5.2.1平面向量加法1
平面向量的加法和减法
平面向量的加法和减法在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也扮演着重要的角色。
平面向量的加法和减法是其中最基本的运算，本文将对这两个运算进行详细的解析和说明。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的和向量c的坐标为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的和向量c的坐标为(2+4, 3+(-1))，即c(6, 2)。
这意味着向量a和向量b的和向量c的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的加法，我们可以得到两个向量的合力向量。
合力向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
这在物理学中有着重要的应用，例如计算物体在斜面上的合力。
二、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
在平面直角坐标系中，向量的减法可以通过向量的加法和取负得到。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a₁, a₂)和(b₁, b₂)，则它们的差向量d可以表示为d = a - b = a+ (-b)，其中(-b)表示向量b的负向量，即(-b) = (-b₁, -b₂)。
例如，有向量a(2, 3)和向量b(4, -1)，它们的差向量d可以表示为d = a - b = (2, 3) + (-4, 1) = (-2, 4)。
这意味着向量d的起点与a的起点相同，终点与b的终点相同。
通过向量的减法，我们可以计算两个向量之间的距离和方向。
例如，若向量a表示一个物体的位移，向量b表示一个参考点的位置，那么向量d就表示物体相对于参考点的位移。
三、应用举例1. 平面向量的加法应用举例假设有一个飞机从A地飞往B地，然后从B地飞往C地。
人教版初三数学平面向量与向量运算
人教版初三数学平面向量与向量运算平面向量是数学中的重要概念，对于初中数学的学习来说，平面向量与向量运算是其中的关键内容。
本文将详细介绍人教版初三数学中关于平面向量与向量运算的知识点。
1. 平面向量的定义与表示方法平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
在坐标系中，平面向量a可以表示为(a, a)，其中a和a分别表示向量在a轴和a轴上的分量。
平面向量的起点是坐标原点，终点由分量确定。
2. 平面向量的运算2.1 向量的加法向量的加法定义为，对于向量a(a₁, a₁)和向量a(a₂, a₂)，它们的和可以表示为(a₁ + a₂, a₁ + a₂)。
具体而言就是将两个向量的分量进行相加即可。
2.2 向量的数乘向量的数乘定义为，对于向量a(a, a)和实数a，它的数乘可以表示为(aa, aa)。
即将向量的分量乘以实数即可。
3. 平面向量的表示方法3.1 分点表示法平面向量的终点a可以由起点a加上平面向量的表示得到。
例如，向量a的起点是a，终点是a，则a=aa。
3.2 坐标表示法在坐标系中，平面向量的起点是原点，终点由分量确定。
根据平面向量的定义，向量a(a, a)的起点是原点，终点是(a, a)。
4. 平面向量的运算性质4.1 交换律向量的加法满足交换律，即a + a = a + a。
这意味着向量的加法不依赖于顺序。
4.2 结合律向量的加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)。
这意味着向量的加法不依赖于加法的分组方式。
4.3 数乘结合律向量的数乘满足结合律，即a(a + a) = aa + aa。
这意味着数乘与向量加法可以互相结合。
5. 平面向量的模与方向角5.1 平面向量的模平面向量的模表示了向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。
对于平面向量a(a, a)，它的模表示为|a| = √(a² + a²)。
5.2 平面向量的方向角平面向量的方向角表示了向量与正a轴的夹角。
平面向量的加减法
，b＝ ，仍是零向量
a
(－a)＋a
－b
－a
0
向量减法的定义和法则
问题1：两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零吗？ 提示：是零向量． 问题2：根据向量加法，如何求作a－b? 提示：①先作出－b；②再按三角形或平行四边形法则进行．
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋ (－b) ，即减去一个向
量相当于加上这个向量的 相反向量
．
(2)几何意义：以O为起点，作向量 OA ＝
a， OB ＝b，则 BA ＝a－b，如图所示，即a－b可表示从
向量b的终点
指向 向量a的终点
的向量．
深化理解
1．向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算， 可以相互转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反 向量．
2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法 则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，
跟踪练习
1．在平行四边形ABCD中， AB ＋ CB － DC ＝
A． BC
B． AC
C． DA
D． BD
解析：如图∵ CB ＝ DA ， ∴ AB ＋ CB － DC ＝ AB ＋ DA － DC ＝ AB ＋ CA ＝ CA ＋ AB ＝ CB ＝ DA .
答案：C
()
2．如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空： a＋b＝____，b＋c＝____，c－d＝____， a＋b＋c－d＝____.
答案：4 km/h
2．如图，一架飞机从 A 地按北偏西 30°的方向飞行 300 km 后 到达 B 地， 然后向 C 地飞行．已知 C 地在 A 地北偏 东 60°的方向处，且 A，C 两地相距 300 km，求飞机从 B 地向 C 地飞行的方 向及 B、C 两地的距离．
平面向量的加法与减法运算
平面向量的加法与减法运算在平面向量的运算中，加法与减法是最基本的运算法则。
平面向量加法与减法的定义及运算规则如下：一、平面向量的定义在平面上，向量是由大小和方向确定的箭头表示，具有大小和方向的量。
平面向量用字母加箭头表示，如AB→，表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的加法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→放置在平面上的A点，使得它们有相同的起点，然后从A点指向D点，得到一个新的向量AD→。
AD→就是AB→与CD→的和，表示为AB→+CD→。
2. 运算规则：a) 加法的交换律：AB→ + CD→ = CD→ + AB→b) 加法的结合律：(AB→ + CD→) + EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)c) 零向量的定义：零向量是指大小为0的向量，用0→表示，对于任意向量AB→，有AB→ + 0→ = AB→d) 反向向量的定义：对于任意向量AB→，存在一个与之方向相反但大小相等的向量，称为其反向向量，用-AB→表示，有AB→ + (-AB→) = 0→三、平面向量的减法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→取反，然后按照向量加法的规则，得到AB→ + (-CD→)，表示为AB→ - CD→。
2. 减法的运算规则：a) 减法的定义：AB→ - CD→ = AB→ + (-CD→)b) 减法的性质：AB→ - CD→ ≠ CD→ - AB→，减法不满足交换律。
四、示例分析1. 平面向量加法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ + CD→ = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j2. 平面向量减法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ - CD→ = (3i + 4j) - (-2i + 5j) = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j五、平面向量的运算性质1. 平面向量加法满足交换律和结合律，即满足整个群论的要求。
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是数学中的重要概念，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的加减运算，以及相关的性质和应用。
一、平面向量的表示方法平面向量的表示方法有多种，如AB、(AB)、A B⃗等。
其中，AB 表示由点A指向点B的有向线段，(AB)表示线段的名字，A B⃗表示向量的名字。
在本文中，我们将使用A B⃗来表示平面向量。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的加法运算可以表示为A B⃗+C D⃗=E F⃗。
其中，E F⃗是向量A B⃗和向量C D⃗的和向量。
平面向量的加法运算有以下几个性质：1. 交换律：A B⃗+C D⃗=C D⃗+A B⃗，即向量的加法满足顺序交换的性质。
2. 结合律：(A B⃗+C D⃗)+E F⃗=A B⃗+(C D⃗+E F⃗)，即向量的加法满足结合的性质。
3. 对于向量A B⃗，存在一个特殊向量0⃗，使得A B⃗+0⃗=A B⃗。
其中，0⃗表示零向量，它的长度为0且方向任意。
三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的减法运算可以表示为A B⃗-C D⃗=G H⃗。
其中，G H⃗是向量A B⃗减去向量C D⃗的差向量。
平面向量的减法运算可以通过加法运算来实现：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)，其中，-C D⃗表示向量C D⃗的相反向量，它的长度与方向与向量C D⃗相同，但方向相反。
平面向量的减法运算有以下几个性质：1. 减法的定义：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)。
2. A B⃗-A B⃗=0⃗，即一个向量减去它本身得到零向量。
四、平面向量的加减运算的应用平面向量的加减运算在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 平移变换：可以通过向量的加法实现平面上的点的平移变换。
平面向量的加法运算
向量加法在物理中的应用
力合成：将多个力合成为一个力便于分析和计算 速度合成：将多个速度合成为一个速度便于分析和计算 加速度合成：将多个加速度合成为一个加速度便于分析和计算 力矩合成：将多个力矩合成为一个力矩便于分析和计算
向量加法在解析几何中的应用
向量加法在直线方程中的应用
向量加法在空间直线方程中的应用
向量加法的三角形不等式性质是指对于任意两个向量和b有|+b|≤||+|b|
这个性质是向量加法的一个重要性质它反映了向量加法的线性性和可加性
这个性质在向量的运算和几何中的应用非常广泛例如在向量的合成、分解、投影等问题中都有 应用
这个性质还可以推广到更一般的线性空间中成为线性空间的一个基本性质
向量加法的应用
三角形法则
向量加法的三角形法则：将两个向量首尾相接从起点到终点的向量就是两个向量的和向量。
向量加法的三角形法则的证明：通过向量的平行四边形法则和向量的加法法则可以证明三角 形法则的正确性。
向量加法的三角形法则的应用：在解决实际问题时三角形法则可以简化计算过程提高计算效 率。
向量加法的三角形法则的局限性：三角形法则只适用于两个向量首尾相接的情况对于其他情 况需要采用其他方法。
向量加法的共线性质
向量加法满足交换律：+b=b+ 向量加法满足结合律：(+b)+c=+b+c) 向量加法满足分配律：*(b+c)=*b+*c 向量加法满足零向量性质：+0=
向量加法的平行四边形性质
向量加法满足平 行四边形法则
向量加法满足交 换律
向量加法满足结 合律
向量加法满足分 配律
向量加法的三角形不等式性质
030416§5.2平面向量的加法与减法
B
D
BD C
C A
C A
§5.02 平面向量的加法与减法
朝花夕拾 新课引入 新课讲解 典型例题 巩固练习 知识小结 作业
向量加法 (2)对任意向量a，b，则a b ？
设a AB,b CD 若a,b不共线，则
B B
C
D
A
A
C
D
§5.02 平面向量的加法与减法
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（1）AB BC CD DE ？ AE （2）AB BC CD DA ？ 0 （3）（PO DM）（OD MP） ？ 0
例题 1 例题 2 例题 3 例题 4
§5.02 平面向量的加法与减法
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练习：书P99~100 (做在书上)。
问题一、两个向量之间能不能进行运算？
引例1、英国飞人刘易斯在96年亚特兰大奥运会百米 决赛时平均速度达到了10米/秒，当时恰好刮 起了与运动员奔跑方向相同的风，风速达到 了2米/秒。问刘易斯的速度实际是多少？
若当时的风向是与运动员奔跑方向恰好成60 度，那么刘易斯的速度将是多少？
引例 1 引例 2
§5.02 平面向量的加法与减法
§5.02 平面向量的加法与减法
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§5.02 平面向量的加法与减法
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练习 1 练习 2 练习 3 练习 4
§5.02 平面向量的加法与减法
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abc bc c
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(2)(MA BN) ( AC CB) ；(3) AB (BD CA) DC . 解： (1) AB CD BC
( AB BC) CD AC CD AD .
b
c
如果我们把这组平行向量的起点全部移到同一点O，
这时各向量的终点都在同一条直线上．
因此，我们把平行向量又叫做共线向量．
.
l
C
O
BA
二. 向量加法的定义 1. 引入
(1).某人从A到B,再从uuBur 按u原uur来的方向到C, 则两次位移的和 AB BC __A_C____
A
C
(2).飞机从A到B,再改uu变ur 方u向uur从B到C, 则两次位移的和 AB BC __A_C____
uuur uuur uuur uuur (2)(MA BN ) ( AC CB)
uuur uuur uuur uuur
(MA AC) (CB BN ) MC CN MN .
uuur uuur uuur uuur (3) AB (BD CA) DC
( AB BD) (DC CA) AD DA 0 .
例1 已知向量a、b（如图），求作向量a b.
作法：在平面内任取一点O , 作OA a, AB b,
则 OB ＝ a b .
.
O
A
a
b a
ba ba
ba
ba
a bb
b
b
b
b
b
bb
b
b
B
练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形法
则作出 a b
（1）
a
b ab
（2）
b
b
1A2 An2 An1 An1An A0 An A1A2 A2 A3 An1An An A1 0
口诀：首尾相接首尾相连.
练习3.根据图形填空
C D
dc
O
(1) a + d = DA
ab
(2) b + c = CB
A
B
练习4.根据图示填空
E eD
(1)a b c
向线段的起点和终点字母表示， 如AB . （3）模的概念：向量AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量的模.
记作：|AB |
向量的一些概念 ： （1）长度为零的向量叫什么向量？如何表示？长度为1的向量
叫做什么向量？是不是只有一个？
答： 长度为 0的向量叫做 零向量，记作 0 .
长度等于 1 个单位长度 的向量，叫做 单位向量，有许多个，
gf
d (2)c d f
c C (3)a b d f
A
a
b (4)c d e g
B
例3：如图，一艘船从A点出发以2 3 km h的速度向垂直于对岸
的方向行驶，同时河水的流速为2 km h，求船实际航行速度的 大小和方向。（用与流速间的夹角表示）
边形法则作出 a b
（1）
b
ab
ba
（2）
b
a
ab
a
三、性质
a
rr rr (1) 交换律 : a b b a b a b b
r r r r r ar (2) 结合律 : (a b) c a (b c)
abc
c
ab
ab
abc
c
bc
ab
由于向量的加法满足交换律与结合律，因此，多个向 量的加法运算就可按照任意的次序与任意的组合来进行.
（3）
ab b
a
b
（4）
ab a b
b
3、平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
a
B
作法:(1)在平面取一点A
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行 四边形ABCD.即AD＝BC＝a, AB=DC=b
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b
练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四
C
A (3).
船的速度是uBAuBur
,水流的速度是
BC
B
C
则两个速度的和
AB BC __A__C___
A
2、向量的加法：
(1)定义：求两个向量和的运算叫向量的加法.
(2)图示：
A
B
a a a a a a a a aa
b
b b b bO b
b
bb
a+b
(3)作法 uu①ur 在r平u面uur内任r 取一点O uuur r r ②作OA a, AB b ③则向量OB a b
5.2 向量的加法与减法（1）
一、复 习：
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
B
（2）表示方法：
①几何表示法：有向线段．
A
有向线段——在线段的两个端点中，规定一个顺序，假设起点 为 A ，终点为 B ，则称线段AB具有方向，这种具有方向的线段叫 做有向线段，记作 AB .
有向线段包含三要素：起点、方向、长度. ②字母表示法：用 a、b 、c等小写字母表示；或用表示有
这种作法叫做三角形法则
特例：
abaaaaaab b b b
A
B
bbbbbaabaaaaa
C
CA
B
AC a b
方向相同
AC a b 方向相反
问：两个向量的和仍是一个向量吗？ 它的大小如何？方向怎样？
答：当向量 a 与 b 不共线时，a b 的方向 与 a 、b 都不相同，且 | a b | | a | | b | . 当向量 a 与 b 同向时，a b 的方向 与 a 、b 都同向，且 | a b | | a | | b | . 当 a 与 b 反向时 (设 | b | | a |)，a b 的方向 与 b 同向，且 | a b | | b | | a | . 对于零向量与任一向量 a ，有 a 0 0 a a
每个方向都有一个．
（2）满足什么条件的两个向量是相等向量？符号如何表示？ 单位向量是相等向量吗？
答：若两个向量大小相等且方向相同,那么这两个向量叫做相等向量.
向量 a 与 b 相等，记作 a b .单位向量不一定是相等向量，单位向
量的方向不一定相同．零向量与零向量相等 . 任意两个相等的非零向 量，
都可以 用同一条有向线段来表 示，并且与 有向线段的起点无关 .
（3）有一组向量，它们的方向相同或相反，那么这组向量有 什么关系？符号如何表示？什么叫共线向量？与平行向量有何关系？
答：平行. 我们把方向相同或相反的向量叫做平行向量.
向量 a 、b 、c 平行，记作 a // b // c .
a
规定 0 与任一向量平行 .