5.5 直线和圆的位置关系(2)——圆的切线的判定
直线与圆的位置关系—知识讲解
直线与圆的位置关系—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号：356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．。
直线与圆位置关系的判定方法
直线与圆位置关系的判定方法直线和圆的位置关系是初中数学中常见的问题，也是高中和大学数学中常见的基础概念，理解好这两者之间的关系对进一步的数学学习和应用都有很大的帮助。
下面将介绍判定直线与圆位置关系的方法。
一、一次函数方程式首先，对于经过圆的直线，可以将其方程式化为一次函数的形式，即：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
接下来，我们只需要找到该函数与圆的位置关系即可。
1、当k=0时，直线平行于x轴，此时若圆心的y坐标在直线两端点的y坐标之间，则直线与圆有两个交点；若圆心的y坐标小于直线两端点的y坐标，则没有交点；若圆心的y坐标大于直线两端点的y坐标，则有且只有一个交点。
2、当k不为0时，此时直线的斜率存在，这意味着直线与圆的位置关系会发生变化。
如果直线的斜率大于圆与直线的交点处的切线的斜率，则直线与圆没有交点；如果直线的斜率小于切线的斜率，则直线与圆有两个交点；如果直线的斜率等于切线的斜率，则直线与圆有且只有一个交点。
二、圆的一般方程式还有一种情况是，圆的方程不是标准方程，而是一般方程：（x-a）² +（y-b）² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
这时我们可以将直线的方程式 y=kx+b 代入圆的一般方程，并进行变形。
变形后的方程为：(k²+1)x² + (2kb-2ak-2b) x+(a²+b²-r²) = 0解此一元二次方程可以得到交点的横坐标，进而求得纵坐标。
当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标接近时，则判断直线与圆相切；当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标相等时，则判断直线与圆相离；否则，判断直线与圆相交。
相交时，根据解出的横坐标作代入圆的方程，得到两个交点的纵坐标。
总结：在日常生活和工作中，我们经常需要判定直线和圆的位置关系，上述方法简单易行，当我们用好这些方法，可以在很大程度上提高工作有效性。
直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳
直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|)、常用结论(1 )圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2.③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2.(2)直线被圆截得的弦长1 i弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2.考点一直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A•相交 B •相切C.相离 D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由o ox2 + y — 1 = 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0,因为△= 16m2+ 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交.yj m2 + 1法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为()A . 3x+ 4y — 4= 0B.4x— 3y + 4= 0C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0(2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1=0对称，经过点 M(m, m)作圆C的切线，切点为 P,则|MP|= ________________________ .［解析］⑴当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y— 4= k(x-2），即 kx — y+ 4-2k= 0,则|k — 1 + 4 - 2k|■ k 2 + 1=1，解得4k= 3，则切线方程为4x — 3y + 4= 0,故切线方程为 x= 2或4x — 3y + 4= 0.⑵圆C: x 2 + y 2— 2x — 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2•因为圆上存在两点关于直线I: x+ my + 1= 0 对称，所以直线 I: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1 + 2m+ 1 = 0,解得 m = —1，所以 |MC|2= 13, |MP|= 13— 4= 3.［答案］(1)C(2)3考法(三)弦长问题［典例］ ⑴若a 2 + b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax+ by+ c= 0被圆x 2 + y 2= 1所截得的弦长为( )1B . 1C#D. . 2(2)(2019海口一中模拟)设直线y= x+ 2a 与圆C ：x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A,B 两点， 若|AB|= 2 .3,则圆C 的面积为()A . 4 nB . 2 n C. 9 nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C = 0的距离d = t |C|=#弟=¥‘因此根寸 a 2+ b 2 V 2|C| 2据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1 — I2 =于，所以弦长为2.(2)易知圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2 = 0的圆心为(0, a)，半径为-a 2+ 2.圆心(0, a)到直线y = x+ 2a 的距离d = |a 2，由直线y= x+ 2a 与圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A, B 两点，|AB| =2诵，可得 齐3 = a 2 + 2,解得a 2= 2，故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4 n 故选 A.［答案］(1)D(2)A［题组训练］1 •已知圆的方程是X2+ y2= 1,则经过圆上一点M 誓，当的切线方程是 _________________________ -解析：因为M #, +是圆X2+y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x + y+ a = 0，所以 #+#+ a= 0,得a=— 2,故切线方程为 x+ y— 2= 0.答案：x+ y— 2 = 02.若直线kx— y+ 2 = 0与圆x2 + y2— 2x — 3 = 0没有公共点，则实数 k的取值范围是解析：由题知，圆 x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2= 4,圆心(1,0)到直线 kx— y+ 2=0的距离|k + 2| 4 d>2,即------------ >2,解得 0v kv3.p k2+1 3答案：4 033.设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B关于直线l:x+ y= 0 对称，则 |AB|= _____________ .解析：因为点A, B关于直线I: x+ y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k= 1,即y = 「、mx+ 1•又圆心—1, 2在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(一1,1)，半径r = 2，所以圆心到直线 y= x+ 1的距离du^2，所以AB|= 2 r2— d2= ,6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(2016 •东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是( )A.内切 B .相交C.外切 D .相离x2+ y2— 2ay= 0,［解析］法一：由x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为 2 2,r = 1,则点N到直线2x-2y- 1= 0的距离d = —1| 2,2•••- a2 + - a 2 = 2 2.又 a>O,「・a= 2.A圆 M 的方程为 x2 + y2-4y= 0, 即 x2 + (y- 2产=4,圆心 M(0,2)，半径 r i = 2.又圆 N : (x- 1)2+ (y- 1)2= 1,圆心 N(1,1)，半径 r2= 1, •••|MN|=- 0 - 1 2+ 2- 1 2= 2.•.•「1-「2= 1, r1+ r2 = 3,1<|MN|<3,•两圆相交.法二a 一：由题知圆 M : x2 + (y- a)2— a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+ y= 0的距离d —所以2 :a2—2—2 2，解得a —2•圆M，圆N的圆心距|MN|— .2,两圆半径之差为 1,两圆半径之和为3，故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (2019 太原模拟)若圆 C1： x2 + y2= 1 与圆 C2： X2 + y2- 6x- 8y+ m= 0 外切，则 m=( )A. 21 B . 19C. 9 D . - 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1= 1，因为圆C2的方程可化为(x- 3)2+ (y-4)2= 25- m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2= 25 - m(m V 25).从而 |C1C2=：32+ 42=5•由两圆外切得 C1C2= r1 + ",即卩1 +「25 - m= 5,解得m= 9，故选C.2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ___________________ .x+ y — 4y= 0,解析：联立两圆方程两式相减得，2x-2y- 1 = 0,因为N(1,1),x-1 2 + y-1 2= 1,答案：*4匚2,故公共弦长为• 2 2. 144 = 2B . ±5C. 3［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求r i + r 2, |r i — r 2|;⑶比较d, r i + r 2, |r i — r 2|的大小，写出结论.[课时跟踪检测]1.若直线2x+ y + a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ±,5 D . ±3解析：选B 圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5，因为直线与圆相切，所以有|a 5 = ,5, 即a= ±故选B. 2.与圆 C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12 = 0, C 2： x 2+ y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为C i ： (x — 3)2+ (y+ 2)2= 1, C 2 : (x — 7)2 + (y — 1)2=36，则两圆圆心距|C i C 2|= 7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所 以它们只有一条公切线.故选A.3. (2019南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2+ (y — 3)2= 4截得的弦长为2.3, 则直线的倾斜角为(),n ［、. 5 nA ・6或石n D ・6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2,所以圆心到直线的距离为d= 22— 3 2 =1.即d=J^= 1，所以k=±富由k=tan"得a= 6或于故选A.B.x+ ay+ 1线的距离为1,故圆心（一1,3）到直线x+ ay+ 1 = 0的距离为1,即|— 1+ 3a+ 1| :1'1 + a 2=1,解得a =4.过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A . 2x+ y — 5= 0B . 2x+ y — 7= 0 C. x — 2y — 5 = 0D . x — 2y — 7= 0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2 = 5,圆的方程为(x — 1)2+ y 2=5，则过点(3,1)的切线方程为(x — 1)・—3) + y(1 — 0) = 5，即2x+ y — 7 = 0•故选5. （2019重庆一中模拟）若圆x 2 + y 3+ 2x — 6y+ 6= 0上有且仅有三个点到直线 =0的距离为1，则实数a 的值为（）C. 土，2解析：选B 由题知圆的圆心坐标为（一1,3），半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直D . y=— 4圆(x — 1)2+ y 2= 1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1,以 |PC|= -''=2为直径的圆的方程为（x — 1）2+ （y+ 1）2= 1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2yC. y =解析：选B解析：易知圆心（2, — 1）,半径r = 2,故圆心到直线的距离|2+ 2 X — 1 — 3| 3,5 弦长为2 r 2— d2 =迸5答案: 2 '555.12 + 22±2±4 -6.（2018嘉定二模）过点P（1 , — 2）作圆C : （x— 1）4+ y2= 1的两条切线，切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为（）1B . y=— 21+ 1 = 0，即 y= —2•故选 B.x— (3 + a)y— a= 0,圆心(0,0)到直线的距离I— a| d= . 1 +3 + a&若P(2,1)为圆(x— 1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为 _____________________一 1解析：因为圆(x— 1)2+ y2= 25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于 =—1,由点1 — 0斜式得直线 AB的方程为y— 1 = — (x— 2)，即卩x+ y— 3= 0.答案：x+ y— 3 = 09.____________________________________________________________________________ 过点P(— 3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为_____________________________解析：因为P( — 3,1)关于x轴的对称点的坐标为P' (— 3, — 1),一 1所以直线P' Q的方程为y= (x— a),即—3 — a所以a=— |.5答案：—|10.点 P 在圆 C1: x2+ y2— 8x— 4y + 11 = 0 上，点 Q 在圆 C2: x2+ y2+ 4x+ 2y + 1 = 0 上,则|PQ|的最小值是 ____________解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x— 4)2+ (y— 2)2= 9, (x + 2)2 + (y+ 1)2 =4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3;圆C2的圆心坐标是(一 2,— 1)，半径是2.圆心距d =■4+ 2 2 + 2+ 1 2= 3 ,5> 5•故圆C1与圆C2相离，所以|PQ |的最小值是3 .5 — 5.答案：3 5—511.已知圆 C1: x2+ y2— 2x— 6y— 1 = 0 和圆 C2: x2 + y2— 10x— 12y+ 45 = 0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径「1=111, 圆C2的圆心 C2(5,6)，半径r2= 4,y=— 2x 上.C 截得的弦长为两圆圆心距 d = |C i C 2|= 5, r i + r 2 = ：.； 11 + 4, |r i — r 2|= 4— 11,-■•|r i — r 2|<d<门 + r 2,「.圆 C 1 和圆 C 2 相交. ⑵圆C 1和圆C 2的方程相减，得 4x+ 3y — 23 = 0, •••两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y — 23= 0.|20+ 18— 23| 圆心C 2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离d=, = 3, 寸 16+ 9故公共弦长为 2 16— 9= 2 ,7.12. 已知圆C 经过点A(2, — 1)，和直线x + y= 1相切，且圆心在直线 (1) 求圆C 的方程；(2) 已知直线I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为2，求直线I 的方程解：(1)设圆心的坐标为 C(a,— 2a),化简，得a 2— 2a + 1 = 0,解得a= 1. •Q(1 , — 2)，半径 r = |AC|=1 —2 2+ — 2 + 1 2= ,2.•••圆 C 的方程为(x — 1)2 + (y+ 2)2= 2.⑵①当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x = 0,此时直线I 被圆 2,满足条件.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y= kx, K+ 2|3由题意得 -------- =1，解得k=— 4,寸 1 + k 243•直线I 的方程为y= — ]x,即3x+ 4y= 0. 综上所述，直线I 的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.—2a+ 11.过圆x2+ y2= 1上一点作圆的切线，与 x轴、y轴的正半轴相交于 A, B两点，则|AB|B. ,.''3 D . 3解析：选C 设圆上的点为(x o , y o ),其中x o > 0, y o >0，则有x g + 的最小值为() A. .''2C. 2y 0= 1，且切线方程为x o x+ y o y = 1.分别令 y = 0, x= 0得1 / 12 1 1B0，y ，则IAB =.. x 04 5 6+ y 02=硕》右=2当且仅当 等号成立.2.(2018 •苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I: y= 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线I 交于另一点 D.若AB CD = 0，则点A 的横坐标为n解析：因为AB CD = 0,所以AB 丄CD ，又点C 为AB 的中点，所以/ BAD = 4,设直n线I 的倾斜角为0,直线AB 的斜率为k ，则tan 0= 2, k=tan 0+ 4 =- 3.又B(5,0)，所以直线AB 的方程为y=— 3(x — 5)，又A 为直线l: y= 2x 上在第一象限内的点，联立直线y=— 3 x — 5 ,x= 3,AB 与直线l 的方程，得解得所以点A 的横坐标为3.y= 2x,y= 6, 答案：33. (2018 安顺摸底)已知圆 C: x 2 + (y — a)2= 4,点 A(1,0). 5 当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；6 设AM , AN 为圆C 的两条切线，M , N 为切点，当|MN|= 誓时，求MN 所在直线的 方程. 解：(1)过点A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上， •••1 + a 2>4,^a> '3或 a< — .'3. (2)设MN 与AC 交于点D, O 为坐标原点.4/52 需•••|MN|=〒，.・.|DM|=才.20_ 4 又 |MC|= 2 ,「.|CD| =25= .5,4A 的方程为(x — 1)2+ y 2 =即 x — 2y= 0 或(x — 1)2+ y 2 V 52|MC| 2 厂2丢cos Z MCA 2_7•••|OC|= 2, |AM|= 1,• MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆 1,圆 C 的方程为 x 2+ (y — 2)2 = 4 或 x 2+ (y+ 2)2= 4,•'■MN 所在直线的方程为 (x — 1)2+ y 2— 1 — x 2 — (y — 2)2+ 4 = 0, —1 — x 2— (y+ 2)2 + 4= 0，即 x+ 2y= 0,因此MN 所在直线的方程为 x — 2y= 0或x+ 2y= 0.17.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x+ 2y — 3 = 0被圆（x — 2）2+ （y+ 1）2= 4截得的弦长为 __________ .。
直线和圆的位置关系2
C O B
• 例2、如图，⊙C的半径是1，∠A=300， AC=2，求证：AB是⊙C的切线.
C
A
B
注：本例也是证明一条直线是圆的切线，但与前面的例子不同 之处在于前面已经知道圆与直线有公共点，连接后证明垂直运 用判定定理可得切线。这里却不知道圆与直线是否有公共点， 我们无法进行连接，因此我们可以作垂直得到d，再证明d=r， 从而得证.
直线和圆的位置关系(2) 切线判定定理
直线与圆的 位置关系
相交
O r d A B l
相切
O r d A
相离
O r d l
图
形
l
公共点个数
公共点名称
直线名称 圆心到直线距 离d与半径r的 关系
2个 交点 割线
1个 切点 切线
没有
d<r
d=r
d>r
切线的性质定理
• 定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
思考：定点C在圆的什么位置？
例4 作经过一定点C的圆的切线． A
P
C O B (1)点C在圆上． 作法：连接OC，过 点C作AB⊥OC．则 直线AB就是所要作 的切线． 证明：直线AB经过点 C，并且AB⊥OC．由 切线的判定定理可知， AB就是⊙O的切线， 切点是点C．
P′ O. O1 C
作法：连接OC, 以OC为直径的 圆为⊙O1，与 ⊙O 相交于两点 P和P′.连接CP和 CP′,则CP和CP′ 都是过已知点C 所引⊙O的切 线．
例3 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D， DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定(编)
直线与圆的位置关系及切线的性质与判定【知识点一】：直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．【典例分析】1．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤52．如图，在平面直角坐标系中，x轴上一点A从点（﹣3，0）出发沿x轴向右平移，当以A为圆心，半径为1的圆与函数y＝x的图象相切时，点A的坐标变为（）A．（﹣2，0）B．（﹣，0）或（，0）C．（﹣，0）D．（﹣2，0）或（2，0）3．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（）A．40°或80°B．50°或100°C．50°或110°D．60°或120°第1题图第2题图第3题图4．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（）A．﹣2≤x≤2B．﹣2＜x＜2C．0≤x≤2D．﹣2≤x≤25．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．6．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．第4题图第5题图第6题图7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，且＝，连接DE．（1）若＝140°，求∠C的度数．（2）求证AB＝AP．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【知识点二】：切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．【典例分析】1．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．B．C．D．52．AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，∠P＝40°，D为圆上一点，则∠D的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．第1题图第2题图第3题图4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，AD＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E ＝50°，则∠ACD等于（）A．40°B．50°C．55°D．60°5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC 相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）6．如图，已知一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（）A．2B．C．D．第4题图第5题图第6题图7．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．8．如图，▱ABCD的两边AB、BC分别切⊙O于点A、C，若∠B＝50°，则∠DAE＝．第7题图第8题图9．如图，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，且AC＝BC．（1）求证：DE⊥AC；（2）若BC＝4cm，AD＝3cm，求AE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD 的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．11．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．13．已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．【知识点三】：切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．【典例分析】1．如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E （1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．4．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CD⊥AB，联结OD、PC，∠ODC＝∠P，求证：PC是⊙O的切线．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线CO交AB边于点O，以点O为圆心，OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若BO＝1，∠BAC＝30°，求△AOC的面积．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．8．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F 为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。
5.5 直线和圆的位置关系(2)
第 15课时：直线和圆的位置关系（2）班级_________ 姓名__________学号__________学习目标：1、理解并掌握切线的判定方法；2、探索切线的判定定理，运用切线的判定方法解决有关问题. 思考探索： 典例精析：问题1、已知直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ， 说明：直线AB 是⊙O 的切线.问题2、已知：如图，AD ∥BC ，∠ADC=90°，AB 是⊙O 的直径，且BC+AD=AB ， 试说明：（1）以AB 为直径的圆与CD 相切； （2）以CD 为直径的圆与AB 相切.练习： OC 是∠AOB 的角平分线，点M 是OC上一点，⊙M 与OB 相切， 试说明：OA 也是⊙M 的切线.问题3、如图，AB 是⊙O 的直径，D 在AB 延长线上，BD=OB ，C 在圆上，∠CAB=30°. 试说明：DC 是⊙O 的切线.问题4、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠CAD=∠ABC.并说明理由.若上述条件中“AB 是⊙O 的直径”改为“AB 是⊙O 的弦”，还成立吗？课堂练习:1、如下图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT ＝45°，AT ＝AB ．说明：AT 是⊙O 的切线．2、如图，AB 为⊙O 的弦，OC ⊥OA ，交AB 于点P ，且PC=BC ．直线BC 是否与⊙O 相切？为什么？3、如图，A 是⊙O 的半径OC 延长线上一点，且CA=OC ，BC=OC ，说明：AB 是⊙O 的切线.4、已知：如图，⊙O 是Rt △CDE 的外接圆，BC ⊥CE ，BD 和CE 的延长线交于点A ，且OB ∥ED. （1）说明：AD 是⊙O 的切线；（2）若BC=6，AD=4，求⊙O 的半径r ..OB B 第五章 中心对称图形(二)B AO B T A OB CD课后作业：1、如图P 是⊙O 外一点，连PO 交圆O 于C ，弦AB OP 于D ，若∠DAC=∠CAP.说明：P A 是⊙O 的切线.2、如图，AB 是⊙O 的直径，AC ＝AB ，⊙O 交BC 于D 。
直线和圆的位置关系
由上可知，判断直线和圆相切的方 法有两种，是否仅此两种呢?本节课我们 就继续探索切线的判定条件．
议一议 P121 5
切线的判定定理
定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线.
B
如图 ∵OA是⊙O的半径,直线 CD经过A点,且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线.
C
2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点 作出⊙O的切线吗情提示: 根据“经过半径的外端,并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线”只要连接OA, 过点A作OA的垂线即可.
如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT ＝AB． 求证：AT是⊙O的切线．
做一做P122 7
三角形与圆的位置关系
A A
从一块三角形材料中,能否剪下一个圆, 使其与各边都相切?
I
● ●
I ●
●
B
┓
友情提示:假设符合条件的圆已作出,则 它的圆心到三边的距离相等.因此,圆心 在这个三角形三个角的平分线上,半径为 圆心到三边的距离.
C
B
┓
C
想一想
P122
三角形与圆的位置关系
这样的圆可以作出几个?为什么?.
A
●
友情提示: 多边形的边与圆的位置关系称为切.
读一读
P122
四边形与圆的位置关系
如果四边形的四条边都与一个圆相切, 这圆叫做四边形的内切圆.这个四边形 叫做圆的外切四边形. A
D
●
O C
B
我们可以证明圆外切四边的一个重要性 质:1.圆外切四边形两组对边的和相等.
随堂练习 P123
系
把太阳看作圆，地平线看作直线， 则直线和圆有三种位置关系；
24.2.3 直线和圆的位置关系(二)切线的判定和性质
24.2.3 直线和圆的位置关系（二）切线的判定和性质自主导学1．判定定理：过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
易错点睛如图，OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点．⊙D 和OA 相切于点E ，求证：OB 与⊙D 相切．OC【解答】过D 作DF ⊥OB 于F ，证DE ＝DF 即可。
【点睛】直线OB 与⊙D 尚不知有公共点时，不能“连半径，证垂直”，或“作垂直，证半径”。
FO CA 夯实基础知识点一 切线的判定1．如图，AB 是⊙O 的弦，BC 是过B 点的直线，∠OAB ＝20°，当∠ABC ＝70°时，BC 是⊙O 的切线．2．如图，点A 是⊙O 上一点，AB ＝2BC ＝8，⊙O 的半径为6．则AB 与⊙O 的位置关系是相切．A C OB3．如图，点A ，B ，D 在⊙O 上，∠A ＝25°，OD 的延长线与直线BC 交于点C ，且∠OCB ＝40°，则直线BC 与⊙O 的位置关系是___________．（相切）4．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 、E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O ，AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC ＝PE .(1)试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若PC ＝2，AB ＝25，求DE 的长．解：（1）PC 与⊙O 相切，连OC 、OD ，易证OD ⊥AB ，∴∠PCE ＋∠OCD ＝∠DEO ＋∠ODC ＝90°, ∴PC 与⊙O 相切。
（2）OP ＝,322=+OC PC ∵PC ＝PE ＝2, ∴DE ＝226OD OE +=知识点二 切线的性质5．（2016邵阳）如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C 、D 两点，且经过圆心O ．边AB 与⊙O 相切，切点为B ，已知∠A ＝30°，则∠C 的大小是30°6．(2016泰安改)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线，切点为F ．若∠ABF ＝65°，则么∠E ＝50°DOF AB7．如图．AB 是⊙O 的直径，圆周角∠BCD ＝120°，过D 点作⊙O 的切线交BA 的延长线于P ，则∠ABD ＝30°，∠P ＝30°． O PDC B AD AO P B C8．【经典必做题】如图，△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，DE 切⊙O 于D ，交BC 于E ，求证：BE ＝ CE ＝DE ．O E DB A AD O证：连OD ，OE ，证△ODE ≌△OBE ,∴DE ＝BE ，连DB ，则∠BDC ＝90°，∵DE ＝BE ，∴DE＝CE，∴BE＝CEB综合运用9．【经典必做题】如图，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E (1)求证：DE是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CD；(2)若AB＝10，BC＝，求OE的长．解：（1）方法一：连OD，∠B＝∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠ODE＝90°，∴DE⊙O的切线；方法二：连OD、AD，AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，……以下同方法一（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD；(3)连AD，易证BD＝CD＝2，∴AD＝4，∴AD⋅CD＝AC⋅DE，∴DE＝4，∴OE＝10．【教材变式】（102页12题改）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF＝4，求AC的长．A解：（1）DE与⊙O相切，证OD∥AE即可；（2）作OG⊥AC于G，∴AG＝CG，∵∠BAD＝∠EAD，∴DF＝DE＝OG，∴△DOF≌△OAG，∴AG＝OF＝4，∴AC＝2AG＝8．G ECO AB F DC 拓广探究11．【教材变式】（102页12题及2016武汉元调改）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ．(1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 连接CE ，若CE ＝6 ，AC ＝8，直接写出⊙O 直径的长解：（1）连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥OC ，又∵CD ⊥AD ，∴AD ∥OC ，∴∠CAD ＝∠ACO ，∵OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠CAD ＝∠CAO ，即AC 平分∠DAB ；（2）解：∵∠CAD ＝∠CAO ，∴CE CB =，∴CE ＝BC ＝6，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理得：AB 22AC BC +2286+＝10，即⊙O 直径的长是10．。
直线和圆位置关系
11
驶向胜利 的彼岸
挑战自我
•
习题4.4 习题
3-4题 题
•祝你成功! 祝你成功! 祝你成功
结束寄语
下课了!
•具有丰富知识和经验的人，比 具有丰富知识和经验的人， 具有丰富知识和经验的人 只须一种知识和经验更容易产 生新的联想和独到的见解。 生新的联想和独到的见解。
C O D
●
• 老师提示 老师提示: • 切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根 作过切点的半径是常用经验辅助线之一. 据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一 作过切点的半径是常用经验辅助线之一
A
做一做
4
切线判定定理的应用 切线判定定理的应用 判定
• 1.已知⊙O上有一点A,你能过点A点作出⊙O的切线吗? 已知⊙ 上有一点A,你能过点A点作出⊙ 的切线吗? 已知 A,你能过点
P B
●
O
2.由 所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论? 2.由1所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论? 如果有,仍请你予以证明. 如果有,仍请你予以证明. 老师提示:根据这个结论写出的命题称为切线长定理及 老师提示:根据这个结论写出的命题称为切线长定理及 其推论. 其推论.
独立作业
议一议
3
切线的判定定理 切线的判定定理 判定
• 定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的 经过半径的外端, 直线是圆的切线. 直线是圆的切线. B 如图 OA是 的半径,直线CD经过A CD经过 ∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A CD⊥OA, 点,且CD⊥OA, CD是 的切线. ∴ CD是⊙O的切线.
议一议
5
驶向胜利 的彼岸
探索切线性质 探索切线性质 切线
5.5直线与圆的位置关系(二)
5.5 直线与圆的位置关系（二）
回 顾
直线与圆的位置关系
r
●
O ┐d
r
●
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
d ┐ 相离
• 直线和圆相交
d < r;
d = r;
直线和圆相切
直线和圆相离
d > r;
尝 试
• 1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm. (1)以点C为圆心作圆,当半径为多 长时,AB与⊙C相切? 解:(1)过点C作CD⊥AB于D. ∵AB=8cm,AC=4cm.
证明一条直线是圆的切线时（1）直线与圆 有交点时，连接交点与圆心，证垂直； （2）直线与圆“无”交点时，过圆心作直线 的垂线，证明垂线段的长等于半径.
∴BC= 82-42 =4 3
4×4 3 CD= =2 3 4 因此,当半径长为 2 3 cm时,AB与⊙C相切.
C
A
D
┐
B
练 习
• 1.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,直角边AC=4cm. (2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm 为半径作两个圆,这两个圆与AB分 别有怎样的位置关系? 解:(2)由(1)可知,圆心到AB 的距离d= 2 3cm,所以 当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离; 当r=4cm时,d<r,AB与⊙C相交.
●
O
已知直线和圆相切时：常 C 连接切点与圆心。-----辅助线
A
D
练 习
切线的性质定理的应用
1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离 为5,求r的取值范围.
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想一想：
满足什么条件的直线是圆的切线？
动手做一做:
切线的判定定理：
B
Ｏ
经过半径的外端
并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线。
(也是切线的画法)
A
C
OA为⊙O半径 BC ⊥ OA于A
BC为⊙O切线
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和 “垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，
(已知)
o
●
A
C
∠B=45° AB =AC
(已知) (已知)
练一练2
1、如图AB是⊙O的直径，∠B=45°，
AC=AB。AC是的切线吗？为什么？
解： 直线AC是圆⊙O的切线。
∵ AB =AC ∠B=45° ∴∠C=∠B=45° ∴∠ CAB=180°- ∠C- ∠B= 90° ∴ AC⊥AB o
●
A、经过半径的外端点； B、垂直于该条半径。
驶向胜利的 彼岸
作业
课本P136 第 6、7 两题
结 束 寄 语
下
课
不经历风雨，怎能见彩虹！
下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线 不是圆的切线：
归纳
一、切线的识别方法： １、定义：直线和圆有唯一公共点。 ２、圆心到直线的距离等于圆的半径。
Ｏ
●
l
A ３、经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线。 推理形式： 且l⊥OA于点A。 ∵ OA 是⊙O的半径， ∴直线l是⊙O的切线。
（经过半径外端且 垂直于半径的直线 是圆的切线）
●
∠DAC+∠D=90 ∠EAC=∠D ° ∠ACD=90° ∠EAC=∠B ∠D= ∠B AD是⊙O的直径 (已知) (同弧所对)
(作辅助线)
3、如图，AB是⊙O中非直径的弦， 直线FE过点A，∠EAC=∠B， EF 是⊙O的切线吗？为什么？ 解： 直线EF是⊙O的切线。 过作直径交⊙O于点D，连结D、C两点 ∴ ∠ACD=90° ∴ ∠DAC+∠D=90° 又∵ ∠D= ∠B 又∵ ∠EAC=∠B
(已知)
m A Ｂ
∠OBA=45° AB=AO
(已知) (已知)
试一试1
例2：
如图，直线AB经过⊙O上的点Ａ，且 AB=AO，∠OBA=45°。直线AB是 ⊙O的切线吗？为什么？
解：直线AB是⊙O的切线。 ∵AB=AO，∠OBA=45 ° ∴∠AOB=∠OBA=45 ° ∴∠OAB=180° -∠AOB-∠OBA =90° ∴OA⊥AB
练一练1
一、选择，下列各图中，直线l是⊙O的切线的是( Ｃ )
O
●
O
●
l
O
●
O
●
l
l
(A) A
A (B)
A (C)
A (D)
二、判断下列各种说法是否正确 １、经过半径外端的直线一定是圆的切线。 (错误)
２、垂直于半径的直线一定是圆的切线。 (错误)
(正确) ３、垂直于半径且经过该半径外端的直线是圆的切线。
练一练1
三、如图，AB是⊙O的直径，直 线FE过点A，如果要使FE是⊙O 的切线，还需添加的条件是： ①、（ AB⊥FE ） F A O
21
●
B
E
C
②、（ ∠FAB=90° ） ③、（ ∠EAB=90° ）
④、（ ∠1+∠2=90° ）
⑤、（ ∠2=∠B ）
例题教学
如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠CAD=∠B, 判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由。 解:直线AD与⊙O相切 ∵AB是⊙O的直径 ∴∠C=90° O ∴∠B+∠BAC=90° A B ∵∠CAD=∠B
=180°－(60°+30°) =90° ∴ AB⊥OB
故直线AB经过半径OB的外端点B,并垂直于半径OB
所以 AB是⊙O的切线
2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的 延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝ 30°，求证：DC是⊙O的切线。 C 证明：连OC、BC，
∵AO＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30° ∴∠BOC＝60°， ∴△BOC是等边三角形
B
C A 故直线AC经过半径OA的外端点A,并垂直于半径OA 所以直线AC是圆⊙O的切线。
试一试2 例3：
△ABC中，∠A=∠B=30°，经过B、C 的⊙O交AB与点Ｄ，直线AC是⊙O的切线吗？ 为什么？
分析：连结oc， 设∠OCB为∠1， ∠COA为∠2 直线ＡC是⊙O的切线。
C
直线AC经过 ⊙O上的点C
C ∴∠CAD+∠BAC=90° D 即AD⊥AB 故直线AD经过半径OA的外端点A,并且垂直于半 径OA,所以直线AD与⊙O相切。
试一试1
例2
如图，直线AB经过⊙O上的点Ａ，且 AB=AO，∠OBA=45 ° 。直线AB是⊙O的 切线吗?为什么？
Ｏ
分析： 直线AB是⊙O的切线。
●
直线AB经过 AB⊥OA ⊙O上的点A ∠OAB=90° (已知) ∠OBA=45° ∠AOB=45 °
F A E
●
O C
D B
∴ 即EF⊥AD ∠DAC+∠EAC=90° 故直线EF经过半径OA的外端点A,并垂直于半径OA
所以直线EF是⊙O的切线。
小结： 如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (d=r) (3)过半径外端且和该条半径垂直的直线是圆的切线；
睢宁县张圩中学 王 昕
知识回顾
直线和圆位置关系有：（３）种 位置关系 相离 图
●
形
Ｏ r
公共点个数 数量关系
d
Ｏ r
●
没有
l
d﹥r
相切
d
Ｏ r
●
l
1个
两个
d=r
相交
d
l
d﹤rO的位置关系 是____ 相切
d B
A
切线 直线BC叫⊙O的_____
公共点Ａ叫切点 ______
Ｏ
●
m A Ｂ
故直线AB经过半径OA的外端点A,并垂直于半径OA 所以直线AB是⊙O的切线。
练一练2
1、如图AB是⊙O的直径，∠B=45 °，
AC=AB。AC是⊙O的切线吗？为什么？ B
分析： 直线AC是圆⊙O的切线。
直线AC经过 AC⊥AB ⊙O的点A ∠ CAB=90° (已知)
∠B=45° ∠C=45°
(已知)
AC⊥OC
∠ACO=90°
A D
2
1
●
O
B
∠A=30 ∠2=60° (已知) ° ∠B=30 ∠1=30° ° (已知) ∠B=30 OB=OC (已知) °(已知)
试一试2
△ABC中，∠A=∠B=30°，经过B、C 的⊙O交AB与点Ｄ，直线AC是⊙O的切线吗？ 例3： 为什么？ C 解： 直线ＡC是⊙O的切线。
连结OC A D
21
●
∵OB=OC， ∠A= ∠B=30° ∴∠1=∠B=30° ∴ ∠2= ∠1+∠B= 60° 9 ∴∠ACO=180°- ∠2-∠A=0 ° ∴AC⊥OC 故直线AC经过半径OC的外端点C,并垂直于半径OC
O
B
所以直线AC是⊙O的切线。
常作的辅助线：遇到切点连半径，证垂直！
练一练3
A O B D
∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°
∴∠DCO＝90° ∴DC⊥OC 故直线CD经过半径OC的外端点C,并垂直于半径OC 所以DC是⊙O的切线。
3、如图，AB是⊙O中非 F 直径的弦，直线FE过点A， O D ∠EAC=∠B， EF是⊙O A 的切线吗？为什么？ B 分析：要说明直线EF是⊙O的切线。 E C 由于直线FE过点圆上的A， 因此还需说明 直线EF垂直于过点A的直径或半径。 为此，过A作直径AD交⊙O于点D，连结D、C 要说明EF⊥AD 即∠DAC+∠EAC=90°
1：如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直 线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°。求 证：直线AB是⊙O的切线
证明：连结OB ∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60° ∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
B C O A