完全平方数
五年级春季第8讲——完全平方数
二、完全平方数的特征
有些题目需要判断一个或几个数是否是平方数，能用的方法有下面 3 个，但一定要记住，尾数和余数特征是多用来判断数不是平方数的，也就 是说满足了这些特征只能说这个数有可能是平方数，不满足就一定不是平 方数；而因数特征才是判断一个数是完全平方数的根本方法！也就是说， 满足因数特征的就一定是平方数，不满足的就一定不是。
3. 范围判断
在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数，这个判断方法需要大家 多背一些平方数。
1
五年级春季知识点总结
吴超超
4. 因数特征——偶指奇约
⑴完全平方数分解质因数：每一个质因数的指数都必须是偶数！ ——判断一个数是完全平方数的根本方法 ⑵完全平方数的因数个数：奇数个。 （反之，其他数的因数一定有偶数个）
三、练习题
【练习 1】 1234567654321 (1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1) 是______的平方．
【练习 2】写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．
【练习 3】从 1 到 100 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少 个？
五年级春季知识点总结
吴超超
第八讲 完全平方数
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约 数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯 赛和小升初试卷中的一个热点。
一、完全平方数的定义
完全平方数：自然数的平方，也简称为平方数。 注意：完全平方数一定是自然数，也一定可以拆分成两个相同自然 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数， 则 a 的最小值是________．
【练习 5】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上 述条件的最小的正整数．
完全平方的12个公式
完全平方的12个公式完全平方是一种数学计算的方法，它可以帮助我们快速解决一些数学问题和计算。
它可以帮助我们快速计算一个数的平方。
完全平方有12种计算公式，它们分别是：1.平方根：平方根是所有完全平方计算的基础，它用来计算一个数的平方根，表达式为：√a = x。
2.除法法则：除法法则是一种简单的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a÷b = x，其中a和b都是完全平方数。
3.乘法法则：乘法法则是一种基本的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
4.加法法则：加法法则是一种有用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b = x，其中a和b都是完全平方数。
5.减法法则：减法法则是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a-b = x，其中a和b都是完全平方数。
6.指数规律：指数规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2 = x，其中a是完全平方数。
7.分数规律：分数规律是一种比较复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a/b = x，其中a和b都是完全平方数。
8.积分规律：积分规律是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
9.多项式规律：多项式规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：ax^2+bx+c=0，其中a,b,c都是完全平方数。
10.四平方和定理：四平方和定理是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b+c+d = x，其中a,b,c,d都是完全平方数。
11.指数公式：指数公式是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2+b^2+c^2 = x，其中a,b,c都是完全平方数。
完全平方数
完全平方数(一)完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9分别平方后，得(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明已知=10k+6，证明k为奇数。
因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
完全平方数
第二十四课完全平方数一个自然数与它本身相乘，乘积叫做完全平方数，或叫做平方数．例如1×1=1，2×2=4，3×3=9，…，那么1、4、9、…就是完全平方数．完全平方数有一些有趣而且重要的性质：（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9．因为任何一个完全平方数的尾数，只能等于02，12，22，32，…，92的尾数，而这些数的尾数只有0，1，4，5，6，9．（2）完全平方数的约数个数是奇数个．因为完全平方数a2，a是自然数，则a=a1×a2×a3×…×ar，a1，a2，a3，…，ar是a的质因数．尾数一定是奇数，所以a2的约数个数是奇数个．（3）一个完全平方数被3除的余数是0或1．因为一个自然数被3除的余数只能是0，1，2这3个数中的一个．如果这个自然数被3除余数是0，那么这个数的完全平方数被3除余数也是0；如果这个自然数被3除余数是1，那么这个数的完全平方数被3除的余数是12，也是1；如果这个自然数被3除余数是2，那么这个数的完全平方数被3除余数是22被3除的余数是1；所以一个完全平方数被3除的余数只能是0或1．（4）偶数的平方数能被4整除，奇数的平方被4或8除的余数是1．因为偶数表示为2n，n是整数．那么偶数的平方为（2n）2=4n2，能被4整除．奇数表示为2n+1，n是整数，那么奇数的平方为（2n+1）2=4n2+4n+1=4（n+1）n+1，所以奇数的平方被4除的余数是1；又因为n+1，n是两个连续整数，必有一个是偶数，所以4（n+1）n能被8整除，也就是4（n+1）n+1被8除的余数是1，故奇数的平方被8除的余数是1．（5）一个完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0． 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，289，324，361，400．完全平方数的末位数如果是0，那么它的末两位数也一定都是0．（6）末位数是5的正整数的平方数的末两位数一定是25．这是因为，末位数是5的正整数都可以写成10a ＋5的形式(其中a 为正整数)，它的平方数是=+2)510(a 2100a .25)1(10025100++=++a a a 其中一个加数是100a(a ＋1)，它的末两位数都是0，另一个加数是25，它们的和的末两位数一定是25．例：判断1369是否为完全平方数，可作如下分析：1369如果是完全平方数，它的算术平方根一定是二位整数．又它的末位数是9，所以它的算术平方根的末位数只可能是3或7．因为160040,9003022==，而900<1369<1600，所以1369的算术平方根只可能是33或37．经计算验证得136937,10893322==．因此，1369是一个完全平方数，它的算术平方根是37．“”例：如果判断1214是否完全平方数，可以仿照前面对1369的分析，得到它的算术平方根只可能是32或38．验算得1214144438,121410243222≠=≠=，因此可以判断出1214不是完全平方数． 例：如果判断237，4323，1348等末位数是3，7，8的数是否完全平方数，则结果是显然的．因为末位是3，7，8的正整数不可能是完全平方数．另外，个位数是0而十位数不是0的数(如38060)一定不是完全平方数．下面举一个可以用完全平方数来解的例子问题 22y x +如果为正整数，则在下面的四组数值中x 和y 只能取( )Ａ．x ＝25530，y ＝29464B ．x ＝37615，y ＝26855C ．x ＝15123，y ＝32477D ．x ＝28326，y ＝28614思路启迪： 把题中所给的四组x 、y 的值分别代入22y x +进行计算，就可以得到正确答案．但这种方法运算量太大．可以用筛选法．对所给四组值分别进行分析、筛选，看哪一组数能使22y x +是完全平方数，哪些组数不能使22y x +是完全平方数．如果能使22y x +是完全平方数的只有一组，显然这一组就是正确答案．规范解法对于A ：x ＝25530，y ＝29464，,y ,x 6022的末位数是的末位数是.22是完全平方数中的一组数有可能使y x A +∴对于Ｂ：x ＝37615，y ＝26855．2222,25,25y x y x +是末两位数是的末两位数是 的末两位数是50,由于末位数是0时，只有末两位都是0时才能为完全平方数，.y ,x :C .y x B 324771512322==+∴对于为完全平方数中的一组数不可能使,.y x ,y ,x 是完全平方数的数不可能而末位数是的末位数是的末位数也是的末位数是88992222+∴.22为完全平方数中的一组数不可能使y x C +∴ 对于D:x ＝28326，y ＝28614．2222,9,6y x y x +∴的末位数也是是末位数是 的末位数是8．而末位数是8的数不可能是完全平方数，.y x D 为完全平方数中的一组数不可能使22+∴根据前面对四组数的分析可知，只有(A)中的一组数有可能使22y x +是完全平方数，其余三组数都没有这个可能．而此题有且只有一个正确答案，所以应选Ａ性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
完全平方数
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为
，则
= 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)2 是8n+1型的数；由k2为奇数或偶数可得(2k)2为8n型或8n+4 型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类： 3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)2=9m2=3k (3m+1)2=9m2+6m+1=3k+1 (3m+2)2=9m2+12m+4=3k+1
[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这 四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与 百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个 矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数， 因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
完全平方数与个位数字问题
完全平方数与个位数字问题摘要：一、完全平方数的定义和性质1.完全平方数的定义2.完全平方数的性质二、个位数字问题1.个位数字的规律2.完全平方数个位数字的特性三、完全平方数与个位数字问题的关联1.完全平方数个位数字的周期性2.个位数字问题与完全平方数的应用正文：一、完全平方数的定义和性质完全平方数是指一个数可以表示为某个整数的平方。
例如，9 是一个完全平方数，因为它可以表示为3 的平方（3^2=9）。
完全平方数具有以下几个性质：1.完全平方数一定是非负数。
2.完全平方数的因数个数是奇数个。
3.两个相邻的完全平方数之间必然存在一个奇数。
二、个位数字问题个位数字问题是指如何预测一个数的个位数字。
在数学中，个位数字遵循一定的规律，例如：1.个位数字是0 的数，其十位数字必须是偶数。
2.个位数字是1、3、5、7、9 的数，其十位数字必须是奇数。
3.个位数字是2、4、6、8 的数，其十位数字必须是偶数。
通过以上规律，我们可以预测一个数的个位数字。
三、完全平方数与个位数字问题的关联1.完全平方数个位数字的周期性我们可以发现，完全平方数的个位数字具有一定的周期性。
例如，1 的平方（1^2=1）个位数字是1，2 的平方（2^2=4）个位数字是4，3 的平方（3^2=9）个位数字是9，4 的平方（4^2=16）个位数字是6，5 的平方（5^2=25）个位数字是5，6 的平方（6^2=36）个位数字是6，以此类推。
我们可以看到，个位数字在1、4、9、6 之间循环。
2.个位数字问题与完全平方数的应用通过完全平方数的个位数字周期性，我们可以利用完全平方数预测一个数的个位数字。
例如，如果我们想知道数字57 的个位数字，我们可以找到最接近57 的完全平方数，即45（5^2=25）和64（4^2=16）。
我们可以看到，57 的个位数字与45 和64 的个位数字相同，都是5。
因此，我们可以预测数字57 的个位数字是5。
综上所述，完全平方数与个位数字问题之间存在密切的关联。
完全平方数及完全平方数式方程式浅析
完全平方数及完全平方数式方程式浅析摘要：本文由一元二次方程式的求根公式将求根公式的判别式，推导出另一个一元二次方程式，将这个方程式，令名为“完全平方数式方程式”关键词：完全平方数，完全平方数式方程式，扩值参数式（一）“完全平方数”及“完全平方数式方程式”概念“完全平方数”概念：在自然数域集合里（Z-整数集合），一个任意自然数设为：m即是：m*m=m²m名为“自乘数”m²的数值，就为“完全平方数”“完全平方数式方程式”概念完全平方数式方程式是由未知数项和常数项，用运算符号链接的数学方程式。
这个方程式运算的终结数值为某个自然数的平方值。
例如本文推导出的数学方程式：g²+2ag-n=k²此式中：g、k为未知数，a、n为已知数，这是本文所要研讨的数学方程式。
（二）：构建完全平方数式方程式：抄录引入：作者发表在数学期刊试题与研究“2020年26期”充分大奇合数因数分解方程式“推介”文中：充分大奇合数是自然正整数，非人为构建的合数，设为m。
是两个奇数p和q的乘积：m=p*q。
可设：m变形【】²+n令：【】=a 得m=a²+n由设定：m=p*q令p>a则p=a+x；q得：m=（a+x）（a-y）·····（1）式化简（1）式，求y的解a²+n=a²+a（x-y）-xy得：xy-a（x-y）-n=0令：x+y g为x-y的差即 g=x-y代入：（y+g）y-a（y+g-y）-n=0得：y²+gy-ag-n=0用求根公式： -g±Y = 2在此式中：a与x、y互为奇偶数X与y同为奇偶数则x±y均为偶数，x-y=g为偶数可将此时中的分母约去y=-g±化简得：y=-g± ····（2）式从（2）式中得知，要使y 有正整数解 数式的数值必须是完全平方数令：g²+2ag -n=k²这就是推导出的“完全平方数式方程式” ：如何求解“完全平方数式方程式”构建“初始完全平方数式方程式”在g²+2ag -n=k²式中，k²是完全平方数，他的特征是 k²被16整除的小於16的余数是：0、1、4、9.以16为同余式的模mod16构成同余式方程： g²+2ag -n≡k²（mod16） g 除以16，有1≤g 。
4.完全平方数
第四节完全平方数当自然数N 恰好是另一自然数M 的平方时，我们称自然数N 为完全平方数。
完全平方数有下面重要性质：（1）平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9。
（2）在完全平方数的质因数分解中，每个质因数的幂指数都是偶数。
（3）完全平方数的末位数字是奇数时，起十位数字必为偶数；末位数字为偶数时，起十位数字有奇数，有偶数；当末位数字为6时，它的十位数字必为奇数。
证：设n 是奇数的平方，即2a n =，a 总可以表示为r q a +=10，其中=r 1，3，5，7，9。
∴222220100)10(r qr q r q a n ++=+==∵2r 只可能是1，9，25，49，81。
而)210(102010022qr q qr q +=+但∵2222)210(1020100r qr q r qr q ++=++的十位数字为qr q 2102+的个位数字（偶数）与2r 的十位数字（显然是0，2，4，8中的一个）之和，因此也为偶数，即完全平方数的末位数字是奇数时，起十位数字必为偶数。
类似地，可证另两个结论。
换句话说，如果一个整数的个位与十位数字都是奇数那么这个整数不是完全平方数，如果一个整数的末位数字为6而十位数字为偶数，那么这个整数不是完全平方数。
下面来看一些与完全平方数有关的问题。
例1、一个自然数减去55后是一个完全平方数，这个自然数加上34，仍是一个完全平方数，试求这个自然数。
解：设这个自然数为x ，则⎩⎨⎧=+=-)2(34)1(5522n x m x （n m ,都是自然数，显然n m <） ②－①得：89))((=+-m n m n③ ∵89是质数，∴⎩⎨⎧=+=-891m n m n ，解得⎩⎨⎧==4445m n ，∴19913422=-=n x 。
例2、用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？试说明原因。
分析：设用300个2和若干个0组成的整数为，其位数至少是301位。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数？相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441……例1.从1~10中最多可以选出个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数.[答疑编号0518320101]【答案】6【解答】选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。
如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，1），（5，4），（2），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。
所求的最大值是6。
完全平方数质因数分解的特征：将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。
推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。
例2.从1到2012的所有自然数中，有个数乘以72后是完全平方数.1[答疑编号0518320102]【答案】31【解答】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为，所以从1到2012中，符合要求的数有31个.例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有个约数.[答疑编号0518320103]【答案】9【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有3×2＝6个约数，故A＝2.所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9.涉及到完全平方的公式：例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为.[答疑编号0518320104]【答案】156【解答】设加上100后为，加上168后为，那么，2即.因为b＋a和b－a的奇偶性相同，所以只可能是，解得.因此原正整数是.例5.一个正整数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个“智慧数”，那么在1~2012中，有多少个“智慧数”？[答疑编号0518320105]【答案】1509【解答】设这个正整数是n,。
完全平方数
的每一项都
=36 ×(
=(6 ×
)2+12 ×
+1)2
+1
即
为完全平方数。
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完 全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和 为600 3︱600 ∴3︱A 此数有3的因子，故9︱A。但9不能整除600， ∴矛盾。 故不可能有完全平方数。
[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这 四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与 百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个 矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。 解：设矩形的边长为x,y，则四位数 N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y) ∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。 又 ,得x+y=11。 ∴ 而 ∴9x+1是一个完全平方数，而
完全平方数
(一)完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平 方，那么我们就称这个数为完全平方数， 也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169, 196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的 个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位 数字为偶数。
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若 则
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例题2 证明10不是一个完全平方数。
解析：
法一： 3x3 < 10 < 4x4
连续写出完全平 方数，10在两个 相邻的完全平方 数之间，故10不 是完全平方数
法二： 若完全
平方数的末位 是0，则倒数 第二位也是0
法三： 10有4个约
数，约数个数为 偶数个。故不是 完全平方数。
——小学五年级
完全平方数的定义 1 完全平方数的性质 2
例题分析 3 习题巩固 4
完全平方数的定义 1 完全平方数的性质 2
例题分析 3 习题巩固 4
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，那么我们 就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
0x0=0 1x1=1 2x2=4 3x3=9 4 x 4 = 16 5 x 5 = 25 ……
15=225 、25=625 、35=1225 、65=4225 、75=5625 、85=7225 、95=9025 通过平方差,用整十来计算是最简单的, 相对理想的,就要熟悉 1 到 30 的平方数,这样就可以把所有两位数的平方都轻松算出来
29 = (29 - 1)(29 + 1) + 1 = 28 X 30 + 1 = 4 X 7 X 30 + 1 = 840 + 1 = 841
13 = 169 = 160 + 9 = 16 X 10 + 3 = (13 + 3)(13 - ??? 99 = 9801 = 9800 + 1 = 98 X 100 + 1 = (99 - ??????ㄠ 55 = 3025 = 3000 + 25 = 50 X 60 + 5 = (55 - ??‵???? 45 = 2025 = 2000 + 25 = 40 X 50 + 5 = (45 - ??‵???? …… 怎么样?个位是 5的两位数,平方数不用计算了吧
那么，0、1、4、9、16、25就叫做 完全平方数
常见的完全平方数：
0到20的平方： 0 ，1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,36 ,49 ,81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256 , 289 , 324 , 400
完全平方数的定义 1 完全平方数的性质 2
性质4.有关因数的性质 1）完全平方数分解质因数，质因数的偶数均为偶数 2）完全平方数的因数个数为奇数个 3）质数的平方必有3个因数
性质5.完全平方数的余数性质 除以3,4,5,8,16的余数只能是不大于除数的完全平方数 1）除以3余0或余1 2）除以4余0或余1 3）除以5余0或1或4 4）除以8余0或1或4 5）除以16余0或1或4或9
(a + b) 或 (a - b) 都可以得到整十、整百,乘起来算得轻松, 平方差的结果算出来之后,可就别忘了把 b 加回去啊. 9 = 81 = 80 + 1 = 8 X 10 + 1 = (9 - ???ㄠ??就 8 = 64 = 60 + 4 = 6 X 10 + 2 = (8 - ???㈠??尲 7 = 49 = 40 + 9 = 4 X 10 + 3 = (7 - ??????尳 11 = 121 = 120 + 1 = 12 X 10 + 1 = (11 + 1)(11 - ??ㄠ 12 = 144 = 140 + 4 = 14 X 10 + 2 = (12 + 2)(12 - ??㈠
29 = (29 - 21)(29 + 21) + 21 = 8 X 50 + 441 = 400 + 441 = 841 平方差分解因式,除了变成整十相乘,还可变成 50,就相当于变成100
例题3
用300个2和若干个0组成的整数有没有 可能是完全平方数？
解析： 设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和
为600 3?600 ∴3?A
此数有3的因子，故9?A。但9?600，∴矛盾。故不 可能有完全平方数。
例题4
求满足下列条件的所有自然数： (1)它是四位数。 (2)被22除余数为5。 (3)它是完全平方数。
完全平方数的定义 1 完全平方数的性质 2
例题分析 3 习题巩固 4
1．n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个 完全平方数之和．
2. 一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加 上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
3．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则 称这个正整数为 智慧数 ，比如16=52﹣32，16就是一 个 智慧数 ．在正整数中从1开始数起，试问第1998个 智慧数 是哪个数？并请你说明理由．
例题5
试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它 的前两位数字相同，后两位数字也相同
解析： 设此数为aabb，则：aabb=a0b*11 此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11?a +
b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组 可能。
直接验算，可知此数为7744=88。
完全平方数的定义 1 完全平方数的性质 2
例题分析 3 习题巩固 4
例题1
11122225、 11111111、 33333334、 1122269中有哪些是完全平方数？
解析： 11111111除以4余3， 33333334除以4余2， 1122269除以3余2 11122225除以3余1 因此，以上只有11122225是完全平方数。
解析： 设22n+5=N^2，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
N^2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2n-1) 11?N - 4或11?N + 4 N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,......) 经试数可知，此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
例题分析 3 习题巩固 4
完全平方数有一些有趣而且重要的性质：
性质1. 完全平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9
n平方的Байду номын сангаас数 0
N的尾数
0
1
4
1或9 2或8
5（十位 必为2）
5
6 4或6
9 3或7
性质2.两个相邻整数平方之间不能再有平方数。 （可证明一个数不是完全平方数）
性质3. 完全平方末尾若有0，则0的个数必为偶数。 （若不满足，则不是完全平方数）