矩阵分析引论--第一章 线性空间与线性变换-线性空间的概念、 基变换与坐标变换
矩阵分析引论第五版教学设计
矩阵分析引论第五版教学设计一、教学目标矩阵分析引论是一门涉及矩阵的数学分析课程，主要介绍了矩阵的基本概念、操作及在数学、工程、科学等领域的应用。
本次教学的目标如下： - 了解矩阵的基本概念和运算规则 - 掌握矩阵分析的常见算法和方法 - 熟悉矩阵在数学、工程、科学等领域的应用 - 培养学生的逻辑思维和创造性思维能力二、课程设置第1章：矩阵及其运算知识点•矩阵的基本概念•矩阵的类型与特殊矩阵•矩阵的加、减法•矩阵的乘法和转置 #### 实践环节•矩阵加减法与乘法的运用•矩阵转置的应用第2章：线性方程组知识点•线性方程组的基本概念和解的性质•高斯消元法求解线性方程组•矩阵运算在线性方程组中的应用 #### 实践环节•高斯消元法的应用•矩阵运算在线性方程组中的应用第3章：向量空间与线性变换知识点•向量空间与子空间•基与维数•线性变换及其矩阵表示•矩阵的秩与行列式 #### 实践环节•向量空间的应用•线性变换及其矩阵表示的应用第4章：特征值与特征向量知识点•矩阵的特征值与特征向量•特征多项式•对角化•广义特征向量 #### 实践环节•矩阵对角化的应用•广义特征向量的应用第5章：二次型和正定矩阵知识点•二次型•正定矩阵•矩阵的相似•矩阵的对称分解 #### 实践环节•正定矩阵的应用•矩阵的相似与对称分解的应用第6章：应用篇知识点•矩阵在工程、科学等领域的应用•线性规划、最小二乘法等算法 #### 实践环节•线性规划、最小二乘法等算法的应用三、教学方法本门课程采用“概念讲解+实践运用”相结合的教学方法。
针对每个知识点，讲解基本概念和操作方法后，通过实例演示和课堂练习让学生进行实践运用，以此加深对知识点的理解和掌握。
四、教学评估课程评估分为两部分，平时成绩和期末考试。
平时成绩占总成绩的60%，包括课堂练习、作业和小组报告。
期末考试占总成绩的40%。
期末考试内容包括矩阵的基本概念、运算规则、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值与特征向量、二次型和正定矩阵、应用等知识点的应用题。
《矩阵分析》课程教学大纲
《矩阵分析》课程教学大纲课程编号：20821105总学时数：32(理论32）总学分数：2课程性质：专业选修课适用专业：信息与计算科学一、课程的任务和基本要求：本课程的任务是介绍六个内容，分别是线性空间与线性变换，λ---矩阵与Jordan标准形，矩阵函数及矩阵方法，矩阵微分方程，矩阵分解和广义逆矩阵。
要求学生系统掌握这六个内容所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，并能熟练地运用这些方法和工具解决理论和实际中遇到的各种问题。
二、基本内容和要求：（一）线性空间与线性变换1、线性空间的定义、性质、基变换与坐标变换公式。
2、子空间的概念、运算及相关定理3、内积空间、正交化方法，空间的正交分解4、线性变换的概念、运算、矩阵表示、线性变换的值域与核的性质5、特征值与特征向量的概念、求法、矩阵的化简要求：理解线性空间、子空间、线性变换、特征值、特征向量的概念，掌握基变换公式，坐标变换公式，正交化方法，特征值和特征向量的求法，矩阵的化简的应用。
（二）λ---矩阵与Jordan标准形a)λ---矩阵的概念，λ---矩阵的标准形b)不变因子与初等因子的概念、求法、性质c)若当标准形理论推导，若当标准形的求法d)Cayley定理、最小多项式的性质及求法要求：理解λ---矩阵、不变因子、初等因子等相关概念，掌握不变因子、初等因子、标准形、Jordan标准形的求法，掌握Cayley定理，最小多项式的应用。
（三）矩阵分析和矩阵函数e)矩阵序列、矩阵函数收敛性f)函数矩阵的极限、连续性、微分与积分g)数量函数关于矩阵的微分及其性质h)向量的范数、范数的等价、按范数的收敛、矩阵的相容范数、算子范数的概念及其性质i)矩阵函数的定义、性质、计算方法要求：理解矩阵序列的极限，矩阵级数的收敛性，函数矩阵的极限，连续性概念，掌握与这些概念相关的命题和定理，会求函数矩阵的微分和积分，会求数量函数关于矩阵的微分，函数向量关于向量的微分，能正确计算矩阵函数（四）矩阵微分方程j)线性常系数齐次微分方程组的定解问题k)线性常系数非齐次微分方程组的定解问题l)n阶常系数微分方程的定解问题m)线性变系数微分方程组的定解问题，转移矩阵的概念、性质、求法。
矩阵论-线性代数引论
无限维空间很多，如
n
K={ ai i | ai Q, n N}, （为圆周率） i0
K为Q上的无限维线性空间.
设V是数域F上得线性空间， x1, , xr V ,若满足
1)x1, , xr线性无关, 2)V中任一x均可由x1, , xr线性表示. 则称x1, , xr为V的一个基底（基）.
二、维数，基底与坐标
设V为F上线性空间,xi V (i 1, , m), x V .若有ci F,
使得
x
=c 1
x1
c 2
x2
c m
xm
,
则称
x为
x1,
, xm的线性
组合,或者说x可由 x1, , xm线性表示.如果存在一组不
m
全为零的数k1, , km ,使得 ki xi ,则称向量组x1, , i 1
m
xm线性相关;否则称线性无关, 即若 ki xi ,则 i 1
k1 km 0.
线性无关组的任一子集是线性无关的，线性相关组的 任一扩展集仍线性相关.
维数：线性空间V中不同线性无关组中向量个数不
一定相同，向量个数最大者叫做V的维数，记为 dimV. 当dim V< ∞, 称 V 为有限维空间，否则为无
下都构成加群.
数域：若一个数集中任意两个数的和， 差，积，商（除数不为0）仍在该数集 中，则称该数集为数域.
如：有理数域，实数域，复数域等
线性空间：设(V, +)是一个加群，F 是一个数域，若 有 F 对 V 的数乘规则，使得 F,u V , 有V中唯
一元与之对应，记为 u ，且此规则满足：
3)存在零元 V 使得 u V , u u; 4)u V , 存在V中唯一负元-u,使得u+(-u)= .
矩阵分析引论(第四版)
作者感谢王进儒教授在审校本书第一版时的热情指导 , 感谢使用本教材的 老师们的批评和鼓励 ,感谢本书的责任编辑在编印本书时的出色工作。
作者 2006 年 5 月 30 日于华工
目录
1 线性空间与线性变换 ……………………………………………………………………… 1 1 .1 线性空间的概念 ……………………………………………………………………… 1 1 .2 基变换与坐标变换 …………………………………………………………………… 4 1 .3 子空间与维数定理 …………………………………………………………………… 5 1 .4 线性空间的同构 ……………………………………………………………………… 9 1 .5 线性变换的概念……………………………………………………………………… 11 1 .6 线性变换的矩阵……………………………………………………………………… 15 1 .7 不变子空间…………………………………………………………………………… 17 习题一 ……………………………………………………………………………………… 18
矩阵论 第一章 线性空间和线性映射
和乘法* 例：数域是一个集合含有加法+和乘法 数域是一个集合含有加法 和乘法
含有元素0，满足对任何元素a，有 a+0=a； 含有元素 ，满足对任何元素 ， ； 含有1，满足对任何元素 ， 含有 ，满足对任何元素a，有 a*1=a； ； 任何元素 a 存在负元素 b，满足 ，满足a+b=0； ； 非零元素a存在逆元素 ，满足a*b=1； 非零元素 存在逆元素b，满足 存在逆元素 ； 对加法和乘法封闭
线性空间的定义（ 线性空间的定义（续）
（5）数1：对α∈V，有： ） ： ∈ ， 1α=α （6）对k,l∈F,α∈V 有： ） ∈ ∈ (kl) α= k (l α) （7）对k,l∈F,α∈V 有： ） ∈ ∈ (k+l) α= k α+l α （8）对k∈F,α, β∈V 有： ） ∈ ∈ k (α+β)= k α+k β 上的线性空间。 称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。 可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。 可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 = 1, y2 = 1, y3 = 1, y4 = 4
设
基变换与坐标变换 旧的） α1 , α 2 , , α n（旧的）与 β1 , β 2 , , β n
∞
[a1, a2 , a3 , ] + [b1, b2 , b3 , ] = [a1 + b1, a2 + b2 , a3 + b3 , ] k[a1, a2 , a3 , ] = [ka1, ka2 , ka3 , ]
上的一个线性空间。 则 R∞ 为实数域 R上的一个线性空间。 上的一个线性空间
矩阵分析引论第(1)章
第一章 线性空间与线性变换
定理 3 设 e1 , e2 , , en是数域 P 上 n 线性空间 V 的一组基， 在这组基下按照式 (3)建立的线性变换同矩阵 的对应 关系，则有： 1）线性变换的乘积对应 于矩阵的乘积； 2）可逆线性变换对应的 矩阵也可逆，且逆变换 对应 于逆矩阵。 定理 4 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间， e1 , e2 , , en 及 e1 , e2 , , en 是 V 的两组基，从前一组基 到后一组基的 过渡矩阵是 C 。又设 T 是 V 的一个线性变换，它在 前后 两组基下的矩阵分别是 A 与 B ，则有 B C 1 AC
第一章
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
线性空间与线性变换
线性空间的概念 基变换与坐标变换 子空间与维数定理 线性空间的同构 线性变换的概念 线性变换的矩阵表示 不变子空间
第一章 线性空间与线性变换
回顾几个预备概念
集合 数集
Q
有理数集
Q
复数集合中的任意非空子集合 P 含有 非零的数，且其中任意两数的和、差、 积、商仍属于该集合 P ，则称数集P 为一个数域。（注意0和1） 实数域 R 复数域 C
运算性质
5 线性变换的概念
第一章 线性空间与线性变换
逆变换
象子空间 秩 维数关系
TS ST I
T V Tv / v V T V 的维数 dim T V dim T 1 V n
核（ke rnel） K v V / Tv
5 线性变换的概念
称为线性变换 T 在基 e1 , e2 en下的矩阵 . 定理 2 数域 P 上 n 维线性空间 V 的所有线性变换构成的 线性空间 L (V )，在取定 V 的一组基之下，它与数 域 P 上 的一切 n n 矩阵所构成的线性空间 P nn是同构的。 推论 dim L(V) dim P nn n 2
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲第一章线性空间和线性映射1.1线性空间；1.2基变换与坐标变换；1.3线性子空间（概念，子空间的交，和，子空间的直和，补子空间）；1.4线性映射（概念，线性映射的矩阵表示）；1.5线性映射的值域，核；1.6线性变换的不变子空间；1.7特征值与特征向量；1.8 矩阵的相似对角形；第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形2.1λ-矩阵及标准形；2.2初等因子与相似条件；2.3矩阵的Jordan标准形；第三章函数逼近与曲线拟合3.1内积空间；3.2函数的最佳平方逼近；3.3正交多项式（用正交函数系作最佳平方逼近）；3.4曲线拟合的最小二乘法；3.5三次样条插值；第四章数值积分4.1数值求积公式的基本概念；4.2牛顿－柯斯特公式；4.3复化求积公式及其收敛性；4.4高斯型求积公式；4.5数值微分；第五章常微分方程的数值方法5.1欧拉方法及其截断误差和阶；5.2龙格－库塔方法；5.3单步法收敛性与稳定性；5.4线性多步法；5.5预测－校正技术和外推技巧；第六章线性代数方程组的解法6.1预备知识（向量与矩阵范数，范数的连续性定理，范数等价性定理范数收敛性，矩阵的算子范数矩阵特征值的上界等）；6.2高斯消去法，高斯主元素消去法；6.3矩阵分解及其在解方程组中的应用；6.4误差分析；6.5线性代数方程组的迭代解法；第七章线性代数方程组的解法7.1二分法；7.2简单迭代法；7.3迭代过程的加速；7.4Newton迭代法；7.5弦截法与抛物线法；第八章矩阵特征值与特征向量计算8.1幂法与反幂法；8.2Jacobi方法；8.3QR方法；。
矩阵论_01线性空间
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（ ），交（ ）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1． 线性空间的定义：设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k ,l,m 等表示。
如果V 满足[如下8条性质，分两类]（I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质（1）结合律 ()()x y z x y z ++=++；（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。
则有()x x +-= o 。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y k x k y +=+；（6）分配律 ()k lx k x l x +=+； （7）结合律 ()()k l x k l x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1]则称V 为数域K 上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
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复数集的一个非空子集，含非零数，对和、差、 积、商(除数不为零)运算封闭.
• 性质：
必包含0与1； 有理数域是最小的数域.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
2、线性空间
定义1-1（线性空间） 设V是一非空集合，P是一数域，若
（1）在V上定义了一个二元运算(称为加法, a与b 的和记为a＋b）, 且 a , b V,有 a b V ;
（2）在P与V的元素之间还定义了一种运算(称为
数乘, k与a的数乘记为ka),
且 a V ,k P, 有 ka V ；
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
（3）加法与数乘满足以下八条规则：
(ⅰ) a b b a； (ⅱ) (a b ) a (b )；
第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
第一节 线性空间的概念
一、线性代数回顾
★ n维向量：有序数组 ★ 线性运算：加法、数乘 ★ 运算律（八条） ★ 向量关系：线性相关、线性无关 ★ 向量空间 ★ 子空间 ★基
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
(ⅲ) a 0 a；
(ⅳ) a (a ) 0；
(ⅴ) 1a a；
(ⅵ) k(la ) (kl)a；
(ⅶ) (k l)a ka la ;(ⅷ) k(a b ) ka kb .
则称集合V为数域P上的线性空间或向量空间.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
又若向量 b k1a1 k2a2 knan , 则b 也称为向量 a1,a2,,an 的线性组合，或称 b 可以由向量 a1,a2,,an 线性表示.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
向量组a1,a2 ,,an(n 2) 线性相关 向量组 a1,a2,,an 中至少有一个向量
矩阵分析引论
Matrix Theory
《矩阵论》是高等院校理、工科研 究生的一门重要基础课程。 有人认为， “ 科学计算，归根结底就是矩阵的计 算 ” 。 因此，对于将来从事科学技术 工作的研究生来说 ，矩阵理论和方法 是必不可少的数学工具。
第一章 线性空间与线性变换
• R3 －最为形象、具体的集合 • 集合的结构属性（彼此相容） 1.集合论：交、并、补运算 2.拓扑结构：度量空间（距离空间） 3.代数结构：向量的加法与数乘 4.欧氏几何学：正交、长度、夹角 5.测度论：点集的长度、面积、体积等
n 称为线性空间V的维数，V称为n 维线性空间.
dimV n,
n为有限数时,称V为有限维线性空间.
则称V为数域P上的线性空ห้องสมุดไป่ตู้（L.S.).
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
① 可以证明： 零向量是唯一的. 01 01 0 0 01 0. 负向量是唯一的.
(a )1 (a )1 0 0 (a )1 (a (a )) (a )1 ((a ) a ) (a )1 (a ) (a (a )1) a 0 a
能由其余向量线性表示.
向量组a1,a2 ,,an 线性无关 向量组 a1,a2,,an 中任一向量都不能
由其余向量线性表示.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
定义1-3：基、维数、有限维线性空间 设V是数域P上的线性空间，若V 中的 n 个向量
a1,a2，,an 满足下述条件： (1) a1,a2，,an 线性无关； (2) V中的任一向量都可由a1,a2，,an 线性表示. 则向量组 a1,a2，,an 称为线性空间V的一个基,
定义1-2：线性相关,线性无关,线性组合,线性表示
设 a1,a2 ,,an是线性空间V(P)的一组向量，
如果存在P中一组不全为0的数 k1, k2 ,, kn，使得
k1a1 k2a2 knan 0 成立，则称向量 a1,a2,,an 线性相关.
若等式 k1a1 k2a2 knan 0 当且仅当
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
② 可以证明：
0a 0, k0 0, (1)a a . ka 0 的充要条件是 k 0 或 a 0.
③ 可以定义元素的减法为
a b a (b ).
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
注：线性空间V(P)
• 一个数域P，其元素称为标量； • 一个集合V，其元素称为向量；
• “加法”运算：运算结果唯一、封闭
且满足：交换律、结合律、
存在零元(称为零向量)、存在负元
• “数乘”运算：运算结果唯一、封闭
且满足：
1a a
k(la ) (kl)a
(k l)a ka la k(a b ) ka kb
三、线性空间举例
例1 V {(x1, x2,, xn ) x1, x2,, xn P}, 记为Pn .
例2 Pmn { A (aij )mn aij P};
例3
P[t ]n
P(t)
P(t)
n1
akt k ,ak
P ;
k0
例4 C[a,b] f ( x) f ( x)是[a,b]上的连续实函数;
k1 k2 kn 0 时才成立，
则称这组向量线性无关.
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
设a1,a2 ,,an 是V(P)中的向量，k1, k2 ,, kn 是P中的数，则 k1a1 k2a2 knan 称为向量a1,a2,,an 的线性组合.
例5 S X Pn X是齐次线性方程组AX 0的解;
例6 R : 全体正实数；数域为R. 定义加法及数乘
运算为: a b ab ; (a , b R ) k a a k . (k R,a R )
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第一章第一二节 线性空间的概念、基变换与坐标变换
四、基、维数