二面角、判定、性质
立体几何二面角的求法
立体几何二面角的求法立体几何是数学的一个重要分支，研究的是空间中的图形和其性质。
其中，二面角是立体几何中的一个重要概念，它是由两个平面所围成的角。
本文将介绍二面角的定义、性质以及求法。
一、二面角的定义二面角是由两个平面所围成的角，其中一个平面称为顶面，另一个平面称为底面，二面角的两个边分别位于顶面和底面上。
二面角常用字母α表示。
二、二面角的性质1. 二面角的大小是以顶点为中心，两个边所围成的平面角的大小，即α=∠POQ。
2. 二面角的大小是由顶面和底面的位置关系决定的，与边的长度无关。
3. 二面角的度量范围是0到180度。
4. 如果两个平面平行，则它们所围成的二面角为0度。
5. 如果两个平面相互垂直，则它们所围成的二面角为90度。
6. 如果两个平面相交于一条直线，则它们所围成的二面角为180度。
三、二面角的求法1. 通过向量法求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值可以通过两个法向量的点乘公式求解：cosα=n1·n2/(|n1||n2|)，其中·表示点乘，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模。
2. 通过平面法向量求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值等于两个法向量的模的乘积与它们的点乘的商：cosα=(|n1|·|n2|)/(n1·n2)。
3. 通过平面方程求解二面角：设顶面的平面方程为Ax+By+Cz+D1=0，底面的平面方程为Ax+By+Cz+D2=0，二面角的余弦值等于两个平面方程的D1、D2的差值与它们的模的乘积的商：cosα=(D1-D2)/(√(A^2+B^2+C^2)·√(A^2+B^2+C^2))。
四、二面角的应用1. 二面角常用于计算空间中的体积和表面积。
2. 在物理学中，二面角常用于描述力的方向和大小。
3. 在几何光学中，二面角常用于计算光的反射和折射。
4. 在工程中，二面角常用于计算材料的强度和稳定性。
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
二面角,判定,性质
面面垂直
定义
性质定理
直线与平面垂直定义
直线与平面垂直判定定理
b
a
ol
ba
b a 任意, a ,
b . l a,l b, a b o,
l .
直线与平面垂直定义
l
a
l ,a ,
l a.
面面垂直定义 面面垂直判定定理
面面垂直性质定理
AB
C
a
a
l
二面角ABC 90，
. a ,a ,
PMC是二面角P-AB-C的 A
C
平面角.
在 ABC中，CM=AC sin 60 3.
M
在 PAB中，PM PA sin 60 3,
B
又 PC 3, PCM是正三角形.
PMC 60.二面角P-AB-C的大小为60.
16:20
二面角
例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
1.求证：平面PAC 平面PBC.
(2)请找(作)出不互相垂直 P 的平面的二面角的平面角.
A
E
C
D B
16:20
如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为EA的中点,
请作出平面EAD和平面BAC所成的二 面角的平面角 E
D
C
B
F
G
A
16:20
思考题 （2001年高考题）
Bα
CA
D
β
16:20
平面与平面垂直的判定定理
1.面面垂直的定义：如果两个面所成的二面角是直二
面角，称两个平面垂直.记作： .
高中数学二面角
高中数学二面角
（原创版）
目录
1.高中数学二面角的定义
2.二面角的性质与计算方法
3.二面角的应用
4.总结
正文
一、高中数学二面角的定义
二面角，又称二面角，是指两个平面之间的夹角。
在高中数学中，我们主要研究两个平面之间的夹角。
二面角的度量单位通常为度或弧度。
二、二面角的性质与计算方法
1.二面角的性质
(1) 二面角是非负角，即其度数或弧度值非负。
(2) 二面角的度数或弧度值是平面内任意一条直线与另一平面所成的角度的极限。
(3) 二面角具有可积性，即二面角可以表示为两个平面内直线所成的角度的极限。
2.二面角的计算方法
计算二面角的方法有多种，其中最常见的是使用向量法和投影法。
(1) 向量法：利用两个平面的法向量计算二面角的余弦值，然后通过反余弦函数求得二面角的度数或弧度值。
(2) 投影法：在两个平面上分别选取一条直线，将其投影到同一个平
面上，计算两条投影线段之间的夹角，再利用三角函数求得二面角的度数或弧度值。
三、二面角的应用
在实际问题中，二面角常常出现在建筑、机械、物理等领域。
例如，在建筑中，二面角常用于计算建筑物的立体形状和角度；在机械中，二面角常用于计算机械零件的相对位置和角度；在物理中，二面角常用于计算光线的传播方向和角度等。
四、总结
高中数学二面角是研究两个平面之间夹角的重要概念，其性质和计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
二面角_精品文档
二面角简介在几何学中，二面角是指由两个平面所围成的角度。
它是三维空间中的一种特殊角度，具有重要的几何性质和应用。
本文将介绍二面角的定义、性质和应用领域。
定义二面角是由两个平面围成的角度，可以通过它们的法向量来计算。
假设有平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2。
那么P1和P2所围成的二面角可以通过以下公式计算：cos(theta) = (n1 · n2) / (||n1|| ||n2||)其中，·表示点积，||n1||和||n2||表示向量n1和n2的模。
二面角的取值范围通常是[0, π]。
性质二面角具有以下性质：1.对称性：二面角的大小与平面的排列顺序无关。
换句话说，如果将平面P1和P2互换，则二面角的大小保持不变。
2.范围：二面角的取值范围是[0, π]，即它的值始终大于等于0且小于等于π。
3.特殊情况：当两个平面平行时，二面角的值为0，并且P1和P2的法向量的方向可以是相同或相反。
4.余角：二面角的余角等于π减去二面角的值。
5.三角不等式：如果有三个平面P1、P2和P3，那么它们所围成的二面角之和小于等于π。
6.线性性质：如果有两个二面角θ1和θ2，和一个实数k，那么kθ1和θ1+θ2也是合法的二面角。
应用二面角在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
在几何学中，二面角被用于描述多面体的结构和特征。
例如，二面角可以被用来确定多面体的体积、表面积及其与其他多面体的关系。
在物理学中，二面角用于描述物体的形状、方向和运动。
例如，在流体力学中，二面角可以用来计算液体或气体在界面处的压力分布。
在计算机图形学中，二面角被广泛应用于三维模型的拓扑和渲染。
例如，二面角可以用于计算光线和表面之间的交互，从而实现真实感的渲染效果。
此外，二面角还在分子结构分析、晶体学和微积分等领域发挥着重要作用。
它的广泛应用使得二面角成为数学和科学研究不可或缺的工具。
结论二面角是由两个平面围成的角度，在几何学中具有重要的定义、性质和应用。
二面角、判定、性质
ι
β
3、二面角的平面角 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所成的角叫作二 面角的平面角.如图
20:15
ι
P
β
B A
α
注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
直二面角：平面角是直角的二面角.
思考: 思考: 一个平面垂直于二面角 α −ι − β 的棱，并与两半平
1）角的顶点在棱上 ） 2）角的两边分别在两个面内 ） 3）角的边都要垂直于二面角的棱 ） α A α A O β B
l
O
20:15
10
β B
(1)
(2)
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法 作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 、 在棱上 定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 、 在一个半平面上 三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法 、 在二面角内 垂面法
面分别相交于射线 PA、 PB 、 垂足为P， 垂足为 ，则∠APB是二面
ι
β
B` A`
α γ`
γ
P`
角α − l − β的平面角吗？ 是
利用等角定理) 相等(利用等角定理 利用等角定理 20:15
P A
B
思考: 思考: ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等 是否相等? 是否相等
α
注： 二面角的平面角的特点： 二面角的平面角的特点：
∵a / /b, a ⊄ α, b ⊂ α, ∴a / /α.
β
∵ b / /α , b ⊂ β , α ∩ β = a ∴ a / /b
∴∠PMC是二面角P-AB-C的 平面角.
高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质例题解析 人教版
高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质例题解析人教版一. 本周教学内容：二面角、两平面垂直的判定和性质二. 重点、难点：重点：1. 二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱。
二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫直二面角。
2. 作二面角的平面角常有以下方法：①若构成二面角的两个面有特殊性（如等腰三角形或直角三角形），可根据特殊图形的性质作出平面角。
②若已知二面角内一点到两面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面角的平面角，称为垂面法。
③若已知二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂线定理或它的逆定理作出平面角，称为三垂线法。
④由定义找到棱上有关点，分别在两个面内作出（或找出）垂直于棱的射线，得到二面角的平面角。
⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。
3. 两个平面垂直的定义：两个平面相交，所成二面角是直二面角。
作用：①用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。
②两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。
4. （1）两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。
由判定定理的内容可知，证明面面垂直，可以转化为证线面垂直。
（2）性质定理如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
简言为：“面面垂直，则线面垂直”。
难点：1. 二面角平面角的作法与计算。
2. 判定定理和性质定理的应用。
【典型例题】例1. 如图。
AC为圆O的直径，B，D为圆上在AC两侧的两个点，SA⊥平面ABCD，连SB，SC，SD，试写出图中所有互相垂直的各对平面并说明理由。
高中数学知识点二面角
高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。
下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。
一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。
具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。
二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。
2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。
3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。
4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。
三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。
2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。
3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。
四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。
2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。
3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。
在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。
总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。
通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。
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10:01
二面角
一、 二面角及二面角的平面角
1 、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
l
10:01
二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
3、二面角的平面角
ι
β
P
以二面角的棱上任意一点为端点，
B
在两个半平面内分别作垂直于棱的两
面角P-A2B-C的正切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
P
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
∴OE∥BC且 OE BC12
OE⊥AB ,∵PO⊥平面ABC ∴PE⊥AB
E
A
B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE
在Rt△POE中， OE ∴ tan PEO 2
，，1222PPBO=1，PE12
3 2
O
C P
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
E
O
10:01
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
10:01
16
二面角
练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面 角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距 离CO。
P
l
A
D
B
C
10:01
解 ∵P是面PAB与PCD的一个公共点，
D Nβ
∴CO=a， DO= a ， PC
又∵∠MPN=60º
a， P2D
a 2
C
∴CD=PC a 2 OC2 OD2 CD2.
∴∠COD=90º
P aO
因此，二面角的度数为90º
10:01
二面角
例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是
底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二
P
γ
思考: ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等? 相等(利用等角定理)
10:01
β
B` A`
B A
α
注： 二面角的平面角的特点：
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
A
O
3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
O B
(1) 10:01
(2)
10
二面角
二.作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
Bα
CA
D
β
10:01
平面与平面垂直的判定定理
1.面面垂直的定义：如果两个面所成的二面角是直二
面角，称两个平面垂直.记作： .
b
2.判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么
经过这条直线的平面与已知平面垂直.
书面语言：
10:01
b b
.
3.如图:Rt△ABC中, ∠C=Rt∠, PA⊥平面ABC,图中有哪 些平面互相垂直?
1.求证：平面PAC 平面PBC.
(2)请找(作)出不互相垂直 P 的
D B
10:01
如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为EA的中点,
请作出平面EAD和平面BAC所成的二 面角的平面角 E
D
C
B
F
G
A
10:01
思考题 （2001年高考题）
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D，
APO
B
连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
A
条射线，这两条射线所成的角叫作二
α
面角的平面角.如图
10:01
注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
直二面角：平面角是直角的二面角.
思考: 一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平
面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B 垂足为P，则∠APB是二面
ι
P`
γ`
角 l 的平面角吗？是
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，AD= 1 2
SA=AB=BC=1，求：
S
面SCD与面SBA所成
B
C
二面角的正切值。
2
2
10:01
A
D
E
练习1
如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形， PA⊥平面ABCD，2·PA=AB，求平面PAB与 平面PCD所成的二面角的正切值的大小。
PMC是二面角P-AB-C的 A
C
平面角.
在VABC中，CM=ACgsin 60 3.
M
在VPAB中，PM PAgsin 60 3,
B
又Q PC 3,VPCM是正三角形.
PMC 60.二面角P-AB-C的大小为60.
10:01
二面角
例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
结 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
10:01
pβ
α
B
A
ι
β
B
p
O
α
ι
A
④ cos sVAOB PO 面AOB
sVPAB
⑤ 向量法
10:01
二面角
作业:
A为二面角α– CD –β的棱CD上一点，AB 在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与平 面β成30º，求二面角α– CD – β的大小。
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
β
B
p
α
A O
α
ι
A
④ cos sVAOB PO 面AOB
10:01
sVPAB
⑤ 向量法
二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
∠ACP
A
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
C
α
β
O
AD
B
O
练习2：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面角C1BD-B1的余弦值的大小。
6 3
10:01
二面角
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
二、二面角的平面角
β
1、定义
小 2、求二面角的平面角方法 ①点P在棱上 —定义法
ι αβ
γP
B A
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
10:01
例1.已知三棱锥P-ABC,VABC与VPAB是正三角形，
AB 2 3, PC 3, 求二面角P-AB-C的平面角的大小.
解：取AB的中点为M ,
P
连PM ,CM .
Q PA PB, AB PM.
Q AC BC,CM AB.