行列式计算方法归纳总结
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A •=0， nn nn nnnn nn B A B C A •=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa a a n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9； 当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n a a a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
（完整版）行列式的计算方法总结
（完整版）行列式的计算方法总结行列式的计算方法总结:1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式:B A BC A BC A ==0021,B A BA D DB Amn )1(0021-==,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: nn abab ab b a b abaD 22ONNO=,利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式ab ba 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-=n n n n n n n D b a D ab b a D ,此为递推公式,应用可得n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=--Λ.3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.例:nn n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ0000001133112211321321321321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100101010011)(3332221111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-------?-=∏=nn n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1001000010)(33322221111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn n ni ii i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-?-=∑∏== --------(将第n ,,3,2Λ列加到第一列)其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.n x a a a a a x a a a a a x a a a aa x a ++++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ321,nn nn a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ321321321321. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).例子:nn n n nnn n nn n n nn b a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++++-++++-++++----=++++++++++++10101010000011112122212212111121212221212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ∑∑∑∑∑∑======+--+=---+--+=------=ni in i i i ni in ni in i i i ni in n b b a na b b b b b a na a a ab b b 111211112121111010*******1111111010100111011101ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ∑∑∑∑∑∑∑=≠======-+++=-++=n j n ji i j i j ni i ni i ni i i ni i ni i a a b b a b a n b a 1111111)(1)1)(1(.例子:nnx a aaaa x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a aaaa x a a a a a x a aa a a x a ++++=++++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ00001321321).1(00000000000010100010001000111213211321∑∑==+=+=----=ni in nni inx a x x x x x x x a a a a x a x x x x a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ6. 利用范德蒙德行列式.计算行列式: n nn n nn n n n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ321223222122322213211111----=解: 令: nn nn nn n n n n n n n n n n n y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ211112112222212222212111111--------=,这是一个1+n 级范德蒙德行列式. 一方面,由范德蒙德行列式得)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---?-=∏≤<≤Λ.可看做是关于y 的一个n 次多项式.另一方面,将1D 按最后一列展开,可得一个关于y 的多项式01111p y p y p y p D n n n n ++++=--Λ,其中1-n y 的系数1-n p 与所求行列式D 的关系为1--=n p D .由)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---?-=∏≤<≤Λ来计算1-n y的系数1-n p 得:∑∏=≤<≤-?--=ni i ni j j in x x xp 111)(,故有∑∏=≤<≤-?-=-=ni i ni j j in x x xp D 111)(其它的例子:=+-+++-++-++------nn n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nb b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 1 11121211111212222222122111121211111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ ……每一行提公因子n i a ,n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a ba b a a a )()()()(1)()()()(1)()()()(1111112111122122222221111121111121++-++++++--+=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ).(1121∏≤<≤+-=n i j j j ii nn n n a b a b a a a Λ7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)证明当βα≠时,,10000001000100011βαβαβααββαβααββααββα--=+++++=++n n n D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ证明时,将n D 按第一行(或第一列)展开得21)(---+=n n n D D D αββα,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式.例子: 计算行列式,100000010001000βααββαβααββααββα+++++=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn D解: 按第一行展开得: 21)(---+=n n n D D D αββα,将此式化为:(1) )(211----=-n n n n D D D D αβα或 (2) )(211----=-n n n nD D D D βαβ 利用递推公式(1)得:n n n n n n n n D D D D D D D D βαβαβαβα=-==-=-=-------)()()(122322211Λ,即n n n D D βα+=-1. (3)利用递推公式(2)得:n n n n n n n n D D D D D D D D αβαβαβαβ=-==-=-=-------)()()(122322211Λ,即n n n D D αβ+=-1. (4)由(3)(4) 解得: ,,)1(,11??=+≠--=++βααβαβαβαn n n n n D其它的例子nn acb a ac b a c b a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ000000000000=,按第一行展开可得21---=n n n bcD aD D ,此时令,,bc a ==+αββα则21)(---+=n n n D D D αββα,变形为211)(----=-n n n n D D D D αβα,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里,,bc a ==+αββα即βα,是方程02 =+-bc ax x 的两个根.9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.例子:accccb ac c c b b a c c b b b a c b b b b c a c accccb ac c c b b a c cb b b a cb b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-+==210000V V acccb ac c b b a c b b b a b b b b c a accccb ac c c b b a c c b b b a c b b b b c +=-+=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ1V : 除第一行外,其余各行加上第一行的1-倍,所得行列式按第一列展开,2V 按第一列展开.11)(0000000--=----------=n b a c ba b c b c bc ba b c b c b b b a b c ba b b b b c V ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ12)(--=n D c a V , 故11)()(---+-=n n n D c a b a c D ,由c b ,的对称性质,亦可得11)()(---+-=n n n D b a c a b D ,这两个式子中削去1-n D ,可得结论,bc c a b b a c D nn n ----=)()(.注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法. (2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,。
行列式计算总结
1 0 0 x
1 1 0 x 0 x 0 0
x 0 0 0
x4
线性代数
第一章§1.5
3
利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例6
计算
1
1
1
2 n 2 2 2 3 32 3n . Dn
2 3 1 4
5 2 2
0 4 5
1 2 0 1 0 0 7 6
5 2 17 3
0 1 4 5
2 3 1
8 1
1 2 0 1 0 0
线性代数
5 2
0
1 2
5
0
0 0
1 1 0 1 2 0 0 3 3 3 3 0 0 0 10 9 1
30
线性代数
第一章§1.5
练习
计算 D
1 a 1 0 0
a 1 a 1 0
0 a 1 a 1
0 0 a 1 a
0 0 0 a (98数四)
线性代数
0 0 0 1 1 a 解 : 注意到第一行只有两个非0元素, 故对第一行(列)展开, 得 1 a 0 0 0 1 a a 0 D5 (1 a ) D4 a (1 a ) D4 aD3 0 1 1 a a 0 0 1 1 a (1 a )[(1 a ) D3 aD2 ] aD3 [(1 a ) 2 a ]D3 a (1 a ) D2 (1 a a 2 )[(1 a ) D2 a (1 a )] a (1 a ) D2 (1 a a 2 )(1 a 3 )
行列式计算方法归纳总结
2.行列式的计算方法2.1 定义法在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念.(1) ｎ级排列:由1,2.3…ｎ组成的一个有序数组称为一个ｎ级排列.(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数. (3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后,来引入行列式的定义:定义:n 阶行列式aaaaa a a a a a a a a a a a nnn n n nn n321333323122322211131211 <I>等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积.ja j a j a j a nn332211的代数和,这里jj j j n,,,,321为1,2,3,……,n 的一个排列,每一项<Ⅱ>都按下列规则带有符号,当jj j j n,,,321是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当jj j j n,,,,321是奇排列时,<Ⅱ> 带有负号.例2.1证明1112131415212223242531324142515200000000a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212n j j nj a a a则12512125()12(1)n j j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑. （3）其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列. 故D =0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2.2递推法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用。
行列式的计算技巧与方法总结讲解
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。
线性代数行列式计算方法总结
a =2
a2
总结：当行列式元素排列很有规律且维数与n有关是可以考虑递推法
例7 求下列行列式的值 分块三角形法
1 3 3 5
2 0 0 4 0 0
0 0 5
D= 1 2 2 1
4 1 0 2 6 8 4 14
2 4 6
所以，原行列式可化
1 2 1 5 1 2 D 1 ，D2 1 0 5 C 3 解：不妨令 3 4 8 4 14 5
用加边法即构造n1阶行列式使其按第一列行展开后等于原行列式行列式展开定理定义25在n阶行列式中划掉元素所在的第列剩下的元素按原来的相对位置排列形成的n1阶行列式称为元素的余子式记作为元素的代数余子定理24设n阶矩阵a则a的行列式等于它的任一行列的个元素与其代数余子式的乘积之和即11122122ijijnjnj计算n阶行列式解
b1 a1 0 0
b2 0 a2 0
பைடு நூலகம்
bn 0 0 an
上三角行列式
a1a2 =
an (a0
bi ci ) i 1 ai
x 例3 计算n阶行列式 a a
a x a
a a x
加法
解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第 一行，提出公因子，再化为上三角行列式。
x a a
8 1 1 1 2 3 r3 r4 0 3 5 0 5 3
1 0 8 0 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 =16 2 2 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 1 2 3 0 r4 5r3 16 1 1 0 5 3 0
8 1 0 0
1 1 2 3 =128 1 1 0 8
a x a
a r 1 ri a x
行列式的计算技巧窍门情况总结
行列式的计算技巧窍门情况总结行列式是线性代数中重要的概念之一，它在解决线性方程组、矩阵的逆等问题中起着关键作用。
本文将总结行列式的计算技巧和窍门，帮助读者更好地掌握行列式的计算方法。
1.定义行列式是一个方阵所对应的一个标量值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，A，或者D(A)。
对于2阶和3阶方阵，行列式的计算较为简单，可以直接应用定义进行计算。
例如对于2阶方阵A：abcd对于3阶方阵A：abcdefghidet(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。
2.初等变换法初等变换法是一种常用的计算行列式的方法。
初等变换指的是对行列式的行（或列）进行以下操作：①互换两行（列）；②其中一行（列）与其它行（列）相加（或相减，可取加减系数为1和-1）；③其中一行（列）乘以一个非零常数。
这些操作不改变行列式的值。
通过使用初等变换，可以将行列式转化为更简单的形式，从而更容易计算。
例如，在计算3阶行列式时，我们可以使用初等变换将行列式化为上三角形式，这样计算起来会更加简便。
3.拆分法则行列式有一个重要的性质，即它是线性的。
也就是说，如果将一个方阵的其中一行（列）按一定的方式进行拆分并相加（或相减），则行列式的值不变。
这个性质对于简化行列式的计算非常有帮助。
例如，在计算3阶行列式时，可以选择将第一列按照一定方式进行拆分，然后相加或相减。
这样可以将行列式化简为两个2阶行列式的形式，从而更容易计算。
4.分块矩阵法对于大规模的方阵，计算行列式将变得较为复杂。
分块矩阵法是一种较为高效的计算行列式的方法。
分块矩阵法的基本思想是将一个大的方阵分割为若干个小的方阵，并利用分块矩阵的性质进行计算。
这样可以将复杂的计算问题化简为对小方阵的计算问题，从而降低了计算的难度和复杂度。
5.逆序数法逆序数法是一种计算行列式的方法，它利用了逆序数和奇偶性的关系。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。
计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。
1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。
对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。
（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。
A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。
2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。
（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。
A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。
3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。
对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。
如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。
具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。
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数学与统计学学院中期报告学院:专业:年级:题目:学生姓名: 学号:指导教师姓名职称:年月日目录1 引言 (1)2行列式性质 (2)3行列式计算方法 (6)3.1定义法 (6)3.2递推法 (9)3.3化三角法 (9)3.4拆元法 (11)3 .4加边法 (12)3.6数学归结法 (13)3.7降价法 (15)3.8利用普拉斯定理 (16)3.9利用范德蒙行列式参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。
8行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。
关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式The concept and application of determinant Summary:This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。
十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。
1 行列式的性质1.1 性质1 把行列式各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。
即：aaaa a a a a a nn n n nn 212222111211=aaaa a a a a a nnn n n n 2122212121111其实，元素aij在1的右端位于第j 行第i 列，即此时i 是列指标，j 为行指标。
在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。
1.2 性质2 如果行列式中一行为零，那么行列式为零。
因为aaaka ka ka aaannn n ini i n212111211=Aka Aka A ka inini i i i 2211Aa Aa A a inini i i i k2211=aaaa a a aa annn n ini i nk212111211即当k =0时，就有行列式为零。
1.3 性质 3 如果行列式的某一行或一列的元都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行或列而其余行或列不变的两个行列式的和。
aaac b c b c b aaannn n nnn21221111211=Ac Ac A c Ab A b A b Ac b A c b Ac b inni i inni i innni i 22112211222111=aaab b b aaann n n nn112111211aaac c c aaannn n nn2121112111.4 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。
证明：设行列式aaaa a a a a a aa annn n knk k ini i n21212111211=a a a a njkjijj j j j j j j nkinnk i 111112中第i 行与第k 行相同，即.,,2,1,n j aakjij为了证明2为零，只须证明2的右端所出现的项全能两两相消就行了。
事实上，与项a a a a njkjijjj j j j nkink i 1111同时出现的还有a a a a njkj ijjj j j j niknk i 1111。
比较这两项，由3有a a a a kjijkj ij kkii,也就是说，这两项有相同的数值。
但是排列jjjjnki1与jjjjnik1相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反。
易知，全部n 级排列可以按上述形式两两配对。
因之，在2的右端，对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现，从而行列式为零。
1.5 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
证明02121211121121212111211aaaa a a a a aaa a aaaka ka ka aaaaa annn n ini i ini i nnn n n ini i in i i nk.这里第一步根据性质2，第二步根据性质 4.1.6 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
设aaaa a a ca a ca aca a aaann n n knk k knink i k i n2121221111211=a aaa a a a a a aa annn n knk k ini i n21212111211+aaaa a a a a a aa aaaaa a a ca ca ca aaannn n knk k ini i nnn n n kn k k knk k n2121211121121212111211这里，第一步根据性质3，第二步根据性质5.根据性质6即得1.7 性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。
证明a aaa a a aaaaa a aaaaaaa a a a a a aa annn n knk k knink i k i nnn n n knk k ini i n212122111121121212111211=aaaa a a aaaa a aaaaaaa a aa aa a aaannn n ini i knk k nnn n n ini i knink i k i n212121112112121221111211=aaaa a a aaaa a annn n ini i knk k n21212111211这里，第一步是把第k 行加到第i 行，第二步是把第i 行的1倍加到第k 行，第三步是把第k行加到第i 行，最后再把第k 行的公因子1提出。
2.行列式的计算方法2.1 定义法在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念.(1) ｎ级排列:由1,2.3,ｎ组成的一个有序数组称为一个ｎ级排列.(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后,来引入行列式的定义:定义:n 阶行列式aaaaa a a a a a a a a a a a nnn n n nn n 321333323122322211131211 <I>等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积.ja ja j a j a nn332211的代数和,这里jjj j n,,,,321为1,2,3,,,,n 的一个排列,每一项<Ⅱ＞都按下列规则带有符号,当jjj j n,,,321是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当jjj j n,,,,321是奇排列时,<Ⅱ> 带有负号.例2.1证明1112131415212223242531324142515200000000a a a a a a a a a a Da a a a a a .分析观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212nj jnja a a 则12512125()12(1)n j j j nj j nj j j j D a a a .（3）其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故D =0.注意此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2.2递推法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用。
适用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一行（列）展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值。
运用递推法求解行列式，一般会用到两个公式。
ⅰ若D D n np 1时，则Dp Dn n11ⅱ若DA DA Dn n n2211时，则tA tA Dn n n122111（其中A 1，A 2为待定系数）ⅰ的计算过程显然易见，而ⅱ中却出现了两个未知数，t 1,t 2,这两个未知数可以通过0212AA x x 的两根来确定。
例2.2求行列式的值：（4）的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。
又右下角的（n）表示行列式为n 阶。
解把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。
把（4）的行列式按第一列展开，有两项，一项是另一项是上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n– 2 阶行列式，这个n– 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系：（5）移项，提取公因子β：类似地：（递推计算）直接计算若；否则，除以后移项：再一次用递推计算：∴，当β≠α（6）当β= α，从从而。
由（6）式，若。
∴注递推式（5）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.注1 仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式（6）和三对角线型行列式（7）有相同的递推关系式（8）（9）注意两个序列和的起始值相同，递推关系式（8）和（9）的构造也相同，故必有由（7）式，的每一行都能提出一个因子a，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。