最新人教版高中数学选修4-4《极坐标系》教材梳理

庖丁巧解牛
知识·巧学
一、极坐标系的概念
1.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等，经常用距离和方向来表示一点的位置.用距离和方向表示平面上一点的位置，就是极坐标.
极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点.引一条射线Ox ，叫做极轴.再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系.
2.如图1-2-3，极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做M 的极坐标
.
图1-2-3
深化升华 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
1.特别规定：当M 在极点时，它的极坐标ρ=0，θ可以取任意值.
2.平面上一点的极坐标是不唯一的，有无数种表示方法.坐标不唯一是由极角引起的.不同的极坐标可以写出统一表达式.
二、极坐标和直角坐标的互化
1.互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.
2.互化公式⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+=⎩⎨⎧==.0,t an ,,sin ,co s 222x x y y x y x θρθρθρ在进行两种坐标间的互化时,应注意以下几点:①两套公式是在三条规定下得到的;②由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定只在主值范围内求值;③由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简;④由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上,若在是等价变形,否则,不是等价变形.
问题·探究
问题1 平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但为什么它并不是确定点的位置的唯一方法，为什么要使用极坐标?
探究:确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离这两个量，有时却是依靠距离与方位角（即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想）这两个量.在生活中,如台风预报、地震预报、测量、航空、航海中等，甚至更贴近生活的如人听声音，不但有高低之分,还有方向之分.描述一个人所走的方向和路程，经常会这样说：从A 点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B 点，再从B 点向南偏西15°方向行走……描述某飞机的位置：飞行高度1 200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′……这种位置的刻画能够给人一个很直观的形象.
生活中除了应用这两种坐标系外,还应用地理坐标系，它实际上能称为真实世界的坐标系了.它能确定物体在地球上的位置.最常用的地理坐标系是经纬度坐标系，这个坐标系可以确定地球上任何一点的位置.
另外,从几何上来说,有些复杂的曲线，比如说环绕一点做旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理.在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系ρ＝ρ0＋aθ(a≠0)，从而可以看出ρ的值是随着θ的增加（或减少）而增加 （或减少）的.
总之，使用极坐标是人们生产生活的需要.平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法.
问题2 用极坐标与直角坐标来表示点时，二者究竟有哪些相同和不同呢？
探究:极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系，它由极点O 与极轴Ox 组成.对于平面内任一点P ，若设|OP|=ρ(≥0)，以Ox 为始边，OP 为终边的角为θ，则点P 可用有序数对(ρ,θ)表示.直角坐标是用两个长度来度量的，直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的，首先定义原点，接着用两条互相垂直的直线分别构成x 轴和y 轴.点的位置用有序数对(x,y)来表示.
在平面直角坐标系内，点与有序实数对,即坐标（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对（ρ,θ）只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对（ρ，θ）对应.也就是说平面上一点的极坐标是不唯一的.极坐标系中的点与有序实数对极坐标(ρ,θ)不是一一对应的.
典题·热题
例1设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30（万千米）时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标.
思路分析：如图1-2-4所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：
图1-2-4
（1）当θ=30°时,ρ=30（万千米）;
（2）当θ=150°时,ρ=30（万千米）;
(3)当θ=210°时,ρ=30(万千米);
(4)当θ=330°时,ρ=30(万千米).
解：彗星此时的极坐标有四种情形：(30,30°),(30,150°),(30,210°),(30,330°).
误区警示 彗星此时的极坐标是四个，不能忽略了夹角的概念.如果只找到了一个极坐标，这是三角概念不清.
例2极坐标与直角坐标的互化：
（1）化点M 的直角坐标（-3，4）为极坐标；
（2）化点M 的极坐标（-2，6π
-）为直角坐标.
思路分析：本题利用直角坐标与极坐标之间的互化公式，化极坐标时，需要找到点所对应的极径,极角；将极坐标化为直角坐标，直接根据公式可得到横,纵坐标.
解：（1）∵ρ=22224)3(+-=+y x =5，tanθ=3
4-=x y , 又∵x<0,y>0，
∴θ是第二象限角.
∴θ=π-arctan 3
4. ∴点M 的极坐标为（5，π-arctan
3
4）. （2）x=2cos(6π-)=3-，y=-2sin(65π-)=1， ∴点M 的直角坐标为（3-，1）.
深化升华 （1）化点的直角坐标为极坐标时，一般取ρ≥0,0≤θ<2π，即θ取最小正角,由tanθ=x
y 求θ时，还需结合点(x,y)所在的象限来确定θ的值. （2）化点的极坐标为直角坐标时，直接用互化公式⎩
⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x 例3在极坐标系中，A(4,
9π),B(1,185π),则△OAB 的面积是__________. 思路解析：
如图1-2-5所示,∠AOB=185π-9π=6
π，
图1-2-5
S △AOB =21·|AO|·|BO|·sin ∠AOB=21·4·1·sin 6
π=1. 答案：1
方法归纳 既然是求面积,那么就要明确所用到的面积公式不是一般的底乘高的面积公式,而是正弦定理的面积公式.
例4已知两点的极坐标A(3,2π)、B(3,6
π)，则|AB|=______，AB 与极轴正方向所夹的角为____.
图1-2-6
思路解析：如图1-2-6所示，根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=60°，即△AOB 为正三角形.
答案：3,6
5π 方法归纳 在坐标系中找到点的位置后，利用数形结合的方法可求出距离来.
例5在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A(2,
4
π)、B(2,45π),那么顶点C 的坐标可能是( )
A.(4,43π)
B.(32,4
3π) C.(32,π) D.(3,π)
思路解析：如图1-2-7，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点.
图1-2-7
又|AB|=4，△ABC 为正三角形，|OC|=32，∠AOC=
2π，C 对应的极角θ=4π+2π=4
3π或θ=4π-2π=4π-，即C 点极坐标为(32,43π)或(32,4π-). 答案：B
深化升华 在找点的极坐标时，把图形画出来，通过画图解决问题.
例6(1)θ=4
3π的直角坐标方程是______； (2)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是______. 思路解析：(1)根据极坐标的定义，∵t anθ=x
y ，∴tan 43π=x y ，即y=-x. (2)将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的ρ不恒等于零，用ρ同乘方程的两边得ρ2=ρsinθ+2ρcosθ.化成直角坐标方程为x 2+y 2=y+2x,即(x-1)2+(y-
21)2=45，这是以点(1,21)为圆心，半径为2
5的圆. 答案：(1)y=-x (2)以点(1,
21)为圆心，半径为25的圆+++++++++++ 方法归纳 当极坐标方程中含有sinθ、cosθ时，可将方程两边同乘以ρ，凑成含有ρsinθ、ρcosθ的项，然后再代入互化公式便可化为直角坐标方程，此法称为拼凑法.。