二阶系统的阶跃响应(PPT课件)
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3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应
1
是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界
o
t
临界阻尼响应
（四）无阻尼（ 0 ）的情况
系统有一对共轭纯虚数极点 p1, 2 j n ,它们在S平面上的位置如 将 0 代入 图所示。
C (t ) 1 e nt (cos d t
C (t ) 1 cos n t
0
2
P 1 n n
1
系统具有实部为正的极点，
P2 n n 2 1
输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。
根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特
点。因此阻尼比
是二阶系统的重要特征参数。
若选取
n t为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。
j
1
2
sin d t )
系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为 [s] C(t) 1 o
n
n
P 1
o
P2
(a)
0
(b)
t
无阻尼时的极点分布和响应
综上所述，不难看出频率
n 和
的物理意义。 d
——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡 n 阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。 —— d 分析
如图所示，此时曲线只和阻尼比
有关。
C (t )
0.1
0.3 0.5 0.7
越小，响应特性振荡得越厉害, 随着 增大到一定程度，响应特
性变成单调上升的。
系统无振荡时，以临界阻尼时过 渡过程的时间最短，此时，系统 具有最快的响应速度。
二阶系统的阶跃响应
阶跃响应函数为：
C(s)
1 s
s2
n2 2ns
n2
n2 s(s n)2
1 s
s
1 n
(s
n n )2
c(t) 1 ent (1 nt)
C(t)
2
1
0
nt
0 2 4 6 8 10 12
10
33..33.2 典二型阶二阶系系统统的的单位阶阶跃跃响响应 应
输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ：
e(t) r(t) y(t) 1 y(t) ent (1 nt)，t 0
开环传递函数为: 闭环传递函数为:
G(s)
s2
2 n
2
ns
(s)
G(s) 1 G(s)
s2
2 n
2 ns
n2
(s) 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数，n 称为 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参
数。
2
3.3 二阶系统的阶跃响应
特征方程为：
s2
2
ns
2 n
0
特征根为： s1,2 n n 2 1
⒋当 1 时，极点为： s1,2 n n 2 1
即特征方程为
两阶系统的瞬态响应
s2
2
n
s
2 n
[s n (
2 1)][s n (
2 1)]
C(s)
2 n
R(s) [s n ( 2 1)][s n ( 2 1)]
C(s)
2 n
1
[s n ( 2 1)][s n ( 2 1)] s
Step Response 1
0.9
0.8 0.7 0.6
Amplitude
自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应.ppt
二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t)
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
2.输出量的速度反馈控制
将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。
闭环传函为：
(s)C R ( (s s) )s2(2 n n K 2tn 2)s n 2
等效阻尼比：
t
1 2
Ktn
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
➢从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
➢从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
➢从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
由此知道：
c(t)c1(t)c2(t)
定义： 由二阶微分方程描述的系统称为二阶 系统。
➢二阶系统数学模型
二阶系统的微分方程一般式为：
dd 2c t(2t)2 ndc d (tt)n 2c(t)n 2r(t)
(n 0)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
二阶系统的反馈结构图
R(s)
22 nn
ss((ss 22nn))
形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性 平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。
2.输出量的速度反馈控制
将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输 入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为 速度反馈控制。如下图示。
闭环传函为：
(s)C R ( (s s) )s2(2 n n K 2tn 2)s n 2
等效阻尼比：
t
1 2
Ktn
等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改 善了系统的平稳性。
3.比例－微分控制和速度反馈控制比较
➢从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简 单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。
➢从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。
➢从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相 同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是 其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包 围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
由此知道：
c(t)c1(t)c2(t)
自动控制原理第三章 二阶系统PPT
tr t p
ts
t
第一节 系统的时域性能指标
2．抗扰性能指标
（1）动态降落 如果控制系统在稳态运行中受到扰 c(t) △cmax ±5% 动作用 , 经历一段动态过程后又能达到新 系 统 输 出 C∞1 的 最大降落 的稳态。可用抗扰性能指标来描述系统 值。 的抗扰性能. 0 t tν （2）恢复时间 系统输出恢复到与误差带范围所需的 根据系统在负载扰动之后的典型过 时间。 度过程定义抗扰性能指标: 返回
n n
ωdtr+β=0,π,2π…
第三节 二阶系统性能分析
2. 峰值时间tp -ζ ω t t -ωne e ω sin( ωdtp+β)] 2 ζ cos( ω t + β ) [ nβ 1ζ c(t)=1Sin( ω t+ ) = 1-ζ2 d p d 2
n p
n
1-ζ =0 dc(tp) =0 则 根据定义有 -ζ ω n sin(ωdtp+β)=0 1-ζ2 cos(ωdtp+β) dt
第三节 二阶系统性能分析
1. ζ >1 过阻尼
两个不相等 S1.2 = - ζ ω n ±ω n ζ 2 -1 的负实数根 A1 A2 A3 ωn C(s)= = + S S-S1 S-S2 S(S-S1)(S-S2) 拉氏反变换
c(t)=A1+A2es1t+A3es2t
系统输出随时间单调上升，无振荡和 超调，输出响应最终趋于稳态值1。
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
第二节 一阶系统性能分析
《阶电路的阶跃响应》课件
研究RC电路中阶跃响应的特点与行为。
二阶阶跃响应
1
二阶阶跃函数的形式
了解二阶阶跃函数的数学表示。
2
RLC电路的二阶阶跃响应
探索RLC电路中二阶阶跃响应的特性。
3
二阶阶跃响应的周期性
研究二阶阶跃响应的周期性与频率。
数字信号的阶跃响应
1 什么是数字信号？
解释数字信号的基本概 念与定义。
2 数字滤波器的阶跃
响应
探索数字滤波器中阶跃 响应的特征与应用。
3 数字信号的抽样频
率
的应用
剖析阶跃响应在电路设计与 信号处理中的实际应用。
阶电路在滤波器中的应 用
揭示阶电路在滤波器设计与 频谱分析中的重要作用。
阶跃响应在自动控制中 的应用
探索阶跃响应在自动控制系 统设计与反馈控制中的应用。
《阶电路的阶跃响应》 PPT课件
欢迎进入本节课程。今天，我们将深入讨论阶电路的阶跃响应，探索在电子 工程中的应用以及相关实例。
阶跃响应的概念
什么是阶跃响应？
了解阶跃响应定义与概念。
阶电路的定义
理解阶电路的基本概念与组成。
一阶阶跃响应
一阶阶跃函数的形式
学习一阶阶跃函数的数学表达形式。
RC电路的阶跃响应
结论
阶跃响应是电路中的重要概念
强调阶跃响应在电子工程中的核心地位与应用。
阶电路的阶跃响应是电子工程中常用的基本理论之一
提醒理解与掌握阶电路的阶跃响应理论对电路设计与分析的重要性。
对阶跃响应的掌握和应用能提高电子工程的设计和实现水平
鼓励学员深入理解阶跃响应的原理，并将其应用于实际项目中。
二阶阶跃响应
1
二阶阶跃函数的形式
了解二阶阶跃函数的数学表示。
2
RLC电路的二阶阶跃响应
探索RLC电路中二阶阶跃响应的特性。
3
二阶阶跃响应的周期性
研究二阶阶跃响应的周期性与频率。
数字信号的阶跃响应
1 什么是数字信号？
解释数字信号的基本概 念与定义。
2 数字滤波器的阶跃
响应
探索数字滤波器中阶跃 响应的特征与应用。
3 数字信号的抽样频
率
的应用
剖析阶跃响应在电路设计与 信号处理中的实际应用。
阶电路在滤波器中的应 用
揭示阶电路在滤波器设计与 频谱分析中的重要作用。
阶跃响应在自动控制中 的应用
探索阶跃响应在自动控制系 统设计与反馈控制中的应用。
《阶电路的阶跃响应》 PPT课件
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阶跃响应的概念
什么是阶跃响应？
了解阶跃响应定义与概念。
阶电路的定义
理解阶电路的基本概念与组成。
一阶阶跃响应
一阶阶跃函数的形式
学习一阶阶跃函数的数学表达形式。
RC电路的阶跃响应
结论
阶跃响应是电路中的重要概念
强调阶跃响应在电子工程中的核心地位与应用。
阶电路的阶跃响应是电子工程中常用的基本理论之一
提醒理解与掌握阶电路的阶跃响应理论对电路设计与分析的重要性。
对阶跃响应的掌握和应用能提高电子工程的设计和实现水平
鼓励学员深入理解阶跃响应的原理，并将其应用于实际项目中。
二阶系统的阶跃响应
二阶系统的阶跃响应一．实验目的1、学习实验系统的使用方法。
2、学习构成一阶系统（惯性环节）、二阶系统的模拟电路，分别推导其传递函数。
了解电路参数对环节特性的影响。
3、研究一阶系统的时间常数T对系统动态性能的影响。
4、研究二阶系统的特征参数，阻尼比ξ和无阻尼自然频率nω对系统动态性能的影响。
二．实验内容1．搭建各种典型环节的模拟电路，观测并记录各种典型环节的阶跃响应曲线。
2．调节模拟电路参数，研究参数变化对典型环节阶跃响应的影响。
3．运行Matlab软件中的simulink仿真功能，完成各典型环节阶跃特性的软件仿真研究，并与理论计算的结果作比较。
三．实验步骤1. 典型环节的simulink仿真分析在实验中观测实验结果时，只要运行Matlab，利用Matlab软件中的simulink仿真功能，以及Matlab编程功能，可以完成常见的控制系统典型环节动态响应。
研究特征参量ζ和nω对二阶系统性能的影响标准二阶系统的闭环传递函数为：2222)()(n n n s s s R s C ωζωω++=二阶系统的单位阶跃响应在不同的特征参量下有不同的响应曲线。
典型二阶系统的结构图如图所示。
不难求得其闭环传递函数为2222)()()(n n n B s s R s Y s G ωζωω++==其特征根方程为222n n s ωζω++=0 方程的特征根: 222n n s ωζω++=0))(()1)(1(2121=--=++s s s s T s T s 式中, ζ称为阻尼比; n ω称为无阻尼自然振荡角频率(一般为固有的)。
当ζ为不同值时，所对应的单位阶跃响应有不同的形式。
当ζ=0.1时的仿真结果当ζ=0.3真结果当ζ=1时的结果当ζ=2时的仿真结果三．实验总结结论：二阶系统的阻尼比ξ决定了其振荡特性ζ< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；ζ≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；0<ζ<1时，有振荡，ξ愈小，振荡愈严重,但响应愈快；ζ= 0时，出现等幅振荡。
二阶系统的阶跃响应
第3章 辅导控制系统典型的输入信号1. 阶跃函数阶跃函数的定义是⎩⎨⎧=<>0,00,)(t t A r t x式中A 为常数。
A 等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。
它表示为x r (t)＝l(t)，或x r (t)=u(t)单位阶跃函数的拉氏变换为X r (s)=L[1(t)]=1/s在t ＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。
2. 斜坡函数这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,00, )(t t t A t x r 式中A 为常数。
该函数的拉氏变换是X r (s)=L[At]=A/s 2这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A 。
当A ＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。
3. 抛物线函数如图 所示，这种函数的定义是⎪⎩⎪⎨⎧<>=0 ,00, t )(2t t A t x r式中A 为常数。
这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A 。
抛物线函数的拉氏变换是X r (s)=L[At 2]=2A/s 3当A ＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r (s)=1/s 3。
4. 脉冲函数这种函数的定义是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→<<→><=0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(εεεεεt At t t x r 式中A 为常数，ε为趋于零的正数。
脉冲函数的拉氏变换是A A L s X r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→εεlim 0)(当A ＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图 所示。
单位脉冲函数的面积等于l ，即⎰∞∞-=1)(dt t δ在t ＝t 0处的单位脉冲函数用δ(t-t 0)来表示，它满足如下条件幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。
第10讲-阶跃响应与冲激响应PPT优秀课件
第2章 系统的时域分析---导读
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。
然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。
仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。
n
设系统的特征方程共有 n 个不相等的特征根，则 h(t) [ Aieit](t) i1
利用微分方程两端 ( t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 A i
冲激响应另一种求解方法
已知微分方程为 d2y(t)4dy(t)3y(t)df(t)2f(t)，求冲激响应 h ( t )
dt2
dt
dt
解：微分方程变为
h(t-) （时不变性）
f()h(t-) （齐次性）
f ( )h(t - )d （可加性）
-
‖
f (t) h(t)
零状态响应 yzs (t)
任意信号的零状态响应
一线性非时变系统的冲激响应为h(t)=et(t)，激励为 f(t)= (t-1)，求系统的零状态响应。
解：
t (t)* h (t)
故系统的冲激响应为此方程的齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为:
h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1
所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t) （1）
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。
然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。
仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。
n
设系统的特征方程共有 n 个不相等的特征根，则 h(t) [ Aieit](t) i1
利用微分方程两端 ( t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 A i
冲激响应另一种求解方法
已知微分方程为 d2y(t)4dy(t)3y(t)df(t)2f(t)，求冲激响应 h ( t )
dt2
dt
dt
解：微分方程变为
h(t-) （时不变性）
f()h(t-) （齐次性）
f ( )h(t - )d （可加性）
-
‖
f (t) h(t)
零状态响应 yzs (t)
任意信号的零状态响应
一线性非时变系统的冲激响应为h(t)=et(t)，激励为 f(t)= (t-1)，求系统的零状态响应。
解：
t (t)* h (t)
故系统的冲激响应为此方程的齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为:
h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1
所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t) （1）
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三、二阶系统的其他输入响应
即，输入变为原来的积分时，输出也变为原来的积分。
结论
一、单位脉冲信号是单位阶跃信号的一阶导数，所以系 统的单位脉冲响应也为单位阶跃响应的一阶导数。 二、单位斜坡信号和单位加速度信号是单位阶跃信号的 一重二重积分，所以系统的单位斜坡响应好单位加速 度响应也为单位阶跃响应的一重积分和二重积分。
一、二阶系统的阶跃响应
当 1系统有两个正实根 单位阶跃响应为
e
( 2 1 )n t
h(t ) 1
2 2 1( 2 1)
e
( 2 1 )n t
2 2 1( 2 1)
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动 态过程为发散的形式
解之得 td 似描述
1 0.6 0.2 2
n
欠阻尼下用 t d
1 0.7
n
近
二、二阶系统的动态过程分析
2、上升时间tr的计算 1 t c ( t ) 1 e sin( d t ) 中，令 c(t d ) 1 在 2
n
1
，得
1 1 2
2 n 1 1 n 1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s ( s n ) s ( s n ) s n
c(t ) 1 e
n t
(1 nt )
相应的阶跃响应 非周期地 趋向于稳态输出，此时系统为 临界阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
二、二阶系统的动态过程分析
要求：能熟记以上动态性能指标在欠阻尼下的求取公式， 及求取方法（便于非欠阻尼下的计算） 例：设系统结构图如下，若要求系统具有性能指标 t p 1s ，试确定系统参数K和τ，并计算单 % 20% ， 位阶跃响应的特征量， t ， 和 t。 t d s r
R(s)
-
K s ( s 1)
C(s)
1 s
三、二阶系统的其他输入响应
线性定常系统的重要特性 1、对于零初始条件下的线性定常系统，若输入为 r (t ) 其对应的输出为 c (t ) ，拉氏变换为 C ( s) R( s)G( s) dr (t ) 2、若输入变为 r1 (t ) ，其拉氏变换为
e ntr sin( d t r ) 0
解之得 t r d
arccos
二、二阶系统的动态过程分析
n t 2 d
3、峰值时间tp的计算 1 c(t ) 1 e sin( t ) 在 中，将 c(t )求一阶导并另其为零。 1 整理得 1 2 tan( d t p ) 解之得
二、二阶系统的动态过程分析
控制工程中，一般选取适度的阻尼比，较快的响应速 度和较短的调节时间。 1、延迟时间td的计算 1 c ( t ) 1 e sin( t ) 中，令 c(t ) 0.5 ，得 在 d 1
n t 2 d
n t d
1
ln
2 sin( 1 2 nt d arcsin ) 1 2
第三章 时域分析法
第二节 二阶系统的阶跃响应
二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的动态性能分析
（动态指标求取） 二阶系统的其他输入响应
一、二阶系统的阶跃响应
典型二阶系统的结构图
闭环传递函数为
一、二阶系统的阶跃响应
特征方程
特征根
显然阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响 应特性也不同。下面我们将对阻尼比取不同值时， 对系统的影响作出讨论。
可见，阻尼比越大，超调量 越小，反之亦然。一般取 阻尼比在0.4-0.8时，超调量介于1.5%-25.4%之间。
二、二阶系统的动态过程分析
5、调节时间 t s 的计算 1 c ( t ) 1 e t sin( d t )中， 在 2
n
1
是对称于 c() 1 的 一对包络线， 整个响应过程都是在这一对包络线内进行的，为计算 方便，常采用包络线代替实际响应曲线，来估算调节 1 时间则 e t 0.05或0.02 1 2 3.5 3.5 1 2 ln( 0.05 1 ) ，近似为 t s 解之得 t s n n
c(t ) 1
1 1
2
e
n t
sin( d t )
由上式看出，二阶系统的单位阶跃响应由两 部分组成: 稳态分量为1，表明系统在单位阶跃信号 作用下不存在稳态位置误差； 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频 率为 d ，称为阻尼振荡频率，瞬态分量 的衰减速度取决于指数函数的幂，称 为 衰减系数。
s 2 n 1 1 s 2 2 2 2 2 s s 2 s s ( s ) d ( s ) 2 d
n n
拉氏反变换得
c(t ) 1 1 1 2 e nt sin( d t )
其中 arccos
/ 1 2
e
/ 1 2
sin( )
解之得 c(t p ) 1 e
则超调量为
，因为 c() 1
% e
/ 1 2
100%
二、二阶系统的动态过程分析
由上式表明， %仅是阻尼比 的函数， 与自然频率 n 无关。 超调量与阻尼比的关系曲线 如图。
t dr (t ) R1 ( s) L[ ] sR ( s) t 这时系统输出为 C1 (S ) G(s) R1 (s) G(s)sR(s) sC (s) dc(t ) 则拉氏反变换为 c1 (t ) t
即，当输入为原来输入的导数时，输出也变为原来输出 的导数
1 3、当输入变为 r2 (t ) r (t )dt时，拉氏变换为R2 ( s ) R ( s ) s 1 对应的输出变为 C2 ( s) G ( s) R2 ( s) C ( s) s 对上式拉氏反变换为 c(t ) c(t )dt
tp d
d n 1 2
二、二阶系统的动态过程分析
4、最大超调量 %的计算 1 c(t ) 1 e sin( t ) 在 中，将t t p 代入得 1
n t 2 d
c(t p ) 1
1
因为 cos
1 2 则 sin( ) 1 2
s1, 2 n jn 1
2
对应于s平面左半部的共轭复数极点，相应的阶跃响应为 衰减振荡过程，此时系统为 欠阻尼 情况。（后面将继 续对欠阻尼情况作出进一步的讨论）
一、二阶系统的阶跃响应
当
特征方程有两个相等的实根 1 2 s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为
一、二阶系统的阶跃响应
当 1 0系统有两个正实部虚根 单位阶跃响应为
h(t ) 1
e
n t 2
2 1
sin( n 1 t )
2
arctan( 1 2 )
式中看出，指数因子具有正幂指数，因此系统的动态 过程为发散正弦振荡的形式 总之，阻尼比小于零时，二阶系统不稳定
1 2
n
1
1
e nt
若误差带为0.02，则
ts
4.5
n
4.5ຫໍສະໝຸດ 二、二阶系统的动态过程分析
n 越大，t s 越小，若 n一定，则调节 由此可见， 时间 t s 与 成反比。这与 t d ，t p ，t r 与 的关系是 不一样的。
根据以上分析，如何选取 和 n，来满足系统设计要求， 总结如下： 1、当 n一定时，要减小 t r 和 t p ，必须减小 的值，要 减小 t s 则应增大。但注意 是有一定范围的。 2、增大 n，能使 t r ， t p 和 t s 减小。 3、超调量 %只由 决定； 越小， %越大。
一、二阶系统的阶跃响应
上式中
T1 T2
1
n ( 2 1)
1
n ( 2 1)
由此可见 阻尼比的值决定了系统的阻尼程度。
一、二阶系统的阶跃响应
具体讨论 欠阻尼情况下的阶跃响应 当 0 1 系统有一对具有负实部的共轭复数根
s1, 2 n jn 1
一、二阶系统的阶跃响应
当
系统有一对纯虚根 0 s1, 2 jn
单位阶跃响应时
1 C ( s) R( s)G ( s) 2 2 s s n
2 n
可以算出 系统的阶跃响应为等幅振荡，振荡频率为 自然频率，此时为无阻尼情况。
一、二阶系统的阶跃响应
当
0 1系统有一对具有负实部的共轭复数根
当
1
系统有两个不相等的负实根
2
s1, 2 n n 1
单位阶跃响应为
e e c(t ) 1 T2 / T1 1 T1 / T2 1
t / T1
t / T2
对应于s平面两个不相等的实极点，相应的阶跃响应非周 期地趋于稳定状态，但响应速度要比临界阻尼慢。此 时系统为 过阻尼 情况。
二阶系统的阶跃响应
经过实验知，
过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应速度最 快；
欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升 时间越小，通常取阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量 合适，调节时间短； 若系统有相同的阻尼比，而振荡频率不同，则振荡特 性相同，但响应速度不同，振荡频率大的，响应速度 快.
2
2 若令 n , d n 1