高中数学抛物线的常见结论
高中数学必修五抛物线的定义知识点
高中数学必修五抛物线的定义知识点
高中数学抛物线的定义知识点(一)
抛物线方程
1设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
图形
焦点
准线
范围
对称轴轴轴
顶点(0，0)
离心率
焦点
注：①顶点
.
②则焦点半径
;则焦点半径为
.
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
④(或)的参数方程为
(或
)(为参数).
高中数学抛物线的定义知识点(二)
抛物线的性质(见下表):
抛物线的焦点弦的性质：
关于抛物线的几个重要结论：
(1)弦长公式同椭圆.
(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部
(3)抛物线y2=2px上的点P(x1，y1)的切线方程是
抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+
(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是
(5)过抛物线y2=2px上两点
的两条切线交于点M(x0，y0)，则
(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F,又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F.。
高二数学知识点抛物线公式
高二数学知识点抛物线公式抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有独特的性质和应用。
在高二数学学习中，学生需要掌握抛物线的各种知识点和公式。
下面我将为大家详细介绍高二数学中与抛物线相关的知识点和公式。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上一点到定点的距离与这个点到某一条定直线的距离相等的轨迹，这个定直线称为准线，定点称为焦点。
抛物线的主轴是垂直于准线的直线，焦点到准线的垂直距离称为焦距，抛物线的对称轴是准线的垂直平分线。
根据抛物线的定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 抛物线是对称的，关于对称轴对称；2. 抛物线在焦点处有最小值，称为顶点；3. 镜面反射定律成立，入射角等于反射角。
二、标准形式的抛物线方程标准形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
对于标准形式的抛物线方程，我们可以根据已知条件求解抛物线的性质。
1. 抛物线开口方向的判断通过 a 的正负可以判断抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标可以通过方程的顶点公式求解：顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
3. 抛物线与 x 轴的交点抛物线与 x 轴的交点可以通过方程的因式分解求解：令 y = 0，解方程 ax^2 + bx + c = 0，求得 x 的值。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴可以通过方程的对称轴公式求解：对称轴方程为 x = -b/2a。
三、一般形式的抛物线方程一般形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
与标准形式相比，一般形式的抛物线方程可以通过平移和缩放变换得到。
1. 抛物线的平移如果抛物线方程中有(h, k) 的平移，则原来的抛物线方程变为：y = a(x - h)^2 + k。
微重点 抛物线的二级结论的应用
微重点 抛物线的二级结论的应用抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一 抛物线的焦点弦核心提炼与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>y 2)两点，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α，(2)焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α，(3)S △OAB ＝p 22sin α(O 为坐标原点)，(4)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，(5)1|AF |＋1|BF |＝2p， (6)以AB 为直径的圆与准线相切，以F A 为直径的圆与y 轴相切．考向1 焦半径、弦长问题例1 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析 如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ， |DE |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝4cos 2θ，∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当且仅当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时取等号．∴|AB |＋|DE |的最小值为16.(2)斜率为3的直线经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限且|AF |＝4，则|AB |＝________. 答案163解析 直线l 的倾斜角α＝60°，由|AF |＝p1－cos α＝4，得p ＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB |＝2p sin 2α＝434＝163. 考向2 面积问题例2 (2022·长沙模拟)已知抛物线C ：y 2＝16x ，倾斜角为π6的直线l 过焦点F 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△ABO 的面积为________． 答案 64解析 方法一 (常规解法)依题意， 抛物线C ：y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，直线l 的方程为x ＝3y ＋4.由⎩⎨⎧x ＝3y ＋4，y 2＝16x ，消去x ， 得y 2－163y －64＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝163，y 1y 2＝－64. S △OAB ＝12|y 1－y 2|·|OF |＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(163)2－4×(－64)＝64. 方法二 (活用结论)依题意知， 抛物线y 2＝16x ，p ＝8. 又l 的倾斜角α＝π6.所以S △OAB ＝p 22sin α＝822sinπ6＝64.考向31|AF |＋1|BF |＝2p的应用 例3 (2022·“四省八校”联考)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋|BF |最小值为( ) A ．2 B ．26＋3 C ．4 D ．3＋2 2答案 D解析 因为p ＝2， 所以1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，所以2|AF |＋|BF |＝(2|AF |＋|BF |)·⎝⎛⎭⎫1|AF |＋1|BF | ＝3＋2|AF ||BF |＋|BF ||AF |≥3＋22|AF ||BF |·|BF ||AF |＝3＋22， 当且仅当|BF |＝2|AF |时，等号成立， 因此，2|AF |＋|BF |的最小值为3＋2 2.考向4 利用平面几何知识例4 (2022·遂宁模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线的准线l 1交于点M ，若PM →＝2FP →，则|FQ ||PQ |等于( )A.13B.34C.43 D ．3 答案 B解析 如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，由抛物线的定义有|PF |＝|PH |＝m (m >0)，过点Q 作准线的垂线交于点E ，则|EQ |＝|QF |， ∵PM →＝2FP →， ∴|PM |＝2m ，根据△PHM ∽△QEM ， 可得|PH ||PM |＝|QE ||QM |＝12，∴2|EQ |＝|QM |＝|FQ |＋3m . ∴|EQ |＝3m ，即|FQ |＝3m ， ∴|FQ ||PQ |＝3m 3m ＋m ＝34. 易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪演练1 (1)已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AB →＝3FB →，S △OAB ＝23|AB |，则|AB |的值为( )A.92B.29 C ．4 D ．2 答案 A解析 如图，不妨令直线AB 的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∵AB →＝3FB →∴F 为AB 的三等分点， 令|BF |＝t ，则|AF |＝2t ， 由1|BF |＋1|AF |＝2p， 得1t ＋12t ＝2p ⇒t ＝34p ， ∴|AB |＝3t ＝94p ，又|AB |＝2psin 2α， ∴2p sin 2α＝94p ⇒sin α＝223， 又S △AOB ＝23|AB |， ∴p 22sin α＝23|AB |， 即p 2423＝23·94p ⇒p ＝2， ∴|AB |＝92.(2)(多选)已知抛物线C ：x 2＝4y ，焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，该抛物线的准线与y 轴交于点M ，过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为H ，G ，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．线段AB 长度的最小值为2B ．以AB 为直径的圆与直线y ＝－1相切C ．∠HFG ＝90°D ．∠AMO ＝∠BMO答案 BCD解析 如图，取AB 的中点为C ，作CD ⊥GH ，垂足为D ，当线段AB 为通径时长度最小，为2p ＝4，故A 不正确； ∵直线y ＝－1为准线， ∴|CD |＝12(|AH |＋|BG |)＝12|AB |，故以AB 为直径的圆与准线y ＝－1相切， 故B 正确；又|BF |＝|BG |，∴∠BFG ＝∠BGF ， 又BG ∥FM ， ∴∠BGF ＝∠MFG ， ∴∠BFG ＝∠MFG ， 同理可得∠AFH ＝∠MFH ，又∠BFG ＋∠MFG ＋∠MFH ＋∠AFH ＝180°， ∴FG ⊥FH .即∠HFG ＝90°，故C 正确； 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴直线AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0， ∴x 1x 2＝－4，x 1＋x 2＝4k ， k AM ＋k BM ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋2·4k－4＝0，∴∠AMO ＝∠BMO ，故D 正确．考点二 定点问题核心提炼抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过(2p ，0)的直线与之交于A ，B 两点，则OA ⊥OB ，反之，也成立．例5 如图，已知直线与抛物线x 2＝2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A ．2B ．4 C.32 D.52答案 D解析 如图，令AB 与y 轴交于点C ，∵OA ⊥OB ，∴AB 过定点C (0,2p )， 又D (2,4)，∴CD →＝(2,4－2p )，OD →＝(2,4)， ∵OD ⊥AB ， ∴CD →·OD →＝0， 即4＋4(4－2p )＝0， 解得p ＝52.易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．跟踪演练2 已知抛物线y 2＝4x ，A ，B 为抛物线上不同两点，若OA ⊥OB ，则△AOB 的面积的最小值为________． 答案 16解析 如图，∵OA ⊥OB ，∴直线AB 过定点(2p ，0)， 即点C 坐标为(4,0)，设直线AB ：x ＝ty ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋4，y 2＝4x ⇒y 2－4ty －16＝0，Δ＝16t 2＋64>0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－16， ∴S △AOB ＝12|OC ||y 1－y 2|＝2|y 1－y 2|＝216t 2＋64，∴当t ＝0时，S min ＝16.专题强化练1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝4x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 答案 D解析 方法一 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0， Δ＝16t 2＋16>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 214·y 224＋y 1y 2＝1616＋(－4)＝－3. 方法二 因为AB 过抛物线的焦点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝1，y 1y 2＝－p 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.2.如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |等于( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析 如图所示，令|BF |＝t ， 则|BB ′|＝t ， 又B 为AC 的中点， ∴|AA ′|＝|AF |＝2t ， ∴|BC |＝|AB | ＝|AF |＋|BF |＝3t ， 又△CBB ′∽△CFE ， ∴|BC ||CF |＝|BB ′||FE |， 即3t 3t ＋t ＝t p⇒t ＝34p ，∴|AB |＝3t ＝94p ＝9.3．倾斜角为π4的直线l 交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，S △AOB ＝85，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝42xD ．y 2＝8x答案 B解析 ∵OA ⊥OB ， ∴直线过定点(2p ，0) 设直线l 的方程为x ＝y ＋2p ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋2p ，y 2＝2px ，得y 2－2py －4p 2＝0，Δ＝4p 2－4×(－4p 2)＝20p 2>0， ∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－4p 2， S △AOB ＝12·2p ·|y 1－y 2|＝p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p ·4p 2＋16p 2＝25p 2＝85， ∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .4．直线l 过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则四边形ABB ′A ′的面积为( ) A ．4 3 B ．8 3 C ．16 3 D ．32 3 答案 C解析 不妨令直线l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ，|BF |＝p 1＋cos θ＝31＋cos θ，又|AF |＝3|BF |， ∴31－cos θ＝3·31＋cos θ，解得cos θ＝12，又θ∈[0，π)，∴θ＝π3，∴|AF |＝31－cos θ＝6，|BF |＝31＋cos θ＝2， ∴|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，∴|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝8×32＝43， ∴S 四边形ABB ′A ′＝12×(2＋6)×43＝16 3. 5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则( )A ．C 的准线方程为x ＝－2B ．若|AF |＝4，则|OA |＝21C ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则l 的斜率为±33D ．过点A 作准线的垂线，垂足为H ，若x 轴平分∠HFB ，则|AF |＝4答案 BCD解析 因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线为x ＝－1，故A 错误；若|AF |＝4，则x A ＝3，所以y 2A ＝4x A＝12， 所以|OA |＝x 2A ＋y 2A ＝21，故B 正确；设直线AB 的倾斜角为α，α∈(0，π)，|AF ||BF |＝p 1－cos α·p 1＋cos α＝p 2sin 2α＝4p 2， ∴sin 2α＝14， ∴sin α＝12， ∴α＝30°或150°，∴tan α＝±33，故C 正确； 对于D ，若x 轴平分∠HFB ，则∠OFH ＝∠OFB ，又AH ∥x 轴，所以∠AHF ＝∠OFH ＝∠OFB ＝∠AFH ，所以HF ＝AF ＝AH ，所以x A ＋x H 2＝x F ，即x A ＝3， 所以|AF |＝x A ＋1＝4，故D 正确．6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点M (－1，－1)是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )A ．p ＝2B ．k ＝－2C ．MF ⊥ABD.|F A ||FB |＝25 答案 ABC解析 由题意知，抛物线C 的准线为x ＝－1，即p 2＝1，解得p ＝2， 故选项A 正确；∵p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，∵以AB 为直径的圆与准线相切，∴点M (－1，－1)为切点，∴圆心的纵坐标为－1，即AB 中点的纵坐标为－1，设AB ：x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ， 得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，∴y 1＋y 2＝4t ＝－2，∴t ＝－12，即k ＝－2，故选项B 正确； ∵k ＝－2，k MF ＝－1－0－1－1＝12，k MF·k ＝－1， ∴MF ⊥AB ，故选项C 正确；过A 作AA 1⊥x 轴，过B 作BB 1⊥x 轴，抛物线的准线交x 轴于点C ，设∠BFB 1＝θ，∴|BF |＝p 1－cos θ， |AF |＝p 1＋cos θ， 又p ＝2，k ＝－2，则cos θ＝55， ∴|F A ||FB |＝5－55＋5＝(5－5)225－5＝30－10520＝3－52， 故选项D 错误．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且|MF |＝2|NF |，则直线l 的斜率为______．答案 ±2 2解析 由抛物线的焦点弦的性质知1|MF |＋1|NF |＝2p＝1， 又|MF |＝2|NF |，解得|NF |＝32，|MF |＝3， ∴|MN |＝92， 设直线l 的倾斜角为θ，∴k ＝tan θ，又|MN |＝2p sin 2θ， ∴4sin 2θ＝92， ∴sin 2θ＝89，∴cos 2θ＝19， ∴tan 2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k ＝±2 2.8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C 1：y 2＝2px 过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0.过圆心C 2的直线l 与抛物线C 1和圆C 2分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PM |＋4|QN |的最小值为________．答案 13解析 由题设知，16＝2p ×2，则2p ＝8，故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，则焦点F (2,0)， 由直线PQ 过抛物线的焦点，则1|PF |＋1|QF |＝2p ＝12， 圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1， |PM |＋4|QN |＝|PF |－1＋4(|QF |－1)＝|PF |＋4|QF |－5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝⎛⎭⎫1|PF |＋1|QF |－5＝2×⎝⎛⎭⎫|PF ||QF |＋4|QF ||PF |＋5≥4|PF ||QF |·4|QF ||PF |＋5＝13， 当且仅当|PF |＝2|QF |时，等号成立，故|PM |＋4|QN |的最小值为13.。
抛物线阿基米德三角形常用结论高中
抛物线、阿基米德三角形常用结论一、抛物线1. 抛物线的定义抛物线是一种特殊的曲线，其定义可以由平面上的点P到给定直线上一点F的距离等于P到另一固定点D的距离的平方的约束条件定义。
2. 抛物线的常用方程抛物线的常用方程形式为y = ax^2 + bx + c 或者 x = ay^2 + by + c。
其中a、b、c为常数，a≠0。
3. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴与顶点抛物线的对称轴是其顶点处的垂直平分线。
（2）抛物线的焦点和直线抛物线的焦点是与其对称轴上的一个定点F，直线是与抛物线平行于其对称轴的直线。
二、阿基米德三角形1. 阿基米德三角形的定义阿基米德三角形是一种特殊的三角形，其三边分别由三个与三个同一直线上的点相连而得到。
这三个点一般是由同一圆的直径上得到。
2. 阿基米德三角形的常用结论（1）阿基米德三角形的边长关系公式设阿基米德三角形的边长分别为a、b、c，其边长关系可由公式a^2 = b^2 + c^2得到。
（2）阿基米德三角形的面积公式设阿基米德三角形的三角形边分别为a、b、c，其面积S可由公式S = 1/2 * b * c * sinA得到。
其中A为a对应的角度。
三、高中数学中抛物线和阿基米德三角形的应用1. 抛物线在物理学中的应用在物理学中，抛物线常常用来描述抛体运动的轨迹。
抛出的物体在水平方向上的运动可以用抛物线方程描述。
2. 阿基米德三角形在几何学中的应用在几何学中，阿基米德三角形经常用于解决三角函数相关问题。
在求解三角函数值时，可以利用阿基米德三角形的边长关系进行变换，从而简化计算。
四、结语抛物线和阿基米德三角形作为数学中的重要内容，在高中数学教学中被广泛应用。
通过对其定义、性质以及应用的深入了解，不仅可以增加数学知识的广度和深度，还能够帮助学生更好地理解数学的应用价值。
希望学生们能够加强对抛物线和阿基米德三角形的学习，不断提升数学思维能力和解决问题的能力。
抛物线和阿基米德三角形作为数学中重要的内容，不仅在高中数学教学中被广泛应用，而且在科学研究和工程技术中也发挥着重要作用。
高中数学抛物线两个结论的推导-2019年文档资料
高中数学抛物线两个结论的推导一两个结论结论1：如图1，F是抛物线的焦点，M是抛物线上任意一点，MT是抛物线在M的切线，MN是法线，ME是平行于坐标轴的直线，则法线MN必平分∠FME，即φ1=φ2。
结论2：如图2，M、N、P三点在抛物线的准线上，M、N在P点异侧，F是抛物线的焦点，过P向抛物线引两条切线PA、PB，则PA、PB平分∠FPM，∠FPN。
上述两个结论主要考查直线、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识。
二通性通法分析比较这两个结论可以看出它们的共同特征：（1）条件：抛物线上的切线问题，给定抛物线C：y2=2px。
结论1是在抛物线上任取一点M做一条切线MT，结论2是从抛物线准线上任取一点P向抛物线上引两条切线PA、PB。
切点为A、B；（2）研究的问题相近：切线平分角的问题，涉及直线与焦点有关。
查阅高考试题及有关高中的数学资料，可以找到诸多与此相似的问题，由于抛物线方程可以看作为函数的表达式，因而研究的思路更加宽阔、活跃，在高考试题中频频出现。
求抛物线切点弦所在直线方程的常见通法是：设出切点坐标，用导数表示切线的斜率写出切线方程，利用已知点在切线上展开思路。
（2）联立方程研究位置关系。
利用已知设出切线方程，联立切线方程与抛物线方程，利用判别式为0展开思路。
（3）待定所求直线方程，通常用斜截式。
联立直线方程与抛物线方程，用韦达定理列出切点坐标，再利用导数的几何意义列式消参求出所待定的系数。
用导数求切线的斜率和联立方程研究直线与抛物线的位置关系均为课标的要求，在人教A版教材中的例、习题中都有相应的题目。
三解题思路和策略两个结论都先从导数的几何意义入手，将切点坐标设出来。
结论1是根据两垂直直线斜率之积等于-1，根据点斜式写出垂直与切线且经过切点的直线方程，计算出此直线与抛物线轴的交点坐标N，计算出|FN|和|FM|的长度，判断出△FNM是等腰三角形，再根据ME∥轴线推出内错角相等，即证。
高中数学抛物线的几何性质总结
抛物线的几何性质
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
x 轴
x 轴
y 轴
y 轴
问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？ （1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； （2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 抛物线又叫做无心圆锥曲线。 （3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，为1．
∵CC′是梯形ABB′A′的中位线， ∴|CC′|= = 当AB经过点F 时取等号， 所以C点到 y 轴的距离最小值为
解 析
B
解 析
B
解 析
B
解 析
解 析D” Nhomakorabea引例.
y
.
.
.
.
.
.
.
.
A
B
F
想一想？
y
O
x
.
.
.
.
.
.
.
.
A
B
F
y
O
x
.
.
.
.
.
.
.
.
A
B
F
则
（6）证明:以CD为直径的圆过焦点F. 想一想？
结论:
则 以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F.
【解析】选B.
变式1：已知抛物线y2＝2px(p>0)，一条长为4p的弦，其两个端点在抛物线上 滑动，求此弦中点到y轴的最小距离． 解：如图所示，设动弦两个端点为A、B，中点为C，作AA′， BB′，CC′垂直于准线，垂足分别为A′，B′，C′，连结AF、 BF，由抛物线定义可知，|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|.
抛物线经典性质总结30条
2124p x =;212y p =-;'90AC B ∠=; ''90A FB ∠=;6. 123222()2sin p pAB x x p x α=++=+=; 7.112AF BF P+=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'A 三点共线；10. 22sin AOB P S α=；11. 23()2AOB S PAB =〔定值〕； 12. 1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 11'('')22CC AB AA BB ==+； 18. AB 3P K =y ； 19. 2p 22ytan =x -α;20. 2A'B'4AF BF =⋅; 21. 1C'F A'B'2=. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00性质深究一)焦点弦与切线1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 在准线上． 证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB 是抛物线px y 22=〔p ＞0〕焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6PA ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ． 结论8 M 平分PQ ．结论9 PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论2PF FB FA =结论11PAB S ∆2minp =二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13 PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ结论162PF =相关考题1、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=〔λ＞0〕，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，〔1〕证明：AB FM ⋅的值；〔2〕设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．2、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ； 〔1〕过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；〔2〕假设直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,， 〔1〕试证：4-=⋅n n s x 〔n ≥1〕〔2〕取nn x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC 〔n ≥1〕抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。
抛物线的二级结论及推导
抛物线的二级结论及推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线始终是数学中一个重要的概念，它具有很多重要的性质和实际应用。
在高中数学学习的过程中，我们经常会接触到关于抛物线的二级结论及推导。
在这篇文章中，我们将详细介绍抛物线的二级结论，并推导相关的内容。
抛物线是一条平面曲线，它的数学定义是平面上到一个定点的距离等于到一直线的距离的点的集合。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程是：y = ax^2 + bx + c其中a、b、c都是常数，a ≠ 0。
在这个方程中，a决定了抛物线的开口方向（向上还是向下）、b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
抛物线的二级结论是指关于抛物线上的二次项的系数a的性质。
具体来说，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
在我们的推导中，我们将证明这一结论的有效性。
我们来看当a > 0时，抛物线开口向上的情况。
我们假设抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
我们知道抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
由于a > 0，所以当x取任意值时，ax^2的值都大于等于0。
整个方程的值都不会小于c（当x取顶点坐标时，ax^2 = 0）。
这说明抛物线的图象是向上开口的。
除了抛物线的开口方向之外，二级结论还包括了抛物线的顶点、焦点等重要性质。
在实际问题中，我们可以利用这些结论来解决一些与抛物线相关的问题，比如确定一个抛物线的开口方向、求解最值等。
抛物线的二级结论是抛物线研究中一个非常重要的内容，它帮助我们理解和利用抛物线的各种性质，为我们的数学学习和实际问题的解决提供了有力的支持。
希望通过本文的介绍，读者能够对抛物线的二级结论有更深入的理解，并能够灵活运用这些知识。
第二篇示例：抛物线是代数表达式的一种特殊形式，常见于数学课程中。
学习抛物线的二级结论及推导可以帮助我们更深入地了解这个概念，并应用于实际问题的求解中。
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抛物线的常见结论
一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式
2122122124)(11x x x x k x x k l -+•+=-+=，
其中k 是弦所在直线的斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。
2122122124)(11y y y y m y y m l -+•+=-+=，其中弦长所在直线
方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。
2. 抛物线的焦点弦
对于抛物线，022
>=p px y ，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有：
①2212
21,4
p y y p x x -== A
B
F C
D
O
α
由⎪⎩⎪⎨⎧+==222p my x px
y 得0222=--p pmy y （＊）
，因此⎪⎩
⎪⎨⎧==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长
p x x AB ++=21，焦点弦长α
2
sin 2P AB =
α
αsin 4)(sin 212212
1y y y y y y AB -+=
-=，结合（＊）式与αtan 1
=m 得： α
ααααααααα
sin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 442
22222
222
22+=
+=+=
+=
p p p p p m p AB
α
αα22sin 2sin sin 1
2p p ==
③
P
BF AF 211=+ 简单证明如下:p p p y y p y y P
BF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+ααα ④焦点三角形面积α
sin 22
P S =
简单证明如下：以
AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为：
α
αααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB
=⨯⨯== ⑤焦点弦相关的几何关系： a. 以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切
b. 以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.
c. 以CD 为直径的圆与AB 相切
d.
A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，︒=∠90CFD
e. 以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。
3. 经过x 轴上一点()o a ,的直线与抛物线相交与两点()()2211,:,,:y x B y x A ，不论其斜率为何值， 都有pa y y a x x 2,212
21-==成立。
特别地，当p a 2=时，022
2121=-=+pa a y y x x ，此时OB OA OB OA ⊥=•,0。
反之结论亦能成立，当,0,=•⊥OB OA OB OA p a 2=,AB 所在直线经过定点()0,2p 。
二、相关题型总结
1、与焦点弦相关的求值问题
例1：过抛物线C ：2
4x y =的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若5
||4
AF =，则||BF =（ ） A ．2
B ．
52
C ．4
D ．5
例2：已知F 为抛物线21
2
y x =
的焦点，过F 作两条夹角为45°的直线1l 2l ，1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点，则
CD
AB 11+的最大值为（ ）
A ．4
B ．
2
C ．1 D.2
例3:已知直线1)y x =-交抛物线24y x =于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点F 为抛物线的
焦点，那么
BF
AF =（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
例4：已知抛物线2
20y px p =>，的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111=+BF
AF ，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ）
例5：过抛物线2
2,0y px p =>的焦点做倾斜角为60〫的直线，与抛物线交于A,B 两点(A 在
上方)，则
||
||
AF BF = 例6：已知F 是抛物线2
4y x =的焦点，过焦点做倾斜角为斜率为1的直线，与抛物线交于A,
B 两点(A 在上方)，则
||
||
AF BF = 例7：过抛物线抛物线2
4y x =的焦点，过焦点做直线与抛物线交于A,B 两点，若||3AF =,则
三角形 AOB 的面积为
2、抛物线中与结论3相关的求值问题
例1：设抛物线C ：2
20y px p =>，，过点M (,0)p 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设直线OA ，OB 的斜率分别为12,k k ，则12=k k （ ） A ．-1
B ．2
C ．﹣2
D ．不确定
例2：已知直线与抛物线2
4y x =交于两点A ，B 且两交点纵坐标之积为32-，则直线恒过定点（ ） A ．（1，0）
B ．（2，0）
C ．（4，0）
D ．（8，0）
例3:如图，已知直线与抛物线2
2x py =交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．
32
D ．
52
例4：设抛物线2
4y x =的焦点为F ，过点
()2,0的直线交抛物线于,A B 两点，与抛物线准线
交于点C ，若
2
5
ACF BCF
S S
=
，则AF =（ ） (A)
2
3
(B) 4 (C) 3 (D) 2
2、抛物线综合问题
例1：直线l 与抛物线y 2=4x 相交与A ，B 两点，若OA ⊥OB （O 是坐标原点），则△AOB 面积的最小值为（ ） A ．32
B ．24
C ．16
D ．8
例2：若抛物线y 2=4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AF|+2|BF|的最小值为（ ） A ．6
B ．
C ．9
D ．
例3：已知A ，B 是过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AB S FB AB OAB 3
2
,3=
=∆,则AB 的值为（ ） A ．
B ．
C ．4
D ．2。