函数的凸性及应用文献综述
凸函数详细论文
目录一、凸函数的定义及其关系 (3)（一）凸函数的几种不同定义 (3)（二）不同定义之间的相互联系 (4)二、凸函数的性质 (4)（一）凸函数的一些简单运算性质 (4)（二）凸函数的其他性质 (7)三、函数凸性的判断方法 (11)四、凸函数的应用 (14)（一）有关凸函数的两个重要不等式 (14)（二）凸函数的性质在证明几个经典不等式中的应用 (15)（三）凸函数在初等不等式证明中的应用 (17)（四）凸函数在积分不等式中的应用 (19)五、总结 (20)参考文献 (18)凸函数的性质及应用马志霞（西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州730070）摘要:凸函数是一类非常重要的函数，它的概念最早见于Jensen著作中在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划等学科的理论基础和有力工具。
本文由凸函数的定义出发，给出了凸函数的七种等价定义，讨论了凸函数的有关性质,研究了函数凸性的判定方法，以及它在证明不等式中应用.关键词: 凸函数；不等式；性质；判别；证明；应用The properties and application of convex functionMa Zhixia(School of mathematical and statistical Northwest Normal University，Gan Su LanZhou 730070) Abstract: Convex function is a kind of very important function, the concept of the earliest it can be found in Jensen writings in pure mathematics and applied mathematics has extensive application in many fields, has become the basic theory of mathematical programming disciplines and powerful tool. In this paper, starting from the definition of convex function, seven equivalent definition of convex function are given, some properties of convex function are discussed, the methods for judging the convex function, and its application in proving inequality in.Key words：Convex function；inequalitye；property；distinction；proof；application一、凸函数的定义及其关系（一）凸函数的几种不同定义定义 1 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意两点12,x x 和任意实数(0,1),λ∈有()()()21211)()1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义2 设函数)(x f 定义在区间I 上.若对I 上任意不同的两点12,x x ，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+ ,则称)(x f 是I 上的凸函数. 定义3 设函数)(x f 定义在区间I 上,对于任意的I x x x n ∈,,21 ，,有()()nx f x f x f n x x x f n n +++≤+++ 2121)()(， 则称)(x f 是区间I 上的凸函数. 定义4 设函数)(x f 定义在区间I 上，对于I 上任意三点123x x x <<，下列不等式中任何两个组成的不等式成立，()()()232313131212)()(()x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤--，则称)(x f 是区间I 上的凸函数.定义5 利用二阶导数判断曲线的向来定义函数的凸性：设函数()f x 在区间(,)a b 内存在二阶导数,则在(,)a b 内有 ()0()f x f x ''>⇒在(,)a b 内严格凸数。
函数的凸性及应用[含论文、综述、开题-可编辑]
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设计（20 届）函数的凸性及应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：凸函数是一类非常重要的函数，运用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也可以用来证明一些不等式，同时，凸函数的研究结果也在许多领域得到了广泛的应用。
本文首先介绍了凸函数的定义；接着介绍了凸函数的几个定理；然后介绍了凸函数的性质；最后进一步介绍了凸函数的应用。
本文主要集中考虑了凸函数在下面几方面中的应用：凸函数在证明Hadamard不等式中的应用，凸函数在证明Jensen不等式中的应用，凸函数在一些分析不等式中的应用等。
关键词：凸函数；连续；等价描述；不等式Convex Function and Its ApplicationAbstract：Convex function is a kind of very important functions，when considering the convexity of function, it can not only describe the image of function much more scientifically and accurately, but also can be made use of to prove inequalities. At present convex function has a widely application in many areas. In this paper, we firstly introduce the definition of convex function, and take an overview of the property of Convex function, based on properties of convex function, we then further propose the application of convex function which mainly focus on inequality proof. Finally, the proof of Hadamard inequality, Jensen inequality and some other analysis inequalities are discussed.Key words:Convex function; Continuous; Equivalent description; Inequality目录1 绪论 (1)1.1 问题的背景及研究意义 (1)2 凸函数的定义及性质 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 相关的几个定理 (3)2.3 凸函数的性质 (7)3 凸函数的应用 (13)3.1凸函数在证明初等不等式中的应用 (13)3.2凸函数在证明函数不等式中的应用 (14)3.3凸函数在证明积分不等式中的应用 (14)3.4凸函数在证明Jensen不等式中的应用 (15)3.5凸函数在证明Hadamard不等式中的应用 (16)4 结论 (18)致谢 (19)参考文献 (20)1 绪论1.1 问题的背景及研究意义在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。
【开题报告】凸函数的开题报告
凸函数的开题报告一、文献综述凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen[1905]著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。
为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，产生了广义凸函数。
凸函数有许多良好的性质，例如，其中一个很重要的性质就是：在凸集中，凸函数的任何局部最小也是全局最小。
它在数学的许多领域中都有着广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具。
但是凸函数的局限性也很明显，因为在实际问题中，大量的函数都是非凸的。
为了理论上的突破，加强它们在实践中的应用，20xx年代中期产生了凸分析，凸函数的概念也按多种途径进行推广，或对于抽象空间的推广，或对于上面提到的不等式的推广，然后提出了广义凸函数的概念。
20xx年代后期，先是有Mangasarian把凸函数的概念推广到拟凸函数(quasi-convex functions)和伪凸函数(pseudo-convex functions)。
我们知道，在数学规划的理论及算法中，函数的凸性只是一个充分条件，而不是必要条件。
如何推广函数的凸性概念，使得在更广泛的函数范围内，凸函数的许多重要性质仍然得以保留，凸规则的大多数结果能推广到非凸规则，已构成了数学规划研究领域的当前趋势之一，所以研究广义凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。
拟凸函数(quasi-convex functions)是一类非常重要的广义凸函数，已有大量文献对此作了研究，拟凸函数可以定义为：如果对任意及任意的，有，则称为上的拟凸函数。
先是杨新民教授给出了拟凸函数、严格拟凸函数及强拟凸函数的性质，讨论了他们之间的关系，得到了某些有意义的结论。
拟凸函数的定义具有多种形式且相互之间有等价关系。
同时又有许多专家研究拟凸函数的上半连续性和下半连续性。
凸函数的判别和应用
初等数学和高等数学中的一些应用．论文的亮点：在例６中，利用凸函数的判别方法２中的定理 １通过限制数字的大小和变形得出两个结论，用以解决比较数的大小的三种类型． 【答辩】： 1、问：判别函数凸性的前提条件是什么？
该论文选题明确，并有实例佐证.每给出一个例子，都能用 自己的理解和所学数学知识进行比较恰当的分析.特别是在问 题解决中对凸函数的选取做了一些尝试.对某些例子能归纳出 一般的情形.
该论文概念明晰，条理清楚，语言顺畅，推理较严谨，有总 论、有分论，文章结构合理，符合毕业论文的规范要求，达到 学士学位论文的水平，是一篇较好的毕业论文.
指导教师意见
选题符合要求、进度安排合理、同意开题.
教研室主任意见
准备充分，同意开题.
签字： 签字：
年月日 年月日
3
毕业论文（设计）成绩评定表一
学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
指导教师意见：
林庆同学所写论文《凸函数的判别和应用》，选题有意义， 文中主要给出了凸函数的三个定义以及用意义、定理和几何意 义判别函数的凸函数的三种方法，然后应用凸函数的性质证明 几个重要而又常用的不等式，并给出凸函数在高等数学和初等 数学中的一些应用.这进对一步认识和理解凸函数有一定的帮 助和实用价值.
初评成绩：
签字：
年月日4毕业论文（设计答辩记录学号：2004104509 姓名：林庆 年级：2004 级 专业：数学与应用数学
【论文自述】：给出凸函数的三个定义和三种凸函数的判别方法以及凸函数的应用．其中三种凸 函数的判别方法２中利用了三个定理；应用分为两个部分，第一是用凸函数去证明三个重要的常
凸函数的性质研究毕业论文完整版
凸函数的性质研究毕业论文完整版凸函数是数学分析中一个重要的概念，具有广泛的应用。
在本篇毕业论文中，我将对凸函数的性质进行研究和探讨。
首先，我将介绍凸函数的定义和基本性质。
凸函数是指在定义域上的任意两点所连线的斜率都大于等于函数曲线上相应点的斜率。
简单来说，对于凸函数而言，函数曲线上的任意两点的切线均位于函数曲线上方。
这个定义可以很好地反映凸函数的凸起性质。
接下来，我将讨论凸函数的一阶导数和二阶导数的关系。
根据凸函数的定义，可以得出结论：对于函数的一阶导数，如果它是递增的，则该函数是凸函数；对于函数的二阶导数，如果它是非负的，则该函数是凸函数。
这一结论有助于我们通过导数的信息来判断函数的凸性质。
然后，我将探讨凸函数的性质在优化问题中的应用。
凸函数在优化问题中起到了重要的作用。
由于其凸起的性质，凸函数在求最优解的问题中往往能够确保找到全局最优解。
这一特性在实际问题中有着广泛的应用，比如投资组合优化、机器学习中的支持向量机等。
最后，我将研究凸函数的拓展性质。
除了一般的凸函数，还有一些特殊的凸函数形式，比如凸锥函数、凸二次规划等。
这些凸函数的研究将会进一步丰富我们对凸函数的认识，并提供更多的数学工具和方法。
通过对凸函数性质的研究，我们可以更好地理解凸函数的特性和应用。
凸函数不仅在数学领域有着广泛的研究价值，而且在实际问题中也有很多应用价值。
通过深入研究凸函数的性质，我们可以为解决优化问题和最优化问题提供更多的数学工具和方法。
总之，凸函数的性质研究是一个复杂且有意义的课题。
本篇毕业论文将通过介绍凸函数的定义和基本性质，探讨凸函数的一阶和二阶导数的关系，讨论凸函数在优化问题中的应用，以及研究凸函数的拓展性质等方面，对凸函数的性质进行深入的研究和探讨。
希望通过这篇毕业论文的研究，对凸函数的理解和应用有所帮助。
凸函数的性质及其应用 毕业论文
凸函数的性质及其应用摘要凸函数是一类重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，本文给出了凸函数的三种等价定义，并讨论了凸函数的有关性质，以及它在不等式方面的相关应用。
[关键词]凸函数等价定义性质应用最优化Nature and Application of Convex FunctionAbstractConvex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature applicationOptimization目录绪论 (1)1凸函数的概念与等价定义 (1)1.1凸函数的概念 (1)1.2凸函数的等价定义 (2)2凸函数的简单性质 (3)3凸函数的判定定理 (5)4关于凸函数的几个重要不等式 (7)4.1Jensen不等式 (7)4.2Hadamard不等式 (10)5 凸函数的应用 (11)5.1 凸函数在证明不等式中的应用 (11)般凸函数和凸集 (13)广义凸函数求极小的问题 (14)5.4广义凸函数求极大的问题 (16)结束语 (19)致谢 (19)参考文献 (20)绪论凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。
凸函数的性质与应用【文献综述】
文献综述数学与应用数学凸函数的性质与应用凸函数是数学分析中一类非常重要的函数,它不仅在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化，运筹学等)中具有重要的应用,在具体的数学学科学习中也有重要的应用.我们在华东师范大学数学系编的数学分析书上册的第六章第五节学习了凸函数的有关定义和性质.在该书中对凸函数的定义叙述为:定义1[1] 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上的任意两点1x ,2x 和任意实数λ∈（0,1）总有: 1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.几何形状如下图所示:根据凸函数的定义和相关引理,我们可以得出关于二阶可导凸函数的一个重要的充要条件：定理2[1]设f 为区间I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸函数的充要条件是: 0)(''≥x f ,I x ∈.从凸函数的定义,图像,充要条件上,我们可以看到凸函数有其本身的特殊性和直观性,而这些性质对于证明某些较复杂的不等式,解答高中里的数学题目均有很大的帮助.国内外现状与研究方向：由于凸函数在数学上的广泛应用,国内外越来越多的学者专注于对凸函数各个方面的研究.首先,在凸函数的众多研究课题当中,对其基本定义和性质的研究最为广泛和普遍.研究的主要内容包括凸函数及对其概念的理解,等价定义,判别法,它的线形性[华东师范大学.数学分析上册(第三版)就对凸函数的概念和定义作了详细的说明].除了对凸函数原有性质的研究之外,对其新性质的研究也使研究者们趋之若鹜.目前越来越多的学者专注于凸函数的若干新性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,寻找求解线性与非线性不等式组的新方法.其次,在对凸函数的定义和性质有了充分研究的前提下,研究者们更加关注对凸函数的应用的研究.例如研究其与不等式证明有关的下凸函数的性质[邱忠文,刘瑞金.函数的凹凸性及不等式的证明;王新奇.利用函数的凹凸性证明一类三角不等式];利用Jenven不等式证明当 n 取任意自然数时该性质的推广;在不等式中的应用[于靖.利用曲线的凹凸性证明柯西不等式];凸函数与极值,导数的一些关系[裴礼文.数学分析中的典型问题与方法;孙本旺,汪浩.数学分析中的典型例题和方法];判断函数极值点与拐点等应用.凸函数在高中数学中的研究也是一大亮点:由于凸函数是一类象形函数,在高中课程中虽然没有明确引入它的定义和概念,但因其性质具有明显的直观性,可以考查学生的观察能力和知识迁移能力,又可考查函数的各种性质,还能使平淡的题目增色,所以近年来已受高考命题人的青睐.初等函数基本都是凸函数,研究凸函数性质的纵向和横向的发散应用[方良秋.高考题中凸函数的题型及应用].最后,随着凸函数的凸性在数学,物理学,经济学,管理学,最优化理论等领域的广泛应用,对凸函数的凸性的进一步研究已成为众多学者密切关注的一个焦点,而由凸集和凸函数拓展延伸而产生的各类凸集和凸函数的不断出现,不仅极大地丰富了凸分析理论,而且有力地推动了数学科学的发展,特别是对数学规划,控制论,最优化等领域的发展起到巨大的作用,也引起了众多学者的密切关注和极大兴趣[钟伟,周彬林.凸函数的几种不同定义及应用].进展情况：一开始时,凸函数的重要作用被认为是在一些具体学科,如机器人学,模具设计或一些数学分支(如全局优化,运筹学等)中的应用.但随着对凸函数横向和纵向研究的逐渐深入,研究者们越来越意识到凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用.例如由重庆师范大学罗超群学者所写的《凸函数在分析中的初探》就详细得探讨了凸函数的线形性和凸函数与极值,倒数的一些关系;由中国科学院计算数学与科学工程计算研究所时贞军学者和曲阜师范大学运筹与管理学院岳丽学者所写的《凸函数的若干新性质及应用》则详细讨论凸函数的性质在求解线性与非线性不等式组和线性规划中的应用,为线性与非线性不等式组,线性规划的求解提供了一种新方法;由井冈山职业技术学院的晏忠红学者所写的《凸函数的应用》则对用凸函数方法和凸函数詹生不等式推证几种重要的不等式作出了讨论;由湖南省汨罗市第二中学的刘正良和宋加文老师则在《凸函数理论及应用策略》中描述了凸函数在初高中数学学科中的具体应用.总之,学者们对凸函数各方面的研究是趋之若鹜,使得凸函数在各方面的应用也越来越深入.存在问题：现阶段关于凸函数主要存在三个方面的问题:（1）在一元微积分的教学里,函数的凹凸性的的概念却往往被忽视.在一些工科类的微积分教材中,对于函数的凹凸性的判断甚至就简单地通过比较函数图像和其切线(或割线)的上下位置关系来描述.（2）对二元凸函数的性质研究较少.(3)对于凸函数的定义和基本性质的介绍比较分散,跨度大.参考文献：[1] 华东师范大学. 数学分析上册（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006：119-125.[2] 雷澜.凸函数的性质与不等式证明[N].渝州大学学报,2000,17(4):19-21.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 186-191.[4] 卢兴江,金蒙伟. 高等数学竞赛教程[M]. 杭州: 浙江大学出版社, 2010: 20-46.[5] 顾荣. 函数凹凸性定义的探讨[J]. 佳木斯教育学院学报，2010, 102(6): 299.[6] 王庆东,侯海军. R n 中函数凹凸性判定的充要条件[J]. 河北理科教学研究， 2003, 3: 50.[7] 张国坤. 多元函数的凹凸性再探[J], 曲靖师专学报. 1995, 14(6): 29-31.[8] 陈朝晖. 二元函数凹凸性的判别法及最值探讨[J]. 高师理科学刊, 2010, 30(5): 25-28.[9] 白景华. 凸函数的性质、等价定义及应用[J]. 开封大学学报, 2003, 17(2), 69-64.[10] 赵文彼, 栗洪敏. 利用函数的凹凸性推导出一批积分不等式[J]. 工科数学, 1994, 10(4):227-229.[11] 王新奇. 利用函数的凹凸性证明一类三角不等式[J]. 西安文理学院学报(自然科学版), 2005,8(3): 37-40.[12] 于靖. 利用曲线的凹凸性证明柯西不等式[J]. 辽宁师专学报, 2003, 5(2): 2-3.[13] 沈文国. 用泰勒公式研究函数凹凸性的一种拓广[J]. 兰州工业高等专科学校学报, 2001,8(4): 4-8.[14] 普丰山, 李兆强. 连续函数的单调性及凸凹性研究[J]. 河南科学, 2009, 27(8): 896-899.[15] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992：203-205.[16] 时贞军. 无约束优化的超记忆梯度算法[J]. 工程数学学报, 2000, 17(2): 99-104.[17] 孙本旺, 汪浩. 数学分析中的典型例题和方法[M]. 长沙: 湖南科学技术出版社, 1983：246-264.[18] 方良秋.高考题中的凸函数题型及其应用[J].数学教学通讯报,2007,271:38-4.[19] 李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[N].广西师范学院学报,2004,21(2):93-95.[20] 邱忠文, 刘瑞金. 函数的凹凸性及不等式的证明[J]. 工科数学, 1993, 19(3): 151-154.[21] 陈太道.凸函数判定及其应用[N].临沂师范学院学报,2002,24(3):91-92.[22] 古小敏.对凸函数定义之间等价性的进一步研究[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2009,26(2):172-182.。
凸函数的性质及其应用
凸函数的性质及其应用摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。
凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。
凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。
为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题目录摘要 (I)Abstract......................................................................................... 错误!未定义书签。
第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (10)2.4 几种常见的不等式 (11)第3章在数学中的应用 (12)3.1. 初等不等式的证明 (13)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (16)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (20)4.1.1 线性规划下的最优化问题 (20)4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (22)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (28)结论 (29)参考文献 (30)致谢 (31)第1章 绪 论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。
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函数的凸性及应用文献综述文献综述函数的凸性及应用一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点)凸函数是一类重要的函数。
对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。
特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数都有着十分重要的作用。
凸函数的定义,最早是由Jersen给出的。
各文献中对凸函数的定义不尽相同,在大学的数学分析或高等数学教材中,常常只研究具有二阶导数的凸函数。
本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。
然后由基本性质进行延伸,进一步给出凸函数的应用。
对于凸函数的应用,本文拟将主要介绍以下的几点:凸函数在证明Jensen不等式时的应用;凸函数在Hadamard不等式中的证明的应用;凸函数在分析不等式中的应用等。
二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述)凸函数具有一些非常优良的性质[1],有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用。
1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义,经过近百年努力,凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展,在现代学习应用函,和生活中的重要性已经不断的凸显出来。
凸函数是一类非常重要的函数．数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用,所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。
2.1凸函数的定义2.1.1凸函数一些基本定义通过数学分析的学习,对于函数和的图像,我们很容易看出它们之间的不同点:曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线则相反,在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。
通过这两个函数,我们把前一种特性的曲线称为凸的,后一种为凹的。
对于凸的我们称其函数为凸函数。
数学分析[2]给出了凸函数的基本定义:设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数总有,则称为上的凸函数。
葛丽萍[3]介绍了以下的结论:若区间上的任意三点,总存在,这个条件是为上的凸函数的充要条件,该证明在数学分析中已经详细的给出了。
同理,通过推广,可以得出另一个更进一步的充要条件:在区间上的任意三点,有成立,则为上的凸函数。
并且若为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件为。
2.1.2严格凸函数的定义江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方法。
定义:凸函数的定义为函数满足以下不等式,其中为区间上的函数,,为上的任意两点和。
当上面的不等式变为时,其余条件不变,该函数称为严格凸函数。
则在区间上是严格凸函,在上严格递增,设为区间上可导函数、:1判定方法数。
反之,不成立;2、设为区间上二阶可导函数,在上.则在区间上是严格凸函数。
2.1.3凸函数的等价描述林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述,由此得出:若在上有定义,则以下3个命题等价:在上为凸函数;,,有;,且不全为零,有。
其中命题就是著名的Jensen不等式。
在Jensen不等式中令就得到如下定义:设在区间上有定义,称为上的凸函数,当且仅当有。
葛丽萍[3]介绍了函数在区间上可导的等价条件:若为区间上的可导函数,可得出以下等价条件。
(1)为上的凸;(2)为上的增函数;(3)对上的任意两点,,有。
2.2凸函数的一些性质2.2.1凸函数的连续性凸函数是数学分析中的一类重要函数,而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重要的特征。
由于Jensen定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设,Jensen意义下凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数,从凸函数的定义出发,研究连续函数与凸函数的关系。
那么我们就会提出这样的问题:当连续函数满足何种条件时,是区间上的凸函数;当凸函数满足何种条件时,是区间上的连续函数;连续凸函数在区间上具有何种性质?例如函数,我们容易证明在上是凸函数,但在上不连续。
存在函数,可以得出但是函数在上不是凸函数。
,函数在上是连续的．上面这个例题说明凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数。
宋方[6]提出,如果连续函数为凸函数,必定满足以下定义:对任意的及,恒有:。
例:证明连续函数是一个凸函数。
分析:因为,只要存在就能说明函数是一个凸函数。
显然能够找到满足条件的性质[7]:若在区间上连续,且满足或其中,则是上的凸函数。
2.2.2凸函数的微积分性质刘鸿基,张志宏[8]指出凸函数是一类重要的函数,有着较好的分析性质,而关于凸函数,一般教材大都从几何意义方面引出定义,描述为:凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦,总是位于曲线弧段的下方;或者,当曲线各点处存在切线时,凸曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。
前者往往作为定义使用,后者是凸函数的充分必要条件,也可以作为定义作用。
刘鸿基,张志宏[8]举证了凸函数的4个等价性定义,并对凸函数的微积分性质予以讨论,得到两个重要的微积分性质:1.设在区间内可导,则在上是凸函数的充分必要条件是:对任意点,恒有。
2.设是上的凸函数,则性质2分析:因为是闭区间上的凸函数,因而是连续的,也是可积的。
,,当时因此有。
根据定义,可得即。
根据定积分性质对于,令则所以再者,若令,则,于是综上所述,结论成立。
2.2.3关于凸函数性质的总结王华[9]提出常见的凸函数定义有八个,此处就其中几个定义间的关系、几何意义作进一步思考,来得出有关凸函数的性质。
根据文中所阐述和定义的,归纳出以下性质:1.当在上一阶可导,在凸。
由于是过点的曲线的切线,不等式的几何意义是:上凸曲线总在曲线上任一点的切线之上。
2.在上二阶可导,在凸。
3.若在上可导,则下述两个不等式等价(1);(2)。
4.若在凸,则下述两个不等式等价(1)有;(2)有。
5.若在凸,则(1),有,都存在,且;(2)在连续。
凸函数都是连续的。
)下(证明上:例针对性质5分析:,取,据定义得式(?)又据其几何意义,函数是单调函数,故当时单调有上界;时单调有下界,于是极限及存在,而这两个极限即及,故对式(*)取极限,即可得。
同时可知即。
故在的内点连续,即在上连续是在上(下)凸的必要条件。
2.3凸函数的一些应用2.3.1凸函数的应用概述凸函数的应用领域非常广泛,特别是在不等式的证明中,函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。
利用凸函数的性质证明有关不等式,可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化为证明比较容易,证明过程简单的问题,关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则可以对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。
凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。
邹自德[10]指出:凸函数具有较好的几何和代数性质,由凸函数可以引导出各种平均值并对这些平均值进行比较。
例:几何平均值不大于算数平均值(利用凸函数导出常用的不等式)分析:设,考虑指数函数,是凸函数,从而对有成立。
令,则得到。
这就是人们熟知的“几何平均值不大于算数平均值”定理。
．梁艳[11]指出:凸函数是一类非常重要的函数,在不等式的研究中,凸函数所发挥的作用是无可替代的,可以根据凸凹函数的特性,结合典型事例,来说明凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中的应用。
例:证明下列不等式:对任意实数有.分析:(1)设,由于,而,故是上的凸函数,由定义可知,有,即.小结:在不等式的研究中,凸函数所发挥着很重要的作用,在数学规划中有着广泛的应用背景,我们可以根据凸凹函数的特性,来解决一系列拥有较大难度的不等式,以及导出一些较难的不等式,如上面所给出的指数不等式,三角函数不等式都能通过凸函数的性质来得到比较直观的证明,可以来导出如几何平均值不大于算数平均值这一类比较难的不等式,说明了凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中有着较好的应用。
2.3.2凸函数在证明Jensen不等式时的应用王秋亮[12]讨论了凸函数在证明Jensen不等式时的应用。
不论导出不等式还是证明不等式,利用Jensen不等式的关键在于选取适当的凸函数,并且根据想要构造或证明的不等式的形式选取恰当的值。
并且应用数学归纳法在用凸函数来证明Jensen不等式时,可以得到较好的效果。
定理1(Jensen不等式):若设区间上有定义,则以下两条件等价:1在上为凸函数;2,有 (*)分析:21只要令即得。
,现设,即有,可得函数为凸函数。
设时命题成立,应用数学归纳法。
当时12．及令,,。
由数学归纳法假设可推得.这就证明了对任何正整数,凸函数总有不等式(*)成立。
2.3.3凸函数在证明Hadamard不等式时的应用郑宁国[13]给出了Hadamard不等式的两种证明方法。
讨论了凸函数在证明Hadamard不等式时的应用。
选取适当的凸函数来证明Hadamard不等式,并且根据要证明的不等式的形式选取恰当的值。
Hadamard不等式:设是上连续的凸函数,则有.分析:根据积分区间具有可加性,有.因为(其中令),所以即有。
令,则.即有所以Hadamard不等式成立。
2.3.4凸函数在分析不等式中的应用关于凸函数的理论及应用有许多专门的研究,利用凸函数的概念可以来解决不等式的证明有许多方便之处,现实中常常利用凸函数的概念来证明分析中的一些常见的不等式。
李艳梅,李雪梅[14]给出了凸函数在分析不等式证明中的应用,利用凸函数的性质及Jensen不等式,对数学分析中诸多不等式给予证明,从可以得到一些常用的分析不,不等式的一些特殊情况Jensen利用,中可举一反三．等式。
例:.分析:假设函数,有,由Jensen不等式取有于是有小结:此处运用了凸函数的性质及Jensen不等式,可以很简洁的证得该分析不等式。
解决不等式的证明有着许多方便之处,凸函数适当的应用,使证明过程更加简洁,结论得出更加的方便。
三、总结部分(将全文主题进行扼要总结,提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测)凸函数具有一些非常优良的性质,有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用[15]。
凸函数是一类非常重要的函数,应用函数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用。
本文首先对凸函数定义进行介绍,凸函数的等价性质进行了概述;接下来介绍了凸函数的基本性质,然后由此延伸,进一步提出凸函数的应用,主要集中在下面几方面的应用:凸函数在Hadamard不等式证明中的应用,凸函数在证明Jensen不等式时的应用,凸函数在分析不等式中的应用等方面进行了讨论。
四、参考文献(根据文中参阅和引用的先后次序按序编排),2006,9(4):34-71.高等数学研究[J].凸函数概论.蒲义书、陈露[1][2] 数学分析[M].第三版.北京: 高等教育出版社,2006:148-154.[3] 葛丽萍. 关于凸函数的几个充分必要条件[J].文化教育,2010,5:193-193.[4] 江芹、陈文略.严格凸函数的判定[J].高等函授学报,2006,194:27-28.[5] 林银河.凸函数的等价描述与Jensen不等式[J].丽水师范专科学校学报,2001,23(2):8-11.[6] 宋方.关于凸函数的定义和性质[J]. 数学的实践与认识,2007,278:189-194.[7] Jonathan M.Borwein, Jon Vanderwerff. Constructions of Uniformly Convex Functions[J]. 2000 Mathematics Subject Classification, 2000, 1-10.[8]刘鸿基、张志宏.凸函数的等价定义及其微积分性质的讨论[J].商丘师范学院学报,2008,246):123-125.[9] 王华.关于凸函数性质的总结[J].科技教育,2005,235-236.[10] 邹自德.凸函数及应用[J].广州广播电视大学学报,2008,81:104-112.[11]梁艳.凸函数的应用[J].内江师范学院学报,2010,25:90-91.[12]王秋亮.凸函数在不等式中的应用[J].晋城职业技术学院学报,2009,2(3):95-96.[13]郑宁国.凸函数的Hadamard不等式的两种证明方法[J].湖州师范学院学报,2005,27(2):15-17.[14]李艳梅、李雪梅.凸函数在分析不等式证明中的应用[J].高等职业教育,2003,131:33-37.天津职业大学学报．[15]Zhenglu jiang,Xiaoyong Fu,Hongjiong Tian. Convex Functions and Ineoualities For integrals[J]. //.e and Appl.Math,2006,75.。