第三章 一维定常流动的基本方程 气体动力学 教学课件
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空气动力学第三章
⎡ ⎤ ⎥ ρ ⎢ γ +1 = ⎢ ⎥ ρ * ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ 2 ⎣ ⎦
（3.13）
γ /( γ −1)
（3.14）
⎡ ⎤ ⎥ γ +1 c ⎢ = ⎢ ⎥ c* ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 2
1/2
（3.15）
考虑能量方程：
V = 2c p (T0 − T ) = 2γ R (T0 − T ) γ −1
& m G * = ( ) max A
R (1 + γ − 1 M 2 )(γ +1)/[2(γ −1)] 2 & p γ 2 (γ +1)/(γ −1) m = *= 0 ( ) A T0 R r + 1
γ
M
A G 1 2 γ − 1 2 ( γ +1)/[ 2( γ −1)] M )] = = [( )(1 + * A G M γ +1 2
γ − 1 *2 M γ +1
马赫数和临界马赫数的关系曲线如图3.6所示：
当M<1时,M*<1; 当M=1时,M*=1; 当M>1时,M*>1; 当M趋近无穷时;
M* = r +1 r −1
• 3.4 由马赫数表示的质量流流率
& m G = = ρV A
ρ = p / RT
c = γ RT
V γ G = p( ) c RT
V2 = M2 γ RT
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
（3.4 ）
cp =
γR γ −1
公式（3.4）实用于绝热流动和等熵流动。
对于完全气体的等熵流动，其压力和密度与温度的关系 为： p0 T0 γ /(γ −1) ρ0 T0 1/(γ −1) =( ) =( ) T ρ p T 将上述公式与（3.4）结合起来，可以得到压力和密度由 马赫数来表示的关系式如下：
（3.13）
γ /( γ −1)
（3.14）
⎡ ⎤ ⎥ γ +1 c ⎢ = ⎢ ⎥ c* ⎢ 2(1 + γ − 1 M 2 ) ⎥ ⎣ ⎦ 2
1/2
（3.15）
考虑能量方程：
V = 2c p (T0 − T ) = 2γ R (T0 − T ) γ −1
& m G * = ( ) max A
R (1 + γ − 1 M 2 )(γ +1)/[2(γ −1)] 2 & p γ 2 (γ +1)/(γ −1) m = *= 0 ( ) A T0 R r + 1
γ
M
A G 1 2 γ − 1 2 ( γ +1)/[ 2( γ −1)] M )] = = [( )(1 + * A G M γ +1 2
γ − 1 *2 M γ +1
马赫数和临界马赫数的关系曲线如图3.6所示：
当M<1时,M*<1; 当M=1时,M*=1; 当M>1时,M*>1; 当M趋近无穷时;
M* = r +1 r −1
• 3.4 由马赫数表示的质量流流率
& m G = = ρV A
ρ = p / RT
c = γ RT
V γ G = p( ) c RT
V2 = M2 γ RT
T0 γ −1 2 = 1+ M T 2
（3.4 ）
cp =
γR γ −1
公式（3.4）实用于绝热流动和等熵流动。
对于完全气体的等熵流动，其压力和密度与温度的关系 为： p0 T0 γ /(γ −1) ρ0 T0 1/(γ −1) =( ) =( ) T ρ p T 将上述公式与（3.4）结合起来，可以得到压力和密度由 马赫数来表示的关系式如下：
气体动力学基础PPT课件
气体动力学基础_1
23
第二章 一维定常流的基本方程
§2.1 应知的流体力学基本概念
• 无限多个连续分布的流体微团 组成的连续介质的假设（
Euler明确，1752）。而非分子论。适用于l/L<1/100，例
如100公里以下的大气与飞行器
• 一维定常流 1-D Steady flow，流线 Streamline，
3
第一章 绪论
§1.1 气体动力学的涵义
气体动力学是
➢ 流体力学的一个分支，在连续介质假设下，研
究与热力学现象有关的气体的运动规律及其与
相对运动物体之间的相互作用。
➢ 气体在低速流动时属不可压缩流动，其热力状
态的变化可以不考虑；但在高速流动时，气体
的压缩效应不能忽略，其热力状态也发生明显
的变化，气体运动既要满足流体力学的定律，
学科名 Discipline 流体力学 Fluid Dynamics 空气动力学 Aerodynamics 气体动力学 Gas Dynamics
主要研究范围 Primary Scope
不可压缩流体动力学 Incompressible Fluid Flow
不可压缩＋可压缩流体动力学 Incom-＋Com-pressibleLeabharlann 解析解，螺旋桨理论，飞机设计
1904-20年代，普朗特Prandtl（德）的普朗特－迈耶流动理论，（超音
速膨胀波和弱压缩波），风洞技术，边界层理论，机翼举力线、举
力面理论，湍流理论，接合理论流体与实验流体，奠定了现代流体
力学气体动力学研究的基础
1910年瑞利和泰勒研究得出了激波的不可逆性
1933年泰勒和马科尔提出了圆锥激波的数值解
气体动力学基础_1
第三章一元流体动力学基础
2
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
空气动力学基础空气动力学课件PPT
（2）层流附面层和紊流附面层
前段附面层内层流附面层。 后段附面层紊流附面层。 附面层由层流状态转变为紊流状态叫转捩 转捩段 转换段是很窄的区域，可近似看成一点，称为“转捩
点”。
转捩原因
流动距离越长，附面层内的分层流动越不稳 机体表面对附面层施加扰动
在紊流附面层的底层，机体表面气流的阻滞作用要比 层流附面层大得多。
1. 气流在机体表面的流动状态
（1）附面层 （2）层流附面层和紊流附面层 （3）附面层的分离
（1）附面层
附面层
沿机体表面法向方向，流速由零逐渐增加到外界气流流速的 薄薄的一层空气层；机体表面到附面层边界(流速增大到外界 气流流速99% 处)的距离为附面层的厚度（δ）
附面层的厚度越来越厚
(2) 减小压差阻力的措施
①尽量减小飞机机体的迎风面积。 ②暴露在空气中的机体各部件外形应采用流线型。 ③飞行时，除了起气动作用的部件外，其他机体部件的铀钱
应尽量与气流方向平行。
4. 干扰阻力
（1）干扰阻力的产生
流过机体各部件的气流在部件结合处互相干扰而产生的阻力 干扰阻力与各部件组合时的相对位置有关，也和部件结合部
a平板翼型 b弯板翼型 c超临界翼型 d哥廷根398 e低亚音速翼型
f
g对称翼型，常用于尾翼 h i超音速菱形翼型
j超音速双弧形翼型
2.机翼平面形状和参数
机翼平面形状
机翼平面形状是飞机处于 水平状态时，机翼在水平 面上的投影形状
（a）矩形；（b）梯形； （c）椭圆形；
（d）后掠翼； （e）（f）和（g）为三角
在机翼的前缘有一点(A) ， 气流速度减小到零，正压达到最大 值，此点你为驻点。
机翼上表面有一点(B) ， 气流速度最大，负压达到最大值，称 为最低压力点。
风力机空气动力学5.3气体一维定熵流动5.3 气体的一维定常等熵流动
2
h0
第三节 气体的一维定常等熵流动
二、滞止状态
cp
R 1
Ma2 v2 c2
c2 RT
同理
T v2 2c p
T0
T0 T
c02 c2
1 -1 Ma2
2
1
p0 1 -1 Ma2 1
p 2
0 1 -1 Ma2 -1
2
1
-1
第三节 气体的一维定常等熵流动
五、速度系数
M v ccr
当v=vmax时
M max
vmax ccr
1 -1
M*与Ma的关系
M
2
1Ma2 2 -1Ma2
Ma2
2M
2
1
1M
2
第三节 气体的一维定常等熵流动
2
第三节 气体的一维定常等熵流动 三、极限状态
气流膨胀到完全真空所能达到的最大速度
极限速度
vmax
2R 1
T0
能量方程的另一种形式
c2
v2
v2 max
c02
1 2 2 1
第三节 气体的一维定常等熵流动
四、临界状态
ห้องสมุดไป่ตู้
ccr
2 1c0
1
v 1
用速度系数表示
T T0
c2 c02
1
-
-1 1
M
2
流体力学 第三章
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所遇到 的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情况，可以把总流 流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
气体的一维定常流动
1 1
1 2 1 M* 0 1
1 1
0 1 2 1 Ma 2
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
第六章 气体的一维定常流动
第五节 气流参数与通道截面 之间的关系
变截面一维定常等熵流动模型
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
v h h0 2
c v h0 1 2
2 2
2
v h0 1 2 v RT h0 1 2
p
2
2
cp p cp p p h R cp cV 1
§6-3 气体一维定常流动的基本方程
第六章 气体的一维定常流动
第四节 气体流动的三种状态 和速度系数
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
速度系数
速度系数的优点在于： 临界声速是常数，故速度系数与流动速度成 线性正比关系； 速度存在极限速度，故速度系数的极限是有 限值。
vmax 1 M *max ccr 1
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
滞止状态
气流速度减到零时的状态称为滞止状态，对应 的流动参数称为滞止参数或总参数。 能量方程可以写为
1 v2 v2 T T T0 R 2 2cp
c
1 2 1 M* 0 1
1 1
0 1 2 1 Ma 2
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
第六章 气体的一维定常流动
第五节 气流参数与通道截面 之间的关系
变截面一维定常等熵流动模型
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
v h h0 2
c v h0 1 2
2 2
2
v h0 1 2 v RT h0 1 2
p
2
2
cp p cp p p h R cp cV 1
§6-3 气体一维定常流动的基本方程
第六章 气体的一维定常流动
第四节 气体流动的三种状态 和速度系数
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
速度系数
速度系数的优点在于： 临界声速是常数，故速度系数与流动速度成 线性正比关系； 速度存在极限速度，故速度系数的极限是有 限值。
vmax 1 M *max ccr 1
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
滞止状态
气流速度减到零时的状态称为滞止状态，对应 的流动参数称为滞止参数或总参数。 能量方程可以写为
1 v2 v2 T T T0 R 2 2cp
c
《气体动力学》课件-一维定常流的基本方程
gAdz Adp Ffric AVdV 曲线流管微段
gz dp p V 2 2
无粘性曲线流管
气体动力学基础_1
10
2.3应知的流体力学定义、定律方程
能量方程
m dq m pdv m du
（闭口系统＝）体系，无流动
• •
•
QW s m
g
z2 z1
h（2稳定h流1动的开V口22系2统V＝12）有 限控制体，定常流动
International Civil Aeronautical Organization 确定为ISA
气体动力学基础_1
5
2.1 应知的流体力学基本概念
描述流体运动的两种方法及基本概念
研究流体运动方法
拉格朗日法（体系） 积分法 欧拉法（控制体） 微发法
体系指某些确定物质的集合；通过边界与体系外物质（环境）分开。 边界上可有动量和能量的交换，但无质量交换。边界随流体运动。
气体动力学基础_1
21
例2-1 吸气式喷气发动机的推力公式
[解]：控制体受各力在x方向的合力为
R pa A0 pa Ae Ae pe Ae R Ae pe pa
x方向的动量变化率为
m V bg e mV
由动量方程得
R
Ae
pe
pa
m bg
Ve
mV
则发动机对控制体内气流的作用力 ：
2.4 国际标准大气
因大气密度ρ是变量且与p、T 有关，我们可用静平衡微分方
程把压强随高度下降的规律推导出来。
某个高度上的大气压强可以看作是面积 为1米2的一根上端无界的空气柱的重量 压下来所造成的 ，在如图坐标系中考虑 某高度上的单位质量空气微元，其受到 的彻体力分量为：
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在欧拉法中用流体质点的空间坐标 x, y, z 与时间变量 t 来 表达流体的运动规律，x, y, z,t 叫欧拉变数，欧拉变数不是各自独
立的，因为流体质点在场中的空间位置与时间 t 有关，不同的时
间 t ，流体质点有不同的空间坐标 x, y, z 。因此对于任一个流体
质点的位置变量 x 、 y 、 z 是时间 t 的函数，即
对时间的偏V r导(a数,b,，c,t加)速rr度(a是,b,速c,度t)对时间的偏导数，即
r t
a r(a,b,c,t)V(a,b,c,t)
(3.6)
t
在欧拉法中，随流导数必须是跟随时刻位于空间点（ x, y, z ）
上的那个点的物理量随时间的变化率（该物理量是同一流体质 点而非同一空间点）。
若该物理量用 N(x, y,z,t) 表示，则的随流导数为
流体质点的速度。
同样，压强、温度和密度等物理量都可以表示成 x, y, z,t的函数。
3.1.3随流导数
一、随流导数 在流动过程中，流体质点的各物理量随时间的变化率称为相
应物理量的随流导数，也称为随体导数或质点导数。
物理量在随拉时格间朗的日导法数中，，这物时理（量a的,b,随c）流是导不数变是的跟。随如质速点度（是a,矢b,c径）rv的
式中
d dt
N(x,
y,
z,t)
d dt
N
x a, b, c, t ,
y
a, b, c, t ,
z
a,b,c,t
, t
= N x N y N z N x t y t z t t
=
N x
Vx
N y
Vy
N z
Vz
N t
（3.8）
=
N
r (Vg)N
t
d dttVxxVyyVzz
r i
r j
r k
的流体质点。显然质点的空间位置不但与时间有关，而且还与该
质点起始时刻的空间位置有关。于是时刻任意流体质点的位置在
空间的坐标可表示为
x f1(a ,b, c,t)
y f2(a,b,c,t)
（3.1）
z f3(a,b,c,t)
式中(a,b,c)称为拉格朗日坐标，(a, b, c，t) 称为拉格朗日变 数。拉格朗日变数是各自独立的，质点的初始坐标(a,b,c)与t 无
关，仅影响运动坐标、速度和加速度。显然流体质点不管什么
时候运动到哪里，拉格朗日坐标并不改变。 当(a,b,c)一定时，上式代表某个流体质点的运动轨迹，代表时
刻流体质点所处的位置。因此任一流体质点的速度和加速度可表
示为
Vx
x t
f1(a ,b , c,t) t
Vy
y t
f2 (a ,b , c,t) t
第三章 一维定常流动的基本方程
➢3.1 描述流体运动的两种方法及基本概念 ➢3.2 流体微团运动分析 ➢3.3 适合于系统的基本方程及雷诺输运定理 ➢3.4 连续方程 ➢3.5 动量方程 ➢3.6 动量矩方程 ➢3.7 能量方程 ➢3.8 柏努利方程
是随时间改变的，控制体的边界叫做控制面，它总是封闭的表 面。通过控制面，可以有流体流入或流出。在控制面上可以有 力的作用和能量的交换。控制体主要有三种类型，他们分别为 静止、运动和可变形，其中前两种控制体为固定形状，如图 3.1所示。本书仅考虑刚性的、没有运动的控制体。
量随时间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变
化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变化。从
而得出整个流体的运动情况。可见，欧拉法不需要注意各个流体
质点的运动过程，而是研究运动流体所占空间各点的流体参数的
变化。研究一切描述流体运动的物理参数在空间的分布，即研究
各流动参数的场。如速度场、压强场、密度场等向量场和标量场。
x y z
式（3.8）表明，用欧拉法求质点物理量的随流导数由两项构成， 一项是表示在给定点上物理量N随时间的变化率 N ，称为局 部导数或当地导数，它是由r于流动的非定常性引起 的t ，对定常 流，该项等于零。第二项 (V)N 表示物理量N在空间分布不均 匀的情况下，流体质点运动时引起N的变化率，称为对流导数或 迁移导数。它表示在非均匀的流场中（有梯变 N ），由空间 位置变化引起的。该项反映了流场的非均匀性，对于均匀流场， 该项为零。
有以上可知随流导数在拉格朗日法中是偏导数 ，在欧拉法 中是全导数。还可以看出流动参数的随流导数把该参数的瞬时 变化率与流场中该参数的导数联系起来。欧拉法描述中，特性 场是直接可以利用的，所以随流导数把拉格朗日法与欧拉法之 间建立了一种联系。由以上讨论可知，随流导数是对流体质点 的，它反映了流体质点物理量随时间的变化率，因此随流导数 本质上是拉格朗日观点下的概念。
(a)固定控制体 (b)以船速运动的控制 (c)汽缸内的变形控制体 图3.1固定、运动和可变形的控制体
3.1.2描述流体运动的两种方法
目前，研究流体运动有两种不同的观点，因而形成两种不同 的方法：一种方法是从分析流体各个质点的运动着手，即跟踪 流体质点的方法来研究整个流体的运动，称之为拉格朗日法； 另一种方法则是从分析流体所占据的空间中各固定点处的流体 的运动着手，即设立观察站的方法来研究流体在整个空间里的 运动，称其为欧拉法。
x x (t) y y (t)
(3.4)
z z(t)
设V x 、V y 和 V z 分别代ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流体质点的速度在 x, y, z 轴上的分量，
则
Vx
dx dt
Vx x, y,z,t
Vy
dy dt
Vy x,
y, z,t
(3.5)
Vz
dz dt
Vz
x, y,z,t
上式表示在空间点 x, y, z 处 t 时刻的流体速度。这个速度是某 一流体质点的速度，即在 t 时刻运动到空间点 x, y, z 处的那个
（3.2）
Vz
zf3(a,b,c,t)
t
t
ax
Vx t
2
f1(a ,b , c,t) t2
ay
Vx t
2
f2 (a , b , c, t) t2
（3.3）
az
Vz t
2
f3 (a , b , c , t ) t2
2．欧拉（Euler)法
该方法着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运
动流体所占空间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理
1．拉格朗日(Lagrange)法
该方法着眼点是流体质点。即研究个别流体质点的速度、加 速度、压强和密度等参数随时间的变化，以及由某一流体质点 转向另一流体质点时这些参数的变化，然后再把全部流体质点 的运动情况综合起来，就得到整个流体的运动情况。此法实质 上就是质点动力学研究方法的延续。
通常利用初始时刻流体质点的坐标来标注不同流体质点的坐 标。设初始时刻流体质点的坐标是(a,b,c),不同的(a,b,c)代表不同