第三章波动方程
大学物理5.3波动方程与波速
−
x) u
一维波动方程
∂ 2ξ
∂x 2
+
∂ 2ξ
∂y2
+
∂ 2ξ
∂z 2
= u12 ∂
2ξ (t,
∂t 2
r)
波动方程的三维形式
注意：
（1）此方程不限于简谐波
（2）任何一个物理量ξ，只要满足此方程，则该物
理量一定以波的形式传播，且波速为u 。
分析杆上传播的纵波
纵波传播时，杆中不同部位被拉伸和压缩
u= T
η
弦上的横波波速
弹性弦上的横波 固体中的横波
u= T
η
u=
G
ρ
T-弦中张力， G- 切变模量
η-单位长质量 ρ-体密度
流体中的声波
u= k
ρ 0
k-体积模量, ρ0-无声波时的流体
密度
杆上传播的纵波
Y
u = ρ Y-杨氏模量,ρ-材料密度
波速由媒质的性质决定!
∆x段的平均长应变: ∆l = ξ ( x + ∆x, t) − ξ ( x, t)
l
∆x
x
x+∆x
杆中纵波 o
∆x
x
x截面
x+∆x截面
∆l = ξ (x + ∆x, t) −ξ (x, t)
l
∆x
ξ (x,t)
ξ (x+∆ x, t)
令∆x → 0
lim ∆x → 0
ξ(x
+
∆x, t ) − ξ ( x, t )
∂ t2
∆x
F = Y ∂ξ
S ∂x
∆ x→0，得
∂ 2ξ ρ ∂ 2ξ
波动方程的标准形式
波动方程的标准形式
波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。
波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。
在实际应用中，波动方程的标准形式经常需要结合边界条件和初值条件来求解。
例如，对于一维的弦波振动问题，可以在波动方程中加入弦的边界条件和初始位移等条件来求解波动的形状和传播速度。
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
第三章波动方程
拉普拉斯算子： 拉普拉斯算子： 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂u ∂u ) + (sin α ∇ 2u = 2 ( r 2 r ∂r r ∂α ∂r r ⋅ sin α ∂α ∂u ∂ u ↓← = =0 ∂ α ∂β
2 1 ∂u ∂ 2 u 2 ∂u 2 ∂ u )= 2 + = 2 ( 2r +r 2 r ∂r r ∂r ∂r ∂r
13
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解 、
已知球面纵波传播波动方程如下： 已知球面纵波传播波动方程如下： ∂ 2ϕ − VP2 ∇ 2ϕ = 0 ∂t 2 此式是直角坐标系中的波动方程， 此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中， 坐标系中，即
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 为了定量地描述微观粒子的状态， 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 波函数， 表示。一般来讲， 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。 的函数，并且是复函数，
7
无限大、 3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
一、沿任意方向传播的平面波
如果使 t −
播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t 播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t为 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。
16
因此，上式又可写为： 因此，上式又可写为：
ϕ=
ϕ
1 r ) = c1 ( t − r r VP
10
无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 第一组解： 第一组解：当 V = V p = ( λ + 2 µ ) / ρ 时，
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法 （达朗贝尔公式） （特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方 程类型的求解十分有效. 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶 偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
波动理论波动方程知识点总结
波动理论波动方程知识点总结波动方程是波动理论中的重要内容，研究波的传播和特性具有重要意义。
本文对波动方程的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用波动理论。
一、波动方程的基本概念波动方程是描述波的传播过程中波动量随时间和空间的变化关系的数学表达式。
一般形式为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u表示波动量，t表示时间，v表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
二、波动方程的解法1. 分离变量法：将波动量u表示为时间和空间两个变量的乘积，将波动方程转化为两个偏微分方程，分别对时间和空间变量求解。
2. 化简为常微分方程：将波动方程应用于特定情境，通过适当的变换，将波动方程化简为常微分方程，再进行求解。
3. 利用傅里叶变换：将波动方程通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化为频域或复频域的代数方程，再进行求解。
三、波动方程的应用1. 声波传播：声波是由介质中的分子振动引起的机械波，通过波动方程可以描述声波在空气、水等介质中传播的特性，如声速、声强等。
2. 光波传播：光波是电磁波的一种，通过波动方程可以研究光的干涉、衍射、反射等现象，解释光的传播规律和光学器件的性质。
3. 地震波传播：地震波是地震过程中的弹性波，通过波动方程可以描述地震波在地球内部传播的规律，有助于地震监测和震害预测。
4. 电磁波传播：电磁波是由电场和磁场耦合产生的波动现象，在电磁学中应用波动方程可以研究电磁波在空间中传播的特性和应用于通信、雷达等领域。
5. 水波传播：水波是液体表面的波动现象，通过波动方程可以研究水波的传播和液面形态的变化，解释液体中的波浪、涌浪、潮汐等现象。
四、波动方程的性质和定解问题1. 唯一性：波动方程的解具有唯一性，即满足初值和边值问题的解是唯一的。
2. 叠加原理：波动方程具有线性叠加性质，一系统的波动解可以通过各个部分的波动解线性叠加而得到。
3. 边界条件：波动方程的求解需要给定适当的边界条件，例如固定端、自由端、吸收边界等，以确保解满足实际问题的物理要求。
大学物理-波动方程
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
第三章波动方程
(1.2)的解u = u(t, x)可以表示为
n
u(t,
x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t,
x;
ti,
∆ti).
(1.14)
由于(1.12)是线性方程，所以w与∆ti成正比，也就是说，如果记w(t, x; τ )为如下齐次方
程的Cauchy问题
wtt − c2wxx = 0 (t > τ ), t = τ : w = 0, wt = f (τ, x)
0
于是，再利用(1.4)可知
ut|t=0 = w(0, x; 0) = 0.
(1.8)
(1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立。 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1)。 由(1.6)及(1.4)易知
t
t
ut(t, x) = w(t, x; t) + wt(t, x; τ )dτ = wt(t, x; τ )dτ.
x
0,
k > 1,
其中ϕ0(0) = ψ(0)。 7. 求解下述边值问题
utt − uxx = 0, 0 < t < f (x),
u|t=x = u|t=f (x)
(1.15)
的解，则有
w(t, x; ti, ∆ti) = ∆tiw(t, x; ti).
(1.16)
于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n
n
t
u(t, x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x; ti, ∆ti)
=
lim
∆ti→0
i=1
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3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
▪ 一、沿任意方向传播的平面波
▪ 直接用位移向量所表示的波动方程式求解
UAexp2ik1xk2yk3zVtd
2t2 VP220
此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球坐 标系中，即
xrsin co s yrsin sin (0r ,0,02 ) zrco s
显然 r， x2y2z2
为矢量r和z轴之间的夹角， 为矢量r在 xoy平面上
的投影与x轴之间的夹角
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14
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
精品课件
11
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
下面进一步讨论在地震勘探的初始和边界条件下，胀缩力divF和旋转 力rotF的作用下，求解波函数，并分析其性质（以纵波为主）
2.2.1 胀缩点震源条件下的球面纵波
1、初始和边界条件
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a或0 相 对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力位 函数或者震源函数可以表示为
A3 V精品2A课3件 0
10
无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。
第一组解：当
VVp 时(，2)/
i
U
A1
exp( V
(
xVpt
))
vw0
沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传播方向与位移 方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。
第二组解：当 VVs 时，/
迟一个时间。
▪ 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即提 前一个时间
▪ 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表 示沿任意方向传播的平面简谐波。
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二、沿X轴方向传播的平面波（即 kx）
U Aexp2ik1xk2yk3zVtd
k1
U
1 ,k 2 A exp
Aei Acosisin
0
(t
)
(
t
)
0
t0 0 t t t t
（初始条件）
（ t） 是震源力
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
当t<0时，整个空间位函数有：
x,y,z,t0,(x,y,z,t)0 t
在t=0时，点震源开始作用，作用时间为Δt；
t>△t时，点震源作用完毕。
边界条件：因已假设弹性介质的空间是无限的，其内不 存在任何弹性分界面，故无边界条件。
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
2U()gra d F 2 tU 2
两边分别取散度和旋度，并且令
VP 2(2)/
VS2 /
则可得纵波方程和横波方程
2
t2
VP22
2
t2
VS2
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6
3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。
在不同的情况下可以得到不同的解，即波函 数有不同的形式。
无限大、各向同性 介质中的球面波
胀缩点震源——球面纵波 震 胀缩力
源 性 旋转力
质 旋转点震源——球面横波
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位移方程 物理含义
位移方程 物理含义
3
3 波动方程的解及地震波的特点
球面纵波的传播特点
视波长λ
波剖面
视波数k
关
振动图（实际记录） 视周期T 系
视频率f
地震波的动力学特点
能量密度
能量和球面扩散
球面纵波：在在均匀各向同性介质中激发点源，所产生 的胀缩力作用面具有球对称性，所产生的波前面是一个 球面，当研究任意一球半径r方向上的纵波的传播特点，
就可以代表其他方向的传播特点，称此为球面纵波。
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解
已知球面纵波传播波动方程如下：
▪ 若 k1xk2yk3为z常V数tc，t固定，该方程代表一个以
为法k向k1,量k2,的k3平面，波在每个这样的平面上必然有相同的
相位，即平面波是垂直于
平面传k1播x的k2。y 不k同3z的t，
有不同的波前面。平面波的波前面是平行的。
▪
是平面的法线方向数。有
▪ 取k负1,k号2,k时3，表示随时间t的增加，波沿kk12方k向22前k32进1，即延
Aei Acosisin
▪ 式中：A为振幅，决定位移的大小，ψ为波的相位. ▪ 2πf/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 ▪ i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 ▪ k1xk2yk3z 为 传V播 tc 项。 ▪ 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。
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3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
u0
i
v A2 exp[ V ( x Vst )]
i
w A3 exp[ V ( x Vs t )]
其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波，也称为剪切
波，通常简称为S波。S波有两个质点振动方向：沿Z轴振动的S波分量
为垂直偏振剪切波，称为SV波，沿Y轴振动的S波为水平偏振剪切波，
称为SH波。
u A 1 exp
0 ,k 3 0
2i
x
Vt
2i
x
Vt
d
v A 2 exp2i xຫໍສະໝຸດ Vtw A 3 exp
2i
x
Vt
将上式代入波的N a vi2 eU r方 程()gra d F 2 tU 2
整理简化，并令体力F=0，可得
2A1 V2A1 0
A2 V2A2 0
3 波动方程的解及地震波的特点
本章包括：
▪ 无限大、均匀各向同性介质中的平面波 ▪ 无限大、均匀各向同性介质中的球面波 ▪ 地震波的动力学特点 ▪ 地震波的运动学特点
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1
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、均匀各向同 性介质中的平面波
P波—波动方程 S波—波动方程 SV波
SH波
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2
3 波动方程的解及地震波的特点
能流密度
球面扩散
地震波的谱分析（傅立叶变换 ）
应用
识别不同的地震波
精品课件 识别岩性
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3 波动方程的解及地震波的特点
▪ ▪ ▪ 地震波的运动特点
惠更斯-夫列涅尔原理 射线积分理论-克希霍夫积分
▪
费马原理和波的射线
▪
时间场和视速度定理
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3 波动方程的解及地震波的特点
在均匀、各向同性、理想弹性介质中的弹性波方程为：