2020-2021学年江苏省涟水中学高二12月月考数学试卷
【最新】江苏省涟水中学高二12月月考数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、填空题
1.命题:“2(2,3),3x x ?∈>”的否定是___________
2.抛物线24y x =的准线方程为_____.
3.3x >是25x >的______________条件.(在充分不必要,必要不充分,充要,既不充分又不必要中选一个填写)
4.函数2()2f x x x =+在区间[1,3]上的平均变化率为______________
5.过点(1,-2)且与直线y=2x 平行的直线方程为_____________
6.已知直线1:310l ax y -+=与直线2:2(1)10l x a y +++=垂直,则a =__________
7.以双曲线22
1916
x y -=的左顶点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______
8.已知圆22(2)9x y -+=的弦PQ 的中点为M (1,2),则弦PQ 的长为__________
9.设m,n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,以下说法正确的有_____________
(填所有真命题的序号)
①若m ⊥n,n//α,则m ⊥α;
②若m ⊥β,α⊥β,则m//α;
③若m//β,n//β,m,n α?,则α//β;
④若m ⊥α,α//β,则m ⊥β
10.长方体111111
23ABCD A B C D AB AD AA -===中,,,,则四面体1A BCD 的体积为____________.
11.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点为A ,上顶点为B ,点M 为线段AB 的靠近点B 的三等分点,∠MOA=45°,则椭圆的离心率为________________. 12.已知点P 为圆C :22(1)4x y -+=上任意一点,点Q 的坐标为(4a,a+3),则PQ 长度的最小值为_______________.
13.已知命题:“2(1,4),0x x ax a ?∈-+<”为真命题,则实数a 的取值范围是 .
14.已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>> 的离心率e=12 ,A,B 是椭圆的左右顶点,P 为椭圆上不同于AB 的动点,直线PA,PB 的倾斜角分别为α,β,则
()()cos cos αβαβ+- =________.
二、解答题
15.已知命题:||3,:(1)(4)0p x a q x x -<-->
(1)当1a =时,若“p 且q”为真命题,求实数x 的取值范围;
(2)若非p 是非q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.
16.(1)已知椭圆的中心为坐标原点,且与双曲线2233y x -=有相同的焦点,椭圆的 离心率e=12
,求椭圆的标准方程; (2)已知椭圆2213
x y m +=
m 的值. 17.在直三棱柱111ABC A B C -中,AB=AC ,D,E 为棱11,BC A C 的中点
C 1
A
A 1
(1)证明:平面111ADC BCC B ⊥平面;
(2)证明:1//C D ABE 平面
18.已知命题p :“方程230x ax a -++=有解”,q :“11042x x
a +->∞在[1,+)上恒成立”,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数a 的取值范围.
19.已知圆22
:(2)(2)1C x y -+-=,直线l 过定点A (1,0)
(1)若直线l 平分圆的周长,求直线l 的方程;
(2)若直线l 与圆相切,求直线l 的方程;
(3)若直线l 与圆C 交于PQ 两点,求△CPQ 面积的最大值,并求此时的直线方程.
20.已知椭圆C 的中心为坐标原点,长轴长为4,一条准线方程为4x =-
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求椭圆C被直线y=x+1截得的弦长;
(3)已知点A为椭圆的左顶点,过点A作斜率为
12
,k k的两条直线与椭圆分别交于点
P,Q,若
121
k k?=-,证明:直线PQ过定点,并求出定点的坐标.
参考答案
1.2(2,3),3x x ?∈≤
【解析】
试题分析:命题:“2(2,3),3x x ?∈>”的否定是“2(2,3),3x x ?∈≤”
考点:本题考查全称命题的否定
点评:全称命题否定之否定结论,将全称量词改为特称
2.1x =-
【分析】
本题利用抛物线的标准方程得出抛物线的准线方程.
【详解】
由抛物线方程可知,抛物线24y x =的准线方程为:1x =-.
故答案为1x =-.
【点睛】
本题考查抛物线的相关性质,主要考查抛物线的简单性质的应用,考查抛物线的准线的确定,是基础题.
3.充分不必要
【解析】
试题分析:25x >,则x >x <{}3x x ?{x|x >x <所以是充分不必要条件
考点:本题考查充要条件
点评:小范围能推大范围,大范围不能推小范围
4.6
【解析】 试题分析:由定义可知,平均变化率为
(3)(1)1536312
f f --==- 考点:本题考查平均变化率
点评:平均变化率就是用y 的变化量除以x 的变化量
5.2x-y-4=0
【解析】
试题分析:要求的直线与y=2x 平行,所以斜率k=2,过点(1,-2),所以代入点斜式方程得y+2=2(x-1),整理得2x-y-4="0"
考点:本题考查直线方程
点评:两直线平行斜率相等
6.-3
【解析】
试题分析:因为直线1:310l ax y -+=与直线2:2(1)10l x a y +++=垂直,所以23(1)03a a a -+=∴=-
考点:本题考查两直线垂直的充要条件
点评:若两直线方程分别为1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=,则他们垂直的充要条件是12120A A B B +=
7.22144(3)25
x y ++=
【解析】 试题分析:因为双曲线的方程为221916
x y -=所以左顶点为(-3,0),渐近线方程为43y x =±,左顶点到一条渐近线的距离为,所以半径为125
所以圆的方程为22144(3)25
x y ++= 考点:本题考查双曲线的方程和圆的方程 点评:双曲线的焦点在x 轴上,所以左顶点坐标为(-a,0),渐近线方程为b y x a =±
,因为圆与渐近线相切,所以圆心到渐近线的距离为半径
8.4
【解析】
试题分析:因为圆22
(2)9x y -+=,所以圆心为(2,0),半径为3,弦PQ 的中点为M (1,
2),所以圆心与中点的连线垂直于弦,=
所以弦长为4=
考点:本题考查圆的弦长
点评:圆中的弦长用勾股定理,半径,圆心到弦的距离,弦长一半构成勾股定理求解 9.④
【解析】
试题分析:①若m ⊥n,n//α,则m ⊥α,不正确,m 还可能平行于面α
②若m ⊥β,α⊥β,则m//α,不正确,m 还可能在面内
③若m//β,n//β,m,n α?,则α//β,不正确,只有m,n 相交才是正确的
④若m ⊥α,α//β,则m ⊥β,正确
考点:本题考查空间线与面的平行和垂直
点评:熟练掌握线面的位置关系,面面平行的判定是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则两平面平行
10.1
【解析】
试题分析:四面体1A BCD 是三棱锥,它的体积为
111111231332
A BCD BCD V S AA -?=?=????= 考点:本题考查空间几何体的体积
点评:求三棱锥的高只要找到高就好求
11
.2
【解析】
试题分析:A (a,0),B (0,b ),M 的靠近点B 的三等分点,所以M (2,33
a b ),又因为∠MOA=45°,所以2233a b a b =∴=,
222222223344a c a b e e a a a -====∴=考点:本题考查椭圆的离心率
点评:通过M 是三等分点,相似三角形求得M 点坐标,再利用∠MOA=45°,可得M 的横纵坐标相等,找到a,b 的关系
12
【解析】
试题分析:圆C :22(1)4x y -+=,圆心为(1,0),半径为2,圆心到点Q 的距离为
)
,当他最小时,PQ 最小,
=,当117a =时,距离最小,
所以PQ 考点:本题考查点与圆的位置关系
点评:求圆上一点到点的距离最小转化为求圆心到点的距离最小,在减去半径
13.a>4
【解析】
试题分析:2(1,4),0x x ax a ?∈-+
(1,4)x ?∈,使得21x a x >-,设2()1
x f x x =-,则222(1)()0(1)x x x f x x --==-'解得x=0,2,当(1,2)x ∈()0,()f x f x <'单调递减,当(2,4)x ∈()0,()f x f x >'单调递赠,所以
2
()1
x f x x =-的最小值为(2)4f =,所以a>4 考点:本题考查二次函数恒成立问题
点评:将存在性问题转化为求最值问题.利用分离参数将x,a 分开,求含x 的函数的最值 14.7
【详解】
由题意,(,0)A a -,(,0)B a ,设(,)P x y ,则tan y x a
α=+,tan y x a β=-, 2
22tan tan y y y x a x a x a
αβ∴==+-- 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率12e =, ∴22214
a b a -=
2243
a b ∴=, ∴22
22143
x y b b +=, ∴222
34x y b =-, 22234
y x a =--, 3tan tan 4
αβ=-, ∴3
1cos cos -sin 1-tan tan 473
cos cos +sin sin 1+tan tan 14din αβαβαβαβαβαβ+
===-. 故答案为:7
15.14x <<,14a ≤≤
【解析】
试题分析:(1):24p x -<< 2
:14q x << 4
14x ∴<< 6
(2):33p x a x a ?≤-≥+或 8
:14q x x ?≤≥或 10
3134
a a -≤??+≥? 12 14a ∴≤≤ 14(转化为pq 的关系的类似评分)
考点:本题考查不等式的解法,充要条件,以及集合间的关系
点评:“p 且q”为真命题是指两个命题都为真,所以求两个集合的交集,非p 是非q 的充分不必要条件也就是说p 是q 的必要不充分条件得到两个集合间的关系,找到不等式
16.2211612y x +=,34
m = 【解析】
试题分析:(1)双曲线22
33y x -=,则它的标准方程为2
213y x -=,交点坐标为(0,2)±,
所以椭圆的焦点也在y 轴上,切c=2,离心率e=12
,所以a=4,所以椭圆方程为2211612y x += 6
(2)若焦点在x 轴上,则22222,33a m b c a b m ==∴=-=-,所以22334c m a m
-==∴m=12 10
若焦点在y 轴上,则222223,3a b m c a b m ==∴=-=-又因为离心率为2,所以223343c m a -==∴34
m = 14 考点:本题考查椭圆的标准方程
点评:给出椭圆的标准方程,要注意焦点在哪个轴上,只求a,b 是不行的
17.见解析
【解析】(1),AB AC D =为BC 的中点
AD BC ∴⊥
又因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱
1BB ABC ∴⊥面
1BB AD ∴⊥,1BB BC B ?=
11AD BCC B ∴⊥面,
1AD ADC ?面 所以平面111ADC BCC B ⊥平面 7
(2)取AB 中点F ,连接EF,DF
D,F 为棱,BC AB 的中点
DF
AC ∴且1=2DF AC 又1EC AC 且11=2
EC AC 1DF EC ∴且1=DF EC
所以四边形1DFEC 为平行四边形1C D
EF ∴ 11,C D ABE EF ABE C D ABE ??∴面面面 14
考点:本题考查面面垂直的判定,以及线面平行的判定
点评:求证面面垂直只需要找线面垂直,要证线面平行可找线线平行或面面平行
18.206a a -<≤≥或
【解析】
试题分析::26p a a ≤-≥或 2 令21,2x
t t t a =+> 4 02t <≤ 6
:0q a ∴≤ 8
∵pq 一真一假, 10
∴260a a a ≤-≥??>?
或 12 或260
a a -<?≤? 14 得:206a a -<≤≥或 16
考点:本题考查命题真假,二次函数最值,二次方程根与判别式
点评:二次方程有解等价于判别式大于或等于0,
11042x x
a +->∞在[1,+)上恒成立,用分离参数,等价于1142x x a +>恒成立,求函数1142x x y =+最值,用换元,求二次函数最值,注意自变量的范围
19.2x-y-2=0,3430x y --=或1x =,面积最大值为
12
y=x-1或y=7x-7 【解析】(1)因为直线l 平分圆的周长,所以直线过圆心(2,2),又因为直线l 过定点A (1,0),2所以直线的斜率为02212k -==-,所以直线方程为2x-y-2=0 3 (2)直线l 过定点A (1,0),设直线方程为(x 1)y k =-,因为直线与圆相切,所以圆心到
直线的距离等于半径1d ∴==,解得34
k =,直线方程为3430x y --= 因为过圆外一点能做两条切线,所以另外一条斜率不存在,所以直线方程为1x = 所以切线方程为3430x y --=或1x =(漏x=1扣2分) 9
(3)111sin sin 222
CPQ S CP CQ PCQ PCQ ?=??∠=∠≤ 11 “=”成立时,角PCQ=90°
,∴d =
13 由题意,直线l 斜率存在,∴设l 方程为y=k (x-1)解得k=1或7,
∴所求方程为y=x-1或y=7x-7 16
考点:本题考查直线与圆的位置关系
点评:注意求圆的切线方程时,要看是过圆外一点还是圆上一点,确定应该有几条切线
20.22143x y +=,2(,0)7
- 【解析】(1) 长轴长为4,所以2a=4,a=2, 一条准线方程为4x =-,所
以
241a x c b c =-=∴=∴=22
143
x y += 2 (2)联立直线与椭圆,设直线与椭圆的两个交点为A 11(x ,y )B 22(x ,y )
22
1431x y y x ?+=???=+?
消掉y 得27880x x +-=, 121288x ,x 77
x x +=-=-
2477
AB ∴=== 6 (3)设直线PA 斜率为k ,∴PA 方程为y=k (x+2),代入椭圆方程解得:
222
6812(,)3434k k P k k -++ 8 2226812(,)4343k k Q k k
--++ 10 当k≠±1时,274(1)
PQ k k k =- 12 PQ 方程为2
222
12768()344(1)34k k k y x k k k --=-+-+ 令y=0解得27x =-
,所以PQ 过定点2(,0)7
- 14 当k≠±1,PQ 过定点2(,0)7
- 综上,PQ 过定点2(,0)7- 考点:本题考查直线与椭圆的位置关系
点评:求椭圆里弦长就要联立直线与椭圆得到两根之和与两根之积,代入弦长公式,直线过定点问题将直线表示出来,在考虑过定点