函数有两个零点与导数Word版
导数与函数的零点
仅有一个交点，即f(x)=2x-6+ln x在(0,+∞)上
有故且函仅 数f有(x有)共1有个2零个点零,
点.
高二数学名师 课程
3.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值,2l范n 2围 2
是解：函数f(x)=e.x-2x+a有零点即ex-2x+a=0有根,即 a=2令x-gex(有x)=根2x, -ex,则a的范围即为函数g(x
只有一个零点，求实数 k 的值． [解析] 解法一：f(x)＝kx－ln x－1，f′(x)＝k－1x＝kx－x 1(x>0，k>0)， 当 x＝1k时，f′(x)＝0；当 0<x<1k时，f′(x)<0； 当 x>1k时，f′(x)>0.
∴f(x)在(0，1k)上单调递减，在(1k，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(1k)＝ln k， ∵f(x)有且只有一个零点， ∴ln k＝0，∴k＝1. 解法二：由题意知方程 kx－ln x－1＝0 仅有一个实根， 由 kx－ln x－1＝0 得 k＝ln xx＋1(x>0)， 令 g(x)＝ln xx＋1(x>0)，g′(x)＝－xln2 x， 当 x＝1 时，g′(x)＝0；当 0<x<1 时，g′(x)>0；
当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0, 所以u(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以x=1时,u(x)取得极小值u(1)=-e, 又x→+∞时,u(x)→+∞; x<2时,u(x)<0,所以-e<m<0.
方法二:g(x)=f(x)-3ex-m=ex(x-2)-m, g′(x)=ex·(x-2)+ex=ex(x-1), 当x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,所以g(x)在(-∞,1)上单调递减, 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-e-m, 又x→-∞时,g(x)→-m,
导数中的零点问题
导数中的零点问题题型一：零点的基本解法1、已知函数$f(x)=2\ln x-x+mx,x\in[2e,+\infty)$，求实数$m$的取值范围。
2、已知函数$f(x)=x\mathrm e^x-a(x+1)^2/2,x\in[0,+\infty)$有两个零点，求实数$a$的取值范围。
1) 若$a=\mathrm e$，求函数$f(x)$的极值。
2) 若函数$f(x)$有两个零点，求实数$a$的取值范围。
3、已知函数$f(x)=a\mathrm e^{2x}+(a-2)\mathrm e^x-x$。
1）讨论$f(x)$的单调性。
2）若$f(x)$有两个零点，求$a$的取值范围。
4、已知函数$f(x)=-(2ax+ax+(x-2)\mathrm e^x)/2,a>0$。
1）求函数$f(x)$的单调区间。
2）若函数$f(x)$存在$3$个零点，求$a$的取值范围。
题型二：切线与零点关系1、曲线在点$(1,1)$处的切线方程为；过点$(1,1)$处的切线方程为。
2、已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^3+mx+n(m,n\in\mathbb{R})$。
1）若$f(x)$在$x=1$处取得极大值，求实数$m$的取值范围。
2）若$f(1)=\frac{1}{2}$，且过点$p(2,1)$有且只有两条直线与曲线$y=f(x)$相切，求实数$m$的值。
3、已知函数$f(x)=ax^2+bx-3x$在$x=\pm 1$处取得极值。
1）求函数$f(x)$的解析式。
2）若过点$A(1,m)$可作曲线$y=f(x)$的三条切线，求实数$m$的取值范围。
题型三：极值与零点关系1、已知函数$f(x)=x^3-6x^2+3x+t(t\in\mathbb{R})$。
1）求函数$f(x)$的单调区间。
2）设函数$g(x)=f(x)$有三个不同的极值点，求$t$的取值范围。
3）设函数$g(x)=\mathrm e^{f(x)}$有三个不同的极值点，求$t$的取值范围。
导数与函数零点问题解题方法归纳
导函数零点问题一．方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题.二．解题策略类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()()21e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()21e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e xf x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()21e xg x m x =+'-，当0m 函数在定义域上单调递增，不满足条件；当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m ，01m <<三种情况讨论可得.【解析】（1）因为()()21x f x x ax e =++，所以()()221e xf x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+， 即()()()11e xf x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立.故()f x 在(),-∞+∞为增函数.②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-；所以()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数.③当0a <时，()11a -+>-，由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+；所以()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数.综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；当0a >时，()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数；当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数.（2）因为()()21e 1x g x x mx =+--，所以()()21e x g x m x =+'-， ①当0m 时，()0g x '，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点.②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数.因为()01g m '=-，()00g =.（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<；所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==.故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.（ⅱ）当1m 时，()00g '<，()()210m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.所以()()000g x g <=，又()()()22221e 1110m g m m m m m =+-->+--=， 根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点.又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0.故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=，且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点.又()()000g x g <=，所以()10g -即()2110e g m -=+-，所以21e m -， 即当211em -<时()g x 在[)1,-+∞有两个零点. 综上，m 的取值范围为211em -< 【指点迷津】1.由于导函数为超越函数，无法利用解方程的方法，可以在观察方程结构的基础上大胆猜测.一般地，当所求的导函数解析式中出现ln x 时，常猜x ＝1；当函数解析式中出现e x时，常猜x ＝0或x ＝ln x .2.例题解析中灵活应用了分离参数法、构造函数法【举一反三】 【2020·山西吕梁期末】已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()sin x g x e x =-，若()()()()2h x g x f x x =-且()y h x =有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2ln f x x a x x =--， 21()2f x x '=+2221a x ax x x-+-=， 对于2210x ax -+=，28a ∆=-，当[a ∈-时，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当(,a ∈-∞-时，对于0x >，有()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当)a ∈+∞时，令()0f x '>，得04a x <<或4a x >，令()0f x '<，得44a a x <<，所以()f x 在，)+∞上是增函数，在(44a a 上是减函数.综上，当(,a ∈-∞时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当)a ∈+∞时，()f x 在(0,)4a -，()4a ++∞上是增函数，在(44a a 上是减函数. （2）由已知可得()cos x g x e x '=-， 因为0x >，所以e 1x >，而c o s 1x ≤，所以cos 0x e x ->，所以()0g x '>，所以()sin xg x e x =-在()0+∞，上单调递增. 所以()()00g x g >=.故()h x 有两个零点，等价于()2y f x x =-=1aInx x--在()0+∞，内有两个零点. 等价于1ln 0a x x--=有两根， 显然1x =不是方程的根， 因此原方程可化为()1ln 01x x x x a-=>≠且， 设()ln x x x φ=，()ln 1x x φ='+，由()0x φ'>解得11x e<<，或1x > 由()0x φ'<解得10x e <<， 故()ln x x x φ=在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在()1,1,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.其图像如下所示：所以()min 11x e eφφ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以110e a-<-<， 所以a e >. 类型二 设而不求，巧“借”零点 【例2】【2015高考新课标1，文21】设函数()2ln x f x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a ≥+. 【解析】（I ）()f x 的定义域为0+，，2()=20x a f x e x x . 当0a时,()0f x ，()f x 没有零点； 当0a 时，因为2x e 单调递增，a x 单调递增，所以()f x 在0+，单调递增.又()0f a ,当b 满足04a b 且14b 时，(b)0f ,故当0a 时，()f x 存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x 在0+，的唯一零点为0x ，当00x x ，时，()0f x ;当0+x x ，时，()0f x .故()f x 在00x ，单调递减，在0+x ，单调递增，所以当0x x 时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202=0x a e x ，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a . 故当0a 时，2()2ln f x a a a. 【指点迷津】本例第(2)问的解题思路是求函数()f x 的最值．因此需要求()0f x '＝的根．但是2()=20x af x e x 的根无法求解．故设出()0f x '＝的根为0x ，通过证明f (x )在(0，0x )和(0x ，＋∞)上的单调性知()min f x ＝()000222a f x ax aln x a＝＋＋，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的“设而不求”．【举一反三】 【2020·江西赣州期末】已知函数2()x f x e ax x =--（e 为自然对数的底数）在点(1,(1))f 的切线方程为(3)y e x b =-+.（1）求实数,a b 的值；（2）若关于x 的不等式4()5f x m >+对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，求整数m 的最大值. 【解析】（1）令2()x f x e ax x =--，则()21x f x e ax '=--，得：(1)e 1f a =--，(1)e 21f a '=--，由题得：(1)e 21e 31(1)e 1e 31f a a f a b b ⎧=--=-=⎧⇒⎨⎨=--=-+=⎩'⎩（2）根据题意，要证不等式4()5f x m >+对于任意恒成立，即证(0,)x ∈+∞时，4()5f x -的最小值大于m ， 令244()()()2155x x g x f x e x x g x e x '=-=---⇒=--， 记()()21()2x xh x g x e x h x e ''==--⇒=-，当(0,ln 2)x ∈时，()0h x '<；当x (ln 2,)∈+∞时，()0h x '>，故()h x 即()g x '在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 又(0)0g '=，(ln 2)12ln 20g '=-<，且(1)30g e '=-<，323402g e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， 故存在唯一031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x '=， 故当()00,x x ∈时，0g x ；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>；故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()02min 0004()5x g x g x e x x ==--- 一方面：()014(1)5g x g e <=- 另一方面：由()00g x '=，即00210x e x --=，得()022*********x g x e x x x x =---=-++ 由031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得：()0111205g x -<<，进而()011140205g x e -<<-<， 所以1120m <- ，又因为m 是整数，所以1m -，即max 1m =-. 类型三 二次构造（求导），避免求根 【例3】【2020重庆巴蜀中学月考】已知函数()()21ln 12f x x a x =+-.（1）当1a =-时，求()f x 的单调增区间；（2）若4a >，且()f x 在()0,1上有唯一的零点0x ，求证：210e x e --<<.【分析】（1）求出()'f x ，令()'0f x ≥，解不等式可得单调递增区间；（2）通过求()f x 的导函数，可得()f x 在()0,1上有两个极值点，设为1x ，2x ，又由()f x 在()0,1上有唯一的零点0x 可得0110,2x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以有()()()200020001ln 10210f x x a x g x ax ax ⎧=+-=⎪⎨⎪=-+=⎩，消去a ，可得0002ln 10x x x -+=，记()00002ln 1t x x x x =-+，010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，研究其单调性，利用零点存在性定理可得结果.【解析】（1）由已知()f x 的定义域为0x >，当1a =-时，()()21ln 12f x x x =--， 则()()2111'x x x xf x x -++=--=， 令()'0f x ≥且0x >，则102x +<≤， 故()f x在10,2⎛ ⎝⎦上单调递增；（2）由()()21ln 12f x x a x =+-， 有()()2111'ax f x ax a x x x-+=+-=，记()21g x ax ax =-+，由4a >，有()()001011110242110a g g a a g >⎧⎪=>⎪⎪⎪⎛⎫=-+<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=>⎪⎪⎩， 即()f x 在()0,1上有两个极值点，设为1x ，2x ，不妨设12x x <，且1x ，2x 是210ax ax -+=的两个根， 则121012x x <<<<， 又()f x 在()0,1上有唯一的零点0x ，且当0x +→时，()f x →-∞，当1x =时，()10f =， 所以得0110,2x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 所以()()()200020001ln 10210f x x a x g x ax ax ⎧=+-=⎪⎨⎪=-+=⎩，两式结合消去a ，得0001ln 02x x x --=， 即0002ln 10x x x -+=，记()00002ln 1t x x x x =-+，010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 有()00'2ln 1t x x =+，其在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()001'2ln 12ln 11ln 402t x x =+<+=-< 则()00'2ln 10t x x =+<在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 即()0t x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又222212*********e t e e e e e t e e e ⎧-⎛⎫=--+=< ⎪⎪⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=-=> ⎪⎪⎝⎭⎩， 由零点存在定理，210ex e --<<. 【指点迷津】当导函数的零点不易求时，可以通过进一步构造函数，求其导数，即通过“二次求导”，避免解方程而使问题得解.如上面例题，从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b 的范围问题，实际上是求g (x )＝x (ln x ＋x －x 2)极值问题，问题是g ′(x )＝ln x ＋1＋2x －3x 2＝0这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h (x )＝g ′(x )再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．这种方法适用于研究函数的单调性、确定极（最）值及其相关参数范围、证明不等式等.【举一反三】【2020·云南昆明一中期末】已知函数2()(1)x x f x eax e =-+⋅，且()0f x . （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()0316f x <. 【解析】（1）因为()()ee 10x xf x ax =--≥,且e 0x >,所以e 10x ax --≥, 构造函数()e 1x u x ax =--,则()'e xu x a =-,又()00u =, 若0a ≤,则()'0u x >,则()u x 在R 上单调递增,则当0x <时,()0u x <矛盾,舍去；若01a <<,则ln 0a <,则当ln 0a x <<时,'()0u x >,则()u x 在(ln ,0)a 上单调递增,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a >,则ln 0a >,则当0ln x a <<时,'()0u x <,则()u x 在(0,ln )a 上单调递减,则()()ln 00u a u <=矛盾,舍去；若1a =,则当0x <时,'()0u x <,当0x >时,'()0u x >,则()u x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增,故()()00u x u ≥=,则()()e 0xf x u x =⋅≥,满足题意；综上所述,1a =.（2）证明:由（1）可知()()2e 1e x xf x x =-+⋅,则()()'e2e 2xxf x x =--,构造函数()2e 2xg x x =--,则()'2e 1xg x =-,又()'g x 在R 上单调递增,且()'ln20g -=,故当ln2x <-时,)'(0g x <,当ln 2x >-时,'()0g x >, 则()g x 在(,ln 2)-∞-上单调递减,在(ln 2,)-+∞上单调递增,又()00g =,()2220e g -=>,又33233332223214e 16e 022e 2e 8e 2e g --⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭+, 结合零点存在性定理知,在区间3(2,)2--存在唯一实数0x ,使得()00g x =, 当0x x <时,()'0f x >,当00x x <<时,()'0f x <,当0x >时,()'0f x >, 故()f x 在()0,x -∞单调递增,在()0,0x 单调递减,在()0,∞+单调递增,故()f x 存在唯一极大值点0x ,因为()0002e 20xg x x =--=,所以00e 12xx =+, 故()()()()0022200000011e 1e 11112244x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0322x -<<-,所以()201133144216f x ⎛⎫<--+< ⎪⎝⎭.三．强化训练1.【2020·安徽合肥二中月考】已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -⎧-≤=⎨--->⎩，，，则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数） A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】0x ≤时，()xf x e -=-是增函数，(0)1f =-，0x >时，()1ln x f x xe x x =---，11()(1)1(1)()xx f x x e x e x x'=+--=+-，显然10x +>， 由1xe x=，作出xy e =和1(0)y x x=>的图象，如图，x y e =是增函数，1y x =在0x >是减函数它们有一个交点，设交点横坐标为0x ，易得0011x e x =>，001x <<， 在00x x <<时，1xe x <，()0f x '<，0x x >时，1xe x>，()0f x '>， 所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，0()f x 是()f x 的极小值，也是在0x >时的最小值．001x e x =，001x x e =，0001ln ln x x x ==-，即00ln 0x x +=，00000()1ln 0x f x x e x x =---=， 0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()f x →+∞．作出()f x 的大致图象，作直线y ex =，如图，0x >时y ex =与()f x 的图象有两个交点，即()0f x ex -=有两个解12,t t ，120,0t t >>．0x <时，()x f x e -=-，()x f x e '-=，由11()xf x e e -'==得1x =-，而1x =-时，(1)y e e =⨯-=-，(1)f e -=-，所以直线y ex =与()x f x e -=-在(1,)e --处相切．即0x ≤时方程()0f x ex -=有一个解e -．()(())()0F x f f x ef x =-=，令()t f x =，则()()0F x f t et =-=，由上讨论知方程()0f t et -=有三个解：12,,e t t -(120,0t t >>)而()f x e =-有一个解，1()f x t =和2()f x t =都有两个解，所以()0F x =有5个解， 即函数()F x 有5个零点．故选B ． 2．【2020江苏盐城期中】已知函数，若函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】【解析】函数，若函数存在三个单调区间即0有两个不等实根，即有两个不等实根，转化为y=a 与y=的图像有两个不同的交点令，即x=，即y=在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增。
导数与函数零点问题解题方法归纳
导数与函数零点问题解题方法归纳导函数零点问题一、方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心是由导数值的正负确定函数的单调性。
应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究$f(x)$的单调性，往往需要解方程$f'(x)=0$。
若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题。
二、解题策略类型一：察“言”观“色”，“猜”出零点例1】【2020·福建南平期末】已知函数$f(x)=x+ax+\frac{1}{e^{2x}}$1）讨论$f(x)$的单调性；2）若函数$g(x)=x+\frac{1}{e^{-mx}-1}$在$[-1,+\infty)$有两个零点，求$m$的取值范围。
分析】1）首先求出函数的导函数因式分解为$f'(x)=(x+a+1)(x+1)e^{-2x}$，再对参数$a$分类讨论可得：①当$a=0$时，$f'(x)=(x+1)e^{-2x}$，当且仅当$x=-1$时，等号成立。
故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数。
②当$a>0$时，$-10$得$x-1$，由$f'(x)<0$得$-a-1<x<-1$；所以$f(x)$在$(-\infty,-a-1)$，$(-1,+\infty)$为增函数，在$-a-1,-1$为减函数。
③当$aa+1$，由$f'(x)>0$得$x>-a-1$或$x<-1$，由$f'(x)<0$得$-1<x<-a-1$；所以$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$-a-1,+\infty$为增函数，在$-1,-a-1$为减函数。
综上，当$a=0$时，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数；当$a>0$时，$f(x)$在$(-\infty,-a-1)$，$(-1,+\infty)$为增函数，在$-a-1,-1$为减函数；当$a<0$时，$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$-a-1,+\infty$为增函数，在$-1,-a-1$为减函数。
导数零点定理和导数介值定理
导数零点定理和导数介值定理1. 导言大家好，今天咱们来聊聊数学里的两个宝贝——导数零点定理和导数介值定理。
这两个定理可不是光在书本上晃荡的，它们可是我们解决很多问题的“秘密武器”。
听起来有点高深，但别担心，我会用最简单的语言把它们说得通俗易懂。
2. 导数零点定理2.1 定理的由来先说导数零点定理。
你知道吗？这定理就像一位忠实的朋友，它告诉我们，如果一个函数在某个区间内变化，而且它的导数在这个区间的两端分别有不同的符号，那么在这个区间里，肯定会有一个地方，函数的导数变为零。
通俗点说，就是在某个区间内，总有一个“高点”或“低点”，让它的变化停下脚步。
这就像你走路，走到高处或低处的时候，脚步会暂时停一下一样。
2.2 定理的应用那么，这个定理到底有什么用呢？想象一下，你正在爬山，走到某个峰顶的时候，突然停下脚步，周围的风景可美了！这时候，我们就可以用导数零点定理来找到这个峰顶。
比如在实际生活中，很多科学家和工程师在设计桥梁、建筑的时候，都需要用到这个定理。
他们需要知道，在某些条件下，结构会出现怎样的变化，而导数零点定理就给了他们这个“灵感”。
所以说，数学不光是枯燥的公式，它背后还有很多精彩的故事。
3. 导数介值定理3.1 定理的基本概念接下来，咱们聊聊导数介值定理。
这个定理可真是个“桥梁”，它连接了两个不同的点，告诉我们在这两个点之间，总会有某种程度的变化。
简单说，就是如果一个函数在两个点上都是可以计算的，那么在这两点之间，必然存在某个点，它的导数值正好等于这两个点的导数的某种平均值。
听起来有点复杂，但想想就好像你在两地之间跑步，总有某一瞬间，你的速度会正好是你起点和终点之间的平均速度。
3.2 生活中的例子导数介值定理的应用也很广泛。
比如，假设你在早上八点从家里出发，九点到达学校。
在这一个小时内，肯定会有一个时刻，你的速度正好是从家到学校的平均速度。
这就像你在开车，虽然可能有时候加速、减速，但总有那么一瞬间，你的车速就是平均值。
二次函数的导数与零点问题
二次函数的导数与零点问题二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。
在解决二次函数问题时，导数与零点是两个重要的概念。
本文将讨论二次函数的导数与零点问题，并探讨它们在解决实际问题中的应用。
一、导数的概念及其计算方法导数是函数在某一点处的变化率，可以表示为f'(x)或dy/dx。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过以下方法计算其导数。
1. 利用导数的定义根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用这一定义计算其导数。
2. 使用求导公式对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求导公式简化计算。
根据求导法则，若f(x) = ax^n，则f'(x) = nax^(n-1)。
应用这一法则，我们可以得到二次函数的导数表达式。
二、二次函数的导数性质二次函数的导数具有以下性质，在解决问题时，这些性质是非常有用的。
1. 二次函数的导数为一次函数二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数f'(x) = 2ax + b是一个一次函数。
这意味着二次函数的导数是一个斜率不断变化的直线。
2. 二次函数的导数图像根据导数的概念，我们可以绘制出二次函数的导数图像。
导数图像可以帮助我们分析二次函数的变化趋势、极值点以及凹凸性。
3. 导数与零点的关系在二次函数中，导数的零点对应着函数的极值点。
当导数为零时，相应的x值被称为临界点。
通过求解导数等于零的方程，我们可以获得二次函数的极值点。
三、导数与零点问题的应用导数与零点问题在解决实际问题中具有广泛的应用，以下是一些常见的例子。
1. 最优解问题通过求解二次函数的导数等于零的方程，我们可以找到函数的极值点。
在最优解问题中，我们可以利用这一性质来确定最大值或最小值的位置。
函数零点与导数的关系
函数零点与导数的关系
函数零点是指满足方程f(x) = 0的实数解x，即函数图像与x轴交点的横坐标。
导数反映函数在某点处切线斜率及变化趋势。
函数零点与导数的关系主要体现在：
1. 导数为零的点可能是函数的局部极值点，而该极值点可能是零点（如抛物线顶点），也可能不是（如f(x)=x³在x=0处）。
2. 函数连续且在区间内其导数改变符号，则根据罗尔定理可知该区间内至少存在一个零点。
3. 利用牛顿迭代法等方法，可以通过函数及其导数寻找零点的近似值。
4. 对于可导函数，通过分析导数正负可以判断函数在某个区间单调性，进而确定零点个数。
总结来说，导数可以帮助我们理解函数零点的分布和特性，但并不是每个导数为零的点都是函数零点，而是通过导数分析函数的变化趋势来间接研究零点。
函数零点与导数
函数零点与导数函数零点与导数是数学中的基本概念之一，深入理解和运用这个概念可以为我们解决一些实际问题提供帮助。
本文将围绕函数零点与导数展开讨论，分步骤阐述它们的定义、关系以及应用。
一、函数零点的定义一个函数的零点是指函数在某一点上取值为0的点。
可以简单地将其理解为在函数图像上与X轴相交的点。
对于一个函数f(x)，其零点就是满足f(x)=0的x值。
二、导数的定义导数是用来描述函数斜率变化率的概念。
在微积分中，导数指的是函数在某一点上的瞬时变化率，可以理解为函数在某一点上的切线斜率。
具体地，我们可以使用以下公式求得一个函数f(x)在某一点x处的导数f’(x)：f’(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h其中，h表示x的增量。
求导后我们可以得到函数在某一点上的切线斜率。
三、函数零点与导数的关系函数的零点与导数之间存在着密切的关系。
在某一点处的零点是函数图像与X轴相交的点，因此在这个点处的函数值必然为0。
而在这一点附近，如果函数的值一直为正，说明该点左侧的曲线是上升的；反之，如果函数的值一直为负，说明该点左侧的曲线是下降的。
因此，在函数的零点处，函数左侧与X轴的夹角为45度，这也就是说在这个点上的切线斜率为0。
这意味着什么呢？如果我们在求函数零点的同时也求出了函数在该点处的导数，那么我们就可以根据导数的符号来确定函数在该点附近的斜率变化情况。
如果导数为正，说明函数在该点左侧的曲线上升，在该点右侧下降；反之，如果导数为负，说明函数在该点左侧的曲线下降，在该点右侧上升。
如果导数为0，则说明函数在该点处取到了极值。
四、函数零点与导数的应用在实际问题中，函数零点与导数常常被用来解决一些实际问题。
首先，函数的零点可以用来解方程。
对于一个已知的函数f(x)，如果我们想求它的零点，我们只需要将f(x)置为0，然后解方程即可。
例如，如果我们想求出函数f(x)=x2-2x-3的零点，我们只需要将其置为0，即x2-2x-3=0，然后解得x=3或x=-1。
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函数有两个零点与导数
解决方法1：若能分离参数，构造函数，数形结合，转化为“直线与函数图象有两个交点的问题”. 解决方法2：若不能分离参数，则转化为极大值＞0或极小值＜0问题。
注意：首选方法1.
思路方法：转化为极大值＞0或极小值＜0问题。
3．（2016•兰州模拟）已知函数1ln x
f x ax x x
=+（
），＞． （Ⅰ）若f （x ）在（1，+∞）上单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若a=2，求函数f （x ）的极小值；
（Ⅲ）若方程（2x-m ）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围． 方法思路：分离参数，构造函数，数形结合
解：（Ⅰ）∵1ln x
f x ax x x
=+（
），＞， ∴()2ln 1
ln x f x a x
-'+＝，
∵f （x ）在（1，+∞）上单调递减，
（2）方法思路：分离参数，构造函数，数形结合
5．已知函数f（x）=e-x（2x-a），a∈R．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若关于实数x的方程f（x）=1在[1
2
，2]上有两个不等实根，求a的取值范围．
6．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）e x（a为实数）．（1）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在两个不等实根x1，x2∈（1
e
，e），使方程g（x）=2e x f（x）成立，求实数a的取值范围．
7．已知函数
2
ln
x
f x
x
（）。
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程g（x）=tf（x）-x在[1
e
，1]∪（1，e2]上有两个零点，求实数t的取值范围．。