初三数学《圆的切线的性质和判定》课时练习(附答案)
2022年人教版数学九上《切线的判定与性质》同步练习(附答案)
第2课时切线的判定与性质1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，那么此三角形是_______．3．以下直线是圆的切线的是〔〕A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点〔O除外〕，假设以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P与OB的位置位置是〔〕A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是〔〕A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定6．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设OA=2，求AC的长．7．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．〔1〕求证：BC是半圆O的切线；〔2〕假设OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．〔1〕求证：BE为⊙O的切线；〔2〕如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．9．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为M〔a，0〕，半径为2，如果⊙M与y轴相离，那么a 的取值范围是______．10．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是〔〕A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定11．平面直角坐标系中，点A〔3，4〕，以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是〔〕A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能12．如图，：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=12，∠D=30°．〔1〕求证：AD是⊙O的切线；〔2〕假设AC=6，求AD的长．13．：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=12 OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．14．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，假设∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．15．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB 的延长线相交于点P．〔1〕求证：BF=EF；〔2〕求证：PA是⊙O的切线；〔3〕假设FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．答案:1．1，2，不存在 2．直角三角形 3．B 4．B 5．A 6．〔1〕略〔2〕37．〔1〕略〔2〕928．〔1〕略〔2〕1529．a>2或a<－210．C 11．C 12．〔1〕略〔2〕3 13．〔1〕略〔26214．提示：连结OA，证OA⊥AP15．〔1〕略〔2〕略〔3〕2，FG=3《正多边形与圆》同步练习一、填空题，各角的多边形叫正多边形.对称图形.数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.和，这两个圆是 .5.边数相同的两个正n边形的周长之比是∶，那么它们的面积比是 .二、选择题1.以下说法中正确的选项是( )A.各边相等的圆外切多边形是正多边形；B.任何正n边形都既是中心对称图形又是轴对称图形；360 n，都与原来的正多边形重合；D.任何正n边形都相似.°，这个正多边形是( )3.把正五边形绕着它的中心旋转，下面给出的四个角度，得到的正五边形能与原来重合的是( )°°°°三、解答题将正三角形ABC各边三等分，设分点为D、E、F、G、H、I，求证：DEFGHI是正六边形.四、1.如图7-41，正六边形ABCDEF的对角线BF，与对角线AC，AE交于G、H，求证：BG＝GH＝HF.图7-412.正方形ABCD的边长为1，截去四个角后成正八边形，求这正八边形的面积.参考答案一、1.相等；相等 4.外接圆；内切圆；同心圆∶2三、提示用正多边形定义证四、1.提示：作正六边形ABCDEF的外接圆O，那么＝＝＝＝，∴∠BAG＝∠ABG＝∠HAF＝∠HFA，∴AG＝BG，HF＝AH，又∠AGH＝∠AHG＝∠GAH，∴AG＝AH＝GH，∴BG＝GH＝HF.2-1。
初三数学《圆的切线的性质和判定》课时练习(附答案)
《圆的切线的性质和判定》课时练习(附答案）【回顾与思考】现实情境⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩圆的切线的性质--三角形内切圆应用:d=r圆的切线的判定判定定理圆的切线性质与判定综合应用【经典例题】关于三角形内切圆的问题例1。
如图,点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BＡC=8０°,则∠BOC=( )A.130°B．1００°Ｃ.50°D．65°【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．圆的切线性质的应用例2.已知:如图，ＡB是⊙Ｏ的直径,ＰA是⊙O的切线，过点Ｂ•作BC•∥ＯP交⊙Ｏ于点Ｃ,连结ＡC.(1)求证:△ＡＢC∽△PＯA;（2）若ＡＢ=２，PA=2,求BC的长.(结果保留根号)圆的切线的判定例3。
已知:如图，AB是⊙Ｏ的直径，P是⊙O外一点，PＡ⊥AB，•弦BC∥OP，请判断ＰC是否为⊙O的切线，说明理由.【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目.解决问题的关键是一条常用辅助线，即连结OC．【考点精练】一、基础训练1．已知⊙Ｏ的半径为8cm,如一条直线和圆心O的距离为8cｍ,那么这条直线和这个圆的位置关系是（)Ａ.相离 B.相切 C.相交D．相交或相离2．如图1，AB与⊙Ｏ切于点B,AＯ=6cｍ，AB＝4cm,则⊙O的半径为（)A.45cmB.２5cm C．213ｃm D．13m（1) (2）（３) 3.如图2，已知∠AOB＝30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心，•2cｍ•为半径作⊙M,•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．4．已知：如图3，AB为⊙O直径,BＣ交⊙O于点Ｄ,DＥ⊥AC于E，要使ＤE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______(只需填一个条件）．5.如图4，AB为半圆O的直径,CＢ是半圆O的切线,B是切点,AC•交半圆Ｏ于点D,已知ＣＤ=1，AD=3,那么ｃoｓ∠CＡＢ＝____＿___．(４）（5) ６．如图５，BＣ为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点Ｄ作⊙Ｏ•的切线ＡD，BA⊥DＡ于A，ＢA交半圆于E，已知BC=10,ＡD=4,那么直线ＣE与以点Ｏ为圆心，52为半径的圆的位置关系是___＿____.７.如图，⊙Ｏ的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动.当⊙O移动到与ＡC边相切时,OＡ的长为多少？8.如图，⊙Ｏ是△AＢC的内切圆，Ｄ、Ｅ、F分别是切点，判定△DＥF的形状(按角分类)，并说明理由.二、能力提升:9．如图,直线AB切⊙O于点A,点C、D在⊙O上．试探求：(1)当AＤ为⊙O的直径时,如图①，∠D与∠CＡB的大小关系如何?•并说明理由．(2)当AD不为⊙Ｏ的直径时，如图②，∠D与∠ＣAB的大小关系同②一样吗?•为什么？①②10.如图,⊙O的直径ＡB=6cm,D为⊙O上一点，∠BAD=３0°，过点Ｄ的切线交AB•的延长线于点C.求:(1）∠ADＣ的度数；（2)AＣ的长.11.在图1和图２中，已知OA＝OB,ＡB=24,⊙O的直径为1０.(１)如图１,ＡB与⊙Ｏ相切于点C，试求OA的值；（2）如图２，若ＡB与⊙O相交于D、Ｅ两点,且D、E均为AB的三等分点,试求taｎA 的值.１2.如图,在△ABＣ中，∠C=90°,以BＣ上一点O为圆心,以ＯB为半径的圆交AB•于点Ｍ,交ＢC于点Ｎ．（1）求证:BA·ＢM＝BC·BN;(2）如果ＣＭ是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC＝3时,求ＡＢ的值．１3．已知:如图,△AＢC内接于⊙O,点Ｄ在OC的延长线上,siｎＢ=12，∠ＣＡD=３0°．(1)求证：AD是⊙O的切线;（２)若OＤ⊥AB，BＣ=５，求ＡD的长.三、应用与探究：14.已知在Rｔ△ABC中,∠C=９0°，ＡＤ是∠BAC的角平分线，以AB上一点Ｏ为圆心,A Ｄ为弦作⊙O．（1)在图中作出⊙O;（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证:ＢC为⊙O的切线;(3)若AＣ=3，ｔaｎＢ=34,求⊙Ｏ的半径长.15.（2014•德州,第22题１0分）如图,⊙O的直径ＡB为10cm,弦ＢC为5ｃm,Ｄ、Ｅ分别是∠AＣＢ的平分线与⊙Ｏ，AＢ的交点，P为AＢ延长线上一点,且PＣ=PＥ.(1）求AC、AD的长；（２）试判断直线ＰＣ与⊙O的位置关系,并说明理由．16．（２01４•菏泽，第１８题１０分）如图,ＡＢ是⊙O的直径，点C在⊙Ｏ上,连接BC,AC,作ＯD∥BC与过点Ａ的切线交于点D，连接DＣ并延长交ＡB的延长线于点Ｅ.(1）求证：DＥ是⊙Ｏ的切线;（2）若＝，求ｃoｓ∠AＢC的值．参考答案：例题经典例1：Ａ例2：(1)略（２）ＢC=233例3:略考点精练1．B 2．B 3．4 4．∠B＝∠C 36.相离238．△DEF•是锐角三角形.连结OD、ＯＥ、ＯF．综合应用圆的切线性质,四边形内角和定理和圆周角定理．可以证得∠ＤＥF=9０°-12∠A,∠ＤFＥ=９0°-12∠B，∠ＥＤF=90°-12∠C．△DＥF的三个内角都是锐角9.（1）∠D=∠CＡＢ，理由（略) （2)∠Ｄ=∠CＡB 作直径ＡE、连结CE 由(1）可知：•∠Ｅ＝∠ＣAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CＡB1０．（１)∠ADＣ的度数为1２0°（2）９cm１1．(1)解:连结ＯC ，∵ＡＢ与⊙O 相切于C 点，∴∠O ＣA ＝9０°,∵O Ａ=OB,∴ＡC ＝B Ｃ=12 在Rt•△ACO 中,OA ＝2222125AC OC +=+=13(2）作OF ⊥A Ｂ于点Ｆ点，连结ＯD ，∴DF=EF ；AF=AD+DF=8+４=12,在Rt•△OD Ｆ中,O Ｆ=222254OD DF -=-=3，在Rt △ＡＯF 中，tanA=31124OF AF == １2.(1）证明:连接ＭN 则∠BMN=90°＝∠ACB ，•∴△ACB ∽△ＮMB ，∴BC AB BM BN=，∴A Ｂ·BM ＝B Ｃ·BN(2)解：连接ＯM,则∠O ＭＣ=90°，∵Ｎ为OC•中点，•∴M Ｎ=ON ＝OM ，∴∠ＭＯN=６０°,∵OM ＝OB ，∴∠B=12∠M ＯN ＝３0°.∵∠A ＣB=90°,∴AB=２AC=2×3＝6 １3.(１)证明：如图，连结OA,因为ｓｉｎB=12,所以∠Ｂ=3０°，故∠O ＝６0°,又OA=OC ，•所以△ACO 是等边三角形,故∠OAC=60°,因为∠ＣA Ｄ=30°,所以∠OAD=9０°,所以AD•是⊙O 的切线（2)解:因为O Ｄ⊥AB,所以OC 垂直平分AB ，则AC=BC=5,所以OA=５,•在△ＯＡD 中,∠OA Ｄ=９0°,由正切定义，有ｔan ∠A ＯD=AD OA ,所以A Ｄ=５3 １4.15．解：(１）①如图，连接BD,∵AＢ是直径,∴∠ＡCＢ=∠AＤB=９０°,在RＴ△ABC中, AＣ==＝８，②∵CD平分∠ＡＣＢ,∴AＤ=BD,∴Rt△ABD是直角等腰三角形,∴AＤ=AB＝×1０=5cm;（2)直线ＰC与⊙O相切，理由:连接OC,∵ＯC=ＯA,∴∠CＡO=∠OCＡ,∵PＣ＝ＰE,∴∠P ＣE=∠PEC，∵∠PEC=∠ＣＡＥ＋∠ACE，∵CD平分∠ＡCＢ,∴∠ＡCE=∠ECB，∴∠PCB ＝∠ACO,∵∠ACB=90°，∴∠OCＰ=∠OCＢ+∠PCB=∠AＣO+∠ＯCB=∠ＡCB=９０°,OＣ⊥PC,∴直线ＰC与⊙O相切．１6.（1)证明：如图，连接O C.∵ＡＤ是过点Ａ的切线，AＢ是⊙O的直径，∴AD⊥ＡB，∴∠DＡB=90°.∵OD∥BC，∴∠1=∠２，∠3=∠４.∵OC=OB,∴∠２=∠４．∴∠1=∠３．在△COD和△ＡＯD中,,∴△ＣOD≌△ＡOＤ(SAS)∴∠OCＤ=∠ＤAB=9０°,即OC⊥DＥ于点C.∵OC是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;（2）解:由=，可设CＥ=2k(k＞0),则DE=3k，∴ＡD=DC＝ｋ.∴在Rt△DAE中,AＥ=＝2k．∴tanE=＝.∵在Rt△OCE中,ｔaｎE==.∴=，∴OC=OA=.∴在Rt△AOD中，OD=＝k，∴cos∠ＡＢC=cｏs∠AＯＤ= =.。
苏科版九年级数学上圆的切线的性质及其判定习题含答案
圆的切线的性质及其判定一、选择题1.下列四个选项中的表述,正确的是()A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线2.如图1,P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,若∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为()图1A.3B.3√3C.6D.93.[2020·徐州]如图2,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于()图2A.75°B.70°C.65°D.60°4.[2019·宁波鄞州区一模]如图3,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与点A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判定CE是切线的是()图3A.∠E=∠CFEB.∠E=∠ECFC.∠ECF=∠EFCD.∠ECF=60°5.如图4,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,P是直线l上的一个动点,PQ切☉O于点Q,则PQ的最小值为()图4A.√13B.√5C.3D.5二、填空题6.如图5,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆的半径为10 cm,小圆的半径为6 cm,则弦AB的长为.图57.[2020·苏州]如图6,已知AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,连接OC交☉O于点D,连接BD.若∠C=40°,则∠B的度数是.图6⏜)上, 8.[2019·温州]如图7,☉O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧(EDF若∠BAC=66°,则∠EPF等于°.图79.[2019·鄂州]如图8,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A,B在x轴上,且OA=OB,P为☉C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为.图810.阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图,过圆外一点作圆的切线.已知:如图9,☉O和☉O外一点P.求作:过点P的☉O的切线.小涵的主要作法如下:如图10,(1)连接OP,作线段OP的中点A;(2)以点A为圆心,OA为半径作圆,交☉O于点B,C;(3)作直线PB和PC.则PB和PC就是所求作的切线.老师说:“小涵的作法是正确的.”请回答:小涵的作图依据是.图9图10三、解答题11.[2019·南通模拟]如图11,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,点O在AB上,OB=2,以O为圆心,OB为半径的☉O与AC相切于点D,交BC于点E,求弦BE的长.图1112.如图12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,与AC,BC 分别交于点M,N,与AB的另一个交点为E,过点N作NF⊥AB,垂足为F.(1)求证:NF是☉O的切线;(2)若NF=2,DF=1,求弦ED的长.图1213.已知:在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,D是边AB上的一点,过C,D两点的☉O分别与边AC,BC交于点E,F.(1)如图13(a)(b),若D是AB的中点:①在(a)中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹,不写作法);②如图(b),连接EF,若EF∥AB,求线段EF的长;③请写出求线段EF长度最小值的思路.(2)如图(c),当点D在边AB上运动时,线段EF长度的最小值是.图13答案1.[解析] C由切线的判定定理可知:经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线,故A,B,D选项不正确,C选项正确.故选C.2.[解析] A如图,连接OA.∵PA为☉O的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.∵OB=3,∴OA=3.∵∠P=30°,∴OP=6,∴BP=6-3=3.故选A.3.[解析] B∵OC⊥OA,∴∠AOC=90°.∵∠APO=∠BPC=70°,∴∠A=90°-70°=20°.∵OA=OB,∴∠OBA=∠A=20°.∵BC为☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°,∴∠ABC=90°-20°=70°.故选B.4.[解析] C如图,连接OC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.∵DE⊥AB,∴∠BDF=90°,∴∠B+∠DFB=90°.∵∠EFC=∠BFD,∴∠B+∠EFC=90°.若∠ECF=∠EFC,则∠OCB+∠ECF=90°,∴CE是☉O的切线.故选C.5.B6.[答案] 16 cm[解析] 连接OA,OC.∵AB是小圆的切线,∴OC⊥AB.∵OA=10 cm,OC=6 cm,∴AC=√OA2-OC2=8 cm.∵AB是大圆的弦,OC过圆心,OC⊥AB,∴AB=2AC=2×8=16(cm).7.[答案] 25°[解析] ∵AC是☉O的切线,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,∴∠AOC=90°-∠C=90°-40°=50°.∴∠B=1∠AOD=25°,2即∠B的度数为25°.8.[答案] 57[解析] 连接OE,OF.∵☉O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F,∴OE⊥AB,OF⊥AC.∵∠BAC=66°,∴∠EOF=114°.∵∠EOF=2∠EPF,∴∠EPF=57°.故答案为57.9.[答案] 16[解析] 连接OC并延长,交☉C上一点P,以O为圆心,以OP的长为半径作☉O,交x轴于点A,B,此时∠APB=90°,且AB的长度最大.∵C(3,4),∴OC=√32+42=5.∵以点C为圆心的圆与y轴相切,∴☉C的半径为3,∴OP=OA=OB=8,∴AB=OA+OB=16.故答案为16.10.[答案] 直径所对的圆周角是直角[解析] 连接OB,OC.∵OP是☉A的直径,∴∠PBO=∠PCO=90°,∴OB⊥PB,OC⊥PC.∵OB,OC是☉O的半径,∴PB,PC是☉O的切线.则小涵的作图依据是直径所对的圆周角是直角.11.解:如图,连接OD,过点O作OF⊥BE于点F,BE.∴BF=12∵AC是☉O的切线,∴OD⊥AC,∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°,∴四边形ODCF是矩形,∴OB=OD=FC=2.∵BC=3,∴BF=BC-FC=3-2=1,∴BE=2BF=2.12.解:(1)证明:连接ON,如图所示.∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线, ∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.∵OC=ON,∴∠ONC=∠DCB,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB.∵NF⊥AB,∴∠NFB=90°,∴∠ONF=∠NFB=90°,∴ON⊥NF.又∵NF过半径ON的外端,∴NF是☉O的切线.(2)过点O作OH⊥ED,垂足为H,如图所示. 设☉O的半径为r.∵OH⊥ED,NF⊥AB,ON⊥NF,∴∠OHD=∠NFH=∠ONF=90°,∴四边形ONFH为矩形,∴HF=ON=r,OH=NF=2,∴HD=HF-DF=r-1.在Rt△OHD中,∠OHD=90°,∴OH2+HD2=OD2,即22+(r-1)2=r2,解得r=5,2.∴HD=32∵OH⊥ED,且OH过圆心O,∴HE=HD,∴ED=2HD=3.13.解:(1)①答案不唯一,如图(a)所示.②如图(b),连接CD,FD.∵AC=6,BC=8,AB=10,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∴EF是☉O的直径.∵D是AB的中点,∴AD=BD=CD=5,∴∠B=∠DCB.∵EF∥AB,∴∠A=∠CEF.又∵∠CDF=∠CEF,∴∠A=∠CDF.∵∠A+∠B=90°,∴∠CDF+∠DCB=90°,∴∠CFD=90°,∴CD是☉O的直径,∴EF=CD=5.③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90°,∴EF是☉O的直径.∵CD 是☉O 的弦, ∴EF ≥CD ,∴当CD 是☉O 的直径时,EF 的长度最小.(2)如图(c),由(1)③知,当CD 是☉O 的直径时,EF 的长度最小,最小值为CD 的长.当点D 在边AB 上运动时,只有当CD ⊥AB 时,CD 的长最小. 由(1)②知,△ABC 是直角三角形, ∴S △ABC =12AC ·BC=12AB ·CD , ∴AC ·BC=AB ·CD , ∴CD=AC ·BC AB=6×810=245, ∴线段EF 长度的最小值为245.故答案为245.。
北京版-数学-九年级上册-22.2.1 圆的切线(课时练习)-解析版
22.2圆的切线（1）（练)一、选择题1．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误；B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确；C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误；D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误．故选B．【点评】此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键2．下列命题中正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线【分析】由切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；与切线的定义：圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：由经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故A，B，C错误；由圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线，故D正确．故选D．【点评】此题考查了切线的判定与定义．此题比较简单，注意熟记定理与定义是解此题的关键．3．下列说法错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．垂直半径的一端的直线是圆的切线【分析】A、根据垂径定理即可判断；平分弦的直径垂直于弦不一定成立，当弦为直径时，应为平分弦（非直径）的直径垂直于弦；B、根据圆周角定理就可判断；C、根据圆心角、弧、弦的关系即可判断；D、根据切线的定义即可判断．【解答】解：A．平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，选项没有强调非直径，故本选项错误．B．根据圆周角定理半圆（或直径）所对的圆周角是直角，故此选项正确；C．根据圆心角、弧、弦的关系，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等，故此选项正确；D．根据切线的定义，过半径外端点且垂直于半径的直线为圆的切线，故此选项正确；故选：A．【点评】此题考查了切线的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦关系，以及垂径定理；关键是能根据这些定理进行说理和判断．4．有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据圆周角定理、垂径定理知识，运用排除法，逐题分析判断．【解答】解：（1）应强调这条弦不是直径；故本选项错误；（2）应强调在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项错误；（3）在同圆或等圆中，等弧弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半；故本选项正确；（4）必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故本选项错误；（5）三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；（6）应该是过圆上一点且垂直圆的半径的直线是圆的切线；故本选项错误；综上所述，正确的个数是1个；故选A．【点评】本题综合考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心．本题属于基础题，在做题过程中，多一份细心就会多一份收获的．5．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）A．DE=DO B．AB=AC C．CD=DB D．AC∥OD【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．【解答】解：当AB=AC时，如图：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．所以B正确．当CD=BD时，AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC∵DE⊥AC∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线．所以C正确．当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．∴DE是⊙O的切线．所以D正确．故选A．【点评】本题考查的是切线的判断，利用条件判断DE是⊙O的切线，确定正确选项．6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连接CF，BF，下列结论中，不正确的是（）A．∠F=B．AB⊥BF C．CE是⊙O的切线D．【分析】分别利用垂径定理以及圆周角定理和切线的判定方法分别分析得出即可．【解答】解：A、∵半径OC经过AB的中点D，∴=，∴∠F=，故此结论正确，此选项错误；B、由于F点不确定，无法得出AB⊥BF，故此选项正确；C、∵半径OC经过AB的中点D，∴CO⊥AB，∵CE∥AB，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线，故此结论正确，不合题意；D、由选项A得，=，故此结论正确，此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理和切线的判定方法等知识，正确把握相关性质是解题关键．二、填空题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为．【分析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．【解答】解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，BC与圆相切，∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．故答案为：∠ABC=90°．【点评】此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．8．在直角△ABC中，∠ACB=90°，若AC=6，BC=8，以C为圆心，R为半径的圆与AB相切，则R 的值为.解析：如图：连接CD，当CD⊥AB时，AB是⊙C的切线，∵在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴AC•BC=AB•CD，即CD===．答案：9．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是.（1）．DE=DO（2）．AB=AC（3）．CD=DB（4）．AC∥OD解析：如图：连接AD，当AB=AC时，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．所以（2）正确．当CD=BD时，AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．所以（3）正确．当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．∴DE是⊙O的切线．所以（4）正确．所以（1）不正确；答案:(1).10．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=BC=5cm，点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度做匀速运动，点D在BC上且满足∠CPD=∠A，则当运动时间t=s时，以点C为圆心，以CD为半径的圆与AB相切．【分析】作CE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质得出AE=BE=3，根据勾股定理求得CE=4，即可求得⊙C的半径为4，进一步求得BD=1，根据证得△PAC∽△DBP得出=，从而求得t的值．【解答】解：作CE⊥AB于E，∵AB=6cm，AC=BC=5cm，∴AE=BE=3cm，∴CE==4cm，∵⊙C与AB相切．∴CD=CE=4cm，∴BD=5﹣4=1cm，∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠BPC=∠CPD+∠BPD=∠A+∠ACP，∠CPD=∠A，∴∠BPD=∠ACP，∴△PAC∽△DBP，∴=，即=解得t1=1，t2=5，故答案为1或5．三、解答题11.如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．求证：BC是⊙O的切线；分析：连结OD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，而∠OAD=∠ODA，则∠ODA=∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论.证明：如图，连结OD，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠B AD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，.∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线12. 如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A、D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E.（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE＝4：5，BC＝6，求⊙O的直径．【答案】（1）、证明过程见解析；（2）、5.【解析】试题分析：（1）、连接OD，根据△AOD为等腰三角形可得∠A=∠ODA，根据∠A+∠CDB=90°可得∠ODA+∠CDB=90°，从而得出∠BDO=90°；（2）、连接OE，根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADE=90°，根据D 为中点可得E为AB的中点，根据△ADE和△ACB相似可得AC：AB=4:5，然后求出BC的长度，从而得出直径的长度.试题解析：（1）、连接OD，在△AOD中，OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，又∵∠A＋∠CDB＝90°∴∠ODA＋∠CDB＝90°，∴∠BDO＝180°－90°＝90°，即OD⊥BD，∴BD与⊙O相切．（2）、连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴DE∥BC.又∵D是AC的中点，∴AE＝BE. ∴△AED∽△ABC.∴AC∶AB＝AD∶AE. ∵AD：AE=4:5 ∴AC∶AB＝4∶5，令AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x. ∵BC＝6，∴AB＝10，∴AE＝5，∴⊙O的直径为5.考点：（1）、切线的判定；（2）、三角形相似的应用.。
湘教版九年级数学下册《2.5.1圆的切线》课时达标试卷含答案2
湘教版九年级数学下册《2.5.1圆的切线》课时达标试卷含答案2第2课时切线的性质01基础题知识点圆的切线的性质1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径为(C) A．1 B. 3 C．2 D．4第1题图第2题图2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，若∠ABC＝70°，则∠A等于(C)A．10°B．15°C．20°D．30°3．(邵阳中考)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是(A)A．30°B．45°C．60°D．40°第3题图第4题图4．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB 的长为(C)A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm5．(自贡中考)AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.若∠P＝40°，则∠B等于(B)A．20°B．25°C．30°D．40°第5题图第6题图6．如图所示，⊙O与AC相切于点A，且AB＝AC，BC与⊙O相交于点D，下列说法不正确的是(D)A．∠C＝45°B．CD＝BDC．∠DAB＝∠DAC D．CD＝AB7．(湘潭中考)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA＝4．第7题图第8题图8．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB＝30°，则∠B＝60°.9．如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC ＝BC.证明：∵AB切⊙O于点C，∴OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC.10．(株洲中考)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.(1)求∠BAC的度数；(2)求证：AD＝CD.解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵直线BC与⊙O相切于点B，∴∠ABC＝90°.∴∠ABD＝45°.∴∠BAC＝180°－90°－45°＝45°.(2)证明：∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，∴∠C ＝45°.∴AB ＝CB.又∵BD ⊥AC ，∴AD ＝CD.02 中档题11．(嘉兴中考)如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，以点C 为圆心的圆与AB 相切，则⊙C 的半径为(B )A ．2.3B ．2.4C ．2.5D ．2.6第11题图 第12题图12．(枣庄中考)如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是(A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°13．(益阳中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点．若∠P ＝40°，则∠D 的度数为115°．第13题图 第14题图14．(自贡中考)如图，一个边长为4 cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等，⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为3cm .15．(娄底中考)如图，在⊙O 中，AB ，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD ，BC ，BD.(1)求证：△ABD ≌△CDB ；(2)若∠DBE ＝37°，求∠ADC 的度数．解：(1)证明：∵AB ，CD 是直径，∴∠ADB ＝∠CBD ＝90°.在△ABD 和△CDB 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB(HL )．(2)∵BE 是切线，∴AB ⊥BE.∴∠ABE ＝90°.∴∠ABD ＋∠DBE ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°.∴∠BAD ＝∠DBE .∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA∴∠ADC 的度数为37°.16．(益阳模拟)如图，AC 是⊙O 的直径，四边形ABCD 是平行四边形，AD ，BC 分别交⊙O 于点F ，E ，连接AE ，CF.(1)试判断四边形AECF 是哪种特殊的四边形，并说明理由；(2)若AB 与⊙O 相切于点A ，且⊙O 的半径为5 cm ，弦CE 的长为8 cm ，求AB 的长．解：(1)四边形AECF 是矩形．理由如下：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC ＝∠AFC ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AF ∥EC.∴∠EAF ＝∠AEC ＝90°.∴四边形AECF 是矩形．(2)∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°.∵∠ACE ＝∠BCA.∴Rt △CAE ∽Rt △CBA.∴CA ∶CB ＝CE ∶CA ，即10∶CB ＝8∶10.∴AB ＝BC 2－AC 2＝152.03 综合题17．(丽水中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E.(1)求证：∠A ＝∠ADE ；(2)若AD ＝16，DE ＝10，求BC 的长．解：(1)连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°.∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO.∴∠ADE＝∠A. (2)连接CD，∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线．∴DE＝EC.∴AE＝EC.∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.在Rt△ADC中，DC＝202－162＝12.设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋16)2－202，∴x2＋122＝(x＋16)2－202.解得x＝9.∴BC＝122＋92＝15.。
人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）
2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。
圆的切线的判定练习题2024~2025学年人教版数学九年级上册++
切线的判定练习题1.如图，⊙O是△ACD的外接圆，CD是⊙O的直径，点B为圆外一点，且∠BAD＝∠C．求证：AB是⊙O的切线．2.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．3.如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．4.如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：AD＝CD；（2）求证：DE为⊙O的切线．5.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AĈ=CD̂=DB̂，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．6.如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D．求证：CD是⊙O的切线．7.如图△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．（1）求证：⊙D与AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，试求AE的长．8.如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是⊙O的切线．9.如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线．10.如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，AD平分∠CAB交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，DE=√3，求线段AC的长．11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G，求证：FG是⊙O的切线．12.如图，已知AB＝AC，以AB为直径的圆O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如果∠BAC＝120°，求证：DE=14BC．13.如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，且∠A＝∠CDB＝∠COB．求证：CB是⊙O的切线．14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，BC＝6，∠ACB的平分线CO交AB于点O，以OB为半径作⊙O．（1）请判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求⊙O的半径．。
切 线+++第1课时 圆的切线的判定与性质++课件++2024—2025学年华东师大版数学九年级下册
证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F. ∵OA切⊙D于点E，∴DE⊥OA. 又∵DF⊥OB，D是∠AOB平分线上一点， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切．
知识点2：切线的性质
3．(长春中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35
°，则∠ACB的度数为
（C ）
A．35°
B．45°
(2)解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r＋1， 4 OE r
∵sin∠AFE＝5＝OF＝r＋1， ∴r＝4，∴AB＝2r＝8， 在Rt△ABC中， sin∠ABC＝AACB＝sin∠AFE＝45，AB＝8， ∴AC＝45×8＝352，∴BC＝ AB2－AC2＝254.
的延长线于点 D.若⊙O 的半径为 1，则 BD 的长为
（D ）
A．1
B．2
C. 2
D. 3
8．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂 直，垂足为 D. (1)求证：AC 平分∠DAB；
3 (2)若 AD＝8，tan∠CAB＝4，求边 AC 及 AB 的长．
如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作 AC的垂线，垂足为点E. (1)求证：点D是BC的中点； (2)求证：DE是⊙O切线． 【思路分析】(1)根据“三线合一”证明； (2∵AB是直径，∴AD⊥BC， 又∵AB＝AC，∴BD＝CD, ∴点D是BC的中点． (2)连接OD，∵AO＝BO, BD＝CD， ∴OD∥AC，又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线． 【名师支招】切线的判定方法2，3的选择标准是看直线与圆的公共点是 否已知，若已知公共点，则连圆心与公共点，证垂直；若公共点未知， 则过圆心作垂线，证d＝r.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《圆的切线的性质和判定》课时练习(附答案）【回顾与思考】
现实情境⎧
⎪
⎧
⎪
⎨⎨
⎩
⎪
⎪
⎩
圆的切线的性质--三角形内切圆
应用:d=r
圆的切线的判定
判定定理
圆的切线性质与判定综合应用
【经典例题】
关于三角形内切圆的问题
例1。
如图,点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BＡC=8０°,则∠BOC=( )
A.130°B．1００°Ｃ.50°D．65°
【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．
圆的切线性质的应用
例2.已知:如图，ＡB是⊙Ｏ的直径,ＰA是⊙O的切线，过点Ｂ•作BC•∥ＯP交⊙Ｏ于点Ｃ,连结ＡC.
(1)求证:△ＡＢC∽△PＯA;（2）若ＡＢ=２，
PA=2,求BC的长.(结果保留根号)
圆的切线的判定
例3。
已知:如图，AB是⊙Ｏ的直径，P是⊙O外一点，PＡ⊥AB，•弦
BC∥OP，请判断Ｐ
C是否为⊙O的切线，说明理由.
【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目.解决问题的关键是一条常用辅助线，即连结OC．
【考点精练】
一、基础训练
1．已知⊙Ｏ的半径为8cm,如一条直线和圆心O的距离为8cｍ,那么这条直线和这个圆的位置关系是（)
Ａ.相离 B.相切 C.相交D．相交或相离
2．如图1，AB与⊙Ｏ切于点B,AＯ=6cｍ，AB＝4cm,则⊙O的半径为（)
A.45cm
B.２5cm C．213ｃm D．13m
（1) (2）（３) 3.如图2，已知∠AOB＝30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心，•2cｍ•为半径作⊙M,•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．
4．已知：如图3，AB为⊙O直径,BＣ交⊙O于点Ｄ,DＥ⊥AC于E，要使ＤE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______(只需填一个条件）．
5.如图4，AB为半圆O的直径,CＢ是半圆O的切线,B是切点,AC•交半圆Ｏ于点D,已知ＣＤ=1，AD=3,那么ｃoｓ∠CＡＢ＝____＿___．
(４）（5) ６．如图５，BＣ为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点Ｄ作⊙Ｏ•的切线ＡD，BA⊥D
Ａ于A，ＢA交半圆于E，已知BC=10,ＡD=4,那么直线ＣE与以点Ｏ为圆心，5
2
为半径
的圆的位置关系是___＿____.
７.如图，⊙Ｏ的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动.当⊙O移动到与ＡC边相切时,OＡ的长为多少？
8.如图，⊙Ｏ是△AＢC的内切圆，Ｄ、Ｅ、F分别是切点，判定△DＥF的形状(按角分类)，并说明理由.
二、能力提升:
9．如图,直线AB切⊙O于点A,点C、D在⊙O上．
试探求：(1)当AＤ为⊙O的直径时,如图①，∠D与∠CＡB的大小关系如何?•并说明理由．
(2)当AD不为⊙Ｏ的直径时，如图②，∠D与∠ＣAB的大小关系同②一样吗?•为什么？
①②
10.如图,⊙O的直径ＡB=6cm,D为⊙O上一点，∠BAD=３0°，过点Ｄ的切线交AB•的延长线于点C.
求:(1）∠ADＣ的度数；（2)AＣ的长.
11.在图1和图２中，已知OA＝OB,ＡB=24,⊙O的直径为1０.
(１)如图１,ＡB与⊙Ｏ相切于点C，试求OA的值；
（2）如图２，若ＡB与⊙O相交于D、Ｅ两点,且D、E均为AB的三等分点,试求taｎA 的值.
１2.如图,在△ABＣ中，∠C=90°,以BＣ上一点O为圆心,以ＯB为半径的圆交AB•于点Ｍ,交ＢC于点Ｎ．
（1）求证:BA·ＢM＝BC·BN;
(2）如果ＣＭ是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC＝3时,求ＡＢ的值．
１3．已知:如图,△AＢC内接于⊙O,点Ｄ在OC的延长线上,siｎＢ=1
2
，∠ＣＡD=３0°．
(1)求证：AD是⊙O的切线;（２)若OＤ⊥AB，BＣ=５，求ＡD的长.
三、应用与探究：
14.已知在Rｔ△ABC中,∠C=９0°，ＡＤ是∠BAC的角平分线，以AB上一点Ｏ为圆心,A Ｄ为弦作⊙O．（1)在图中作出⊙O;（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证:ＢC为⊙O的切
线;(3)若AＣ=3，ｔaｎＢ=3
4
,求⊙Ｏ的半径长.
15.（2014•德州,第22题１0分）如图,⊙O的直径ＡB为10cm,弦ＢC为5ｃm,Ｄ、Ｅ分别是∠AＣＢ的平分线与⊙Ｏ，AＢ的交点，P为AＢ延长线上一点,且PＣ=PＥ.
(1）求AC、AD的长；
（２）试判断直线ＰＣ与⊙O的位置关系,并说明理由．
16．（２01４•菏泽，第１８题１０分）如图,ＡＢ是⊙O的直径，点C在⊙Ｏ上,连接BC,AC,作ＯD∥BC与过点Ａ的切线交于点D，连接DＣ并延长交ＡB的延长线于点Ｅ.
(1）求证：DＥ是⊙Ｏ的切线;
（2）若＝，求ｃoｓ∠AＢC的值．
参考答案：
例题经典例1：Ａ例2：(1)略（２）ＢC=2
3
3例3:略
考点精练1．B 2．B 3．4 4．∠B＝∠C 3
6.相离
23
8．△DEF•是锐角三角形.连结OD、ＯＥ、ＯF．综合应用圆的切线性质,四边形内角和定理
和圆周角定理．可以证得∠ＤＥF=9０°-1
2
∠A,∠ＤFＥ=９0°-
1
2
∠B，∠ＥＤ
F=90°-1
2
∠C．
△DＥF的三个内角都是锐角
9.（1）∠D=∠CＡＢ，理由（略) （2)∠Ｄ=∠CＡB 作直径ＡE、连结CE 由(1）可知：•∠Ｅ＝∠ＣAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CＡB
1０．（１)∠ADＣ的度数为1２0°（2）９cm
１1．(1)解:连结ＯC ，∵ＡＢ与⊙O 相切于C 点，∴∠O ＣA ＝9０°,∵O Ａ=OB,∴ＡC ＝B Ｃ=12 在Rt•△ACO 中,OA ＝2222125AC OC +=+=13
(2）作OF ⊥A Ｂ于点Ｆ点，连结ＯD ，∴DF=EF ；AF=AD+DF=8+４=12,在Rt•△OD Ｆ中,O Ｆ=222254OD DF -=-=3，在Rt △ＡＯF 中，tanA=
31124OF AF == １2.(1）证明:连接ＭN 则∠BMN=90°＝∠ACB ，•
∴△ACB ∽△ＮMB ，∴BC AB BM BN
=，∴A Ｂ·BM ＝B Ｃ·BN
(2)解：连接ＯM,则∠O ＭＣ=90°，∵Ｎ为OC•中点，•∴M Ｎ=ON ＝OM ，∴∠ＭＯN=６０°,∵OM ＝OB ，∴∠B=12
∠M ＯN ＝３0°.∵∠A ＣB=90°,∴AB=２AC=2×3＝6 １3.(１)证明：如图，连结OA,因为ｓｉｎB=
12,所以∠Ｂ=3０°，故∠O ＝６0°,又OA=OC ，•所以△ACO 是等边三角形,故∠OAC=60°,因为∠ＣA Ｄ=30°,所以∠OAD=9０°,所以AD•是⊙O 的切线
（2)解:因为O Ｄ⊥AB,所以OC 垂直平分AB ，则AC=BC=5,所以OA=５,•在△ＯＡD 中,∠OA Ｄ=９0°,由正切定义，有ｔan ∠A ＯD=
AD OA ,所以A Ｄ=５3 １4.
15．解：(１）①如图，连接BD,∵AＢ是直径,∴∠ＡCＢ=∠AＤB=９０°,在RＴ△ABC中, AＣ==＝８，
②∵CD平分∠ＡＣＢ,∴AＤ=BD,∴Rt△ABD是直角等腰三角形,∴AＤ=AB＝×1０
=5cm;
（2)直线ＰC与⊙O相切，理由:连接OC,∵ＯC=ＯA,∴∠CＡO=∠OCＡ,∵PＣ＝ＰE,∴∠P ＣE=∠PEC，∵∠PEC=∠ＣＡＥ＋∠ACE，∵CD平分∠ＡCＢ,∴∠ＡCE=∠ECB，∴∠PCB ＝∠ACO,∵∠ACB=90°，∴∠OCＰ=∠OCＢ+∠PCB=∠AＣO+∠ＯCB=∠ＡCB=９０°,
OＣ⊥PC,∴直线ＰC与⊙O相切．
１6.（1)证明：如图，连接O C.∵ＡＤ是过点Ａ的切线，AＢ是⊙O的直径，∴AD⊥ＡB，∴∠DＡB=90°.∵OD∥BC，∴∠1=∠２，∠3=∠４.∵OC=OB,∴∠２=∠４．∴∠1=∠３．
在△COD和△ＡＯD中,
,∴△ＣOD≌△ＡOＤ(SAS)∴∠OCＤ=∠ＤAB=9０°,即OC⊥DＥ于点C.
∵OC是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;
（2）解:由=，可设CＥ=2k(k＞0),则DE=3k，∴ＡD=DC＝ｋ.∴在Rt△DAE中,AＥ=＝2k．∴tanE=＝.∵在Rt△OCE中,ｔaｎE==.∴=，
∴OC=OA=.∴在Rt△AOD中，OD=＝k，∴cos∠ＡＢC=cｏs∠AＯＤ= =.。