数学分析：第22章曲面积分与曲线积分习题课

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数分第22章曲面积分练习题

第二十二章曲面积分一、单选题1．设21,S S 分别为球面2222a z y x =++的上半部分和下半部分，指向外侧，0,:2222==++z a z y x L ，取逆时针方向为正方向，若⎰⎰⎰⎰++=++=1222222221,S S dxdy z dzdx y dydz x I dxdy z dzdx y dydz x I ，则（ D ）A 、21I I =B 、21I I <C 、21I I >D 、21I I -= 2．下列等式中成立的是（ B ）A 、⎰⎰⎰≤++=++2222522234)(R z y x R dxdydz z y x π B 、⎰⎰=++=++42224)(Rz y x R dS z y x πC 、⎰⎰≤+=+222422)(R y x R dxdy y x π D 、dxdy y x R zdxdy R z y x R y x ⎰⎰⎰⎰=++≤+--=22222222223．用第二型曲面积分表示由封闭曲面S 所包围的立体积公式 ①⎰⎰=sxdydz V ②⎰⎰=sydzdx V ③⎰⎰=szdxdy V ④⎰⎰+=szdxdy xdydz V 21其中正确的是（ D ）A 、①B 、①②C 、①②③D 、①②③④4．设S 是球面2222R z y x =++，则曲面积分()d S z y x S⎰⎰++222=（）A. 4R πB.42R πC. 44R πD. 46R π5．设S 为a z y x =++在第一卦限的部分并取左侧，则=⎰⎰Sdydz （）A. 2a -B. 2aC. 221a D. 221a -6.由光滑闭曲面S 围成的空间区域的体积是 ( ) (A) ⎰⎰++Szdzdx ydydz xdxdy ; (B)⎰⎰++Szdzdx ydydz xdxdy 31; (C) ⎰⎰-+Szdxdy ydzdx xdydz ; (D)⎰⎰-+Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、填空题1．某流体以流速)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P V =在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量为E =⎰⎰++sRdxdy Qdzdx pdydz2．设S 为柱面222x y R +=被平面0,z z H ==所截的部分，则⎰⎰+syx ds22= R H π2 三计算题1．用两种方法计算⎰⎰sxdzdy ，S 为球面0,01222≥≥=++z y z y x 在的部分，取球面外侧[答案]解一，化为重积分的方法{}{}dydzz y dydz z y dydz z y xdzdy z y z y D z y z y x S z y z y D z y z y x S xdydzxdydz xdzdy DDSDs s s⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=------=≤+≤=∈---=≤+≤=∈--=+=2222222222222221121110),(),(,1:10),(),(,1:1261)1(31211)10,20(,sin ,cos 23221222ππθπθθθπ=--⋅=-=--≤≤≤≤==⎰⎰⎰⎰r drr r d dydz z y r r z r y D令⎰⎰=∴sxdydz 3π解二，利用高斯公式算添加坐标面上两个半圆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∴=⋅===≥=+≥=+=++sS VS sS VS xdydz dxdydz xdydz xdydz y y x S z z x S dxdydzxdydz xdydz xdydz 3334410,00,1:0,1:1212222221πππ2．计算()()⎰⎰-+-Sxdydz z y dxdy y x 其中S 为柱面122=+y x 及平面0=z 和3=z 所围成的空间闭区域V 的整个边界曲面的外侧.解 ()x z y P -=，0=Q ，y x R -=，z y x P -=∂∂，0=∂∂y Q 0=∂∂zR 由Gauss 公式()()⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x =()⎰⎰⎰Ω-dV z y()=-=⎰⎰⎰Ωdz d d z θρρθρsin ()⎰⎰⎰-πθρρρθ201030sin dz z d d π29-= 3.计算333Sx dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，S 为球面2222x y z a ++=的外侧.解 33222222222()()SS S x dydz a y z dydz a y z =------⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前3322222252242()2()5yzaS dydz a y z dydz d a r rdr a ππθ=--=-=⎰⎰⎰⎰ 同理 332225242()5SS S Szxy dzdx a y z dxdz a π=+=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰左右则原式=55412355a a ππ⋅= 另解 (2)原式=2223()Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰5420512sin 3a dr r d d aπϕϕθππ==⎰⎰⎰4.222,Sx dydz y dxdz z dxdy S ++⎰⎰：立方体0,,x y z a ≤≤的外表面；解 (1)原式=(222)Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰402()3a a adx dy x y z dz a =++=⎰⎰⎰5.计算()⎰⎰--+SdS x x z xy 222， S 是平面622=++z y x 在第一卦限中的部分.解: S 在xOy 面上的投影为D {}x y x y x -≤≤≤≤=30,30),(，由622=++z y x 得y x z 226--=,所以2-=x z ,2-=y z （2分）因此()⎰⎰--+SdS x x z xy 222()⎰⎰---+=Dd x y x xy σ2223623()⎰⎰--+--=30302222363xdy y xy xx dx （4分）()()()()dx x x x x x x ]333236[323022---+---=⎰ ()dx x x ⎰+-=303231093427-=（6分） 6.计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++S dS y z x 342， S 是平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分.解: S 在xOy 面上的投影为D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=2330,20),(x y x y x ，（2分）由1432=++z y x 得3424y x z --=,所以2-=x z ,34-=y z 因此⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++S dS y z x 342⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=D d y y x x σ3434242361（4分） 61436143614202330===⎰⎰⎰⎰-x Ddy dx d σ（6分）7. 计算第一型曲面积分ds y x S)(22+⎰⎰，其中S 是锥面22y x z +=与平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解：设1S ：22y x z +=，2S ：1=z1S 和2S 在xy 平面上的区域均为{}1:),(22≤+=y x y x Dds y x S)(22+⎰⎰ ++=⎰⎰ds y x S )(221ds y x S )(222+⎰⎰ dxdy y x dxdy y x y y x x y x DD )(1)(2222222222+++++++=⎰⎰⎰⎰2)12()12()()12(2010322+=+=++=⎰⎰⎰⎰πθπd dr r dxdyy x D8．⎰⎰+Sds y x )(22 其中S 为立体h z y x ≤≤+22的边界曲面。

高等数学曲线积分与曲面积分习题课非常有用

+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
)dv
=
∫∫ Σ
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
∫∫
Σ
∂R ( ∂y
−
∂Q )dydz
∂z
+
∂P (
∂z
−
∂R )dzdx
∂x
+
∂Q (
∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
斯托克斯公式
高等数学十
Green公式,Guass公式,Stokes公式之1144//228★8
f2 x
+
f
2 y
)dσ
D
∫+ f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
高等数学十
2222//228★8
2
2
例 3 求柱面 x 3 + y 3 = 1在球面 x2 + y2 + z2 = 1内
的侧面积.
解由对称性
∫ S = 8 zds L ∫= 1 − x2 − y2ds L
Q
2
L: x3 +
2
y3
系Σ
Σ
计
∫∫ f (x, y,z)ds
Σ
∫∫R(x, y,z)dxdy
Σ
= ∫∫ f[x, y,z(x, y)] 1+ zx2 + z2ydxdy = ±∫∫R[x, y,z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
算一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-曲面积分(圣才出品)

的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分（2）由对称性知只需计算其中之一即可。由于
因此原积分＝3 × 8＝24。（3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
面所围的立方体表面并取外侧为正向；其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向；其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分组成，其中面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积，而
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为

第二十二章曲面积分习题解答)

第二十二章曲面积分§1 第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲面积分:(1)()⎰⎰++SdS z y x ,其中S 是上半球面0,2222≥=++z a z y x;解由对称性得0==⎰⎰⎰⎰SSydSxdS ,只要计算⎰⎰SzdS 即可.因为222222222,,yx a y z yx a x z y x a z y x ---=---=--=,所以3222222a dxdy azdS dxdy y x a adS a y x Sπ==⇒--=⎰⎰⎰⎰≤+, 则()3a dS z y x Sπ=++⎰⎰. (2)()⎰⎰+SdS y x22,其中S 为立体122≤≤+z y x ;的边界曲面;解因为曲面S 是由1,1:,:222221≤+=+=y x z S y x z S 组成,它们在xOy 平面上的投影区域是122≤+y x .故()()()()()()122220132010312222222222222221+=+=+++=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+πθθππdr r d dr r d dxdy y xdxdy y xdSy x dS y x dS y xy x zy x S S S(3)⎰⎰+S y x dS 22,其中S 是柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分; 解R HRH R dS R y x dS SSππ22112222===+⎰⎰⎰⎰.(4)⎰⎰SxyzdS ,其中S 是平面1=++z y x 在第一卦限中的部分.解()()1203163111031010=-=+--=⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dy y y x y xdx dS xyz xS. 2. 求均匀曲面0,0,0,2222≥≥≥=++z y x a z y x 的重心. 解设重心坐标为()z y x ,,,由对称性得:z y x ==,SzdSdSzdS z SSS⎰⎰⎰⎰⎰⎰==,其中221a S π=.而dxdy yx a a z z dS y x 222221--=++=.则341a adxdy zdS DS π==⎰⎰⎰⎰(D 为S 在xOy 平面上的投影),2a z =.因而重心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2a a a . 3. 求密度为ρ的均匀球面0,2222≥=++z a z y x 对于z 轴的转动惯量.解()()420223222222222223412222222222a dr r a r d a dxdy yx a y x adxdyz z y xadS y xJ aa y x ay x y x az y x z πρθρρρρπ=-=--+=+++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+=++4. 计算⎰⎰SdS z 2,其中S 为圆锥表面的一部分: ⎩⎨⎧≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===,20,0:.cos ,sin sin ,sin cos :πϕθθϕθϕa r D r z r y r x S这里θ为常数⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ. 解这里S 的参量方程以ϕ,r 为参量.因为.sin sin cos sin sin ,0sin cos sin sin cos sin ,1cos sin sin sin cos 222222222222222222222θθϕθϕθϕϕθϕϕθθϕθϕϕϕϕϕϕϕr r r z y x G r r z z y y x x F z y x E r r r r r r =+=++==+-=++==++=++=所以,根据公式(1.2)得θθπθθϕϕθπ24022202222cos sin 21sin cos cos a dr r r d drd F EG r dS z aSS =⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰. §2 第二型曲面积分1. 计算下列第二型曲面积分:(1)()()⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx xdydz z x y 22,其中S 为由,0===z y x z y x ===a 六个平面所围成的立方体表面并取外侧为正向;解 ()()2224020220000a dy y a dy y a y a yzdz dy dz z a y dy dydz z x y a aaaaaS=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 002022=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰a aa aSdx x dz dx x dz dzdx x;()()240222a dy y dx dy ax y dx dxdy xz yaaa aS=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所以 ()()422a dxdy xz y dzdx x dydz z x y S=+++-⎰⎰. (2)()()()⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x ,其中S 是以原点为中心,边长为2的立方体表面并取外侧为正向;解由被积表达式的结构和积分曲面的对称性知,z y x ,,两两对称.由对称性知,只需计算其中之一即可.又()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰----=+--+=+11111111811dz y dy dz y dy dydz y x S,故()()()2483=⨯=+++++⎰⎰Sdxdy x z dzdx z y dydz y x .(3)⎰⎰++Sxzdxdy yzdzdx xydydz,其中S 为由平面0===z y x 和1=++z y x 所围成的四面体表面并取外侧为正向;解由对称性知,只需计算⎰⎰Sxzdxdy 即可.而()()()()24112111102210102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x x x dy xy xx dx dxdy y x x xzdxdy xD Sxy故812413=⨯=++⎰⎰Sxzdxdy yzdzdx xydydz . (4)⎰⎰Syzdzdx ,其中S 是球面1222=++z y x的上半部分并取外侧为正向;解由于曲面S 是上半球面,积分运算应作球坐标变换,令ϕϕθϕθcos ,sin sin ,sin cos ===z y x ,其中πθπϕ20,20≤≤≤≤.故4cos sin sin 202022πθϕϕθϕππ==⎰⎰⎰⎰d d yzdzdx S.(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222,其中S 是球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向. 解对于⎰⎰Sdydz x 2,S 可表示为()()()yz D z y c z b y R a x ∈-+--±=,,222.于是 ()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----=⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎭⎫ ⎝⎛----+=yzyzyzDD DS dydzc z b y R a dydz c z b y R a dydz c z b y R a dydz x 2222222222224作变量替换:θθsin ,cos r c z r b y +=+=,得a R dr r R r d a dydz x R S3200222384πθπ=-=⎰⎰⎰⎰. 同理可得.38,383232c R dxdy z b R dzdx y SSππ==⎰⎰⎰⎰ 所以()c b a R dxdy z dzdx y dydz x S++=++⎰⎰322238π. 2. 设某流体的流速为()0,,y k v =,求单位时间内从球面4222=++z y x 的内部流过球面的流量.解设流量为E ,则ππ33223403=⋅+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰SS ydzdx k ydzdx kdydz E 球前球后. 3. 计算第二型曲面积分()()()⎰⎰++=Sdxdy z h dzdx y g dydz x f I 其中S 是平行六面体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面并取外侧为正向,()()()z h y g x f ,,为S 上的连续函数.解设平行六面体在xOy zOx yoz ,,面上的投影区域分别为xy zx yz D D D ,,,则有()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]abh c h ca g b g bc f a f dxdyh c h dydz f a f I xyyzD D 00000-+-+-=-+-=⎰⎰∑⎰⎰4. 设磁场强度为()z y x E ,, ,球从球内发出通过上半球面0,2222≥=++z a z y x 的磁通量.解所求磁通量⎰⎰++=ΦSzdxdy ydzdx xdydz .其中S 为题目所给的上半球面并取上侧为正向.首先().322230022222222222a dr r a r d dydzz y a dydz z y a dydz z y a xdydz a D D D Syzyzyzπθπ=-=--=------=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰类似地,有332a ydzdx Sπ=⎰⎰.又 .32320022222a dr r a r d dxdy y x a zdxdy a D S xyπθπ=-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故 33332323232a a a a ππππ=++=Φ. §3 高斯公式和斯托克斯公式1. 应用高斯公式计算下列曲面积分:(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ,其中S 是单位球面1222=++z y x的外侧;解 00==++⎰⎰⎰⎰⎰VSdxdydzxydxdy zxdzdx yzdydz .(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x222,其中S 是立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧;解()()()()4032002000222322222a dx a x a dy a a y x dx dzz y x dy dx dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x a aaaaaVS =+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x222,其中S 是锥面222z y x =+与平面h z =所围空间区域()h z ≤≤0的表面,方向取外侧;解()⎰⎰⎰⎰⎰++=++VSdxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x 2222, 由柱面坐标变换z z r y r x ===,sin ,cos θθ,其中h z r h r ≤≤≤≤≤≤,0,20πθ得原式()4202sin cos 2h dz z r r dr d h hrπθθθπ=++=⎰⎰⎰.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333,其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧; 解原式()πϕθϕππ512sin 302014222==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr r d d dxdydz z y xV. (5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ,其中S 是上半球面222y x a z --=的外侧;解因为S 不是封闭曲面,故需补一个曲面2221,0:a y x z S ≤+=.则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=++-++=+++vS S S Sa dv zdxdy ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz 320311π. 2. 应用高斯公式计算三重积分()⎰⎰⎰++Vdxdydz zx yz xy ,其中V 是有10,0,0≤≤≥≥z y x 与122≤+y x 所确定的空间区域.解(方法1) 记.0,10,10:;0,10,10:;0,1,10,0,0:32221=≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤+≤≤≥≥y z x D x z y D z y x z y x D根据高斯公式,得()⎰⎰⎰⎰⎰++=++SVxyzdxdy xyzdzdx xyzdydzdxdydz zx yz xy ,其中S 为V 的边界曲面,并取外侧.因为81cos sin 201031===⎰⎰⎰⎰⎰⎰πθθθdr r d xydxdy dxdy xyz D S, 6111101222=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dz y yz dy dydz y yz dydz xyz D S, 6111101223=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dz x xz dx dzdx x xz dzdx xyz D S, 所以()2411616181=++=++⎰⎰⎰Vdxdydz zx yz xy . 方法2()()()()()()().24111121121112111212110210210210101010210102222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dx x ydy y dy xdx zdz x dx ydz y dy xdxdy zdzdx x ydydz y xdxdyz zdzdx y ydydz x dxdydz zx yz xy x D D D SVxyzx yz3. 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:(1)()()()⎰+++++Ldz y x dy z x dx z y222222,其中L 为1=++z y x 与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的侧;解 L 可看成为曲面()1,0,01:≤+≥≥--=y x y x y x z S 的边界,所以由斯托克斯公式()()()()()()⎰⎰⎰-+-+-=+++++SLdxdy y x dzdx x z dydz z y dz y x dy z x dx z y2222222.因()()()()012111021010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dz z y dy dydz z y yS,同理()()0⎰⎰⎰⎰=-=-SSdxdy y x dzdx x z ,所以原式0=.(2)⎰++Lzdz dy dx y x 32,其中L 为y x z y ==+,122所交的椭圆正向;解设S 为由122=+z y 与y x =所交椭圆面,L 为其边界.S 在xOy 平面上的投影区域11,0,:≤≤-==x z x y D xy ,则原式()033300222222=-=-=-++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyD SSdxdy y x dxdy y x dxdy y xdzdx dydz .(3)()()()⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z ,其中L 为以()()()a C a B a A ,0,0,0,,0,0,0,为顶点的三角形沿ABCA 的方向;解()()()2222321212122111111a a a a dxdydzdx dydz dxdy dzdx dydz SS=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+++++=⎰⎰⎰⎰原式4. 求下列全微分的原函数:(1) xydz xzdy yzdx ++; (2) ()()()dz xy z dy xz y dx yz x 222222-+-+-.解 (1) 因为()()C xyz z y x u xydz zxdy yzdx xyz d +=⇒++=,,. (2) 因为()()()()dz xy z xz y dx yz x xyz z y x d 222231222333-+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++, 所以原函数()()C xyz z y x z y x u +-++=231,,333. 5. 验证下列曲线积分与路线无关,并计算其值: (1) ()()⎰--+4,3,21,1,132dz z dy y xdx ;(2)()()⎰++++222111,,,,222z y x z y x z y x zdzydy xdx ,其中()()222111,,,,,z y x z y x 在球面2222a z y x =++上.解 (1) 在3R 内有dz z dy y xdx z y x d 32432413121-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+.所以所给曲线积分与路线无关,且可得原积分1275341331221-=++=⎰⎰⎰-dz z dy y xdx . (2) 在(){}0,0,0\3R =Ω内有()222222zy x zdz ydy xdx z y xd ++++=++,所以所给曲线积分与路线无关,且可得212121212121222222122221212222222122221212=++++++++=++++++++=⎰⎰⎰z z y y x x z z y y x x z y x z y x z y x z y x zdzz y x ydydx z y x x 原积分.6. 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积V ∆为()⎰⎰++=∆SdS z y x V γβαcos cos cos 31,其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面S 的外法线方向余弦.证()()V dxdydzzdxdy ydzdx xdydz dS z y x VSS∆=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3111cos cos cos γβα.7. 证明:若S 为封闭曲面,l 为任何固定方向,则()0,cos =⎰⎰SdS l n ,其中n为曲面S 的外法线方向.证设n 和l的方向余弦是γβαγβα'''cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,则()γγββαα'+'+'=cos cos cos cos cos cos ,cos l n.所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+'+'='+'+'=外S SS dxdydzdx dydz dSdS l n γβαγγββααcos cos cos cos cos cos cos cos cos ,cos又因l的方向固定()()()γβα'='='=cos ,,,cos ,,,cos ,,z y x R z y x Q z y x P 都是常数,故0=++z y x R Q P ,由高斯公式原式()0=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰Vz y xSdxdydz R Q PRdxdy Qdzdx Pdydz .8. 证明公式()dS n r r dxdydz SV ⎰⎰⎰⎰⎰= ,cos 21,其中S 是包围V 的曲面,n是S 的外法线方向. 证 ()()()()()()()z n z r y n y r x n x r n r ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos ,cos++=,而()()()rzz r r y y r r x x r ===,cos ,,cos ,,cos ,所以()()()()[].12,cos ,cos ,cos 1,cos ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++=++=VV S SS dxdydz r dxdydz r z z r y y r x x dxdy r zdzdx r y dydz r x dS z n z y n y x n x r dS n r 外9. 若L 是平面0cos cos cos =-++p z y x γβα上的闭曲线,它所包围区域的面积为S ,求⎰Lzyxdzdy dxγβαcos cos cos ,其中L 依正向进行. 解(方法1) 因为()()()βααγγβcos cos ,,,cos 2cos ,,,cos cos 2,,x y z y x R x z y x Q y z y x P -=-=-=,由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分的关系,得().2cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos 222S dS dxdy dzdx dydz x y x y z yx dxdy dzdxdydz z yx dzdy dx SSSL =++=++=---∂∂∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰γβαγβαβααγγβγβα方法2().2cos cos cos 2cos cos cos 2)cos cos ()cos cos ()cos cos (cos cos cos 222S dS dxdy dzdx dydz dzx y dy z x dx y z zy x dz dydx S S L L =++=++=-+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰γβαγβαβααγγβγβα。

数学分析22曲面积分总练习题(含参考答案)

第二十二章曲面积分总练习题1、设P=x 2+5λy+3yz, Q=5x+3λxz-2, R=(λ+2)xy-4z.(1)计算⎰++L Rdz Qdy Pdx , L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=ct(0≤t ≤2π); (2)设A=(P ,Q,R), 求rotA;(3)问在什么条件下A 为有势场？并求势函数.解：(1)⎰++L Rdz Qdy Pdx =⎰-++πλ2022)sin )(sin 3sin 5cos (dt t a t act t a t a +⎰-+πλ20)cos )(2cos 3cos 5(dt t a t act t a +⎰-+πλ202]4cos sin )2[(cdt ct t t a =⎰++-πλ20222223)sin 3sin 5sin cos (dt t ct a t a t t a +⎰-+πλ202222)cos 2cos 3cos 5(dt t a t ct a t a +⎰-+πλ2022]4cos sin )2[(dt t c t t c a =-5πλa 2-3π2a 2c+5πa 2+3π2λa 2c-8π2c 2=πa 2(-5λ-3πc+5+3πλc)-8π2c 2 =πa 2[5(1-λ)-3πc(1+λ)]-8π2c 2=πa 2(1-λ)(5-3πc)-8π2c 2. (2)rotA=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,=((λ+2)x-3λx,3y-(λ+2)y,5+3λz-5λ-3z) =(2(1-λ)x,(1-λ)y,(1-λ)(5-3z)).(3)当(2)知，当λ=1时，rotA=0，此时A 为有势场，其势函数为： u(x,y,z)=⎰-+-++++),,()0,0,0(2)43()235()35(z y x dz z xy dy xz x dx yz y x +C=⎰⎰⎰-+++z y x dz z xy dy x dx x 0002)43()25(+C=31x 3+5xy-2y+3xyz-2z 2+C.2、证明：若△u=22x u ∂∂+22yu ∂∂+22z u∂∂, S 为包围区域V 的曲面外侧, 则：(1)⎰⎰⎰∆Vudxdydz =⎰⎰∂∂SdS nu;(2)⎰⎰∂∂SdS n uu=⎰⎰⎰∇∙∇V udxdydz u +⎰⎰⎰∆∙Vudxdydz u , 其中u 在区域V 及界面S 上有二阶连续偏导数, nu∂∂为沿曲面S 外法线方向的方向导数. 证：(1)⎰⎰∂∂SdS n u =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂S dS z n z uy n y u x n x u ),cos(),cos(),cos( =⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂外S dxdy z udzdx y u dydz x u =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z u y u x u 222222=⎰⎰⎰∆V udxdydz . (2)⎰⎰∂∂SdS n u u=⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂外Sdxdy z uu dzdx y u u dydz x u u =⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz z u u z u y u u y u x u u x u 222222222=⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz z u y u x u 222+⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z u y u x u u 222222 =⎰⎰⎰∇∙∇Vudxdydz u +⎰⎰⎰∆∙Vudxdydz u .3、设S 为光滑闭曲面，V 为S 所围的区域. 函数u(x,y,z)在V 与S 上具有二阶连续偏导数, 函数ω(x,y,z)偏导连续. 证明： (1)⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x u ω=⎰⎰Sdydz u ω-⎰⎰⎰∂∂V dxdydz x u ω; (2)⎰⎰⎰∆Vudxdydz ω=⎰⎰∂∂SdS n uω+⎰⎰⎰∇∙∇Vdxdydz u ω. 证：(1)由高斯公式：⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz , 令P=u ω, 有 ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂V dxdydz x w u x uω=⎰⎰S dydz u ω, 即 ⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x u ω=⎰⎰Sdydz u ω-⎰⎰⎰∂∂V dxdydz x u ω.(2)由(1)式用x u ∂∂代替u 有：⎰⎰⎰∂∂V dxdydz x u22ω=⎰⎰∂∂S dydz x u ω-⎰⎰⎰∂∂∂∂V dxdydz x x u ω. 同理可得：⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz y u22ω=⎰⎰∂∂S dzdx y u ω-⎰⎰⎰∂∂∂∂V dxdydz y y u ω; ⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z u22ω=⎰⎰∂∂S dxdy z u ω-⎰⎰⎰∂∂∂∂V dxdydz z z u ω; 三式相加可得： ⎰⎰⎰∆Vudxdydz ω=⎰⎰∂∂SdS n uω+⎰⎰⎰∇∙∇Vdxdydz u ω. 4、设A=3||r r, S 为一封闭曲面, r=(x,y,z). 证明当原点在曲面S 的外、上、内时，分别有⎰⎰∙SdS A =0、2π、4π.证：设n 0=(cos α,cos β,cos γ)为曲面S 的单位法向量, 则ds=n 0ds, 当原点在S 的外面时，由奥高公式可得：⎰⎰∙SdS A =⎰⎰SdS An 0=⎰⎰++SdS r z y x 3||cos cos cos γβα=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-V dxdydzr z r r y r r x r 523523523||3||1||3||1||3||1=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Vdxdydz r r 33||3||3=0. 当原点在S 上时，则所给曲面积分变为广义的. 如果曲面S 在原点处有一确定的切面，则⎰⎰∙SdS A =2π.当原点在S 内时，作一个以原点为中心，以r 为半径的小球面σ，在S 和σ之间的区域V 1上应用奥高公式，则有⎰⎰⎰⎰∙-外外S AdS σ=⎰⎰⎰⎰-外外S dS An σ0=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133||3||3V dxdydz r r =0,∴⎰⎰∙外S AdS =⎰⎰∙外σdS A =⎰⎰外σdS An 0=⎰⎰⋅外σdS r r r r ||||3=⎰⎰外σdS r 21=4πr 2·21r =4π.5、计算I=⎰⎰++Szydxdy yxdzdx xzdydz , 其中S 是柱面x 2+y 2=1在-1≤z ≤1和x ≥0的部分. 曲面侧的法向与x 轴正向成锐角. 解：∵曲面S 在xOy 平面上的投影曲线为x 2+y 2=1, ∴⎰⎰Szydxdy =⎰⎰≤+122y x zydxdy =0；∵曲面S 在yOz 平面上的投影区域D 为-1≤y,z ≤1, 曲面的则的法向与x 轴正向成锐角, 是正侧，x=21y -, ∴⎰⎰Sxzdydz =⎰⎰Dxzdydz =⎰⎰---112111dy y zdz =0；∵曲面在zOx 平面上的投影区域Ω为0≤x, -1≤z ≤1,记S 1: y=21x -, 它与y 轴正向夹角为锐角，是曲面的侧的正侧； S 2: y=-21x -, 它与y 轴正向夹角为钝角，是曲面的侧的负侧；根据对称性，有⎰⎰Syxdzdx =2⎰⎰Ω-dzdx x x 21=2⎰⎰--102111dx x x dz =⎰⎰--1023210)1()1(32x d x dz =34. ∴I=⎰⎰++Szydxdy yxdzdx xzdydz =0+0+34=34.6、证明公式：⎰⎰++Dd d p n m f ϕθϕϕθϕθϕsin )cos sin sin cos sin (=2πdu p n m u f ⎰-++11222)(,其中D={(θ,φ)|0≤θ≤2π, 0≤φ≤π}, m 2+n 2+p 2>0, f(t)在|t|<222p n m ++时为连续函数.证：设S 为球面x 2+y 2+z 2=1, 则有.P=⎰⎰++Dd d p n m f ϕθϕϕθϕθϕsin )cos sin sin cos sin (=⎰⎰++Sds pz ny mx f )(.建立新坐标系O-uv ω, 与原坐标系O-xyz 共原点，且 O-v ω平面为O-xyz 坐标系的平面.mx+ny+pz=0, ou 轴过原点且垂直于O-v ω, 于是有u=222pn m pz ny mx ++++.在新坐标系O-uv ω中,P=ds p n m u f S⎰⎰++)(222. 球面S 可表示为：u=u, v=21u -cos ω, ω=21u -sin ω, (-1≤u ≤1, 0≤ω≤2π), 则ds=dud ω. ∴P=⎰⎰-++1122220)(du p n m u f d πω=2πdu p n m u f ⎰-++11222)(, 得证！。

数学分析22.1第一型曲面积分(含习题及参考答案)

第二十二章曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)，以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}，在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在，且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在.2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性：若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，S 的表面积为s ，则存在常数c ，使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注：当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1：设光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D ，函数f(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证：由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1：计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解：曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2：计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S ：x 2+y 2+z 2=a 2；(2)S ：x 2+y 2+z 2=2az.解：(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ，其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注：在由参量形式表示的光滑曲面S ：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为：⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3：计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解：E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0；∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分：(1)⎰⎰++SdS z y x )(，其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0；(2)⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面；(3)⎰⎰+Syx dS 22，其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分； (4)⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解：(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1：z 1=22y x +, S 2：z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}； ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面：x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解：∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ；y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a；z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解：J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S ：⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解：E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0； ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。

高等数学曲线积分与曲面积分习题课共44页

45、法律的制定是为了保证每一个人自由发挥自己的才能，而不是为了束缚他的才能。—— 罗伯斯庇尔
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高等数学曲线积分与曲面积分习题课
41、实际上，我们想要的不是针对犯罪的法律，而是针对疯狂的法律。 ——马克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就像影子跟随着身体一样。— —贝卡利亚43、法律和制度必须跟上人类思想进步。— —杰弗逊 44、人类受制于法律，法律受制于情理。— —托·富勒

《数学分析》（华师大版）课本上习题

《数学分析》（华师大版）课本上习题第二十二章曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲线积分：（1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中?+为顶点的三角形；（2）+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）?L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段；（6）?Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段；（7）+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线??≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分：（１）++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ；（２）+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面；（３），??+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；（４）SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（１）?+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）?Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L=?),(),(00，其中L ?为L 的长．8. 计算dS z S2，其中S 为圆锥表面的一部分：≤≤≤≤??===,20,0:;cos sin sin sin cos :π?θθ?θa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分：（１）-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）?+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段；（３）++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）?+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（５）++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。

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被积函数 | xyz | 关于 x 和 y 是偶函数
由对称性 D : x2 y2 1, x 0, y 0
| xyz | dS 4 xyzdS
1
4 xy( x2 y2 ) 1 4x2 4 y2dxdy
D
数学分析电子教案
x2 y24
e2 dxdy
x2 y2
x2 y2 1
e dxdy
x2 y2
e x2 y2 dxdy
x y 2
2
1 x2 y2 4
（用极坐标）
2
d
2
e2
rdr
2
d
1
e
rdr
0 0r
0 0r
2
d
2
er
rdr
0 1r
2e2
数学分析电子教案
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
x2 y2
ez dxdydz x2 y2
2e2
1 2 3 1 : z 2 , x2 y2 4
上侧
2 : z 1 , x2 y2 1
下侧
数学分析电子教案
3 : z x2 y2 ,1 z 2 外侧 3 在 xoy 面的投影：1 x2 y2 4
1 2 3
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
数学分析电子教案
例2
计算
ez x2
y2
dxdy
为锥面
z
x2 y2
及平面 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧
解一由 Gauss 公式
解二
ez dxdy
பைடு நூலகம் x
y
z
PQ R
(
P x
Q y
R z
)dv
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（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
曲面积分
计算 Gauss公式
计算重积分
数学分析电子教案
关于对称性
对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积分相类似的奇偶性。
你对称，我奇偶
积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个变量具有奇偶性。
0
2
3
5 u2du 9 15 ln 5
0
4
数学分析电子教案
注
曲面面积的计算法
z
z f (x, y)
S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
x S
f ( x, y)ds
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
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转动惯量
I x ( y2 z2 )dS
I y ( x2 z2 )dS
Iz ( x2 y2 )dS
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二、典型例题
例1 求椭圆柱面 x2 y2 1 位于xoy 面上方
59
和平面 z = y 下方的那部分的侧面积
解一易见曲面对称于 yoz 面
A dS 2 dS
2
6
5 4cos2 sind
9 15 ln 5
4
0
解二对弧长的曲线积分的几何意义：
柱面上的曲边梯形的面积
数学分析电子教案
侧面积 A L zds L yds
x 5 cos t L:
(0 t )
y 3sin t
A 3sin t 5sin 2 t 9cos2 tdt
0
3 5 4cos2 t sin tdt
对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先化为对面积的曲面积分，再使用对称性
数学分析电子教案
关于对面积的曲面积分的应用
曲面面积 A dS
曲面质量 M ( x, y, z)dS
重心坐标
xdS
x
dS
ydS
y
dS
zdS
z
dS
数学分析电子教案
性质
计算公式
数学分析电子教案曲面积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
定义实质
n
f ( x, y, z)dS
lim
0 i1
f (i ,i , i )Si
n
R(
x,
y,
z)dxdy
lim
0
i 1
R(i
,i
,
i
)(Si
)xy
分、粗、和、精
分、粗、和、精
背景性质计算
曲面块的质量线性、可加、与侧无关一代、二换、三投影
数学分析电子教案
第22章曲面积分与曲线积分
内容提要与典型例题
数学分析电子教案
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
曲
线
联计
积
系算
分
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
曲联计面系算积
分
对坐标的曲面积分
数学分析电子教案一、主要内容
曲面积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
两者关系
定义
流向曲面指定侧的流量线性、可加、与侧有关一代、二投、三定号
联系 Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Qcos Rcos )dS
数学分析电子教案Green公式,Gauss公式,Stokes 公式之间的关系
L Pdx Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy
或
L Qdx
Pdy
D
(
P x
Q y
)dxdy
A(M )为平面向量场
LA ds
D
推广
A dS
(rotA k )dxdy
L( A n)ds
A(
M
)为空间向量场
(rotA n)dS
( A
n)ds
divAdxdy
D
推广
divAdv
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
:
x2 5
y2 9
1,x
1
0, y
0,0
z
y
1 在 yoz 面的投影
D : 0 y 3,0 z y
数学分析电子教案
x 5 9 y2 3
A 2
1
x
2 y
xz2dydz
D
2 81 y2 dydz
D 3 9 y2
2 3
81 y2 dy
3 0 9 y2
(令 y 3sin )
24 2 3sin2 t cos2 t sin t cos tdt 0
24 3 2 sin2 t cos2 tdt
3 3 .
0
2
数学分析电子教案
例4 计算 | xyz | dS : z x2 y2 被平面 z 1 所截下的部分
解记1为在第一卦限的部分
积分曲面关于 yoz 面、 zox 面对称
的侧面积.
解由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
L
2
L: x3
2
y3
1,
参数方程为
x y
cos3 sin 3
t, t,
(0 t ) 2
数学分析电子教案
ds ( xt)2 ( yt)2dt 3sin t cos tdt,
S 8 2 1 cos6 t sin6 t 3sin t cos tdt 0