山东省菏泽市鄄城县第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题
山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（ ）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（ ）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（ ）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分） 由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分） 直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。
山东省菏泽市鄄城县第一中学2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题
因为幂函数
y＝f（x）的图象过点
æ ç
2,
è
2ö
2
÷ ø
，
所以 2a =
2 2
=
2-
1 2
，
答案第21 页，共22 页
解得
a
=
-
1 2
，
所以
f
(x)
=
x
-
1 2
，
所以 y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故 A 错误；B 正确， 因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项 C，D 错误， 故选：B． 7．A
12．在平面直角坐标系 xOy 中，角q 以坐标原点 O 为顶点，以 x 轴的非负半轴为始边， 试卷第31 页，共33 页
( ) 其终边经过点 P
x0, y0
，
OP
=
r (r
> 0) ，定义 m (q )
=
y0
+ x0 r
， v (q ) =
y0
- x0 rΒιβλιοθήκη ，则（）A．
m
æ çè
π 4
ö ÷ø
=
2
A Ç B={x 3<x £ 4} ，则（ ）
A． a < 0 B． bc > 6a - 3
C．关于 x 的不等式 ax2 - bx + c > 0 解集为{x x< - 4 或 x>1} D．关于 x 的不等式 ax2 - bx + c > 0 解集为{x -4<x<1}
11．已知函数 f ( x + 4) 的图象关于直线 x = -4 对称，函数 f ( x) 对任意非负实数 a,b 都
山东省菏泽市鄄城县鄄城县第一中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题
(1)求证： BF ∥平面 ADE； (2)求直线 AC 与平面 CDEF 所成角的正弦值 22．如图 1，已知等边 VABC 的边长为 3，点 M ， N 分别是边 AB ， AC 上的点，且
BM = 2MA ， AN = 2NC .如图 2，将VAMN 沿 MN 折起到△A¢MN 的位置.
（1）求证：平面 A¢BM ^ 平面 BCNM ； （2）给出三个条件：① A¢M ^ BC ；②二面角 A¢ - MN - C 大小为 60o ；③ A¢ 到平面
sin ÐABC = sin105° = sin (60° + 45°) = sin 60°cos 45° + cos60°sin 45° =
6+ 4
2，
BC 由正弦定理可得 sin ÐBAC
=
AC sin ÐABC
，即
BC 2
=
2
( ) 120
BC = 120
6 + 2 ，解得
3 -1 m.
4
故选：D.
r a
同
向的单位向量），则 t = 7 10．设 m，n 为两条不同的直线，a , b ,g 是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的 是（ ）
A．若 m ^ a , n ^ a ，则 m∥n B．a ∥∥b , b g , m ^ a ，则 m ^ g C． m∥∥ a, n a ，则 m∥ n D． m ^ a , m∥ b ，则a ^ b 11．如图，正方体 ABCD— A1B1C1D1 的棱长为 2，线段 B1D1 上有两个动点 M , N，且
=
S△ABC S△A1B1C1
=
1 9
，
设点 C 到平面 A1B1C1 的距离为 h ，
2020年山东省菏泽市鄄城中学高一数学理模拟试题含解析
2020年山东省菏泽市鄄城中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知锐角终边上一点的坐标为（则=（）A．B．3 C．3－D．－3参考答案：C2. 已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为( )A．0 B．4C．2m D．－m＋4参考答案：B3. sin(－1020°)=（）A．B．C．D．参考答案：C4. 在区间上,不等式有解，则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：C5. 函数的图像关于（）A．轴对称 B．坐标原点对称 C．直线对称 D．直线对称参考答案：B 略6. 设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，，则公比q=（）A. －3B. 3C. ±2D. 2参考答案：D【分析】根据题意，求得，结合，即可求解，得到答案.【详解】由题意，正项等比数列满足，，即，，所以，又由，因为，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了的等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7. 下列对应关系：①：的平方根②：的倒数③：④：中的数平方.其中是到的函数的是 ( )A．①③ B．②④ C．③④ D．②③参考答案：C8. 若函数（，且）在区间上单调递增，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：B函数在区间上单调递增，在区间内不等于，故当时，函数才能递增故选.9. 下列函数中，在区间上是增函数的是（）....参考答案：C略10. 下列说法中错误的是A．经过两条相交直线，有且只有一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将一张坐标纸折叠一次，使点点重合，则与点重合的点的坐标是________．参考答案：(10，1)略12. 已知函数则f（log23）= ．参考答案：【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题．【分析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用进行求解．【解答】解：由已知得，，且1＜log23＜2，∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=f（log23+3）=f（log224）==．故答案为：．【点评】本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，此题利用了恒等式进行求值．13. 已知分别是的三个内角所对的边，向量=，若，且，则角的大小分别是________参考答案：略14. 如果＝，且是第四象限的角，那么＝______ ________参考答案：15. 已知函数，若在(－∞,－1)上递减，则a的取值范围为.参考答案：16. 已知幂函数的图象过，则_______ __ .参考答案：略17. 在△ABC中，，则C等于______．参考答案：试题分析：由题；，又，代入得：考点：三角函数的公式变形能力及求值.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年山东省菏泽市高一下第一次月考数学试卷及答案解析
（2）若 a＝2，求△ABC 面积的最大值．
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2020-2021 学年山东省菏泽市高一下第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
ԑ
1．若实数 a，b 满足
2+i，则|a+bi|＝（ ）
A． R
B．58
ԑ
【解答】解：因为
2+i，
B．若复数 z1，z2 满足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则 z1•z2＝0
C．若复数 z＝a+ai（a∈R），则 z 可能是纯虚数
D．若复数 z 满足 z2＝3+4i，则 z 对应的点在第一象限或第三象限
12．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列各组条件中使得△ABC 有唯
2020-2021 学年山东省菏泽市高一下第一次月考数学试卷
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
ԑ
1．若实数 a，b 满足
2+i，则|a+bi|＝（ ）
A． R
B．58
C． Ā
D．34
2．已知向量 t ， t， th， t，则 ԑ t （ ）
A．（﹣5，1）
B．（﹣5，﹣1）
C．（﹣5，11）
A．若 ∥ ，则 m R
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Ā B．若 m＝0，则 与 夹角的正弦值为
C．若 ⊥ ，则 m t
D．若| ԑ |＝13，则 m＝﹣8 或 16 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，向量 （m，2）， （﹣4，3），若 ∥ ，则 3m＝﹣8，则 m
R，A 错误；
2020-2021学年山东省菏泽市高一(下)期中数学试卷(B卷)(附答案详解)
2020-2021学年山东省菏泽市高一（下）期中数学试卷（B卷）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 复数z =1−2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若复数z 满足z +(3−4i)=2，则z 的虚部是( )A. 4B. 4iC. −1D. 13. 下列说法正确的是( )A. 向量的模是正实数B. 共线向量一定是相等向量C. 方向相反的两个向量一定是共线向量D. 两个有共同起点且共线的向量终点也必相同4. 在△ABC 中，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF//BC ，EF 交AC 于F ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. a ⃗ −15b ⃗ B. −a⃗ +15b ⃗ C. 23a⃗ −13b ⃗ D. 13a ⃗ +23b ⃗ 5. 在△ABC 中，AB =5，BC =6，AC =8，则△ABC 的形状是( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 非钝角三角形6. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的侧面积为( )A. 8πB. 8√2πC. 12πD. 10√2π7. 如图，四面体A −BCD 的四个面都为直角三角形，且AB ⊥平面BCD ，AB =BC =CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A. −12B. 12C. √32D. −√328. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，M 是PC 上一点，有以下四个命题：甲：平面MBD ⊥平面PCD ；乙：DM ⊥PC ；丙：BM ⊥PC ；丁：BM ⊥DM ．如果只有一个假命题，则该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 有两个面平行的多面体可能是( )A. 棱柱B. 棱锥C. 棱台D. 正四面体10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =2，S △ABC =2√3，且ccosB +bcosC −2acosA =0，则有( )A. A =π3B. a =√3C. C =π2D. c =211. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 B. OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C. |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32D. ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为7612. 已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，AB =BC =CA =2，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是( ) A. 球O 的表面积为6πB. 球O 的内接正方体的棱长为1C. 球O 的外切正方体的棱长为43D. 球O 的内接正四面体的棱长为2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知纯虚数z 满足|z −i|=1，则|z|=______．14. 在△ABC 中，a =1，∠C =60°，若c =√3，则cos∠A =______．15.设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，a⃗=(2,1)，a⃗+3b⃗ =(5,4)，则sinθ=______ ．16.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，P是A1B上的一动点，AP+PC1的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=1，且|2a⃗−b⃗ |=√3．(1)求向量a⃗，b⃗ 的夹角<a⃗，b⃗ >；(2)λa⃗+b⃗ 与b⃗ 垂直，求λ．(a>0)，且|z|=√5．18.已知复数z=5a+i(1)求z；(2)若z2+mz−+n=6−3i(m,n∈R)，z−是z的共轭复数，求m+n的值．19. 如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．(1)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)求直线AC 1与面BCC 1B 1所成角的正弦值．20. 锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，BC 的对边，△ABC 的面积为S ，满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2−12ab ．(1)求角C 的大小；(2)求sinA +sinB 的取值范围．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ACD ，四边形ABCD 为正方形，点F 为线段PC 上的点，过A ，D ，F 三点的平面与PB 交于点E ．(1)证明：EF//平面ABCD ；(2)若E为PB中点，且AB=AP，求平面ADFE将四棱锥分成两部分的体积比．22.在平面四边形ABCD中，△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，已知AB=BC=CD=2，AD=2√3．(1)试问√3cosA−cosC是否是定值，若是定值请求出；若不是请说明理由；(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，求出S12+S22的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数z=1−2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点的坐标为：(1,−2)，位于第四象限．故选：D．直接由复数z=1−2i求出在复平面内对应的点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由z+(3−4i)=2，得z=2−3+4i=−1+4i，∴z的虚部是4．故选：A．把已知等式变形，利用复数的加减运算求得z，则答案可求．本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，因为|0⃗|=0，不是正实数，故A错误；对于B，共线向量是方向相同或相反的向量，但模的大小不确定，故B错误；对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，故方向相反的两个向量一定是共线向量，故C正确；对于D，两个有共同起点且共线的向量方向相同或相反，长度也不一定相同，故终点不一定相同，故D错误．故选：C．由向量的概念逐一判定即可得结论．本题主要考查向量的概念，向量的模，共线向量的定义，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由AE ⃗⃗⃗⃗⃗=15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为EF//BC ，所以EF BC =AE AB ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +15b ⃗ ， 故选：B ．由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后利用EF//BC 可得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再利用三角形法则可以求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三角形内平行线段的性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵AB =c =5，BC =a =6，AC =b =8，∴B 为最大角，∴由余弦定理得：cosB =a 2+c 2−b 22ac =36+25−6460=−120<0，又B 为三角形的内角，∴B 为钝角，则△ABC 的形状是钝角三角形．故选：C ．由三角形的三边判断出b 为最大边，根据大边对大角可得B 为最大角，利用余弦定理表示出cosB ，将已知的三边长代入求出cosB 的值，由cosB 的值小于0及B 为三角形的内角，可得B 为钝角，即三角形为钝角三角形．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：余弦定理，三角形的边角关系，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6.【答案】A【解析】解：由题意知，圆柱的轴截面是面积为8的正方形，∴圆柱的高为2√2，圆柱底面圆的直径为2√2，∴底面圆的周长为2√2π，∴侧面积S=2√2×2√2π=8π．故选：A．由圆柱的轴截面是面积为8的正方形，可得圆柱的高和底面圆的直径，根据圆柱的侧面是以圆柱的高为宽，底面圆的周长为长的矩形，即可得解．本题考查圆柱中的简单计算，熟练掌握圆柱的结构特征是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF//BD，EG//AC，FO//AB，∠FEG或其补角为异面直线所成的角，∵AB⊥平面BCD，∴FO⊥面BCD，∵OG⊂面BCD，∴FO⊥OG，设AB=2，则易求得AC=BD=2√2，OG=OF=1，∴EF=EG=GF=√2，∴△EFG为等边三角形，∴∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为1．2故选：B．分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF//BD，EG//AC，∠FEG或其补角为异面直线所成的角，再通过计算边长得△EFG为等边三角形．本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所的角是本题的关键．8.【答案】C【解析】解：因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面PAC，又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，所以PC⊥BD，若只有一个假命题，则其它三个命题为真命题，即由条件可逐步推导出其它三个命题，若乙正确，即DM⊥PC，因为BD∩DM=D，所以PC⊥平面BDM，又PC⊂平面PCD，所以平面BDM⊥平面PCD，故甲正确，因为BM⊂平面PDM，所以PC⊥BM，故丙正确；若丁也正确，则BM⊥DM，BM⊥PC，又DM，PC在同一平面，且不相交，则DM//PC，不符合题意，故丙不正确，故选：C．结合几何体的特征，推出PC⊥BD，若只有一个假命题，则其它三个命题为真命题，即由条件可逐步推导出其它三个命题，进而可得答案．本题考查立体几何中线面的位置关系，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由棱锥，棱柱，棱台的定义，可知：有两个面平行的多面体可能是棱柱、棱台，不可能是棱锥，故选：AC．利用棱锥，棱柱，棱台的结构特征判断选项的正误即可．本题考查棱锥，棱柱，棱台的结构特征，是基础题．10.【答案】AC【解析】解：由三角形中的射影定理可知，ccosB+bcosC=a，则ccosB+bcosC−2acosA=0可化为a−2acosA=0，∵a≠0，∴cosA=1，2又0<A <π，∴A =π3，故选项A 正确； 由b =2，S △ABC =12bcsinA =2√3，得c =4，故选项D 错误； 由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =22+42−2×2×4×12=12， 得a =2√3，故选项B 错误；由正弦定理得a sinA =c sinC ，则sinC =c⋅sinA a =4×sin π32√3=1，又C ∈(0,π)，∴C =π2，故选项C 正确． 故选：AC ．由三角形中的射影定理可知，ccosB +bcosC =a ，代入ccosB +bcosC −2acosA =0，可得a −2acosA =0，求解角A 判断选项A ；由三角形面积公式求出c 判断选项D ；由余弦定理求解a 判断选项C ；由正弦定理求角C 判断D ．本题考查三角形的解法，考查正弦定理、余弦定理及三角形中射影定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：如图，连接AO ，E ，O ，C 三点共线，设AO⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(1−λ)2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且B ，O ，D 三点共线，∴λ2+3(1−λ)2=1，解得λ=12， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴O 为EC 的中点，∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，B 正确； 取BC 的中点O′为原点，直线BC 为x 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,√3),B(−1,0),E(−12,√32),C(1,0)，D(23,√33)，O(14,√34)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−14,3√34)+(−54,−√34)+(34,−√34)=(−34,√34)， ∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32，C 正确；ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(76,−√36),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为|ED⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BC⃗⃗⃗⃗⃗ ||=76，D 正确；∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 错误． 故选：BCD ．连接AO ，根据E ，O ，C 三点共线即可得出AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(1−λ)2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据B ，O ，D 三点共线即可得出λ=12，从而得出O 为EC 的中点，从而得出选项B 正确，选项A 显然错误．可取BC 的中点O′，然后可求出A ，B ，C ，O ，E ，D 的坐标，从而可得出|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，并可求出ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模． 本题考查了三点A ，B ，C 共线，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，λ+μ=1，向量垂直的充要条件，通过建立直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量投影的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：设球的半径为R ，由已知可得△ABC 外接圆半径为r =2√33，∵球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， ∴R 2−19R 2=43，得R 2=32．对于A ，球O 的表面积为4π×32=6π，故A 正确； 对于B ，设球O 的内接正方体的棱长为a ，∵正方体的体对角线即球O 的直径，√3a =2R ，解得a =√2，故B 错误； 对于C ，设球O 的外切正方体的棱长为b ，∵正方体的棱长即球O 的直径长，∴b =2R =√6，故C 正确；对于D ，设球O 的内接正四面体的棱长为c ，则正四面体的高为(√33=√63c ，由(√63c −√62)2+(√33c)2=(√62)2，解得c =2，故D 正确．故选：ACD ．通过题意求出球O 的半径，进一步求得求O 的表面积判断A ；再结合球的内接正方体、正四面体与球的外切正方体棱长与半径之间的关系判断BCD ．本题考查球的内接正方体、正四面体与球的外切正方体棱长与半径之间的关系，球的表面积公式，着重考查学生的直观想象能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：由于z为纯虚数，设z=bi(b≠0)，∵|z−i|=1，∴|bi−i|=|(b−1)i|=√(b−1)2=1，解得b=2或b=0(舍去)，∴z=2i，∴|z|=2．故答案为：2．根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数模的计算公式，即可求解．本题主要考查纯虚数的概念，以及复数模的计算公式，属于基础题．14.【答案】√32【解析】解：∵在△ABC中，若a=1，C=60°，c=√3，则由正弦定理可得asinA =csinC，即1sinA=√3sin60°，解得sinA=12，由于△ABC中c>a，∴C>A，∴A=30°，可得cosA=√32．故答案为：√32．由正弦定理求得sinA的值，再由c>a，可得60°>A，从而求得A的值，进而可求cosA的值．本题主要考查正弦定理以及大边对大角在解三角形中的应用，属于基础题．15.【答案】√1010【解析】解：根据题意，由a⃗=(2,1)，a⃗+3b⃗ =(5,4)，可得，b⃗ =13[(a⃗+3b⃗ )−a⃗ ]=(1,1)，则|a ⃗ |=√5，|b ⃗ |=√2， cosθ=2×1+1×1√2×√5=3√10，则sinθ=√1−cos 2θ=√1010．根据题意，易得b ⃗ 的坐标，进而由向量模的计算可得a ⃗ 、b ⃗ 的模，再根据向量的数量积的计算，可得cosθ，最后由同角三角函数基本关系式，计算可得答案．本题考查向量的数量积的运算与运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角．16.【答案】√1705【解析】解：连接A 1C 1，BC 1，得△A 1BC 1，以A 1B 所在直线为轴，将△A 1BC 1所在的平面旋转到平面ABB 1A 1， 设点C 1的新位置为C′，连接AC′，则AC′即为所求的最小值； 设∠C′A 1B =α，∠BA 1A =β，在△C′A 1B 中，A 1C′=A 1C 1=√2，BC′=BC 1=√5，A 1B =√5， 由余弦定理推论知，cosα=(√2)2+(√5)2−(√5)22×√2×√5=1√10，所以sinα=3√10；在直角△A 1AB 中，cosβ=2√5，sinβ=1√5；故cos∠C′A 1A =cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=1√10×2√5−3√10×1√5=−√210； 因为AA 1=2，A 1C′=√2，所以由余弦定理得，AC′=√4+2−2×2×√2×(−√210)=√1705，故答案为：√1705．AP +PC 1的最小值转化为求AC′即可．主要考查利用旋转求解线段最小值问题，求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否，本题考查了运算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：因为|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，且|2a ⃗ −b ⃗ |=√3，将|2a ⃗ −b ⃗ |=√3平方得4a ⃗ 2+b ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ =3，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，(1)cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=12，又<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，故所求角<a ⃗ ,b ⃗ >=π3． (2)由已知得(λa ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =0，即λa ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=0，即12λ+1=0，解得λ=−2．【解析】先将|2a ⃗ −b ⃗ |=√3平方，求出a ⃗ ⋅b ⃗ ． (1)结合夹角公式计算即可；(2)根据a ⃗ ⊥b ⃗ ⇔a ⃗ ⋅b ⃗ =0，列出关于λ的方程求解．本题考查数量积的运算及性质，两非零向量垂直的充要条件，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵z =5a+i =5(a−i)(a−i)(a+i)=5a a 2+1−5a 2+1i ，又∵|z|=√5，∴(5aa 2+1)2+(−5a 2+1)=5，解得a =2或−2， 又∵a >0， ∴a =2， ∴z =2−i ． (2)∵z −=2+i ，∴z 2+mz −+n =(2−i)2+m(2+i)+n =3+2m +n +(m −4)i ， ∵z 2+mz −+n =6−3i ， ∴{3+2m +n =6m −4=−3，解得m =1，n =1，∴m +n =2．【解析】(1)根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解． (2)根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数相等性法则，即可求解． 本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．19.【答案】 证：(1)直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ；AD 在平面ABC 内，∴BB 1⊥AD ，又∵AB =AC ，D 是BC 的中点；∴AD ⊥BC ，BC ∩BB 1=B ，BC ，BB 1在平面BCC 1B 1内； ∴AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)连接C 1D ，由(1)AD ⊥平面BCC 1B 1； 则∠AC 1D 即为直线AC 1与面BCC 1B 1所成角； 在直角△AC 1D 中，AD =√32，AC 1=√2，sin∠AC 1D =AD AC 1=√64； 即直线AC 1与面BCB 1C 1所成角的正弦值为√64．【解析】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及线面角的定义，正弦函数的定义．(1)直三棱柱的侧棱和底面垂直，从而可得到AD ⊥BB 1，并且AD ⊥BC ，从而由线面垂直的判定定理可得到AD ⊥平面BCC 1B 1；(2)连接C 1D ，从而可得到∠AC 1D 为直线AC 1和平面BCC 1B 1所成角，在Rt △AC 1D 中，容易求出AD ，AC 1，从而sin∠AC 1D =ADAC 1．20.【答案】解：(1)由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2−12ab 得bc ⋅cosA =b 2−12ab ，即c ⋅cosA =b −12a ， 由正弦定理得sinC ⋅cosA =sinB −12sinA =sin(A +C)−12sinA =sinA ⋅cosC +cosA ⋅sinC −12sinA ，即sinA ⋅cosC =12sinA ， 显然sinA >0，故cosC =12，C ∈(0,π)， 所以C =π3．(2)因为锐角三角形ABC ，结合A +B =2π3得{0<A <π20<2π3−A <π2，解得π6<A <π2，而sinA +sinB =sinA +sin(2π3−A)=sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA=√3sin(A +π6)，因为A +π6∈(π3,2π3)，所以√3sin π3<√3sin(A +π6)≤√3sin π2， 即√3sin(A +π6)∈(32,√3]． 故sinA +sinB 的范围是(32,√3].【解析】(1)将已知的向量条件边角化，结合正弦定理求出C；(2)利用内角和定理以及锐角三角形的性质，将sinA+sinB转化为A的三角函数，然后求出值域．本题考查正弦定理以及三角恒等变换的知识与方法，同时考查了数量积的运算，属于中档题．21.【答案】证明：(1)设平面ADFE为α，因为BC//AD，所以BC//α，且α∩平面PBC=EF，所以EF//BC，因为BC⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF//平面ABCD；解：(2)设AP=AB=1，则EF=12BC=12，在△PAB中，PB=√2，AE=12PB=√22，由AD⊥PA，AD⊥AB，得AD⊥平面PAB，所以AD⊥AE，EF⊥AE，所以梯形AEFD的面积SAEFD =AD+EF2×AE=1+122×√22=3√28，因为AB=AP，BE=PE，所以PB⊥AE，AD⊥PB，又AD∩AE=A，所以PB⊥平面AEFD，则V P−AEFD=13×3√28×√22=18，V P−ABCD=13×1×1=13，所以V EF−ABCD=13−18=524，故平面ADFE将四棱锥分成两部分的体积比为V P−AEFDV EF−ABCD =18524=35．【解析】(1)根据线面平行性质得到EF//BC，进而可得EF//平面ABCD；(3)不妨设AB=AP=1，由条件可得S AEFD=AD+EF2×AE，PB⊥平面AEFD，进而求得V P−AEFD，V P−ABCD，即可求得答案．本题考查线面平行的性质及判定，涉及棱锥的体积求解，数形结合思想等，属于中档题．22.【答案】解：(1)在DABD中，由余弦定理得BD2=4+12−8√3cos A=16−8√3cosA，在△BCD中，由余弦定理得BD2=4+4−8cos C所以16−8√3cos A=8−8cosC，则8(√3cos A−cosC)=8，∴√3cosA−cosC=1；所以√3cos A−cos C为定值1．(2)S1=122×2√3×sinA=2√3sinA，S2=12×2×2sinC=2sinC，则S12+S22=12sin2A+4sin2C=16−(12cos2A+4cos2C)，由(1)知：√3cos A=1+cos C，代入上式得S12+S22=16−12cos2A−4(√3c os A−1)2=−24cos2A+8√3cos A+ 12，配方得S12+S22=−24(cosA−√36)2+14，∴当cosA=√36时，S12+S22取到最大14．【解析】(1)由已知结合余弦定理，分别表示BD，从而建立关于A的三角关系，化简可求；(2)结合三角形的面积及(1)的结论进行化简可求．本题主要考查了余弦定理，和差角公式，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．。
山东省郓城第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题答案
高一数学试题（A ）参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 2．D 3．B 4．D 5．A 6．A 7．C 8．C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．BC 10．BD 11．BCD 12．AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．27 14．12 15．[)4,+∞ 16．56−；8（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）解：（1）2(2)1232==+f ，1112(12312==+f ， 33(3)134==+f ，1113()13413==+f .………………………………………4分（2）由（1）知：1()()1+=f x f x，…………………………………………………5分由()1=+xf x x，得111()111==++x f x x x ，…………………………………8分∴11111()()+==+++x x x f x f x .……………………………………………10分 18．（12分）解：（1）若1a =，由命题p 得13<<x ，由命题q 得24<<x ，………………4分∵命题p 和q 都为真命题∴1324<< << x x ，∴实数x 的取值范围(2,3)…………………………………6分（2）命题p ：{}|3=<<A x a x a ，命题q ：{}|24=<<，B x x ∵p ¬是q ¬的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，………………8分 ∴集合B 是集合A 的真子集………………………………………………………10分∴234≤ ≥ a a ，解得423≤≤a ……………………………………………………12分19．（12分）解：选择条件①：212200x x −+−>，解得{}|210B x x =<<；………………2分选择条件②：2010x x −>−即2010x x −<−，解得{}|210B x x =<<. …………2分 （1）∵{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，{}|0U x x =>， {|210}A B x x =<<∪；…………………………………………………………4分{|03U A x x =<<∁或7}x ≥，则(){|23U A B x x =<<∩∁或710}x ≤<.…7分（2）∵{}|5C x a x a =−<<，{|210}A B x x =<<∪当C =∅时，即5a a ≤−，即52a ≤时，()C A B ⊆∪成立；…………………9分 当C ≠∅时，即52a >时， ∵()C A B ⊆∪，∴2510a a ≤− ≤ ，解得3a ≤，∴532a <≤，………………11分综上，实数a 的范围是(,3]−∞．………………………………………………12分20．（12分）解：（1）∵()0f x >的解集为11,2−−， ∴方程2(1)10ax a x +−−=的两根为1−和12−，……………………………2分 所以11121112a a a − −−=− − −×−=，解得2a =−；……………………………………4分（2）当0a <时，原不等式可化为1(1)0x x a−+≤，………………………5分 若11a >−，即1a <−时，解得11x a −≤≤；……………………………7分 若11a=−，即1a =−时，解得1x =−；…………………………………9分 若11a<−，即10a −<<时，解得11x a ≤≤−.……………………………11分综上，当1a <−时，原不等式的解集为11,a −；当1a =−时，原不等式的解集为{}1−；当10a −<<时，原不等式的解集为1,1a −.………………………12分21．（12分）解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x < 时，2()(1640)638440W xR x x x x =−+=−+−；.………………………2分 当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x=−+=−−+.………………4分 2638440,04040000167360,40x x x W x x x −+−<∴= −−+>；………………………………………5分（2）当040x < 时，226384406(32)6104W x x x =−+−=−−+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；………………………………………………8分当40x >时，400001673607360W x x =−−+− ， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W ==…………………11分 61045760>∵32∴=x 时，W 的最大值为6104万元．答：当年产量为32万台时，该公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元．…………………………………………………………12分22．（12分）解：（1）()f x ∵为R 上的奇函数，(0)0f ∴=，可得1b =…………………1分又(1)(1)f f −=−∵∴11121222a a−−−−=−++，解之得1a =………………………………………3分 经检验当1a =且1b =时，12()21x x f x −=+，满足()()f x f x −=−是奇函数．…4分（2）由（1）得122()12121x x x f x −==−+++， ()f x ∵随x 的增大而减小 ∴函数()f x 在(,)−∞+∞上为减函数.…………6分（3）∵函数()f x 是奇函数∴不等式2213(2)(22)03k f t t f t −++−<恒成立， 即22213(2(22)(22)3k k f t t f t f t −+<−−=−+恒成立……………………8分 由（2）知，()f x 在(,)−∞+∞上为减函数.∴22132223k t t t −+>−+对任意的t R ∈恒成立．………………………………9分 即2132323k t t <−+对任意的t R ∈恒成立， 22131323(433t t t −+=−+∵，当13t =时213323t t −+有最小值为4 24k ∴<，即实数k 的取值范围是(,2)−∞．…………………………………12分。
山东省菏泽市鄄城县实验中学高一数学文月考试题含解析
山东省菏泽市鄄城县实验中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B2. 已知幂函数的图象经过点（4，2），则（）A.2B.4C.4 D .8参考答案：B3. 已知方程的两根分别为、，且、，则（）．A. B. 或 C. 或 D.参考答案：D【分析】将韦达定理的形式代入两角和差正切公式可求得，根据韦达定理可判断出两角的正切值均小于零，从而可得，进而求得，结合正切值求得结果.【详解】由韦达定理可知：，又，，本题正确选项：D4. 定义在R上的函数f（x）=，g（x）=g（2﹣x）?4x﹣1，若f（x）在[1，+∞）为增函数，则（）A．g（1）＞2g（0）B．g（3）＞8g（0）C．g（2）＞2g（0）D．g（4）＜16g（0）参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知函数f（x）=在[1，+∞）为增函数，可得f（3）＞f（2），即g（3）＞2g （2），进而根据g（x）=g（2﹣x）?4x﹣1，转化可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=在[1，+∞）为增函数，∴f（3）＞f（2），即＞，即g（3）＞2g（2），又∵g（x）=g（2﹣x）?4x﹣1，∴g（2）=g（2﹣2）?4=4g（0），故g（3）＞8g（0），故选：B5. 若、是异面直线，、是异面直线，则、的位置关系是（）Ａ．相交、平行或异面Ｂ．相交或平行Ｃ．异面Ｄ．平行或异面[来源:学科网]参考答案：A略6. 设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．解析：∵f（1.5）?f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．7. 函数f（x）=a x﹣1+4（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点，则这个定点坐标是（）A．（5，1）B．（1，5）C．（1，4）D．（4，1）参考答案：B【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】由题意令x﹣1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出y的值为5，故所求的定点是（1，5）．【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，则x=1时，函数y=a0+4=5，即函数图象恒过一个定点（1，5）．故选B．【点评】本题考查了指数函数图象过定点（0，1），即令指数为零求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标．8. 下列各式中正确的是()A．sin 11°<cos 10°<sin 168° B．sin 168°<sin 11°<cos 10°C．sin 168°<cos 10°<sin 11° D．sin 11°<sin 168°<cos 10°参考答案：D略9. 下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3) 若，则；(4)集合是有限集。
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（Ⅱ）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
（Ⅲ）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
21．已知向量 , ,且 .
(1)求 及 ;
(2)若 ，求 的最大值和最小值.
22．已知函数 ,且图象的两相邻对称轴间的距离为 .
(1)求 的值；
(2)求方程 在 上的解的集合；
(3)将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 在 上单调递减，求 的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由正弦的定义，代值计算即可.
【详解】
因为角 终边过点 ，故：
，
故选：D.
【点睛】
本题考查：正弦的定义，属基础题.
2．C
【分析】
判断 所在象限，由同角三角函数关系即可逐项分析判断.
A．甲投篮命中次数的众数比乙的小
B．甲投篮命中次数的平均数比乙的小
C．甲投篮命中次数的中位数比乙的大
D．甲投篮命中的成绩比乙的稳定
8．在梯形 中, , , ,则 ( )
A．-1B．1C． D．2
9．10件同类产品中,有8件是正品,2件是次品,从中任意抽出3件,与事件“1件正品2件次品”互斥而不对立的事件为( )
A．120B．240C．360D．480
4．在区间 上任取一个实数 ,则 的概率为( )
A． B． C． D．
5．计算 的值为( )
A． B． C． D．
6．设 为 所在平面内一点, ,若 ,则实数 ( )
A． B． C． D．
7．甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮，每轮甲、乙各投篮10次，投篮命中次数的情况如图所示（实线为甲的折线图，虚线为乙的折线图），则以下说法错误的是（ ）
，则由扇形的面积公式可得：
.
故选：A.
【点睛】
本题考查扇形的弧长公式 ，以及面积公式 .
4．D
【分析】
求解三角不等式，由几何概型概率计算公式即可求解.
【详解】
等价于 ，解得：
( )，
又 ，取其交集得： ，
由几何概型可得，题中所求概率 .
故选：D.
【点睛】
本题考查几何概型的概率计算公式，本题中的难点在于求解三角不等式.
16．已知 , 是以原点 为圆心的单位圆上的两点, ( 为钝角).若 ,则 的值为______.
三、解答题
17．已知点 , , , 为坐标原点,且 .
(1)求 的值;
(2)求 的值.
18．某玩具厂生产出一种新型儿童泡沫玩具飞机,为更精确的确定最终售价,该厂采用了多种价格对该玩具飞机进行了试销,某销售点的销售情况如下表:
A．恰有1件次品B．至多有1件次品
C．至少有1件次品D．既有正品也有次品
10．函数 的部分图象如图所示,则 ( )
A． B．
C． D．
11．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次（每次只敲击一个数字键）得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为（）
A． B． C． D．
12．已知对任意平面向量 ,把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ,叫做把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 .已知平面内点 ,点 ,把点 绕点 顺时针方向旋转 后得到点 ,则点 的坐标为( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．某学校有学生500人,其中男生320人,女生180人,用分层抽样的方法抽取了一个容量为 的样本.若该样本中男生人数为16,则 ______.
14．已知单位向量 , 满足 ,则向量 与 的夹角为______.
15．关于函数 ,给出下列四个结论:①其图象关于点 对称;②其图象关于直线 对称;③函数 在 上的最大值为 ;④其图象可由 图象上所有的点横坐标变为原来的 (纵坐标不变)得到.其中正确结论的序号为______.(把所有正确的结论序号都填上)
单价 (元)
8
9
10
11
12
销量 (架)
40
36
30
24
20
从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,变量 , 有较强的线性相关性.
(1)求销量 关于 的回归方程;
(2)若每架该玩具飞机的成本价为5元,利用(1)的结果,预测每架该玩具飞机的定价为多少元时,总利润最大.(结果保留一位小数)
(附: , , , .)
【详解】Biblioteka 因为 ，故 是第二象限的角，则 ，
由同角三角三函数关系可知：
，故A、D选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查同角三角函数关系，即： .
3．A
【分析】
由扇形的半径和弧长可以计算出圆心角，利用面积公式计算即可.
【详解】
由题可知，该扇形的半径 ，弧长 ，
则由弧长公式可得扇形圆心角的弧度数为：
山东省菏泽市鄄城县第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若角 的终边过点 ,则 ( )
A．1B．-1C． D．
2．若 ,则( )
A． B．
C． D．
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》[三三]:“今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田几何?”其意为:“有一块扇形的田,弧长30步,其所在圆的直径是十六步,问这块田的面积是多少(平方步)?”,该问题的答案应为( )
【分析】
由折线图得到甲乙投篮5次命中次数的数据，再根据众数、中位数、平均数和方差，逐项判定，即可得到答案.
【详解】
19．某年级组织学生参加了某项学术能力测试,为了解参加测试学生的成绩情况,从中随机抽取20名学生的测试成绩作为样本,规定成绩大于或等于80分的为优秀,否则为不优秀.统计结果如图:
(1)求 的值和样本的平均数;
(2)从该样本成绩优秀的学生中任选两名,求这两名学生的成绩至少有一个落在 内的概率.
20．某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1号车站（首发站）乘车，假设每人自第2号站开始，在每个车站下车是等可能的，约定用有序实数对 表示“甲在 号车站下车，乙在 号车站下车”
5．B
【分析】
将原式进行通分，整理后为正切的倍角公式，求值即可.
【详解】
原式=
=
故选：B.
【点睛】
本题考查正切的倍角公式，属基础题.
6．C
【分析】
由 ，通过向量的线性运算化简即可求得.
【详解】
由 ，可得： ，
即： ，整理得：
，即：
，即 ，
即 .
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，属于基础题.
7．B