大学期末复习试题资料整理《高等数学2》经管类期末试卷

一、 填空题(本大题共5题,每题2分,共10分。请直接将正确结果填入

各题的空格处)

1. 函数221y x z --=的定义域 ；

2. 由方程z

e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全

微分1

1==y x dz

= ；

3. 变换二重积分

⎰⎰=

=b

a

x

a

I dy y x f dx I 的积分次序后),( ；

4. 将函数()2

cos x x f =展开成x 的幂级数为 ；

5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。 二、 选择题(本大题共5题,每题2分,共10分。每小题有四个选项,其中

有且只有一个选项正确,请将正确选项的代号字母填入括号内)

6. 在空间解析几何中方程42

2=+y x 表示( )。

A.圆

B.平面

C.圆柱面

D.球面

7. 设函数2

2y x z =,则=∂∂22x

z ( )。

A. 22y

B. xy 4

C. y 4

D. 0

8. 设(){

}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ,则⎰⎰D

dxdy 等于( )。

A.－1

B.1

C.2

D.－2 9. 级数∑

∞

=121

n n

( )。 A. 发散 B.收敛,其和为2 C.收敛,其和为1 D.收

敛,其和为3 10.

下列方程中,( )是二阶线性齐次微分方程。

A.y y dx

y

d ='+22 B.y x y '+=''2)(

C.

y y x y '+=''2

D.

x y y y +'=''2

)( 三、 计算题(本大题共9题,每题7分,共63分。解答须有主要解题步骤,

说明必要的理由) 11. 设),(v u f z =,y x u 2

=,y

x

v =,求y z x z ∂∂∂∂,。

12. 求函数

12

2++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。 13.

⎰⎰

D

xyd σ,其中D 是由抛物线x y =2

及直线2-=x y 所围成的闭

区域。 14.

计算⎰⎰D

dxdy y 2,其中D 为:412

2≤+≤y x 。(要求画草图。提示:

在极坐标下计算) 15.

计算由y x z ++=1,1=+y x ,

0=x ,0=y 及0=z 所

围成立体的体积 16. 判断级数∑∞

=1

2

sin n n n α的敛散性； 17.

求幂级数n

n x n ∑∞

=1

1的收敛区间与和函数。

18. 求解微分方程xy x y -='1。

19.

求微分方程x x x y y sin =+

'满足π

π22=⎪⎭⎫ ⎝⎛y 的特解。

四、 应用题(本大题共1题,共10分。解答须有主要解题步骤,说明必要

的理由)

20. 设生产某产品z 个单位时,需投入甲原料x 个单位,乙原料y 个单位,且它们的关系是:y y x x z 52102022+-+-=,又设甲原料、乙原料的单价分别为2与1,而产品的售价为5,试求x 、y 取何值时,利润最大？

五、 证明题(本大题共1题,共7分。解答须有主要解题步骤,说明必要的

理由)

21. 试证:如果()x ϕ是Ay y ='满足初始条件ηϕ=)(0x 的解,那么())(0

x x A e x -=ηϕ。

试卷A 解答及评分标准

一、 填空题 1. 122≤+y x 2. dy dx + 3. dx y x f dy b

y b a ⎰⎰),(

4. ()()()∑∞

=⋅-+1

2!22211n n n

n x 5.

x e C C y 21+=

二、 选择题 6. C 7. A 8. B 9. C 10. A 三、 计算题 11. 解:

xy x

u

2=∂∂,2x y u =∂∂,y x v 1=∂∂,

2y

x

y v -=∂∂

v f y u f xy x z ∂∂+∂∂=∂∂12,v f y x u f x y

z

∂∂-∂∂=∂∂22。

12. 解:设)3(1),,(22-++++=y x y x y x F λλ

令⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='03020

2y x F y F x F y x λ

λλ,得驻点为 23=x ,23

=y 极小值是:

2

11

13. 解:得出曲线的交点1-=y ,2=y 1分

原式dx xy dy -y y ⎰⎰+=212

2

=ydy x y y ⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2

12

222[]

d y y y y ⎰--+=2152)2(2185

5=

积分区域图形正确,加1分 14. 解:令⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos r y r x ,则

原式⎰⎰=D

rdrd r θθ22sin

dr r d ⎰⎰=2

1

320

2sin πθθ

πθθπ

4

15

4

22cos 12

1

4

20

=

⋅-=⎰

r d 15. 解:()()⎰⎰⎰⎰-++=++=1

0101dxdy 1y

D

dx y x dy y x V

dy yx x x y ⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1

010221⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1022123dy y y 6561212

3

1

032=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y y 16. 解:221

sin n n n ≤α

因为

∑∞

=121n n

收敛 , 所以 ∑

∞

=1

2sin n n n α 收敛。

17. 解:幂级数的收敛半径为11

lim lim 1=+==∞→+∞

→n

n a a R n n n n 所以,幂级数的收敛区间为()1,1-。 设幂级数的和函数为)(x S ,()1,1-∈x 。

dx x x n x S x n n n n ⎰∑∑⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=∞=-∞

=01111)(＝)1ln(110x dx t x --=-=⎰,()1,1-∈x 18. 解:把方程写为dx x ydy ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=11,两边求不定积分,得 C x x y +-=ln 2

12