2020年四川高考理科数学试题及答案
2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2024年四川高考数学(理)试题(含答案)
2024年四川高考数学(理)试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,5【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5 B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：.由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值.【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.7. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭，故选：B.9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D. “1x =-”是“//a b”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac+=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2 B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．【答案】5【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲，)12h r r ==-乙，所以V h V h ====甲甲乙乙.15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p=，根据题意计算p+.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64 150=，用频率估计概率可得0.64p=，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅- （2）(21)31n n T n =-⋅+【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式．（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，为所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则sin ,m n =，故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k=-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值0，无极大值. （2）12a ≤-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，为【故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．为[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+ （2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。
四川省攀枝花市2020届高三第二次统一考试理数试题及参考答案
攀枝花市2020届高三第二次统一考试 2020.1理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应顺目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z z i⋅=（ ） A.2i - B.2i C.2- D.22.已知集合2{|30},{|17}M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N ⋂=（ ） A.{|37}x x <≤ B.{|37}x x ≤≤ C.{|13}x x ≤≤ D.{|13}x x ≤<3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A. B. C. D.4.在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字3是取出的五个不同数的中位数的所有取法为（ ）A.24种B.18种C.12种D.6种5.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ）A.1625B.1C.4825D.64256.261(12)()x x x +-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ）A.40-B.25-C.25D.557.已知m n 、是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//m n 的充分条件是（ ）A.与m n 、平面α所成的角相等B.//,//m n αα C.//,,m m n αβαβ⊂⋂= D.//,m n ααβ⋂=8.已知AB 是圆心为C 的圆的一条弦，且92AB AC ⋅=u u u r u u u r ，则||AB =u u u r （ ） A.3 B.3 C.23 D.99.函数2()()ax b f x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A.0,0,0a b c <>< B.0,0,0a b c <>>C.0,0,0a b c >>< D.0,0,0a b c <<<10.函数()sin 232f x x x =+的图象向右平移6π个单位长度得到()y g x =的图象. 命题1:()p y g x =的图象关于直线2x π=对称；命题2:(,0)4p π-是()y g x =的一个单调增区间.则在命题 112212312:,:()(),:()q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和412:()q p p ∧⌝中，真命题是（ ）A.13,q qB.14,q qC.23,q qD.24,q q11.在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，记ABC V 和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ，若2AC =，且三棱柱外接球体积为323π，则2212O AO A +的值为（ ） A.83 B.3 C.113D.5 12.已知函数22ln ,0()3,0x x x x f x x x x ->⎧=⎨--≤⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在1y kx =+的图象上，则实数k 的取值范围是（ ）A.1(,1)2B.(1,1)-C.11(,)32-D.()11,22-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理科数学全国卷2含答案(A4打印版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{10{2101}1{1223U A B --==-}=}，，，，，，，，，，，则)(UA B = ( )A .{23-}，B .{223-}，，C .{2103--}，，，D .{21023--}，，，， 2.若α为第四象限角，则( )A .cos20α＞B .cos20α＜C .sin20α＞D .sin20α＜3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 ( ) A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A .3 699块B .3 474块C .3 402块D .3 339块5.若过点(2)1，圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 ( )ABCD6.数列{n a }中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =( )A .2B .3C .4D .57.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )A .EB .FC .GD .H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=＞＞的两条渐近线分别交于D E ，两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A .4B .8C .16D .32 9.设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x( )A .是偶函数，且在1()2+∞，单调递增 B .是奇函数，且在11()22-，单调递减C .偶函数，且在1()-∞-，单调递增D .是奇函数，且在1()2-∞-，单调递减10.已知ABC △的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A B .32C .1D 11.若2233x y x y ----＜，则( )A .ln(1)0y x -+＞B .ln(1)0y x -+＜C .ln 0x y -＞D .ln 0x y -＜12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足，且存在正整数m ，使得(12)i m i a a i +==，，成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(12)i m i a a i +==，，的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为的01-序列12na a a ，11()(121)mi i k i C k a a k m m +===-∑，，，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1234)5C k k =≤，，，的序列是 ( )A .11010B .11011C .10001D .11001二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a b ，的夹角为45︒，ka b -与a 垂直，则=k ________.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.15.设复数1z ，1z 满足12|=||=2z z ，12i z z +=，则12||=z z -________. 16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C =－－. （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值.18.（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1220i i x y i =⋯，，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()()1220i i x y i =⋯，，，，的相关系数（精确到0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数))ii nx y x y r --∑（（.19.（12分）已知椭圆2221201()x y a bC a b +=＞＞：的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A B ，两点，交2C 于C D ，两点，且43CD AB =.（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，求1C 与2C 的标准方程.20.（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：1AA MN ∥，且平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若AO ∥平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.21.（12分）已知函数2sin n )si (2f x x x =.（1）讨论()f x 在区间(0)π，的单调性； （2）证明：()f x （3）设*n N ∈，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x ⋯≤.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 已知曲线12C C ，参数方程分别为2124cos 4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，:（θ为参数），21π1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12C C ，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设12C C ，的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求()4f x 不等式的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学答案解析一、选择题 1．【答案】A【解析】由题意可得：{}1012AB =-，，，，则{2()3UA B =-}，．故选：A ．【考点】并集、补集的定义与应用 2．【答案】D 【解析】当π6α=-时，πcos2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，选项B 错误；当π3α=-时，2πcos 2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0cos 0αα，＞＜，则sin22sin cos 0ααα=＜，选项C 错误，选项D 正确；故选：D ．【考点】三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值 3．【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者9001850=名．故选：B ．【考点】函数模型的简单应用 4．【答案】C【解析】设第n 环天心石块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===．故选：C ．【考点】等差数列前n 项和有关的计算 5．【答案】B【解析】由于圆上的点()21，在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为()a a ，，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()11，或()55，，圆心到直线230x y --=距离均为d =230x y --=的距离为5．故选：B ． 【考点】圆心到直线距离的计算6．【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=． 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++--∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =．故选：C ．【考点】利用等比数列求和求参数的值 7．【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E ，故选：A ． 【考点】根据三视图判断点的位置 8．【答案】B 【解析】22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞ ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线22221(00)x yC a b a b-=：＞，＞的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故()D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故()E a b -，∴||2ED b =∴ODE △面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞∴其焦距为22228c ab ==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8．故选：B ．【考点】双曲线焦距的最值问题 9．【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当1122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，()ln 12y x =-在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，()f x ∴在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，排除B ；当12x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，D 正确．故选：D ． 【考点】函数奇偶性和单调性的判断 10．【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则24π16πR =，解得：2R =．设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 是面积为4的等边三角形，21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===．故选：C ．【考点】球的相关问题的求解 11．【答案】A【解析】由2233x y x y ----＜得：2323x x y y ----＜，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴＜，0y x -＞，11y x ∴-+＞，()ln 10y x ∴-+＞，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD无法确定．故选：A ． 【考点】数式的大小的判断问题 12．【答案】C 【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511()12345i i k i C k a a k +===∑，，，， 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑≤52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【考点】数列的新定义问题 二、填空题 13．【解析】由题意可得：211cos452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即：2202k a a bk →→→⨯-=-=，解得：2k =．故答案为：2． 【考点】平面向量的数量积定义与运算法则 14．【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =．根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种．故答案为：36． 【考点】计数原理的实际应用 15．【答案】 【解析】122z z ==，可设12cos 2sin i z θθ=+，22cos 2sin i z αα=+，()()122cos cos 2sin sin i 3i z z θαθα∴+=+++=+，()()2cos cos 2sin sin 1θαθα⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩()422cos cos 2sin sin 4θαθα++=，化简得：1cos cos sin sin 2θαθα+=-()()122cos cos 2sin sin iz z θαθα∴-=-+-===．故答案为：． 【考点】复数模长的求解 16．【答案】①③④【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④． 【考点】复合命题的真假，空间中线面关系有关命题真假的判断 三、解答题 17．【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-，()0πA ∈，，2π3A ∴=． （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-=++=，即()29AC AB AC AB +-=．22AC AB AC AB +⎛⎫⎪⎝⎭≤（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC ABAC AB AC AB +⎛⎫∴=+-+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =+++≤ABC ∴△周长的最大值为3+【考点】解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题 18．【答案】（1）12000； （2）0.94； （3）详见解析【解析】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=（2）样本(),i i x y的相关系数为20()()0.94ii xx y y r --===≈∑ （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样，先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可．【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取 19．【答案】（1）12；（2）22113627x y C +=：，2212C y x =：．【解析】（1）()0F c ，，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =， 联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x c y c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e ＜＜，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2ac =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x yc c +=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =．因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．【考点】椭圆离心率的求解，利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程 20．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB 1//MN AA ∴．在ABC△中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥．又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥，1//MN BB ，MN BC ⊥，由MN AM M =，,MN AM ⊂平面1A AMN ，∴BC ⊥平面1A AMN ．又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC ．又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN ，∴EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11EB C F ，∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN．（2）连接NP//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP =，∴//AO NP ．根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA平面ABC AM =，面1A NMA平面1111A B C A N =，∴//ON AP ．故：四边形ONPA 是平行四边形．设ABC △边长是6m (0m >)，可得：ON AP =，6NP AO AB m ===．O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m ，∴16sin 603ON =⨯⨯︒，故：ON AP =．//EF BC ，∴AP EPAM BM=，∴3EP=．解得：EP m =．在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =，1B Q EP =且1//B Q EP ，∴四边形1B QPE 是平行四边形，∴1//B E PQ ．由（1）11B C ⊥平面1A AMN ，故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角．在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ =，sinQN QPN PQ ∴∠===∴直线1B E 与平面1A AMN ． 【考点】证明线线平行和面面垂直，线面角21．【答案】（1）当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）证明见解析； （3）证明见解析．【解析】（1）由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()22423sin cos sin f x x x x'=-()2222sin 3cos sin x x x =-()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()0f x '=在()0πx ∈，上的根为：12π2π33x x ==，，当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）注意到()()()()22πsin πsin 2πsin sin2f x x x x x f x +=+⎡+⎤==⎣⎦，故函数()f x 是周期为π的函数，结合（1）的结论，计算可得：()()0π0f f ==，2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝⎭，223f π⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭()max f x ⎡⎤=⎣⎦，()min f x ⎡⎤=⎣⎦，即()f x ≤． （3）结合（2）的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x xx233333sin sin 2sin 4sin 2nx x xx ⎡⎤=⎣⎦()()()2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin2sin 2sin 2n nnx x x x x x x x -⎡⎤=⎣⎦23233sin sin 28n x x ⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣⎦≤ 238n⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤34n⎛⎫= ⎪⎝⎭．【考点】导数的应用22．【答案】（1）14C x y +=：；2224C x y -=：；（2）17cos 5ρθ=． 【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=． （2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即5322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设所求圆圆心的直角坐标为()0a ，，其中0a ＞，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 【考点】极坐标与参数方程的综合应用23．【答案】（1）32x x ⎧⎨⎩≤或112x ⎫⎬⎭；（2）(][)13-∞-+∞，，． 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-，解得：32x ≤；当34x ＜＜时，()4314f x x x =-+-=，无解；当4x 时，()43274f x x x x =-+-=-，解得：112x；综上所述：()4f x 的解集为32x x ⎧⎨⎩≤或112x⎫⎬⎭． （2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-，解得：1a -≤或3a ，a ∴的取值范围为(][)13-∞-+∞，，． 【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值。
2020届四川省高考数学(理)模拟试题(word版,有答案)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束 后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（ ）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（ ）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（ ）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020年全国统一高考数学理科试卷(附答案解析)
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
四川省2024年高考理科数学真题及参考答案
四川省2024年高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若i z +=5，则()=+z z i （）A．i10B．i2 C.10D．-22．已知集合{}954321，，，，，=A ,{}A x xB ∈=，则()=B AC A （）A．{}9,41，B．{}9,43， C.{}3,2,1D．{}5,3,23．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≥--09620220334y x y x y x ，则5z x y =-的最小值为（）A．5B．12C．2-D．72-4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知105S S =，15=a ，则=1a （）A．27B．73C．31-D．117-5．已知双曲线()0,012222>>=-b a b x a y C ：的上、下焦点分别为()4,01F ，()402-，F ，点()4,6-P 在该双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．4B．3C．2D．26．设函数()21sin 2xxe xf x ++=，则曲线()x f y =在点()1,0处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．61B．31C．12D．327．函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[]8.2,8.2-的图像大致为（）8．已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．132+B．1-C．23D．31-9.设向量()x x a ,1+=，()2,x b = ，则（）A.3-=x 是b a⊥的必要条件 B.3-=x 是b a∥的必要条件C.0=x 是b a⊥的充分条件D.31+-=x 是b a∥的充分条件10．设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，且m =βα ，下述四个命题：①若n m ∥，则α∥n 或β∥n ；②若n m ⊥，则α⊥n 或β⊥n ；③若α∥n 且β∥n ，则n m ∥；④若n 与α，β所成的角相等，则m n ⊥，其中所有真命题的编号是（）A．①③B．②④C．①②③D．①③④11．记ABC △的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3π=B ，294b ac =，则sin sin A C +=（）A．23B．2C．2D．2312.已知b 是c a ,的等差中项，直线0=++c by ax 与圆01422=-++y y x 交于A,B 两点，则AB 的最小值为（）A．2B．3C．4D．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1031⎪⎭⎫⎝⎛+x 的展开式中，各项系数中的最大值为.14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ，下底面半径均为2r ，圆台的母线长分别为()122r r -，()123r r -，则圆台甲与乙的体积之比为．15．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =．16．有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m与n 差的绝对值不大于21的概率为.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：（1）填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率5.0=p .设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果()np p p p -+>165.1，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为产品线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（247.12150≈）18．（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知434+=n n a S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()n n n na b 11--=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（12分）如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，AD EF ∥，AD BC ∥，4=AD ，2===EF BC AB ,10=ED ,32=FB ,M 为AD 的中点.（1）证明：∥BM 平面CDE ；（2）求二面角E BM F --的正弦值.20．（12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于A ，B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21.（12分）已知函数()()()x x ax x f -+-=1ln 1.（1）若2-=a ，求()x f 的极值；（2）当0≥x 时，()0≥x f 恒成立，求a 的极值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。
2020年四川省高考数学诊断试卷(理科)(5月份)(附答案详解)
2020年四川省高考数学诊断试卷（理科）（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设i 是虚数单位，若2−ia+i 为纯虚数，则实数a( )A. −2B. −12C. 12D. 22. 设全集U =R ，集合A ={x|log 2x <1}，B ={x|x 2≥1}，则将韦恩图(Venn)图中的阴影部分表示成区间是( )A. (0,1)B. (−1,1)C. (−1,2)D. (1,2)3. 在(x −1√x 3)6的展开式中，x 2项的系数为( )A. 20B. 15C. −15D. −204. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 21πB. 24πC. 27πD. 30π5. 设a =sin24°，b =tan38°，c =cos52°，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. a <c <b6. 已知f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=e x −1，则曲线y =f(x)在x =−1处的切线方程为( )A. ex −y +1=0B. ex +y −1=0C. ex −y −1=0D. ex +y +1=07. 设O 、F 分别是抛物线y 2=4x 的顶点和焦点，点P 在抛物线上，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ =10，则|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 2 B. 3C. 4D. 58. 已知a >b >0，则c >0是ab >a+cb+c 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述《算经》中有如下问题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问未到三人复应得金几A. 3.0B. 3.2C. 3.4D. 3.610. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −b ⃗ |=2，且(3a ⃗ −b ⃗ )⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则(2a ⃗ −b⃗ )⋅b ⃗ =( ) A. −1 B. 1 C. 3D. −311. 已知函数f(x)=cos(2x +φ)(0<x <π)关于直线x =π6对称，函数g(x)=sin(2x −φ)，则下列四个命题中，真命题有( ) ①y =g(x)的图象关于点(π3,0)成中心对称；②若对∀x ∈R ，都有g(x 1)≤g(x)≤g(x 2)，则|x 1−x 2|的最小值为π； ③将y =g(x)的图象向左平移π12个单位，可以得到y =f(x)的图象； ④∃x 0∈R.使|f(x 0)−g(x 0)|=12．A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④12. 已知三条射线OA 、OB 、OC 两两所成的角都是60°，点M 在OA 上，点N 在∠BOC 内运动，且MN =OM =6√3，则点N 的轨迹长度为( )A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 双曲线x 24−y 212=1的焦点到渐近线的距离为______．14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =3a n −2n(n ∈N ∗)，若{a n +λ}成等比数列，则实数λ=______．15. 已知函數f(x)={2−ax,x ≤02x 3−ax 2+1,x >0，若f(x)>0恒成立，则实数a 的取值范围是______．16. 为弘扬新时代的中国女排精神．甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制(即某队先赢三局即获胜，比賽随即结束).若两队的竞技水平和比赛状态相当．且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.已知btanA 、ctanB.、btanB 成等差数列． (1)求A 的大小；(2)设a =2，求△ABC 面积的最大值．18.如图所示，菱形ABCD与正方形CDEF所在平面相交于CD．(1)求作平面ACE与平面BCF的交线l.并说明理由；(2)若BD与CF垂直且相等，求二面角D−AE−C的余弦值．19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，且离心率为√32．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(2,1)的直线与椭圆E交于不同两点B、C求证：直线AB和AC的斜率之和为定值．20.随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP与人均垃圾清运量的统计数据如表：人均GDPx(万元/人)3 6 9 12 15人均垃圾清运量y(吨/人)0.13 0.23 0.31 0.41 0.52(1)已知变量y 与x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；(2)随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均GDP 的频率分布直方图，请补全[15,18]的缺失部分，并利用(1)的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量．[参考公式]回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2．21. 已知函数f(x)=2(x−1)x+a−lnx ，其中a >0．(2)设x 1，x 2是f(x)的两个极值点，求证：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<1−aa(1+a)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知C 1：{x =6−t y =√3t(其中t 为参数)，C 2：{x =2cosθy =2+2sinθ(其中θ为为参数).以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)．(1)求C 1和C 2的极坐标方程；(2)设以O 为端点，倾斜角为α的射线l 与C 1和C 2分别交于A 、B 两点，求|OA||OB|的最小值．23. 设函数f(x)=|x −2|−2|x +1|的最大值为m ．(1)求m 的值；(2)若a +b =m ，求√a +1+√2b +4的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． 【解答】解：2−ia+i =(2−i)(a−i)(a+i)(a−i)=2a−1a 2+1−a+2a 2+1i 为纯虚数， ∴2a−1a +1=0，−a+2a +1≠0，解得a =12． 故选：C ．2.【答案】A【解析】解：由题意可知集合A 中x 必须满足log 2x <1=log 22， 即0<x <2，即A =(0,2)． 集合B 中x 2≥1⇒x ≥1或x ≤−1， 所以集合B 的补集C U B =(−1,1)， 图中阴影部分表示A ∩(C U B)=(0,1)， 故选：A ．根据所给的韦恩图，看出阴影部分所表达的是要求B 集合的补集与A 集合的交集，整理两个集合，求出B 的补集，再求出交集．本题考查韦恩图表达集合的关系及运算，本题解题的关键是正确读出韦恩图，在计算出两个集合之间的交集．3.【答案】D【解析】解：在(x −√x 3)6的展开式中，通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅x 6−4r3， 令6−4r 3=2，求得r =3，可得含x 2项的系数为−C 63=−20，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得展开式中x2项的系数．本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识要点：三视图和直观图的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图可得直观图为：下面为半径为3半球体和底面半径为3，高为2的圆锥组成．如图所示：故：V=23×π×33+13×π×32×2=24π，故选：B．5.【答案】D【解析】解：a=sin24°，b=tan38°，c=cos52°=sin28°，根据单位圆的三角函数线：AB=b，EF=c，CD=a，即：tan38°>sin28°>sin24°，即a<c<b，故选：D．直接利用单位元的三角函数线和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数线的应用，三角函数诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：∵f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=e x−1，∴f(−1)=−f(1)=1−e；又x>0时，f′(x)=e x，∴f′(−1)=f′(1)=e．故切线为：y−(1−e)=e(x+1)，即ex−y+1=0．故选：A．根据奇函数的性质可知，f(−1)=−f(1)，求出切点坐标，再根据f′(−1)=f(1)求出切线斜率，则切线可求．本题考查利用导数求切线的基本思路，奇函数的性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力及运算能力．属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵O、F分别是抛物线y2=4x的顶点和焦点，∴O(0,0)，F(1,0)；则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =10=(x,y)⋅(x −1,y)=x(x −1)+y 2； 又因为y 2=4x ；∴x(x −1)+4x =10⇒x =2 (−5舍)； 故|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x +p2=2+1=3； 故选：B ．设出p 的坐标，根据数量积求出点p 的横坐标，即可求解出结论．本题主要考查向量的数量积以及抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题目．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．a b>a+cb+c化为：c(a−b)b(b+c)>0，根据a >b >0，不等式化为：(b +c)c >0，进而判断出结论． 【解答】解：ab >a+cb+c 化为：c(a−b)b(b+c)>0，∵a >b >0，∴不等式化为：(b +c)c >0，则c >0⇒ba >a+cb−c ，反之不成立，例如b =1，c =−2． ∴a >b >0，则c >0是ab >a+cb+c 的充分不必要条件． 故选：A ．9.【答案】B【解析】 【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，关键求出等差数列的首项与公差，属于基础题．根据题意，设题目中十等人得金依次为a 1、a 2、……，a 10，由等差数列的通项公式可得{a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4，解可得a 1、d ，即可得等差数列{a n }的通项公式，又由中间三人共得金S =a 5+a 6+a 7=3a 6，计算可得答案．解：根据题意，设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列， 设数列{a n }的公差为d ，{a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4，即有{4a 1+6d =33a 1+24d =4，解可得a 1=813，d =778， 则中间三人共得金S =a 5+a 6+a 7=3a 6=3(a 1+5d)=8326≈3.2(斤)； 故选：B ．10.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查数量积的应用以及整体代入的数学思想，属于基础题．先根据已知条件得到a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4 与3a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=0；二者联立即可求解结论． 【解答】解：因为向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −b ⃗ |=2，且(3a ⃗ −b ⃗ )⊥(a ⃗ +b ⃗ )，∴a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4 ①；(3a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0⇒3a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=0 ②； 由①+②可得：a ⃗ 2=1； ∴2a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=−3a ⃗ 2=−3；即(2a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=−3a ⃗ 2=−3；故选：D ．11.【答案】C【解析】 【分析】首先利用函数的对称性的应用求出φ的值，进一步求出函数gf(x)和函数g(x)的解析式，再利用函数的性质的应用求出函数的对称性和函数周期及最值及利用和角公式的运用和差角公式的应用求出存在具体的角，最后求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的型． 【解答】解：函数f(x)=cos(2x +φ)(0<x <π)关于直线x =π6对称，所以2×π6+φ=kπ(k ∈Z)，解得φ=kπ−π3，当k =1时φ=2π3．所以f(x)=cos(2x +2π3).所以函数g(x)=sin(2x −φ)=sin(2x −2π3)，令2x −2π3=kπ，解得x =kπ2+π3(k ∈Z)，当k =0时，x =π3，所以：y =g(x)的图象关于点(π3,0)成中心对称；故①正确．②若对∀x ∈R ，都有g(x 1)≤g(x)≤g(x 2)，即g(x)min ≤g(x)≤g(x)max ，即|x 1−x 2|的最小值为T2=π2，故②错误．③将y =g(x)的图象向左平移π12个单位，得到k(x)=sin(2x +π6−2π3)=−cos2x ，故错误．④由于f(x)−g(x)=cos(2x +2π3)−sin(2x −2π3)=(√32−12)×√2sin(2x −π4)，当sin(2x −π4)=√6−√24时，|f(x 0)−g(x 0)|=12，故正确．故选：C ．12.【答案】C【解析】解：如图所示：作MO 1⊥平面AOB 于点O 1，作MK ⊥OB 于点K ，连OO 1，KO 1， ∵射线OA 、OB 、OC 两两所成的角都是60°，点M 在OA 上，MO =6√3， ∴在直角三角形MKO 中，MK =OM ⋅sin60°=9，OK =OM ⋅cos60°=3√3； 在直角三角形O 1KO 中，KO 1=OK ⋅tan30°=3；在直角三角形MO 1K 中，MO 1=√92−32=6√2.∵点N 在∠BOC 内运动，且MN =6√3，∴点N 的轨迹是以点M 为球心，以6√3为半径的球被平面BOC 截得的一段圆弧EF ．其圆心为点O1，半径r=√MN2−MO12=6，圆心角为∠EO1F=2∠BOC=120°，圆弧长为13×2πr=4π．故选：C．先作MO1⊥平面AOB于点O1，作MK⊥OB于点K，连OO1，KO1，利用直角三角形知识依次求出MK，OK，KO1，MO1长度，再由题设条件得出点N的轨迹是一段圆弧，求出其长度即可．本题主要考查动点的轨迹是球被平面截得的一段圆弧的弧长的计算，属于中档题．13.【答案】2√3【解析】解：由双曲线x24−y212=1，得焦点坐标为F(±4,0)，渐近线方程为y=±√3x，不妨取焦点坐标为(4,0)，一条渐近线方程为√3x−y=0．则焦点到渐近线的距离为d=√3|√3+1=2√3．故答案为：2√3．由双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．14.【答案】2【解析】解：数列{a n}的前n项和S n=3a n−2n(n∈N∗)，①，则n≥2时，S n−1=3a n−1−2(n−1)，②，①−②，得a n=3a n−3a n−1−2，∴2a n=3a n−1+2，∴a n=32a n−1+1，若{a n+λ}成等比数列，∴a n+λ=32(a n−1+λ)，解得λ=2．故答案为：2．利用a n与S n的关系转化成a n与a n−1的关系，因为{a n+λ}成等比数列，构造a n+λ，求解λ即可．本题主要考查a n 与S n 的关系，以及构造新数列，考查了等比数列的概念，属于基础题．15.【答案】[0,3)【解析】 【分析】讨论a =0，a <0，a >0，结合函数的单调性和运用导数判断单调性、求最值，由题意可得f(x)的最小值大于0，解不等式可得所求范围．本题考查分段函数的性质，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和导数的运用：求单调性、极值和最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 【解答】解：当a =0时，f(x)={2,x ≤02x 3+1,x >0，显然f(x)>0恒成立；当a <0时，x ≤0时，f(x)递增，可得f(x)≤2，显然f(x)>0不恒成立； 当a >0时，x ≤0时，f(x)递减，可得f(x)≥2；x >0时，f(x)=2x 3−ax 2+1的导数为f′(x)=6x 2−2ax =2x(3x −a)， 当0<x <13a 时，f′(x)<0，f(x)递减；当x >13a 时，f′(x)>0，f(x)递增， 可得f(x)在x =13a 处取得极小值，且为最小值−a 327+1，由题意可得−a 327+1>0，解得0<a <3，综上可得a 的取值范围是[0,3)． 故答案为：[0,3)．16.【答案】4.125【解析】解：设比赛结束时已经进行的比赛局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5， 甲队或乙队连胜三局：P(X =3)=C 33⋅(12)3⋅(12)3+C 30⋅(12)0⋅(12)3=14，甲队或乙队在前3局胜2局，第4局获胜：P(X =4)=C 32⋅(12)2⋅12⋅12+C 32⋅(12)2⋅12⋅12=38，甲队或乙队在前4局胜2局，第5局获胜：P(X =5)=C 42⋅(12)2⋅(12)2⋅12+C 42⋅(12)2⋅(12)2⋅12=38．∴数学期望E(X)=3×14+4×38+5×38=338=4.125．故答案为：4.125．设比赛结束时已经进行的比赛局数为X，则X的可能取值为3，4，5，然后结合独立重复事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率，再利用数学期望的公式求解即可．本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的数学期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)△ABC中，∵btanA、ctanB、btanB成等差数列，∴btanA+btanB= 2ctanB，即b(sinAcosA +sinBcosB)=2c⋅sinBcosB，即b⋅sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=2c⋅sinBcosB，即b⋅sin(A+B)cosAcosB =2c⋅sinBcosB，即bsinCcosAcosB=2c⋅sinBcosB．再利用正弦定理可得sinB⋅sinCcosAcosB =2sinC⋅sinBcosB，故cosA=12，∴A=π3．(2)设a=2，△ABC面积为S，则S=12⋅bc⋅sinA=√34bc．由余弦定理可得a2=4=b2+c2−2bc⋅cosA≥2bc−bc=bc，即bc≤4，当且仅当b=c时，等号成立．故，△ABC面积为S的最大值为√34⋅4=√3．【解析】(1)由题意利用等差数列的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，正弦定理，求得cosA的值，可得A的值．(2)由题意利用余弦定理、基本不等式，求得，△ABC面积为S的最大值．本题主要考查等差数列的定义应用，同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)过点C作BF的平行线l即可，下面给予证明：由已知得AB和EF都与CD平行且相等，即AB与EF平行且相等，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE//BF，∵BF⊄平面ACE，且AE⊂平面ACE，∴BF//平面ACE，∵BF⊂平面BCF，且平面ACE∩平面BCF=l，∴BF//l．(2)由CF ⊥BD ，CF ⊥CD ，且BD ∩CD =D ，BD ，CD ⊂平面ABCD ， 得CF ⊥平面ABCD ，由BD =CF ，得△BCD 是正三角形，取BC 中点O ，则BO ⊥CD ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =2，则D(0,−1,0)，A(√3,−2,0)，E(0,−1,2)，C(0,1,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面ADE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y +2z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,0)， 设平面ACE 的一个法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b −2c =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a +b +2c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,1,1)，设二面角D −AE −C 的平面角为θ， 则二面角D −AE −C 的余弦值为： cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√32√5=√155．【解析】本题考查两平面的交线、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题(1)过点C 作BF 的平行线l ，推导出AB 与EF 平行且相等，从而四边形ABEF 是平行四边形，AE//BF ，进而BF//平面ACE ，由此推导出BF//l ．(2)由CF ⊥BD ，CF ⊥CD ，且BD ∩CD =D ，得CF ⊥平面ABCD ，由BD =CF ，得△BCD 是正三角形，取BC 中点O ，则BO ⊥CD ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −AE −C 的余弦值．19.【答案】(1)解：由题意，{b =1ca =√32a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3， 则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；(2)证明：∵直线BC 过P(2,1)且与椭圆有两个不同交点，∴直线BC 的斜率一定存在且对于0，于是设直线方程为y −1=k(x −2)，即y =kx −2k +1．联立{y =kx −2k +1x 2+4y 2=4，得(4k 2+1)x 2−(16k 2−8k)x +16k(k −1)=0． △=(16k 2−8k)2−4(4k 2+1)(16k 2−16k)>0． 设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=16k 2−8k 4k 2+1，x 1x 2=16k(k−1)4k +1．设直线AB 和AC 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=k(x 1−2)+2x 1+k(x 2−2)+2x 2=2k −2(k−1)(x 1+x 2)x 1x 2=2k −16k(k−1)(2k−1)16k(k−1)=2k −(2k −1)=1．∴直线AB 和AC 的斜率之和为定值1．【解析】(1)由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a ，b 的值，则椭圆方程可求； (2)直线BC 过P(2,1)且与椭圆有两个不同交点，可得直线BC 的斜率一定存在且对于0，于是设直线方程为y −1=k(x −2)，即y =kx −2k +1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由斜率公式及根与系数的关系化简可得直线AB 和AC 的斜率之和为定值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由表格可得，x −=3+6+9+12+155=9，y −=0.13+0.23+0.31+0.41+0.525=0.32，∑(5i=1x i −x −)2=36+9+0+9+36=90，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=(−6)×(−0.19)+(−3)×(−0.09)+0×(−0.01)+3×0.09+6×0.2=6×(0.19+0.09+0.20)=6×0.48=2.88， 所以b ̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=2.8890=0.032，于是a ̂=y −−b ̂x −=0.32−0.032×9=0.032，故变量y 与x 之间的回归直线方程为ŷ． (2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得160×(1+2+4+6+5+a)×3=1，解得a=2，故最右边小矩形的高度为260=130由频率分布直方图可知，光明社区的人均GDP为x−=360(1×1.5+2×4.5+4×7.5+6×10.5+5×13.5+2×16.5)=10.2(万元/人)，由(1)可知，光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人)．于是光明社区年内垃圾清运总量为5×0.032×(10.2+1)=1.792(万吨)．由题意，整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量估计为：17920×200=3.584×106(千瓦时)即为所求．【解析】本题考查统计，及回归直线方程，属于中档题．(1)由最小二乘法，算出b̂，â，进而可得回归直线方程．(2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得a=2，最右边小矩形的高度，人均GDP，进而得光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人).于是光明社区年内垃圾清运总量，进而得出答案．21.【答案】(1)解：由f(x)=2(x−1)x+a −lnx，得f′(x)=2(a+1)(x+a)2−1x=−x2+2x−a2x(x+a)2(x>0)．①当a≥1时，f′(x)≤−x2+2x−1x(x+a)2=−(x−1)2x(x+a)≤0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，无单调减区间；②当0<a <1时，由−x 2+2x −a 2>0，解得1−√1−a 2<x <1+√1+a 2． 由−x 2+2x −a 2<0，解得0<x <1−√1−a 2或x >1+√1+a 2．∴f(x)在(0,1−√1−a 2)，(1+√1+a 2,+∞)上单调递减，在(1−√1−a 2,1+√1+a 2)上单调递增；(2)证明：∵x 1，x 2是f(x)的两个极值点， 由(1)知，0<a <1，且x 1+x 2=2，x 1x 2=a 2．f(x 1)−f(x 2)=[2(x 1−1)x 1+a −2(x 2−1)x 2+a]−(lnx 1−lnx 2)=2[(x 1−1)(x 2+a)−(x 2−1)(x 1+a)](x 1+a)(x 2+a)−(lnx 1−lnx 2)=2(a +1)(x 1−x 2)x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2−(lnx 1−lnx 2).∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=2(a+1)2a 2+2a −lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1a−lnx 1−lnx 2x 1−x 2．令g(t)=lnt −2(t−1)t+1(0<t <1)，则g′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0．故g(t)在(0,1)内单调递增，于是g(t)<g(1)=0，即lnt <2(t−1)t+1(0<t <1)．不妨令x 1<x 2，令t =√x1x 2∈(0,1)，则12ln x1x 2<2(√x1x−1)√x 1x 2+1，即lnx 1−lnx 2<√x 1√x 2)x +x ．于是，lnx 1−lnx 2x 1−x 2>(√x +√x )2=x +x +2√x x =42+2a=21+a．从而f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<1a−21+a=1−aa(1+a)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查化归与转化思想方法，换元与构造函数是解答该题的关键，属难题． (1)求出原函数的导函数f′(x)=2(a+1)(x+a)2−1x =−x 2+2x−a 2x(x+a)2(x >0)，当a ≥1时，f′(x)≤0恒成立，可得f(x)在(0,+∞)上的单调性；当0<a <1时，由导函数的符号确定原函数的单调区间；(2)由x 1，x 2是f(x)的两个极值点，结合(1)知，0<a <1，且x 1+x 2=2，x 1x 2=a 2，化简可得f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=1a −lnx 1−lnx 2x 1−x 2，令g(t)=lnt −2(t−1)t+1(0<t <1)，利用导数证明g(t)在(0,1)内单调递增，于是g(t)<g(1)=0，即lnt <2(t−1)t+1(0<t <1).不妨令x 1<x 2，令t =√x 1x 2∈(0,1)，则12ln x 1x 2<2(√x1x−1)√x1x 2+1，即lnx 1−lnx 2<√x 1−√x 2)√x +√x ，可得lnx 1−lnx 2x 1−x 2>21+a，从而f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<1a−21+a=1−aa(1+a)．22.【答案】解：(1)已知曲线C 1：{x =6−ty =√3t (其中t 为参数)，转换为直角坐标方程为√3x +y =6√3，转换为极坐标方程为ρsin(θ+π3)=3√3，曲线C 2：{x =2cosθy =2+2sinθ(其中θ为为参数).转换为直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4，转换为极坐标方程为ρ=4sinθ． (2)射线l 的极坐标方程为θ=α， 所以|OA|=√3sinα+√3cosα，|OB|=4sinα，则：|OA||OB|=√34(sin 2α+√3sinαcosα)=3√31+2sin(2α−π6)，故当sin(2α−π6)=1时，|OA||OB|的最小值√3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=|x −2|−2|x +1|={x +4,x ≤−1−3x,−1<x <2−x −4,x ≥2，所以函数f(x)在区间(−∞,−1]内是增函数，在[−1,+∞)上是减函数．所以函数的最大值为：m =f(−1)=3． (2)由柯西不等式可得：√a +1+√2b +4=1⋅√a +1+√2⋅√2b +4≤√(1+2)(a +1+b +2)，由题意a +b =3，所以√a +1+√2b +4≤3√2.当且仅当a =1，b =2时取等号．所以√a +1+√2b +4的最大值为：3√2．【解析】本题考查最值的求法，注意柯西不等式的应用，考查变形和化简整理的运算能力，属于中档题．(1)讨论x的范围：x≤−1，−1<x≤2，x>2，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象即可求得m值；(2)利用柯西不等式，转化区间函数的最值即可．。
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2020年四川高考理科数学试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．62．复数113i -的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110D ．3103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t K I t --+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈ A ．60B ．63C ．66D ．695．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)6．已知向量a ，b 满足||5=a ，||6=b ，6⋅=-a b ，则cos ,=+a a b A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19357．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．6+42B ．4+42C ．6+23D ．4+239．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2B ．–1C ．1D ．210．若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +1211．设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 25．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ．1B ．2C ．4D ．812．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为__________．14．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________． 16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2na n }的前n 项和S n ．18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？空气质量不好附：K 2=()()()()2) n ad bc a b c d a c b d -++++，P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828 ．19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =． （1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．20．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<15，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．21．（12分）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =． （1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{,,}a b c ．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案选择题答案 一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D 10．D11．A12．A非选择题答案 二、填空题13．7 14．240 15 16．②③三、解答题17．解：（1）235,7,a a ==猜想21,n a n =+由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①②得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值0.430.270.210.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=． （3）根据所给数据，可得22⨯列联表：人次≤400人次>400 空气质量好 33 37 空气质量不好228根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 19．解：设AB a =，AD b =，1AA c =，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -．（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11(0,,)3C F b c =，得1EA C F =．因此1EA C F ∥，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内． （2）由已知得(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，(0,1,1)AE =--，(2,0,2)AF =--，1(0,1,2)A E =-，1(2,0,1)A F =-．设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量，则 110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n ． 设2n 为平面1A EF 的法向量，则 22110,0,A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n ．因为121212cos ,||||⋅〈〉==⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --．20．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=.（2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为110510222⨯⨯=. 22||130PQ =，直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q 的距离为13026，故22AP Q △的面积为113051302262⨯⨯=. 综上，APQ △的面积为52. 21．解：（1）2()3f x x b '=+．依题意得1()02f '=，即304b +=.故34b =-．（2）由（1）知3(3)4f x x x c -=+，2()334f x x '=-. 令)0(f x '=，解得12x =-或12x =.()f x '与()f x 的情况为：x1()2-∞-，12- 11()22-， 12 1()2∞，+ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x14c +14c -因为11(1)()24f f c =-=+，所以当14c <-时，()f x 只有大于1的零点.因为11(1)()24f f c -==-，所以当14c >时，f （x ）只有小于–1的零点．由题设可知1144c -≤≤，当1=4c -时，()f x 只有两个零点12-和1.当1=4c 时，()f x 只有两个零点–1和12.当1144c -<<时，()f x 有三个等点x 1，x 2，x 3，且11(1,)2x ∈--，211(,)22x ∈-，31(,1)2x ∈．综上，若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，则()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 22．解：（1）因为t ≠1，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为（0，12）；由2230t t -+=得t =2，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-．故||AB =（2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为1412x y+=-，将cos sin x y ρθρθ==，代入， 得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=．23．解：（1）由题设可知，a ，b 均不为零，所以22221[()()]2ab bc ca a b c a b c ++=++-++2221()2a b c =-++0<.（2）不妨设max{a ，b ，c }=a ，因为1,()abc a b c ==-+，所以a >0，b <0，c <0.由2()4b c bc +≤，可得34a abc ≤，故a ≥，所以max{,,}a b c ≥.。