−21−2k2+4k2+1=−1，故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的综合，将条件转化为坐标形式，结合根与系数关系解题是关键，属于中档题．16．关于x的实系数方程x2﹣4x+5＝0和x2+2mx+m＝0有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（）A．{5}B．{﹣1}C．（0，1）D．（0，1）∪{﹣1}【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断．解：设x2﹣4x+5＝0的解所对应的两点分别为A，B，解得A（2，1），B（2，﹣1），设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1）D（x2，y2），（1）当△＜0，即0＜m＜1时，因为A、B关于x轴对称，且C、D关于x轴对称，显然四点公园；（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0）D（x2，0），且x1+x22=−m，故此圆的圆心为（﹣m，0），半径r=|x1−x2|2=√m2−m，又圆心O1到A的距离O1A=√(2+m)2+12=r，解得m＝﹣1，综上：m∈（0，1）∪{﹣1}．故选：D．【点评】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1=2√3，M 是侧棱C 1C 上一点，设MC ＝h ．（1）若h =√3，求多面体ABM ﹣A 1B 1C 1的体积； （2）若异面直线BM 与A 1C 1所成的角为60°，求h 的值．【分析】（1）多面体ABM ﹣A 1B 1C 1的体积为V =V ABC−A 1B 1C 1−V M−ABC ，由此能求出结果．（2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出h 的值．解：（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2， AA 1=2√3，M 是侧棱C 1C 上一点，设MC =h =√3， ∴多面体ABM ﹣A 1B 1C 1的体积为： V =V ABC−A 1B 1C 1−V M−ABC=12×AB ×BC ×AA 1−13×12×AB ×BC ×MC =12×2×2×2√3−13×12×2×2×√3 =10√33． （2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B （0，0，0），M （2，0，h ），A 1（0，2，2√3），C 1（2，0，2√3）， BM →=（2，0，h ），A 1C 1→=（2，﹣2，0）， ∵异面直线BM 与A 1C 1所成的角为60°， ∴cos60°=|BM →⋅A 1C 1→||BM →|⋅|A 1C 1→|=√4+ℎ⋅√8，由h ＞0，解得h ＝2．【点评】本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．已知函数f(x)=3cos2ωx+√3sinωxcosωx(ω＞0)．（1）当f（x）的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当ω＝1时，设△ABC的内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知f(A2)=3，且a=2√7，b=6，求△ABC的面积．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得f（x）=√3sin（2ωx+π3）+32，根据f（x）的最小正周期为2π，可得ω．（2）当ω＝1时，f(A2)=3，代入可得√3sin（2×A2+π3）+32=3，解得A．利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，解得c，即可得出△ABC的面积S．解：（1）函数f(x)=3cos2ωx+√3sinωxcosωx(ω＞0)．∴f（x）＝3×1+cos2ωx2+√32sin2ωx=√3sin（2ωx+π3）+32，当f（x）的最小正周期为2π时，2π2ω=2π，解得ω=12．（2）当ω＝1时，f(A2)=3，∴√3sin（2×A2+π3）+32=3，解得A=π3．且a=2√7，b=6，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴c2﹣6c+8＝0，解得c ＝2或4．∴△ABC 的面积S =12bc sin A ＝3√3或6√3．【点评】本题考查了三角函数的性质与三角形的面积、和差公式与倍角公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米（0＜x ＜100），A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为0.5（100﹣x ）万元，f （x ）表示建造仓库费用，g （x ）表示两地物资每年的运输总费用（单位：万元）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若规划仓库使用的年限为n （n ∈N *），H （x ）＝f （x ）+ng （x ），求H （x ）的最小值，并解释其实际意义．【分析】（1）由题意，设f （x ）={k 1x ，0＜x ≤50k 2100−x，50＜x ＜100，由f （50）＝2000，求得k 1与k 2的值，则函数解析式可求；（2）求出g （x ）＝2.5x +0.5（100﹣x ）＝2x +50，然后分段写出H （x ），求导后再对n 分类求解H （x ）的最小值，并解释其实际意义．解：（1）由题意，设f （x ）={k 1x ，0＜x ≤50k 2100−x，50＜x ＜100，由f （50）＝2000，求得k 1＝k 2＝100000．∴f （x ）={100000x ，0＜x ≤50100000100−x，50＜x ＜100；（2）g （x ）＝2.5x +0.5（100﹣x ）＝2x +50， 若0＜x ≤50，则H （x ）＝f （x ）+ng （x ）=100000x+2nx +50n ，H ′（x ）=2nx 2−100000x 2，由H ′（x ）＝0，得x ＝100√5n， 若n ∈N *且n ≤20，则H （x ）在（0，50]上单调递减，H （x ）min ＝H （50）＝2000+150n ； 若n ∈N *且n ＞20，则H （x ）在（0，100√5n）上单调递减，在（100√5n，50）单调递增，∴H(x)min =50n +400√5n ；若50＜x ＜100，则H （x ）＝f （x ）+ng （x ）=100000100−x+2nx +50n ，H ′（x ）=100000(100−x)2+2n ＞0，H （x ）在（50，100）上单调递增，若n ∈N *且n ≤20，则H （x ）＞2000+150n ； 若n ∈N *且n ＞20，则H （x ）＞50n +400√5n ． 综上，若n ∈N *且n ≤20，则H （x ）min ＝2000+150n ； 若n ∈N *且n ＞20，则H(x)min =50n +400√5n ．实际意义：建造储备仓库并使用n 年，花费在建造仓库和两地物资运输总费用的最小值． 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题． 20．（16分）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆Γ：x 22+y 2=1的上、下顶点，若动直线l 过点P （0，b ）（b ＞1），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ． （1）设Γ的两焦点为F 1、F 2，求∠F 1AF 2的值； （2）若b ＝3，且PD →=32PC →，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由椭圆方程易知∠OAF 2＝45°，结合对称性可得∠F 1AF 2＝90°； （2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），根据已知条件可求得直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立两直线方程即可得到点Q 的横坐标；（3）设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），与椭圆方程联立，可得kx 1x 2=1−b 22b (x 1+x 2)，直线BC 的方程为y =y 1+1x 1x −1，直线AD 的方程为y =y 2−1x 2x +1，进而得到点Q 的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论．解：（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1），则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， ∵PD →=32PC →，∴(x 2，y 2−3)=32(x 1，y 1−3)，即x 2=32x 1，y 2=32y 1−32， 而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在x 22+y 2=1上，代入得{x 12+2y 12=294x 12+92(y 1−1)2=2，解得y 1=79， ∴y 2=−13，分别代入Γ解得，x 1=89，x 2=43，∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1， 联立{y =2x −1y =−x +1，解得x =23，∴Q 点的横坐标为23；（3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1）， 点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），联立{y =kx +b x 2+2y 2=2，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0，由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得k 2＞b 2−12，由{ x 1+x 2=−4kb2k 2+1x 1x 2=2b 2−22k 2+1，可得kx 1x 2=1−b 22b (x 1+x 2)， 直线BC 的方程为y =y 1+1x 1x −1，直线AD 的方程为y =y 2−1x 2x +1， 而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立{y =y 1+1x 1x −1y =y 2−1x 2x +1，得y =(x 1y 2+x 2y 1)+(x 2−x 1)(x 2y 1−x 1y 2)+(x 1+x 2)=2kx 1x 2+b(x 1+x 2)+(x 2−x 1)b(x 2−x 1)+(x 1+x 2)=(x 1+x 2)+b(x 2−x 1)b 2(x 2−x 1)+b(x 1+x 2)=1b =13， 则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13．【点评】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目． 21．（18分）已知数列{x n }，若对任意n ∈一、选择题*，都有x n +x n+22＞x n+1成立，则称数列{x n }为“差增数列”．（1）试判断数列a n =n 2(n ∈N ∗)是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列{a n }为“差增数列”，且a n ∈N ∗，a 1=a 2=1，对于给定的正整数m ，当a k ＝m ，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；（3）若数列{lgx n }为“差增数列”，（n ∈N *，n ≤2020），且lgx 1+lgx 2+…+lgx 2020＝0，证明：x 1010x 1011＜1．【分析】（1）数列a n =n 2(n ∈N ∗)是“差增数列”．由新定义可知，只要证明a n +a n +2＞2a n +1即可；（2）由新定义可得对任意的n ∈N*，a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n 恒成立．可令b n ＝a n +1﹣a n （n ≥1），运用累加法，结合等差数列的求和公式可得a n ，由于1≤n ≤19， 结合条件可得m 的取值集合；（3）运用反证法证明，假设x 1010x 1011≥1，由题意可得x 1x 2…x 2020＝1，x n+1x n＜x n+2x n+1．运用不等式的性质推得x 1009x 1012＞1．即可得到矛盾，进而得证． 解：（1）数列a n =n 2(n ∈N ∗)是“差增数列”．因为任意的n ∈N*，都有a n +a n +2＝n 2+（n +2）2＝2n 2+4n +4＝2（n +1）2+2＞2（n +1）2＝2a n +1， 即a n +a n+22＞a n +1成立，所以数列a n =n 2(n ∈N ∗)是“差增数列”；（2）由已知，对任意的n ∈N*，a n +2﹣a n +1＞a n +1﹣a n 恒成立． 可令b n ＝a n +1﹣a n （n ≥1），则b n ∈N ，且b n ＜b n +1，又a n ＝m ，要使项数k 达到最大，且最大值为20时，必须b n （1≤n ≤18）最小． 而b 1＝0，故b 2＝1，b 3＝2，…，b n ＝n ﹣1．所以a n ﹣a 1＝b 1+b 2+…+b n ﹣1＝0+1+2+…+（n ﹣2）=12（n ﹣1）（n ﹣2），即当1≤n ≤19时，a n ＝1+(n−1)(n−2)2，a 19＝154，因为k 的最大值为20， 所以18≤a 20﹣a 19＜18+19，即18≤m ﹣154＜18+19， 所以m 的所有可能取值的集合为{m |172≤m ＜191，m ∈N*}．（3）证明：（反证法）假设x 1010x 1011≥1．由已知可得x n （n ＝1，2，…，2020）均为正数，且x 1x 2…x 2020＝1，x n+1x n＜x n+2x n+1．而由x n+1x n＜x n+2x n+1可得x 1010x 1009＜x 1011x 1010＜x 1012x 1011，即x 1010x 1011＜x 1009x 1012，所以x 1009x 1012＞1． 又x 1010x 1008=x 1010x 1009•x 1009x 1008＜x 1012x 1011•x 1013x 1012=x 1013x 1011，即x 1008x 1013＞1，同理可证x 1007x 1014＞1，…，x 1x 2020＞1， 因此x 1x 2…x 2020＞1，这与已知矛盾， 所以x 1010x 1011＜1．【点评】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，主要考查化简整理的运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题．。
2020年上海闵行二模
上海市闵行区2020届高三二模数学试卷2020.5一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|47}B x x =≤≤，则A B =I2. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则Im z =3. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a =5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为6. 在831()x x-的二项展开式中，常数项的值为7. 若x 、y 满足||1x y ≤+，且1y ≤，则3x y +的最大值为8. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为 （结果用最简分数表示）9. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与 x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞= 10. 已知(2)f x +是定义在R 上的偶函数，当12,[2,)x x ∈+∞，且12x x ≠，总有 12120()()x x f x f x -<-，则不等式1(31)(12)x f f +-+<的解集为 11. 已知A 、B 、C 是边长为1的正方形边上的任意三点，则AB AC ⋅uu u r uuu r 的取值范围为12. 已知函数()|sin ||cos |4sin cos f x x x x x k =+--，若函数()y f x =在区间(0,)π内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k ==，即每20个村抽取 一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的 号码数是（ ）A. 45B. 46C. 47D. 4815. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=uuu r uuu r ，2EN NF λ=uuu r uuu r ，则12λλ+=（ ） A. 2- B. 12- C. 1 D. 1- 16. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}-U三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，123AA =，M 是侧棱1C C 上一点，设MC h =.（1）若3h =，求多面体111ABM A B C -的体积；（2）若异面直线BM 与11AC 所成的角为60°，求h 的值.18. 已知函数2()3cos 3sin cos f x x x x ωωω=+（0ω>）.（1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当1ω=时，设△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32A f =，且27a =，6b =，求△ABC 的面积.19. 如图，A 、B 两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A 、B 之间选址P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点P 在线段AB 的中点C 时，建造费用为2000万元，若点P 在线段AC 上（不含点A ），则建造费用与P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点B ），则建造费用与P 、B 之间的距离成反比，现假设P 、A 之间的距离为x 千米（0100x <<），A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为0.5(100)x -万元，()f x 表示建造仓库费用，()g x 表示两地物资每年的运输总费用（单位：万元）.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若规划仓库使用的年限为n （*N n ∈），()()()H x f x ng x =+，求()H x 的最小值，并解释其实际意义.20. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过 点(0,)P b （1b >），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、 D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q .（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值；（2）若3b =，且32PD PC =uu u r uu u r ，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？ 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.21. 已知数列{}n x ，若对任意*N n ∈，都有212n n n x x x +++>成立， 则称数列{}n x 为“差增数列”. （1）试判断数列2n a n =（*N n ∈）是否为“差增数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 为“差增数列”，且*N n a ∈，121a a ==，对于给定的正整数m ， 当k a m =，项数k 的最大值为20时，求m 的所有可能取值的集合；（3）若数列{lg }n x 为“差增数列”，（*N n ∈，2020n ≤），且122020lg lg lg 0x x x ++⋅⋅⋅+=，证明：101010111x x <.参考答案一. 填空题1. {5,7}2. 1-3. 4π 4. 6 5. 50π 6. 28 7. 5 8.128 9. 1a q -10. (1,)+∞ 11. 1[,2]4- 12. 1+（122之和）二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. D三. 解答题17.（1）3；（2）218.（1）3())32f x x πω=++，12ω=；（2）3A π=，2c =或4，面积为19.（1）当050x <≤，100000()f x x =；当50100x <<，100000()100f x x =-；（2）50n +20.（1）2π；（2）:1AD y x =-+，:21BC y x =-，23Q x =；（3）(0,3)P 21.（1）是；（2）{|,172190}m m m ∈≤≤*N ；（3）略.。
2020年上海市闵行区数学二模试卷(有答案)
2020年上海市闵行区数学二模试卷(有答案)2020年闵行区数学二模试卷一、选择题：共6题，每题4分，满分24分1.在下列各式中，与 $xy^2$ 是同类项的是：A) $2xy$；(B) $-y^2x$；(C) $xy^2+\frac{1}{3}$；(D)$x^2y$。
2.方程 $x^2-23x+3=0$ 根的情况是：A) 有两个不相等的实数根；(B) 有一个实数根；(C) 无实数根；(D) 有两个相等的实数根。
3.在平面直角坐标系中，反比例函数$y=\frac{k}{x}$ $(k\neq0)$ 图像在每个象限内，$y$ 随着$x$ 的增大而增大，那么它的图像的两个分支分别在：A) 第一、三象限；(B) 第二、四象限；(C) 第一、二象限；(D) 第三、四象限。
4.某同学参加射击训练，共发射 8 发子弹，击中的环数分别为 5，3，7，5，6，4，5，5，则下列说法错误的是：A) 其平均数为 5；(B) 其众数为 5；(C) 其方差为 5；(D) 其中位数为 5.5.顺次联结四边形 ABCD 各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形 ABCD 是：A) 平行四边形；(B) 矩形；(C) 菱形；(D) 等腰梯形。
6.下列命题中正确的个数是：①过三点可以确定一个圆；②直角三角形的两条直角边长分别是 5 和 12，那么它的外接圆半径为 6.5；③如果两个半径为 2 厘米和 3 厘米的圆相切，那么圆心距为 5 厘米；④三角形的重心到三角形三边的距离相等。
A) 1 个；(B) 2 个；(C) 3 个；(D) 4 个。
二、填空题：共 12 题，每题 4 分，满分 48 分7.计算：$-5+22=\boxed{17}$。
8.化简：$\frac{11}{a^3}-\frac{1}{a}=\boxed{\frac{11}{a^3}-\frac{a^2}{a^3}}=\boxed{\frac{11-a^2}{a^3}}$。
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2020年闵行区数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．在下列各式中，与213xy 是同类项的是（A ）2xy ；（B ）2y x -； （C ）213xy +； （D ）2x y ．2．方程230x -+=根的情况 （A ）有两个不相等的实数根； （B ）有一个实数根；（C ）无实数根；（D ）有两个相等的实数根．3．在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，那么它的图像的两个分支分别在 （A ）第一、三象限； （B ）第二、四象限； （C ）第一、二象限；（D ）第三、四象限．4．某同学参加射击训练，共发射8发子弹，击中的环数分别为5，3，7，5，6，4，5，5，则下列说法错误的是 （A ）其平均数为5； （B ）其众数为5； （C ）其方差为5；（D ）其中位数为5．5．顺次联结四边形ABCD 各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD 是 （A ）平行四边形； （B ）矩形； （C ）菱形；（D ）等腰梯形．6．下列命题中正确的个数是 ① 过三点可以确定一个圆；② 直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5； ③ 如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切，那么圆心距为5厘米； ④ 三角形的重心到三角形三边的距离相等． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：252-+= ▲ ． 8．化简：113a a-= ▲ ． 9．不等式组2(3)14524x x x ->⎧⎨+>-⎩的解集是 ▲ ．10．方程210x x -⋅-=的解是 ▲ ．11．为了考察闵行区1万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷30份，那么样本容量是 ▲ ．12．如果向量AB 与向量CD 方向相反，且5AB CD ==，那么AB CD += ▲ ． 13．在一张边长为4cm 的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm 的圆形阴影区域，那么针头扎在阴影区域内的概率为 ▲ ．（结果保留π） 14．把直线y x b =-+向左平移2个单位后，在y 轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为 ▲ ．15．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC = 90°，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，如果AD ︰BC = 2︰3，那么DB ︰AC = ▲ ．16．七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为 ▲ 米．（结果保留根号）17．已知点（1-，y 1），（2，y 2），（2，y 3）在函数222y ax ax a =-+-（0a >）的图像上，那么y 1、y 2、y 3按由小到大的顺序排列是 ▲ ．18．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．联结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 的面积等于 ▲ ．ACB（第18题图）三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：32020221(12)1223-+--+-+．20．（本题满分10分）解方程组：222;230.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点D ． （1）求CD 的长；（2）求点C 到ED 的距离．BCAD（第21题图）E22．（本题满分10分，其中第（1）（2）小题各3分，第（3）小题4分）上海市为了增强居民的节水意识，避免水资源的浪费，全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量达到年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和价格见下表．分档户年用水量（立方米）自来水价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-220（含220） 1.92 1.70第二阶梯220-300（含300） 3.30 1.70第三阶梯300以上 4.30 1.70注：1．应缴纳水费= 自来水费总额+ 污水处理费总额2．应缴纳污水处理费总额= 用水量×污水处理费× 0.9仔细阅读上述材料，请解答下面的问题，并把答案写在答题纸上：（1）小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费▲元；（2）小静家全年缴纳的水费共计1000.5元，那么2019年全年用水量为▲ 立方米；（3）如图所示是上海市“阶梯水价”y与用水量x的函数关系，那么第二阶梯（线段AB）的函数解析式为▲ ，定义域▲ ．By（元）Ax（立方米）O（第22题图）2203001145.423．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在□ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=AB ，点F 为CE 的中点，点G 在线段CD 上，联结DF ，交AG 于点M ，交EG 于点N ，且∠DFC=∠EGC ． （1）求证：CG=DG ； （2）求证：2CG GM AG =⋅．24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，我们把以抛物线2y x =上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为32，且与y 轴交于点C ．设点A 的横坐标为m （m ＞0），过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ．（1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m 的代数式表示∠ACB 的余切值； （3）如果∠OAC=135°，求m 的值．ABEGCFD（第23题图）M NABOCxy （第24题图）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知圆O 是正六边形ABCDEF 外接圆，直径BE=8，点G 、H 分别在射线CD 、EF 上（点G 不与点C 、D 重合），且∠GBH=60°，设CG=x ，EH=y ． （1）如图①，当直线BG 经过弧CD 的中点Q 时，求∠CBG 的度数； （2）如图②，当点G 在边CD 上时，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结AH 、EG ，如果△AFH 与△DEG 相似，求CG 的长．（第25题图②）C BEF DAHO GBF AHEO G C DQ（第25题图①）（备用图）CBEFDAO参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ；2．D ；3．B ；4．C ；5．C ；6．A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．1-； 8．23a； 9．772x <<； 10．2x =； 11．1500； 12．0； 13．16π；14．7y x =-+； 15 16； 17．231y y y <<； 18．8-三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式1212=+-+-（2分+2分+2分+2分）4=2分）20．解：由②得：30x y -=，0x y +=………………………………………………（2分）原方程组可化为230x y x y -=⎧⎨-=⎩，20x y x y -=⎧⎨+=⎩…………………………………（2分） 解得原方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=-⎩……………………………………（5分） ∴原方程组的解是31x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=-⎩………………………………………（1分）21．解：（1）过A 点作AF ⊥BC 于点F ．∵AB=AC=6，BC=4，AF ⊥BC ，∴BF=FC=2，∠BF A=90°．……………………………………………（1分）∴在Rt △ABF 中，1cos 3BF B AB ∠==．………………………………（1分） ∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，AB=6，∴AE=BE=3，∠DEB=90°．…………………………………………（1分） 在Rt △DEB 中，1cos 3BE B BD ∠==，∴BD=9．…………………（1分） ∴CD=5．……………………………………………………………（1分） （2）过C 点作CH ⊥ED 于点H ．………………………………………（1分）∵CH ⊥ED ，AB ⊥ED ，∴∠DEB=∠DHC=90°，………………（1分） ∴CH ∥AB ．…………………………………………………………（1分） ∴CH CDBE BD=；………………………………………………………（1分） ∵BE=3，BD=9，CD=5，∴53CH =．……………………………（1分） ∴点C 到ED 的距离CH 为53．22．（1）345；……………………………………………………………………（3分）（2）270；…………………………………………………………………（3分） （3）解析式： 4.83303.6y x =-，定义域：220300x <≤．……………（3分+1分）23．证明：（1）∵□ABCD ，CE=AB ，∴AB=CD=EC ；…………………………（1分）又∵∠DFC=∠EGC ，∠BCD=∠BCD ，∴△ECG ≌△DCF ；……（1分） ∴CG=CF ．…………………………………………………………（1分） ∵点F 为CE 的中点，∴CF=12CE ；………………………………（1分） ∴CG=12CD ，即：CG=DG ．……………………………………（1分） （2）延长AG 、BC 交于点H ．∵△ECG ≌△DCF ，∴∠CEG=∠CDF ．…………………………（1分） ∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAH=∠H ，∠ADC=∠DCH ．∴△ADG ≌△HCG ，∴AG=HG ．…………………………………（1分） ∵AE ⊥BC ，∴∠AEC=90°，∴AG=HG=EG ．………………（1分） ∴∠CEG=∠H ，∴∠CDF=∠DAH ．………………………………（1分） 又∵∠AGD=∠DGA ，∴△ADG ∽△DMG ．…………………………（1分） ∴MG DGDG AG=，∴2DG GM AG =⋅…………………………………（1分） 又∵CG=DG ，∴2CG GM AG =⋅．……………………………………（1分）24．解：（1）由题得，A （m ，m 2），当m =1时，A （1，1），……………………………………………（1分）∴这条“子抛物线”的解析式：23(1)12y x =-+．…………………（2分）（2）由A （m ，m 2），且AB ⊥y 轴，可得AB =m ，OB = m 2．………………（1分）∴“子抛物线”的解析式为223()2y x m m =-+．……………………（1分）令x = 0，252y m =，∴点C 的坐标（0，252m ），252OC m =，∴232BC m =．……………………………………………………………（1分）在Rt △ABC 中，2332cot 2mBC ACB m AB m ∠===．…………………（1分）（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F．……………………………（1分）∵∠OAC=135°，∴∠OAD=45°，又∵OD⊥CA，∴∠OAD=∠AOD=45°，∴AD=OD，∴△AED≌△DFO，∴AE=DF，DE=OF．……………………（1分）设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED．又∵OB=EF，∴22m m n=+．…………………………（1分）又∵∠BCA=∠ADE，∴3cot2DE m nADE mAE n+∠===．……（1分）解方程组2232m m nm nmn⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得12m=，213m=-（舍去）∴m的值为2．……………………………（1分）25．解：（1）如图①，联结OQ．∵正六边形ABCDEF，∴BC=DE，∠ABC=120°．∴BC DE=，∠EBC=12∠ABC=60°．……（1分）∵点Q是CD的中点，∴CQ DQ=．…………………………（1分）∴BC CQ QD DE+=+，即BQ EQ=．…………………………（1分）∴∠BOQ=∠EOQ，又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，∴∠BOQ=∠EOQ=90°．BFAHEOGC DQ（第25题图①）又∵BO=OQ ，∴∠OBQ=∠BQO=45°，∴∠CBG=60°-45°=15°．………………（1分） （2）如图②，在BE 上截取EM=HE ，联结HM ．∵正六边形ABCDEF ，直径BE=8， ∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，∴∠FEB=12∠FED=60°． ∵EM=HE ，EH=y ，∴EM=HE=HM=y ，∠HME=60°，∴∠C=∠HMB=120°．…………………（1分） ∵∠EBC=∠GBH=60°，∴∠EBC -∠GBE=∠EBC -∠GBE ，即∠HBE=∠GBC ．………………………（1分） ∴△BCG ∽△BMH ，∴BC CGBM MH=．……………………（1分） 又∵CG= x ，BE=8，BC=4，∴48xy y=-， ∴y 与x 的函数关系式为84xy x =+（04x <<）．……………（1分+1分） （3）如图③，当点G 在边CD 上时．由于△AFH ∽△EDG ，且∠CDE=∠AFE=120°， ① 当AF FHED DG=．∵AF=ED ，∴FH=DG ， 即：84xx y x ==+，解分式方程得4x =． 经检验4x =是原方程的解，但不符合题意舍去．………………（1分） ② 当AF FH DG DE =．即：4444yx -=-，解分式方程得12x =． 经检验12x =是原方程的解，但不符合题意舍去．……………（1分）（第25题图②）CBEF DAHO GM如图④，当点G 在CD 的延长线上时． 由于△AFH ∽△EDG ，且∠EDG=∠AFH=60°， ① 当AF FHED DG=．∵AF=ED ，∴FH=DG ， 即：84xx y x ==+，解分式方程得4x =． 经检验4x =是原方程的解，但不符合题意舍去．…………………（1分）② 当AF FH DG DE =．即：4444y x -=-，解分式方程得12x =． 经检验12x =是原方程的解，且符合题意．………………………（1分） ∴综上所述，如果△AFH 与△DEG 相似，那么CG 的长为12．…（1分）CBEF DAHO G（第25题图③）CBEFDAHOG（第25题图④）。