微积分下册期末试卷及答案[1]
微积分下册期末试卷及答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷评分阅卷人1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________. 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)评分阅卷人6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A)1p >(B)1p <(C)12p <<(D)2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ). (A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限,但无定义(D)在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A)123I I I >>(B)213I I I >> (C)123I I I <<(D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A)b ax y +=(B)xe b ax y 3)(+=(C)x e bx ax y 32)(+=(D)xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ). (A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定 三、计算题(每小题6分,共60分)评分评分评阅人11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.评分评阅人12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .评分评阅人13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2. 评分评阅人14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 评分评阅人15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .评分评阅人16、计算二重积分22()Dxy dxdy+⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.评分评阅人17、解微分方程x y y +'=''.评分评阅人18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.评分评阅人19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.评分评阅人20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)评分评分评阅人21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 评分评阅人22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-.4、1.5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C).7、(B).8、(A).9、(D).10、(D). 三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32yx =的反函数为23,0x y y =>。
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
重庆工商大学期末复习资料微积分近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
19、将函数
展开成
的幂级数.
20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产 单位甲产品,生产 单位
乙产品的总费用为 时该工厂取得最大利润.
21、设
,证明
,试求出甲、乙两种产品各生产多少
.
22、若
与
都收敛,则
收敛.
（可能会有错误大家一定要自己核对）
试题和答案⑤
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、 A、0
的值为 B、3
（ B） C、2
D、不存在
2、
和
在
A.必要非充分的条件； C.充分且必要的条件；
存在且连续是函数
B.充分非必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
在点
可微的 （ B ）
3、由曲面
和
及柱面
所围的体积是 （ B ）
A.
；
B.
；
C、
；
D.
4、 设 二 阶 常 系 数 非 齐 次 微 分 方 程
[]
8.设
为
的以 2为周期的余弦级数，则
＜
1/1
（A） . （B） . （C） . （D） .
[]
9.设
则
在点 O 处
（A）偏导数存在，函数不连续 （C）偏导数存在，函数连续
三、解答题
（B）偏导数不存在，函数连续 （D）偏导数不存在，函数不连续
[]
10.（本题满分 10分）求曲线 L：
在其上点 M（1，－1，2）处的切线方
与
证：由于
都收敛,则
收敛. ,
(3分)
并由题设知
与
都收敛,则
收敛,
从而
微积分下册期末试卷及答案[1]
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、已知22(,)yf x y x y x +=- 则=),(y x f、已知 则=⎰∞+--dx e x x21π=⎰∞+∞--dx ex 2、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值 、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++= 则=')0,1(x f、以xe x C C y 321)(+= 21,C C 为任意常数 为通解的微分方程是知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛 则常数p 的取值范围是1p > 1p < 12p << 2p >数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断 是因为该函数在原点无定义 在原点二重极限不存在 在原点有二重极限 但无定义 在原点二重极限存在 但不等于函数值、若2211x y I +≤=⎰⎰22212x y I ≤+≤=⎰⎰22324x y I ≤+≤=⎰⎰则下列关系式成立的是123I I I >> 213I I I >> 123I I I << 213I I I <<、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解b ax y += xe b ax y 3)(+= x e bx ax y 32)(+= x e bx ax y 323)(+=、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna绝对收敛 条件收敛 发散 不定 一、填空题 每小题 分 共 分、2(1)1x y y -+、)32,31(- 、 、"6'0y y y -+= 、求由23x y = 4=x 0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积 解：32y x=的函数为23,0x y y =>。
《微积分》期末考试试卷附答案
《微积分》期末考试试卷附答案一、填空题(共5小题，每小题4分,共20分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a .3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim 0 . 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 5、=⎰xx dx 22cos sin .二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点.3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在；(D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''；(D) )()(Q C Q R '='.5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： (A) )()(x f dx x f dx d ⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.三、计算题（共4小题，每小题15分，共60分）1、设x x f x x-=--422)2(,求)2(+x f .2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.微积分参考答案：一、填空1. 答案：)1ln(x -2. 答案：13. 答案：44. 答案：25. 答案：C x x +-cot tan二、选择1. A2. D3. B4. D5. B三、计算题1、设x x f x x -=--422)2(,求)2(+x f .答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则 2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t ,于是 42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f x x x x x .2. 计算)1cos(lim n n n -+∞→. 答案：1 解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11cos lim )1cos(lim 11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n .3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， 而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→n n n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→n n n n n n n n .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→. 答案：1 解：x x x xx x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→x x x x x x .。
微积分(下)期末复习试题完整版
期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数,则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数,则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=,则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续, 则=)(x f .8、设曲线kx y =<0,0>>x k >与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31,则=k . 9、设yx y y x y x f arcsin)1()2(),(22---=,则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =,则=∂∂∂yx z2. 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝.二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于〔 〔A1〔B2〔C4〔D82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-,则=)(xf 〔 <A>21x<B> 21x - <C> x 2e - <D> x2e -- 3、设)(x f 是连续函数,且C x F x x f +=⎰)(d )(,则必有〔 B〔A )(d )(x F t t f x a =⎰ 〔B )(]d )([x F t t F x a ='⎰ 〔C)(d )(x f t t F x a='⎰〔D )()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰4、设)(x f 在],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的平均值是〔〔A2)()(b f a f + 〔B ⎰b a x x f d )(〔C ⎰-b a x x f a b d )(1 〔D ⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与〔 有关。
微积分下期末考试试题
微积分下期末考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x^{-1} \)C. \( \frac{1}{x} \)（不包括x=0）D. \( \frac{1}{x} \)（不包括x<0）2. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \leq 1 \)B. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \geq 1 \)C. \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx = 1 \)D. 无法确定3. 泰勒级数展开 \( \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的前三项是：A. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)B. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \)C. \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{3!} \)D. \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{4!} \)4. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^2 + 1 \)B. \( f(x) = x^3 - 1 \)C. \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)D. \( f(x) = \ln|x| \)5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 不存在D. \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 可以是任意值二、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数 \( f(x) = \sin(x) + e^x \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分。
微积分下册期末试卷及答案
1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x0 21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分 评分阅卷人6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p x x dx 1 1ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)评分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x . 13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2. 14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx. 16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
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1、已知22(,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
且4=x 时，8=y 。
于是)6()3(分分882233837730(4)16(80)33128128(80)775127V y dy y dyy ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰12、求二重极限11lim22220-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x (3分)2)11(lim 220=+++=→→y x y x (6分)13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2.解：设(,,)zF x y z z e xy =+-，则x F y=-， y F x =- ，1z z F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z z F z x xy F e e ∂-=-=-=∂++ (3分)222111(1)1(1)z z z z z z z z e y e z y e xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭ (6分)14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. (3分) 故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32(6分) 15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182x yyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ (6分) 6、计算二重积分22()D x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()D x y dxdy +⎰⎰＝13200d r dr πθ⎰⎰＝8π (6分)17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是)(1)1()1(C dx e x e p dxdx +⎰⎰=---⎰)(1C dx e x e x x +=-⎰])1([1C e x e xx++-=-xe C x 1)1(++-= (3分)⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ (6分)18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=(3分)因为lim 11n n →∞-== 19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n x x x ,33<<-x . (6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略 解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 (3分)0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,064802>-=-=B AC D , 所以最优广告策略为：电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z x y x y ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++22、若∑∞=12n nu 与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分)并由题设知∑=12n nu与∑=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑=+收敛,从而∑∞=+12)(n n nv u收敛。
(6分)1、设22(,)yf x y x y x -=-，则=),(y x f _____________.2、已1()2Γ=5()2Γ＝___________.3、设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数 ________a =4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________5、以xx e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是__________________.6、已知dx e p x⎰∞+- 0 与⎰ep x x dx1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 0>p (B) 0<p (C) 1<p (D) 10<<p7、对于函数22(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点(C) 是极大值点 (D) 是极小值8、已知21()D I x y d σ=+⎰⎰,32()D I x y d σ=+⎰⎰,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则( ). (A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12I I < (D) 2212I I =9、方程xxe y y y 265=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 2)(+=(C) x e bx ax y 22)(+= (D)xe bx ax y 223)(+=10、级数∑∞=-12)1(n nn n a 收敛，则级数∑∞=1n na( ). (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定11、求3x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin 1sin(lim 0xy y x y x +→→.13、设xy y x z -+=1arctan,求22x z ∂∂. 14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.15、计算⎰⎰101d e d yx x xy .D区域.17、解微分方程0='+''y y x .18、判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛12!n nn n 的敛散性.19、将函数x x f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数. 20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润. 21、设222ln z y x u ++=,证明222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=2221x y z ++.22、若∑∞=12n n a 与∑∞=12n nb都收敛,则∑∞=1n nn ba 收敛. （可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题(每小题3分,共15分)1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。