回归方程及回归系数的显著性检验
线性回归的显著性检验
线性回归的显着性检验1.回归方程的显着性在实际问题的研究中，我们事先并不能断定随机变量y与变量人,乂2，…，x p之间确有线性关系，在进行回归参数的估计之前，我们用多元线性回归方程去拟合随机变量y与变量X「X2，…，X p之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。
因此，和一元线性回归方程的显着性检验类似，在求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显着性检验。
设随机变量丫与多个普通变量x1, x2^ ,x p的线性回归模型为其中；服从正态分布N（0,；「2）对多元线性回归方程的显着性检验就是看自变量若接受X i,X2，…,X p从整体上对随机变量y是否有明显的影响。
为此提出原假设如果H。
被接受，则表明随机变量y与x「X2，…，X p的线性回归模型就没有意义。
通过总离差平方和分解方法，可以构造对H o进行检验的统计量。
正态随机变量y i,y2/ , y n的偏差平方和可以分解为：n n nS r f （y—y）2为总的偏差平方和，S R=為（懈-y）2为回归平方和，S E f （% - ？）2为残i 1i# im差平方和。
因此，平方和分解式可以简写为：回归平方和与残差平方和分别反映了b = 0所引起的差异和随机误差的影响。
构造F检验统计量则利用分解定理得到：在正态假设下，当原假设H o ：b i =0, b2 =0，…，b p =0成立时，F服从自由度为（p,n -p-1）的F分布。
对于给定的显着水平［，当F大于临界值（p, n-p-1）时，拒绝H。
，说明回归方程显着，x与y有显着的线性关系。
实际应用中，我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显着性。
复相关系数R定义为：平方和分解式可以知道，复相关系数的取值范围为0空R乞1。
R越接近1表明S E越小，回归方程拟合越好。
2.回归系数的显着性若方程通过显着性检验，仅说明b o，b i，b2,…b p不全为零，并不意味着每个自变量对y的影响都显着，所以就需要我们对每个自变量进行显着性检验。
回归方程及回归系数的显著性检验演示教学
回归方程及回归系数验检性著显的．3 回归方程及回归系数的显著性检验§１、回归方程的显著性检验回归平方和与剩余平方和(1)是否确实存在线性关系呢？这, 回归效果如何呢？因变量与自变量建立回归方程以后我们要进一步研究因变量, 取值的变化规律。
的每是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此常用该次观侧值每次观测值的变差大小, 次取值是有波动的, 这种波动常称为变差,次观测值的总变差可由而全部, 的差(称为离差)来表示与次观测值的平均值总的离差平方和,: 其中它反映了自变量称为回归平方和 , 是回归值与均值之差的平方和,。
)为自变量的个数的波动的变化所引起的, 其自由度(,), 是实测值与回归值之差的平方和或称残差平方和称为剩余平方和(的自由度为其自由度。
总的离差平方和。
它是由试验误差及其它因素引起的,,, 是确定的即, 如果观测值给定则总的离差平方和是确定的, 因此大则反之小,或者, 与, 大所以且回归平方和都可用来衡量回归效果, 越大则线性回归效果越显著小则如果越小回归效果越显著, ; 则线性回大, 说剩余平方和0, ＝如果则回归超平面过所有观测点归效果不好。
复相关系数(2)人们也常引用无量纲指标, 为检验总的回归效果, (3.1)或．, (3.2)称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此因此的相关程度。
显然, 就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例表示全部自变量与因变量因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但, 回归效果就越好, 。
复相关系数越接近１常有较大的并不很大时, 相对于,与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当应注意一般认为应取, 的适当比例的５到10至少为倍为宜。
值与, 因此实际计算中应注意检验(3)就是要检验假设, 是否存在线性关系要检验与, (3.3)应用统计量否则认为线性关系显著。
检验假设无线性关系, 与成立时当假设, 则, (3.4)它服从自由度为即及的分布, , 这是两个方差之比, (3.5)应有则当给定检验水平成立, α下, 可检验回归的总体效果。
回归方程的显著性检验线性关系的检验
3. 图像
1 =1
=-1 <-1
0< < 1
-1< <0
非线性模型及其线性化方法
双曲线函数
1. 基本形式： 2. 线性化方法
令：y' = 1/y，x'= 1/x, 则有y' = + x'
3. 图像
<0
>0
非线性模型及其线性化方法
对数函数
1. 基本形式： 2. 线性化方法
一、多元线性回归模型
（概念要点）
1. 一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归。
2. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1，x2，… xp 和 误差项 的方程称为多元线性回归模型。
3. 涉及 p 个自变量的多元线性回归模型可表示为
y 0 1x1i 2 x2i p x pi i
yˆ0 ，就是个别值的点估计。
2. 比如，如果我们只是想知道1990年人均国民收
入为1250.7元时的人均消费金额是多少，则属 于个别值的点估计。根据估计的回归方程得
yˆ0 54.22286 0.526381250.7 712.57(元)
利用回归方程进行估计和预测
（区间估计）
1. 点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际 值之间是有误差的，因此需要进行区间估计。
2、 E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为
yˆ0 t 2 (n 2)S y
1 x0 x2
n
n
xi
x
2
式 中 ： Sy 为 估 计标准误差
i 1
利用回归方程进行估计和预测
（置信区间估计:算例） 【例】根据前例，求出人均国民收入1250.7元 时，人均消费金额95%的置信区间。 解：根据前面的计算结果
线性回归的显著性检验及回归预测.
双曲线
1. 基本形式：
1. 线性化方法 令：y' = 1/y，x'= 1/x, 则有y' = a+ bx' 2. 图像
b<0
b>0
幂函数曲线
1. 基本形式：
2. 线性化方法
两端取对数得：lg y = lga + b lg x 令：y' = lgy，x'= lg x，则y' = lga + b x‘ 3. 图像
非线性回归－－练习
一种商品的需求量与其价格有一定的关系。现对 一定时期内的商品价格 x 与需求量 y进行观察，取得 的样本数据如表所示。试判断商品价格与需求量之 间回归函数的类型，并求需求量对价格的回归方程， 以及相应的判定系数。
2 2 2
2 2
R 1 ( y yc ) / ( y y )
相关指数计算表
序号 1 y 106.42 yc 107.53 (y-yc)2 1.2321 (y-yˉ)2 13.0012
2
3 4 5 6 7 8
108.20
109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 110.59
0.0023
0.0018 0.0013 0.0011 0.0009 0.0008 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005
14
合计
20
－
111.18
-
0.0500
2.1009
0.0090
0.1271
0.0025
0.5397
0.0004
0.0193
非线性判定系数与相关系数
0.0091
第三节 线性回归的显著性检验及回归预测
xy
i
n
]
2 b x i x i yi a x i 0 SS , SS E , SS R依赖： a y bx
5
注意：三个平方和SS , SS E , SS R的自由度分别记为 f , f E , f R , 则它们之间也有等式成立： f fE fR 且：f n-1, f E n 2, 则f R f f E 1.
2
x
i 1
n
i
x
2
式中：se为回归估计标准差
置信区间估计(例题分析)
【例】求出工业总产值的点估计为100亿元时， 工业总产值95%置信水平下的置信区间. yc 100 解：根据前面的计算结果,已知n=16， • se=2.457，t(16-2)=2.1448 • 置信区间为 1 (73 57.25)2
一元线性回归的方差分析表
离差来源 平方和 自由度 F值 SS R 回 归 SS y y 2 1 F R ci SS E 2 剩余 n-2
SS E yi yci
( n 2)
总计
SS yi y
2
n-1
8
线性关系的检验(例题分析)
1. 提出假设 H0 : 0; 2. 计算检验统计量F
i
(x
x ) nS xi
2 2
( xi )
2
③根据已知条件实际计算统计量t的值； ④ 比较②与③中的计算结果,得到结论.
3
回归系数的假设
b Se 1
对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)
H0 : 0;
i
H1 : 0
回归系数的估计及检验
回归系数的估计及检验回归分析是统计学中一种常用的分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
回归分析的核心是估计回归系数，通过对数据进行拟合，得到最佳的回归方程。
本文将对回归系数的估计及检验进行详细介绍。
一、回归系数的估计回归系数的估计可以使用最小二乘法。
最小二乘法是一种常见的参数估计方法，其目标是使观测值与拟合值之间的平方差最小化。
在回归分析中，我们通过最小化残差平方和来估计回归系数。
具体而言，通过最小化观测值与拟合值之间的差异，得到最优的回归系数估计。
二、回归系数的检验在回归分析中，我们需要对回归系数进行检验，以判断自变量对因变量的影响是否显著。
常见的回归系数检验方法包括t检验和F检验。
1. t检验t检验用于判断回归系数是否显著不等于零。
t检验的原假设是回归系数等于零，备择假设是回归系数不等于零。
通过计算回归系数的标准误差和t值，可以得到回归系数的t统计量。
根据t统计量和自由度，可以计算出对应的p值。
如果p值小于显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝原假设，认为回归系数显著不等于零。
2. F检验F检验用于判断回归模型是否显著。
F检验的原假设是回归模型中所有回归系数都等于零，备择假设是至少存在一个回归系数不等于零。
通过计算回归模型的残差平方和和回归平方和，可以得到F统计量。
根据F统计量和自由度，可以计算出对应的p值。
如果p值小于显著性水平（通常为0.05），则可以拒绝原假设，认为回归模型显著。
三、回归系数的解释回归系数的估计和检验给出了自变量对因变量的影响程度和显著性。
回归系数的符号表示了自变量对因变量的正向或负向影响，而系数的大小表示了影响的程度。
例如，如果某个自变量的回归系数为正且显著，说明该自变量对因变量有正向影响，并且系数的绝对值越大，影响越显著。
回归系数的置信区间也是回归分析中常用的指标。
置信区间表示了对回归系数的估计的不确定性范围。
一般来说，置信区间越窄，对回归系数的估计越精确。
对回归方程中的回归系数进行解释
对回归方程中的回归系数进行解释
回归方程中的回归系数是用于衡量自变量对因变量的影响程度的指标。
它们代表了自变量的单位变化对因变量的单位变化产生的影响。
回归系数的解释可以从以下几个方面进行：
1. 方向性解释：回归系数的正负号表示了自变量与因变量之间的关系方向。
正系数表示自变量的增加与因变量的增加呈正相关关系，负系数表示自变量的增加与因变量的增加呈负相关关系。
2. 影响程度解释：回归系数的绝对值大小表示了自变量的单位变化对因变量的单位变化产生的影响程度。
绝对值越大，影响程度越大；绝对值越小，影响程度越小。
3. 相对重要性解释：回归系数的大小可以用来比较自变量对因变量的相对重要性。
较大的回归系数表示该自变量对因变量的影响更为显著，较小的回归系数表示该自变量对因变量的影响相对较小。
4. 统计显著性解释：回归系数的统计显著性可以用来判断回归系数是否真实存在。
通过假设检验，可以确定回归系数是否显著不等于零。
如果回归系数的p值小于事先设定的显著性水平（通常为0.05），则可以认为该回归系数是显著的。
5. 可解释性解释：回归系数的解释还可以从实际问题的背景知识出发，给出更具体的解释。
例如，对于一个房价的回归方程，回归系
数可以表示每增加一平方米的房屋面积，房价平均上涨多少元。
回归方程中的回归系数是对自变量与因变量之间关系的量化描述，可以从不同角度进行解释，帮助我们理解自变量对因变量的影响程度、方向性和相对重要性。
应用回归分析,第3章课后习题参考答案
第3章 多元线性回归思考与练习参考答案3.2 讨论样本容量n 与自变量个数p 的关系，它们对模型的参数估计有何影响？答：在多元线性回归模型中，样本容量n 与自变量个数p 的关系是：n>>p 。
如果n<=p 对模型的参数估计会带来很严重的影响。
因为： 1. 在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。
2. 解释变量X 是确定性变量，要求()1rank p n =+<X ，表明设计矩阵X 中的自变量列之间不相关，即矩阵X 是一个满秩矩阵。
若()1rank p <+X ，则解释变量之间线性相关，1()X X -'是奇异阵，则β的估计不稳定。
3.3证明随机误差项ε的方差σ2的无偏估计。
证明:22122222111112221111ˆ(),111()()(1)(1)()(1)1ˆ()()1n i i n n nnnii ii iiii i i i i i ni i SSE e e e n p n p n p E e D e h h n h n p E E e n p σσσσσσσ======='===------∴==-=-=-=--∴==--∑∑∑∑∑∑∑3.4 一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R 2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？ 答：不能断定这个回归方程理想。
因为：1. 在样本容量较少，变量个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F 检验或者关于回归系数的t 检验，所建立的回归方()1ˆ2--=p n SSE σ程都没能通过。
2. 样本决定系数和复相关系数接近于1只能说明Y 与自变量X1,X2,…,Xp 整体上的线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量是显著的，还需进行F 检验和t 检验。
3. 在应用过程中发现，在样本容量一定的情况下，如果在模型中增加解释变量必定使得自由度减少，使得 R 2往往增大，因此增加解释变量（尤其是不显著的解释变量）个数引起的R 2的增大与拟合好坏无关。
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§3 回归方程及回归系数的显著性检验
１、回归方程的显著性检验
(1) 回归平方和与剩余平方和
建立回归方程以后, 回归效果如何呢？因变量与自变量是否确实存在线性关系呢？这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。
的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与
次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和
,
其中:
称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。
称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。
总的离差平方和的自由度为。
如果观测值给定, 则总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大则小, 反之, 小则大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果大, 则线性回归效果不好。
(2) 复相关系数
为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标
, (3.1)
或
, (3.2)
称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。
显然。
复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。
(3) 检验
要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设
, (3.3)
当假设成立时, 则与无线性关系, 否则认为线性关系显著。
检验假设应用统计量
, (3.4)
这是两个方差之比, 它服从自由度为及的分布, 即
, (3.5)
用此统计量可检验回归的总体效果。
如果假设成立, 则当给定检验水平α下, 统计量应有≤, (3.6)
对于给定的置信度α, 由分布表可查得的值, 如果根据统计量算得的值为
, 则拒绝假设, 即不能认为全部为O, 即个自变量的总体回归效果是显著的, 否则认为回归效果不显著。
利用检验对回归方程进行显著性检验的方法称为方差分析。
上面对回归效果的讨论可归结于一个方差分析表中, 如表3.1。
表3.1 方差分析表
来
平方和自由度方差方差比
源
回
归
剩
余
总
计
根据与的定义, 可以导出与的以下关系:
,。
利用这两个关系式可以解决值多大时回归效果才算是显著的问题。
因为对给定的检验水平α, 由
分布表可查出的临界值, 然后由即可求出的临界值:
, (3.7)
当时, 则认为回归效果显著。
例3.1利用方差分析对例2.1的回归方程进行显著性检验。
方差分析结果见表3.2。
表3.2
来源平方和自由度方差方差比
回归
剩余
总计
取检验水平α＝0.05, 查分布表得, 而, 所以例2.1的回归方程回归效果是显著的。
２、回归系数的显著性检验
前面讨论了回归方程中全部自变量的总体回归效果, 但总体回归效果显著并不说明每个自变量对因变量都是重要的, 即可能有某个自变量对并不起作用或者能被其它的的作用所
代替, 因此对这种自变量我们希望从回归方程中剔除, 这样可以建立更简单的回归方程。
显然某个自变量如果对作用不显著, 则它的系数就应取值为0, 因此检验每个自变量是否显著, 就要检验假设:
, , (3.8)
(1) 检验:
在假设下, 可应用检验:
, , (3.9)
其中为矩阵的对角线上第个元素。
对给定的检验水平α, 从分布表中可查出与α对应的临界值, 如果有, 则拒绝假设, 即认为与0有显著差异, 这说明对有重要作用不应剔除; 如果有则接受假设, 即认为成立, 这说明对不起作用, 应予剔除。
(2) 检验:
检验假设, 亦可用服从自由度分别为1与的分布的统计量
, (3.10)
其中为矩阵的主对角线上第个元素。
对于给定的检验水平α, 从分布表中可查得临界, 如果有, 则拒绝假设, 认为对有重要作用。
如果, 则接受假设, 即认为自变量对不起重要作用, 可以剔除。
一般一次检验只剔除一个自变量, 且这个自变量是所有不显著自变量中值最小者, 然后再建立回归方程, 并继续进行检验, 直到建立的回归方程及各个自变量均显著为止。
最后指出, 上述对各自变量进行显著性检验采用的两种统计量与实际上是等价的, 因为由(3.9)式及(3.10)式知, 有
(3.11)
例3.2对例2.1的回归方程各系数进行显著性检验。
经计算:
,
于是
,
其中＝0.002223, ＝0.004577。
由(3.7)式知
,
,
查分布表得, , 因为,
, 所以两个自变量及都是显著的。
又由, 说明体长比胸围对体重的影响更大。
如果应用检验, 查分布表有, 又由
,
,
因为, , 因此及都是显著的, 均为重要变量, 应保留在回归方程中。
(3) 偏回归平方和
检验某一自变量是否显著, 还可应用偏回归平方和进行检验。
个自变量的回归平方和为
,
如果自个自变量中去掉, 则剩下的个自变量的回归平方和设为, 并设
,
则就表示变量在回归平方和中的贡献, 称为的偏回归平方和或贡献。
可以证明
, (3.12)
偏回归平方和越大, 说明在回归方程中越重要, 对的作用和影响越大, 或者说对回归方程的贡献越大。
因此偏回归平方和也是用来衡量每个自变量在回归方程中作用大小(贡献大小)的一个指标。
例如在例2.1中, 和的偏回归平方和分别为
,
,
, 说明在回归方程中的作用比大。
又如在例2.2中及的偏回归平方和分别为:
,
,
,
,
的值最小, 即在回归方程中所起的作用最小, 最大, 说明在回归方程中所起的作用最大。