内积空间中的正交与投影

内积空间中正交和投影

x x0 d x, M
则有 x x0 M
定理 2.3.8 设 M 是希尔伯特空间 X 的线性闭子空间，则 X 中的元素 x 在 M 中存在唯一的正交投影 x0 ，即有
x x0 y ， x0 M ， y M
定义232正交补中所有与m正交的矢量组成之集合定理233勾股定理若为内积空间232正交投影定义234正交投影设上的正交投影上式也称作x的正交分解
⑶ 若对 x M 和 y N 都有 x, y 0 ，则称 M 与 N 正交，记作 M N ；
⑷ 设 X 为线性空间， M , N 是 X 的两个子空间，且 M N 。若对于某个 x X 可唯一地表示成
x yz， yM ， zN
则称 X 为 M , N 的正交和，并表示成 X M N 。
定义 2.3.2 （正交补）设 X 为内积空间， M X ，称 X 中所有与 M 正交的矢量组成之集合为 M 的正交补，记作 M ，即
M x x X, x M
定理 2.3.3（勾股定理）若 x1, x2 ,L , xn 为内积
空间 X 中彼此正交的矢量组，则有
n

2
n
xk
xk 2
k 1
k 1
2.3.2 正交投影定义 2.3.4（正交投影）设 M 为内积空间 X 的线
性子空间， x X ，如果 x0 M ， y M ，使得
x x0 y
则称 x0 是 x 在 M 上的正交投影，上式也称作 x 的正交
分解。
定理 2.3.5（正交投影的唯一性）设 M 为内积空间 X 的线性子空间， x X ，若 x 在 M 上有正交投影，则该投影是唯一的。
引理 2.3.6 若 M 是希尔伯特空间 X 的一个线性闭子空间， x X ，定义 x 到 M 的距离为

第3讲实内积空间汇总

第3讲实内积空间内容：1. 实内积空间2. 正交基及正交补与正交投影3. 内积空间的同构4. 正交变换与对称变换在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵．§1 内积空间在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性),(),(αββα=；可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+；齐次性R k k k ∈∀=),,(),(βαβα；非负性0),(≥αα，当且仅当0=α时,0),(=αα．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为： ),(ααα=，βαβαβα⋅>=<),(,cos ．可见数量积的概念蕴涵着长度与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．定义1.1 设V 是实线性空间，若对于V 中任意两个元素（向量）α和β，总能对应唯一的实数，记作),(βα，且满足以下的性质：(1) 对称性 ),(),(αββα=(2) 可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+(3) 齐次性 R k k k ∈∀=),,(),(βαβα(4) 非负性 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα．则称该实数是V 中向量α和β的内积．称内积为实数的实线性空间V 为欧几里得(Euclid)空间，简称为欧氏空间．称定义了内积的线性空间为内积空间．例 1.1 在n 维向量空间n R 中,任意两个向量：T n x x x ),,,(21 =α，T n y y y ),,,(21 =β，若规定：βαβαT nk k k n n y x y x y x y x ==+++=∑=12211),( ，则容易验证,这符合内积的定义，是n R 中向量α和β的内积．另外，若规定:∑==nk k k y kx 1),(βα，0>k ，同样可验证，这也是n R 中向量α和β的内积．由此可见，在同一个实线性空间的元素之间，可以定义不同的内积，即内积不是唯一的．从而，同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间．例 1.2 在[]b a ,上连续的实函数的实线性空间[]b a C ,中，对任意函数[]b a C x g x f ,)(),(∈，定义：⎰=ba dx x g x f g f )()(),(，则可以证明这是[]b a C ,上)(x f 与)(x g 的一种内积．欧氏空间V 中的内积具有如下的性质：(1) V o o ∈∀==ααα,0),(),((2) R k V k k ∈∀∈∀=,,),,(),(βαβαβα(3) V ∈∀+=+γβαγαβαγβα,,),,(),(),((4) ),(),(1111∑∑∑∑=====n j ni j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k事实上，由定义1.1有：0),(0),0(),(===αβαβαo ；),(),(),(),(βααβαββαk k k k ===；),(),(),(),(),(),(γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+；因此,性质(1)至(3)成立，再结合数学归纳法容易验证性质(4)也成立．定义1.2 设α是欧氏空间V 中的任一元素（向量），则非负实数),(αα称为元素（向量）α的长度或模，记作α．称长度为1的元素（向量）称为单位元素（向量），零元素（向量）的长度为0．由定义1.2易知，元素（向量）的长度具有下列性质： (1) V R k k k ∈∀∈∀⋅=ααα,,(2) 当o ≠α时,,11=αα即αα1是一个单位元素（向量）．通常称此为把非零元素（向量）α单位化．定理1.1 (Cauchy-Schwarz 不等式)．设βα,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则不等式βαβα⋅≤),(，对V ∈∀βα,均成立，并且当且仅当α与β线性相关时，等号成立．证明：当α与β至少有一个是零元素（向量）时，结论显然成立．现在设βα,均为非零元素（向量），则)),(),(,),(),((ββββααββββαα--[]0),(),(),(2≥-=βββααα，因此有[]),(),(),(2ββααβα≤，即βαβα⋅≤),(．而且当且仅当ββββαα),(),(=，即α与β线性相关时，等号成立．定义1.3 设x 与y 是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则称yx y x ),(arccos =θ为x 与y 的夹角，记作,,><y x 即 ),0(,),(arccos ,πθ≤><≤=>=<y x yx y x y x ．例 1.3 试证明欧氏空间V 中成立三角不等式V y x y x y x ∈∀+≤+,,．证明因),(2y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++=，由Schwarz Cauchy -不等式，有 222222)(2),(2y x y y x x y y x x y x +=++≤++=+，即有 y x y x +≤+ ．§2 正交基及正交补与正交投影1 正交基定义 2.1 设y x ,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），如果0),(=y x ，则称元素（向量）x 与y 正交，记作.y x ⊥．由定义2.1易知，零元素（向量）与任何元素（向量）均正交．若,o x ≠由于,0),(>x x 所以非零元素（向量）不会与自身正交，即只有零元素（向量）才与自己正交．例 2.1 在2R 中,对于任意两个向量x 与y 的内积，定义：(1)y x y x T =1),(；(2) Ay x y x T =),(，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A ．由此所得的两个欧氏空间分别记为21R 与22R ，试判断向量T x )1,1(0=与T y )1,1(0-=在21R 与22R 中是否正交？解由于 011)1,1(),(100=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=y x ；01112111)1,1(),(200≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x ．故向量x 与y 在21R 中正交,在22R 中不正交．说明：两元素（向量）正交与否由所在空间的内积确定．此外，在欧氏空间V 中也有勾股定理，即当y x ⊥时,有 222y x y x +=+.可将其推广至多个元素（向量），即当m ααα,,,21 两两正交时，有22221221m m αααααα+++=+++ ．定义2.2 欧氏空间V 中一组非零元素（向量），若两两正交，则称其为一个正交元素（向量）组．定理 2.1 若m ααα,,,21 是欧氏空间V 中一个正交元素（向量）组，则m ααα,,,21 线性无关．证明设有一组数m k k k ,,,21 ,使o k k k m m =+++ααα 2211，在上式两边分别用),2,1(m i i =α作内积，可得),,2,1(,0),(),(),(21m i k k k i m m i i ==+++αααααα，由于j i ≠时,0),(=j i αα故可得),,2,1(0),(m i k i i i ==αα，又 0≠i α时, 0),(>i i αα, 从而有),2,1(0m i k i ==，所以m ααα,,,21 线性无关．推论：在n 维欧氏空间中，正交元素（向量）组所含元素（向量）的个数不会超过n 个．定义2.3 在n 维欧氏空间V 中，由n 个元素（向量）构成的正交元素（向量）组称为V 的正交基；由单位元素（向量）组成的正交基叫作标准正交基．定理 2.2 (Schmidt 正交化方法) 设n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 的任意一个基，则总可将其进行适当运算后化为V 的一个正交基，进而将其化为一个标准正交基．证明因为m ααα,,,21 线性无关，所以),,2,1(0n i i =≠α．首先, 取11αβ=；其次, 令1111222),(),(ββββααβ-=，则可得两个正交元素（向量）21,ββ；再次, 令222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ--=，则得到三个正交元素（向量）.,,321βββ依此进行下去，一般有),,3,2(),(),(),(),(),(),(111122221111n i i i i i i i i i i =----=----ββββαββββαββββααβ 这样得到V 的一个正交基．再将其单位化，令 ),,2,1(1n i i i i ==ββγ，则可得V 的一组标准正交基n γγγ,,,21 ．例2.1 在4R 中,将基T )0,0,1,1(1=α,T )0,1,0,1(2=α,T )1,0,0,1(3-=α, T )1,1,1,1(4--=α,用Schmidt 正交化方法化为标准正交基．解先正交化令 ;)0,0,1,1(11T ==αβ ;)0,1,21,21(),(),(1111222T -=-=ββββααβ ;)1,31,31,31(),(),(),(),(222231111333T -=--=ββββαββββααβ T )1,1,1,1(),(),(),(),(),(),(33334222241111444--=---=ββββαββββαββββααβ 再单位化令 T )0,0,21,21(1111==ββγ T)0,62,61,61(1222-==ββγ T )123,121,121,121(1333-==ββγ T )21,21,21,21(1444--==ββγ则 4321,,,γγγγ 就是所要求的标准正交基．例2.2 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个标准正交基， n n x x x x εεε+++= 2211，n n y y y y εεε++= 2211，则有),(),(11∑∑===n j j j n i i i y x y x εε∑==n i ii y x 1．在标准正交基下，V 中任意两个元素（向量）的内积等于它们对应坐标的乘积之和．定义2.4 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个基，x ，y 在其基下的坐标表示分别为T n x x x x ),,,(21 =，T n y y y y ),,,(21 =，（∑==n i i i x x 1ε，∑==n i i i y y 1ε），则有Gy x y g x y x y x y x T j nj i ij i j j n j i i i n j j j n i i i ====∑∑∑∑======111111),(),(),(εεεε．其中，)(ij g G G =为n 阶方阵，n j i g j i ij ,,2,1,),,( ==εε．称G 为度量矩阵，它为对称可逆矩阵．2 正交补与正交投影定义 2.5 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若对任意的21,W y W x ∈∈总有0),(=y x 成立，则称1W 与2W 正交，记作21W W ⊥.若对某个确定的x 及任意的W y ∈，总有0),(=y x 成立，则称x 与W 正交，记作x W ⊥．例 2.3 设{}R y x y x W ∈=,)0,,(1,{}R z z W ∈=),0,0(2 ,则容易得1W 和2W 均为3R 的子空间,且 12W W ⊥．定理2.3 设s W W W ,,,21 是欧氏空间V 的子空间，且两两正交，则s W W W +++ 21是直和．证明设),,2,1(s i W i i =∈α且 o s =+++ααα 21,分别用iα在上式两边作内积，得0),(=i i αα,即),,2,1(s i oi ==α,即s W W W +++ 21是直和．定义 2.6 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若21W W ⊥，且V W W =+21，则称1W 与2W 互为正交补，记作⊥=21W W 或12W W V ⊕=．定理 2.4 欧氏空间V 的任一个子空间W ，都存在唯一的正交补W ⊥．证明先证存在性．设m εεε,,,21 是子空间W 的一个标准正交基，则可以扩充为V 的一个标准正交基：n m m εεεεε,,,,,1,21 +，显然：),,(1n m L W εε +⊥=．再证唯一性．设1W 与2W 都是W 的正交补，则1W W V ⊕=，2W W V ⊕=，令任意的o x W x ≠∈,2,则 W x ∉,且W y y x ∈∀=,0),(,所以1W x ∈ ,即12W W ⊂．同理有 21W W ⊂.因此得 12W W =．定理2.4既证明了欧氏空间中任意子空间的正交补是存在且唯一的，又给出了正交补的计算方法．另外，V 中的任一向量x 都可唯一地分解为⊥∈∈+=W z W y z y x ,,．由此可引进正投影的概念．定义2.7 设x 是欧氏空间V 中任意的一个元素（向量），W 是V 的一个子空间，且x 被分解为.,,⊥∈∈+=W z W y z y x ,则称y 元素（向量）为x 元素（向量）在子空间W 上的正投影(又称内投影)．显然W W =⊥⊥)(，故z 为元素（向量）x 在⊥W 上的正投影．例2.4 设 {}R x x W ∈=)0,0,(,则W 是3R 的一个子空间，且它的正交补为{}R z y z y W ∈=⊥,),,0(.若3),,(R c b a ∈=α,α在W 上的正投影为)0,0,(a ,在⊥W 上的正投影为),,0(c b .§3 实内积空间的同构定义3.1 设V 与U 是两个欧氏空间,若存在V 到U 的一个一一对应σ,使(1) U V ∈∈∀+=+)(),(;,),()()(βσασβαβσασβασ(2) U k R k V k k ∈∈∀∈∀=)(;,),()(ασαασασ(3) U V ∈∈∀=)(),(;,),,())(),((βσασβαβαβσασ则称σ为V 到U 的一个同构映射，并称欧氏空间V 与U 同构．同构作为欧氏空间的关系与线性空间的同构相同，因此有：同构的有限维欧氏空间必有相同的维数；任意一个n 维欧氏空间均与n R 同构．此外，欧氏空间的同构还具有以下性质：反身性:任意一个欧氏空间V 均与自己同构；对称性:若V 与V '同构,则V '与V 同构；传递性:若V 与V '同构, V '与V ''同构,则V 与V ''同构．事实上，(1) V 到V 的恒等映射是一个同构映射；(2)设σ是V 到V '的同构映射，记1-σ为σ的逆映射，则对V ∈∀βα,有βαβασσβσασσ+=+=+--))(())()((11))(())((11βσσασσ--+=， ))(())(())((111ασσαασσασσ---===k k k k ，))(),((),()))(()),(((11βσασβαβσσασσ==--，即1-σ是V '到V 的一个同构映射．(3) 传递性的证明留作习题．§4 正交变换与对称变换1 正交变换与正交矩阵定义 4.1 设V 是一个欧氏空间,σ是V 上的线性变换，如果对任意的元素（向量）V ∈βα,,均有),())(),((βαβσασ=成立,则称σ是V 上的一个正交变换．例如，恒等变换是一个正交变换，坐标平面上的旋转变换也是一个正交变换．正交变换可以从以下几个方面来刻画．定理4.1 设σ是欧氏空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个正交变换；(2) 保持元素（向量）的长度不变,即对任意的V ∈α,有αασ=)(；(3) V 中的任意一个标准正交基在下的象仍是一个标准正交基；(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵，即E A A AA T T ==．证明采用循环证法。

5_内积空间与希尔伯特空间(讲稿)

其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影
定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特
有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫
空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来
判定最佳逼近的存在性和唯一性。
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定理14 (投影定理) 设M是希尔伯特空间H的闭线性子空间,则对
xH在M中存在唯一的正交投影x0, 使得
x =x0+x1
(其中x1M).
证 xH, 令x到M的距离
{yn}M, 使得||yn-x||d (n) (下确界定义)
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1) 证明 {yn}是基本列 M是H的线性子空间ym,ynM,有
(2) 距离函数 (x, y) x y x y, x y 称为由内积诱导的距离。
注: (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系—— 许瓦兹不等式 x, y x y . (2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系：
x, y 1 ( x y 2 x y 2 i x iy 2 i x iy 2) 4
<·,·>:HHK, 使得：对x,y,zH,K,满足
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则称<x, y>为数域K中x与y的内积,而称定义了内积的空间H为内积空间。注：1) 当数域K为实数域时，称H为实的内积空间；
当数域K为复数域C时，则称H为复的内积空间。
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2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离定义2 (1) 范数 x x, x 称为由内积诱导的范数。
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第3讲实内积空间

第3讲实内积空间内容：1. 实内积空间2. 正交基及正交补与正交投影3. 内积空间的同构4. 正交变换与对称变换在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵．§1 内积空间在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性),(),(αββα=；可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+；齐次性R k k k ∈∀=),,(),(βαβα；非负性0),(≥αα，当且仅当0=α时,0),(=αα．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为： ),(ααα=，βαβαβα⋅>=<),(,cos ．可见数量积的概念蕴涵着长度与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．定义1.1 设V 是实线性空间，若对于V 中任意两个元素（向量）α和β，总能对应唯一的实数，记作),(βα，且满足以下的性质：(1) 对称性 ),(),(αββα=(2) 可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+(3) 齐次性 R k k k ∈∀=),,(),(βαβα(4) 非负性 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα．则称该实数是V 中向量α和β的内积．称内积为实数的实线性空间V 为欧几里得(Euclid)空间，简称为欧氏空间．称定义了内积的线性空间为内积空间．例 1.1 在n 维向量空间n R 中,任意两个向量：T n x x x ),,,(21 =α，T n y y y ),,,(21 =β，若规定：βαβαT nk k k n n y x y x y x y x ==+++=∑=12211),( ，则容易验证,这符合内积的定义，是n R 中向量α和β的内积．另外，若规定:∑==nk k k y kx 1),(βα，0>k ，同样可验证，这也是n R 中向量α和β的内积．由此可见，在同一个实线性空间的元素之间，可以定义不同的内积，即内积不是唯一的．从而，同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间．例 1.2 在[]b a ,上连续的实函数的实线性空间[]b a C ,中，对任意函数[]b a C x g x f ,)(),(∈，定义：⎰=ba dx x g x f g f )()(),(，则可以证明这是[]b a C ,上)(x f 与)(x g 的一种内积．欧氏空间V 中的内积具有如下的性质：(1) V o o ∈∀==ααα,0),(),((2) R k V k k ∈∀∈∀=,,),,(),(βαβαβα(3) V ∈∀+=+γβαγαβαγβα,,),,(),(),((4) ),(),(1111∑∑∑∑=====n j ni j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k事实上，由定义1.1有：0),(0),0(),(===αβαβαo ；),(),(),(),(βααβαββαk k k k ===；),(),(),(),(),(),(γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+；因此,性质(1)至(3)成立，再结合数学归纳法容易验证性质(4)也成立．定义1.2 设α是欧氏空间V 中的任一元素（向量），则非负实数),(αα称为元素（向量）α的长度或模，记作α．称长度为1的元素（向量）称为单位元素（向量），零元素（向量）的长度为0．由定义1.2易知，元素（向量）的长度具有下列性质： (1) V R k k k ∈∀∈∀⋅=ααα,,(2) 当o ≠α时,,11=αα即αα1是一个单位元素（向量）．通常称此为把非零元素（向量）α单位化．定理1.1 (Cauchy-Schwarz 不等式)．设βα,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则不等式βαβα⋅≤),(，对V ∈∀βα,均成立，并且当且仅当α与β线性相关时，等号成立．证明：当α与β至少有一个是零元素（向量）时，结论显然成立．现在设βα,均为非零元素（向量），则)),(),(,),(),((ββββααββββαα--[]0),(),(),(2≥-=βββααα，因此有[]),(),(),(2ββααβα≤，即βαβα⋅≤),(．而且当且仅当ββββαα),(),(=，即α与β线性相关时，等号成立．定义1.3 设x 与y 是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则称yx y x ),(arccos =θ为x 与y 的夹角，记作,,><y x 即 ),0(,),(arccos ,πθ≤><≤=>=<y x yx y x y x ．例 1.3 试证明欧氏空间V 中成立三角不等式V y x y x y x ∈∀+≤+,,．证明因),(2y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++=，由Schwarz Cauchy -不等式，有 222222)(2),(2y x y y x x y y x x y x +=++≤++=+，即有 y x y x +≤+ ．§2 正交基及正交补与正交投影1 正交基定义 2.1 设y x ,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），如果0),(=y x ，则称元素（向量）x 与y 正交，记作.y x ⊥．由定义2.1易知，零元素（向量）与任何元素（向量）均正交．若,o x ≠由于,0),(>x x 所以非零元素（向量）不会与自身正交，即只有零元素（向量）才与自己正交．例 2.1 在2R 中,对于任意两个向量x 与y 的内积，定义：(1)y x y x T =1),(；(2) Ay x y x T =),(，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A ．由此所得的两个欧氏空间分别记为21R 与22R ，试判断向量T x )1,1(0=与T y )1,1(0-=在21R 与22R 中是否正交？解由于 011)1,1(),(100=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=y x ；01112111)1,1(),(200≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x ．故向量x 与y 在21R 中正交,在22R 中不正交．说明：两元素（向量）正交与否由所在空间的内积确定．此外，在欧氏空间V 中也有勾股定理，即当y x ⊥时,有 222y x y x +=+.可将其推广至多个元素（向量），即当m ααα,,,21 两两正交时，有22221221m m αααααα+++=+++ ．定义2.2 欧氏空间V 中一组非零元素（向量），若两两正交，则称其为一个正交元素（向量）组．定理 2.1 若m ααα,,,21 是欧氏空间V 中一个正交元素（向量）组，则m ααα,,,21 线性无关．证明设有一组数m k k k ,,,21 ,使o k k k m m =+++ααα 2211，在上式两边分别用),2,1(m i i =α作内积，可得),,2,1(,0),(),(),(21m i k k k i m m i i ==+++αααααα，由于j i ≠时,0),(=j i αα故可得),,2,1(0),(m i k i i i ==αα，又 0≠i α时, 0),(>i i αα, 从而有),2,1(0m i k i ==，所以m ααα,,,21 线性无关．推论：在n 维欧氏空间中，正交元素（向量）组所含元素（向量）的个数不会超过n 个．定义2.3 在n 维欧氏空间V 中，由n 个元素（向量）构成的正交元素（向量）组称为V 的正交基；由单位元素（向量）组成的正交基叫作标准正交基．定理 2.2 (Schmidt 正交化方法) 设n ααα,,,21 是n 维欧氏空间V 的任意一个基，则总可将其进行适当运算后化为V 的一个正交基，进而将其化为一个标准正交基．证明因为m ααα,,,21 线性无关，所以),,2,1(0n i i =≠α．首先, 取11αβ=；其次, 令1111222),(),(ββββααβ-=，则可得两个正交元素（向量）21,ββ；再次, 令222231111333),(),(),(),(ββββαββββααβ--=，则得到三个正交元素（向量）.,,321βββ依此进行下去，一般有),,3,2(),(),(),(),(),(),(111122221111n i i i i i i i i i i =----=----ββββαββββαββββααβ 这样得到V 的一个正交基．再将其单位化，令 ),,2,1(1n i i i i ==ββγ，则可得V 的一组标准正交基n γγγ,,,21 ．例2.1 在4R 中,将基T )0,0,1,1(1=α,T )0,1,0,1(2=α,T )1,0,0,1(3-=α, T )1,1,1,1(4--=α,用Schmidt 正交化方法化为标准正交基．解先正交化令 ;)0,0,1,1(11T ==αβ ;)0,1,21,21(),(),(1111222T -=-=ββββααβ ;)1,31,31,31(),(),(),(),(222231111333T -=--=ββββαββββααβ T )1,1,1,1(),(),(),(),(),(),(33334222241111444--=---=ββββαββββαββββααβ 再单位化令 T )0,0,21,21(1111==ββγ T)0,62,61,61(1222-==ββγ T )123,121,121,121(1333-==ββγ T )21,21,21,21(1444--==ββγ则 4321,,,γγγγ 就是所要求的标准正交基．例2.2 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个标准正交基， n n x x x x εεε+++= 2211，n n y y y y εεε++= 2211，则有),(),(11∑∑===n j j j n i i i y x y x εε∑==n i ii y x 1．在标准正交基下，V 中任意两个元素（向量）的内积等于它们对应坐标的乘积之和．定义2.4 设n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个基，x ，y 在其基下的坐标表示分别为T n x x x x ),,,(21 =，T n y y y y ),,,(21 =，（∑==n i i i x x 1ε，∑==n i i i y y 1ε），则有Gy x y g x y x y x y x T j nj i ij i j j n j i i i n j j j n i i i ====∑∑∑∑======111111),(),(),(εεεε．其中，)(ij g G G =为n 阶方阵，n j i g j i ij ,,2,1,),,( ==εε．称G 为度量矩阵，它为对称可逆矩阵．2 正交补与正交投影定义 2.5 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若对任意的21,W y W x ∈∈总有0),(=y x 成立，则称1W 与2W 正交，记作21W W ⊥.若对某个确定的x 及任意的W y ∈，总有0),(=y x 成立，则称x 与W 正交，记作x W ⊥．例 2.3 设{}R y x y x W ∈=,)0,,(1,{}R z z W ∈=),0,0(2 ,则容易得1W 和2W 均为3R 的子空间,且 12W W ⊥．定理2.3 设s W W W ,,,21 是欧氏空间V 的子空间，且两两正交，则s W W W +++ 21是直和．证明设),,2,1(s i W i i =∈α且 o s =+++ααα 21,分别用iα在上式两边作内积，得0),(=i i αα,即),,2,1(s i oi ==α,即s W W W +++ 21是直和．定义 2.6 设1W 和2W 是欧氏空间V 的两个子空间，若21W W ⊥，且V W W =+21，则称1W 与2W 互为正交补，记作⊥=21W W 或12W W V ⊕=．定理 2.4 欧氏空间V 的任一个子空间W ，都存在唯一的正交补W ⊥．证明先证存在性．设m εεε,,,21 是子空间W 的一个标准正交基，则可以扩充为V 的一个标准正交基：n m m εεεεε,,,,,1,21 +，显然：),,(1n m L W εε +⊥=．再证唯一性．设1W 与2W 都是W 的正交补，则1W W V ⊕=，2W W V ⊕=，令任意的o x W x ≠∈,2,则 W x ∉,且W y y x ∈∀=,0),(,所以1W x ∈ ,即12W W ⊂．同理有 21W W ⊂.因此得 12W W =．定理2.4既证明了欧氏空间中任意子空间的正交补是存在且唯一的，又给出了正交补的计算方法．另外，V 中的任一向量x 都可唯一地分解为⊥∈∈+=W z W y z y x ,,．由此可引进正投影的概念．定义2.7 设x 是欧氏空间V 中任意的一个元素（向量），W 是V 的一个子空间，且x 被分解为.,,⊥∈∈+=W z W y z y x ,则称y 元素（向量）为x 元素（向量）在子空间W 上的正投影(又称内投影)．显然W W =⊥⊥)(，故z 为元素（向量）x 在⊥W 上的正投影．例2.4 设 {}R x x W ∈=)0,0,(,则W 是3R 的一个子空间，且它的正交补为{}R z y z y W ∈=⊥,),,0(.若3),,(R c b a ∈=α,α在W 上的正投影为)0,0,(a ,在⊥W 上的正投影为),,0(c b .§3 实内积空间的同构定义3.1 设V 与U 是两个欧氏空间,若存在V 到U 的一个一一对应σ,使(1) U V ∈∈∀+=+)(),(;,),()()(βσασβαβσασβασ(2) U k R k V k k ∈∈∀∈∀=)(;,),()(ασαασασ(3) U V ∈∈∀=)(),(;,),,())(),((βσασβαβαβσασ则称σ为V 到U 的一个同构映射，并称欧氏空间V 与U 同构．同构作为欧氏空间的关系与线性空间的同构相同，因此有：同构的有限维欧氏空间必有相同的维数；任意一个n 维欧氏空间均与n R 同构．此外，欧氏空间的同构还具有以下性质：反身性:任意一个欧氏空间V 均与自己同构；对称性:若V 与V '同构,则V '与V 同构；传递性:若V 与V '同构, V '与V ''同构,则V 与V ''同构．事实上，(1) V 到V 的恒等映射是一个同构映射；(2)设σ是V 到V '的同构映射，记1-σ为σ的逆映射，则对V ∈∀βα,有βαβασσβσασσ+=+=+--))(())()((11))(())((11βσσασσ--+=， ))(())(())((111ασσαασσασσ---===k k k k ，))(),((),()))(()),(((11βσασβαβσσασσ==--，即1-σ是V '到V 的一个同构映射．(3) 传递性的证明留作习题．§4 正交变换与对称变换1 正交变换与正交矩阵定义 4.1 设V 是一个欧氏空间,σ是V 上的线性变换，如果对任意的元素（向量）V ∈βα,,均有),())(),((βαβσασ=成立,则称σ是V 上的一个正交变换．例如，恒等变换是一个正交变换，坐标平面上的旋转变换也是一个正交变换．正交变换可以从以下几个方面来刻画．定理4.1 设σ是欧氏空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个正交变换；(2) 保持元素（向量）的长度不变,即对任意的V ∈α,有αασ=)(；(3) V 中的任意一个标准正交基在下的象仍是一个标准正交基；(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵，即E A A AA T T ==．证明采用循环证法。

丘维声高等代数第十章2

(k) = k
因此，是 V 上的线性变换。▌ 性质实内积空间 V 上的正交变换是 V 到自身的同构映射。证明只需证明正交变换是单射：设是 V 上的正交变换，任取 , V ，若 =，则
| |2 ( , ) ( ( ), ( )) | ( ) |2 | |2 | |2 0
所以
2 , U
从而 2 U ，由此得 1 2 U U ，即
V U U
所以 ( , ) 0 设 U U ，则 U 且 U ，从而，即U U { } 。综上所述，V U U 。 ▌
T 1
4.326 A 1.739
T
由 X 是 () 的最小二乘解，可得
k 1.739kg / cm
于是，此弹簧的受力方程为
12
y 4.326 1.739 x
▌
推论设 AX 是不相容线性方程组，这里
A R mn , R m 。若 rank( A ) = n，则此方程组有
AX AX ( AX , AX ) 0 ( AX )T AX 0 ( AX )T A 0 AT ( AX ) 0
AT AX AT
故 X 应为线性方程组
AT AX AT
③
的解。可以证明对任意 A R mn , R m ，线性方
1
( 2 , j ) ( 1 , j ) ( , j ) (1 , j ) ( , j ) ( , 1 )( 1 , j ) ( , m )( m , j ) ( , j ) ( , j )( j , j ) ( , j ) ( , j ) 0

泛函分析第4章内积空间

泛函分析第4章内积空间第四章介绍的是内积空间，是泛函分析中非常重要的一个概念。

内积空间是在向量空间上赋予了内积运算的结构，它将几何空间的概念引入到向量空间中，从而使得我们能够定义向量的长度、角度等几何概念。

在内积空间中，我们首先需要定义内积的概念。

内积是一个数学结构，它将两个向量映射到一个实数上。

在内积空间中，内积满足一系列性质，如线性性、对称性和正定性等，这些性质保证了内积的合理性和实用性。

比如，线性性保证了内积对于向量的加法和标量乘法是线性的，对称性保证了内积的对换性质。

通过内积，我们能够定义向量的长度和角度。

向量的长度可以通过内积定义一个标准，即向量与自身的内积的平方根。

这个定义与我们熟悉的欧氏几何空间中的向量长度一致。

而向量的角度可以通过内积定义出余弦值，从而表示两个向量之间的夹角。

这个定义使得我们能够对向量的方向进行描述。

内积空间还引入了正交的概念。

在内积空间中，两个向量相互垂直时称为正交。

正交向量在几何空间中有很重要的应用，比如可以作为一组基底，并且正交向量之间的内积为零，这使得我们能够对向量进行分解和投影等操作。

内积空间还引入了内积的连续性概念。

通过内积的连续性，我们可以定义向量的极限、收敛等概念。

这使得内积空间成为了一个完备的空间，即任何一个柯西序列都存在一个极限。

内积空间是泛函分析中非常有用的一个概念。

它不仅能够将几何概念应用到向量空间中，还能够定义向量的长度和角度等概念，从而使得向量空间具有了更强的几何性质。

在泛函分析中，内积空间是研究函数空间、傅里叶变换等问题的基础。

因此，对于内积空间的理解和掌握是非常重要的。

总之，第四章介绍的内积空间是泛函分析中非常重要的一个概念。

它通过引入内积的概念，使得向量空间具有了几何性质，定义了向量的长度、角度等几何概念。

内积空间是泛函分析中非常有用的一个工具，对于研究函数空间、傅里叶变换等问题具有重要的意义。

因此，对于内积空间的理解和掌握是泛函分析学习的重点。

内积空间的正交基与正交投影

内积空间的正交基与正交投影内积空间是数学中一个重要的概念，它在向量空间中定义了向量之间的内积运算。

在内积空间中，有两个重要的概念：正交基和正交投影。

本文将介绍内积空间的概念，探讨正交基的性质以及正交投影的应用。

一、内积空间的定义和性质内积空间是一个向量空间，其中定义了向量间的内积运算。

一个内积空间必须满足以下条件：1. 正定性：对于任意非零向量x，有内积⟨x, x⟩大于0，并且仅当x 为零向量时等于0。

2. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有内积的线性性质：⟨ax + y, z⟩ = a⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩。

3. 对称性：对于任意向量x和y，有内积的对称性质：⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩。

内积空间的一个重要性质是Cauchy-Schwarz不等式，它表明对于任意向量x和y，有|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥，其中∥x∥和∥y∥分别表示向量x和y的范数。

二、正交基的定义和性质在内积空间中，如果一个向量组中的向量两两正交且非零，那么这个向量组称为正交基。

正交基的一个重要性质是，内积空间中的任意向量都可以由正交基线性表示。

假设V是一个n维内积空间，{v_1, v_2, ..., v_n}是V的一个正交基，那么对于任意向量x ∈ V，可以将x表示为线性组合的形式：x =c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n，其中c_1, c_2, ..., c_n为常数。

三、正交投影的定义和应用正交投影是内积空间中的一个重要应用，它可以将一个向量投影到另一个向量上，得到其在后者上的正交投影。

设V是一个内积空间，W是V的一个子空间，对于任意向量x ∈V，将其正交投影到W上的向量记作Proj_W(x)。

那么Proj_W(x)满足以下两个条件：1. Proj_W(x) ∈ W，即正交投影的结果在子空间W中。

2. 向量x - Proj_W(x)与W上的所有向量正交，即内积⟨x -Proj_W(x), w⟩ = 0，对于任意w ∈ W成立。

矩阵论第2章内积空间综述

(2) , V , x11 x2 2 xnn ; y11 y2 2 yn n ;
y1
则
n
,
i 1
n
xi y j i , j
j 1
x1,
x2
,,
xn
A
y2
xT
Ay
yn
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵的双线性函数来计算。
定理2：设 1,2,与,n 1为,2n,维,欧n 氏空间V的基，它们的度量矩阵为A和B，，C是1,2,到,n 1,的2 ,过,渡n 矩阵，则 B CT AC （证明详见P26-27）即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
A
0
2 3
0
2
3
0
2
5
（2）求 f (x) 1与x x2 g(x的) 内1积4。x 5x2
方法一：利用定义，直接计算
f
( x),
g(x)
1
1
f
(x)g(x)dx
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两个向量的内积。
f (x), g(x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1,1,1)T , (1,4,5)T ,
例5 设欧氏空间 P[x]3中的内积为 f (x), g(x)
1
f (x)g(x)dx
1
（1）求基1，x,x2的度量矩阵；
（2）求 f (x) 1与x x2 g(x的) 内1积4。x 5x2
解：设基1，x,x2的度量矩阵为 A (aij )33 ,
a11 (1,1)
1
11dx
2
矩阵，则 B CH AC
练习P38 1;2;3
即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。