第3章 静电场2——电荷的分布形式
等量电荷场强和电势的分布规律
等量电荷场强和电势的分布规律电荷是电场的源头，产生电场的物理量是电荷。
在静电学中，由于电荷静止不动，电场在空间中呈现出一定的分布规律。
等量电荷场是一种最简单、最基本的电场分布形式，它在物理学教学和实验中有非常重要的应用。
一、等量电荷场的基本概念等量电荷场是指单位面积或单位体积内电荷量相等的场。
在静电场中，分布均匀的点电荷集合就构成了等量电荷场。
在等量电荷场中，每个点电荷的电场强度大小、方向和位置是固定的，即与其他电荷无关。
可以通过计算每个点电荷产生的电场强度，来确定等量电荷场的总电场强度分布。
通常，等量电荷场的分布形式是对称的，如球形等量电荷场、圆柱等量电荷场和平面点电荷场等。
二、球形等量电荷场E = k·Q/R²k 表示库仑常量，Q 表示电荷量，R 表示电荷与点 P 的距离。
利用叠加原理，可以得到球形等量电荷场的总电场强度，它的大小和方向与 P 点的距离 R 有关。
当 P 点在球面上时，球形等量电荷场的电场强度为：当 P 点在球心时，球形等量电荷场的电场强度为：在球心处，根据电势公式，有：当电荷等量分布于一个高度为 h、半径为 R 的圆柱体表面上时，它形成了一个圆柱形等量电荷场。
由于高度相同、面积分布均匀，因此认为整个圆柱体电荷密度为λ，即电荷分布的线密度满足：λ = Q/2πRh根据库仑定律，电荷线密度为λ 的圆柱体电荷在轴线上任意一点的电场强度为：ε 表示介电常数，r 表示电荷距离轴线的距离。
由于电荷在圆柱体表面上分布均匀，因此相对于中心轴线的任意一圆周，圆周上各点产生的电场强度大小和方向均相同。
与球形等量电荷场类似，圆柱形等量电荷场的电势跟电场强度成反比，电势沿轴线的变化规律为：V = λ/2πεln(r1/r2)r1 和 r2 分别表示轴线上距圆柱形等量电荷场两端点的距离。
四、平面点电荷场平面点电荷场是指电荷等量分布在一个无限大、厚度可忽略不记的导体板上。
根据库仑定律，假设平面板上分布的电荷是 Q，任意一点 P 离电荷所在板的距离为 r，可得到点 P 产生的电场强度为：由于点电荷具有球对称的特点，因此由点产生的电场强度大小与距离 r 的平方成反比。
中国民航大学大学物理2第03章 静电场中的导体
QA QB
有
S
1 2 3 4
S
1 4 0 2 3 0 1 2 QA S 3 4 QB S
QA QB 2S Q Q 2 3 A B 2S
1 4
(电荷守恒)
A
B
第四章 静电场中的导体
物理学
于是
证明（1） ：在导体内部和表面任取 P，Q 和 R 各
Q R 点， Eint 0 , Eint dr Eint dr 0 E
P P
即： P Q R
邻
l
R S P
Q
证明（2） ：设 R 和 S 各为导体表面紧邻处的两点，
+ r Q --q + - O a + - + + + +
Qq 故，球心 O 的电势为 4 0 r 4 0 a 4 0b q q
例4 一导体球半径为R1 , 外罩一半径为R2 的 同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为, 而内 Q 球的电量为+q。 求此系统的电势和电场分 布。 Qq
4-4 有导体时静电场计算
和 QB，求：（1）两导体板之间及左右两侧的电场强度；（2）
解：设四个导体平面上面电荷密度分别为 1，2，3 和 4 。（1）每一面电荷单独存在时产生的场强为 i/20 ( i = 1, 2, 3, 4) ，取导体板 B 中任一点，利用静电平衡条件，有
1 2 3 4 Eint,B 0 2 0 2 0 2 0 2 0 取如图所示的高斯面 S’ ， E dS S 2 3 0 0
电荷： 1）导体内部无未抵消的净电荷存在，电荷只分布
第3章 恒定电场(3) 恒定电场的基本方程
3
§3-3 恒定电场的基本方程
一、电流连续性方程
1、积分形式 2、微分形式 3、物理意义
4
一、电流连续性方程
1、积分形式
电荷守恒定律：
在孤立系统中，总电荷量保持不变。
即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能 从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一 部分转移到另一部分。
I ' dq I dt
根据 I J dS S
（3-3）
dq SJ d S d t
I ' SJ dS
7
SJ d
S
dq dt
t
V
dV
：运动电荷的体密度
即：
J d
S
dV （3-19）
S
t V
上式是电荷守恒定律的数学表述，
又称电流连续性方程（的积分形式）。
电流密度矢量的通量 等于该面内电荷减少率。
26
(
)
J
（3-29）
：导电媒质的介电常数，
：导电媒质的电导率。 在不均匀导电媒质中，由于、是坐标变量的函数 （只要/不是处处为常数），体积电荷一般不为0。
在均匀导电媒质中，由于、处处为常数，( ) 0 故=0，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。
27
在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，
即也是保守场（无旋的）。
所以，在电源以外，恒定电场满足：
E d l 0 （3-24）
C
E 0
（3-25）
21
因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：
E （3-26）
22
电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程。
大学物理静电场3(电势)ppt课件
最新课件
9
单个点电荷的场的电势 U q
2）电势叠加原理（标量叠加）
q
Up Edl
Eidl
1
4
0r r1 r2
p
p
P Ei dl
qi
q2
4 0ri
或对连续分布带电体
U p
dq
4 0r
q
最新课件
dq
r
p
r3
ri
q3
qi
p
Up=?
10
Ua
i
qi
40ri
一个点电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个点电 荷单独存在时在该点所产生电势的代数和。——电势 叠加原理
电势叠加原理 习题最指新课导件 P65 16
34
形状如图所示的绝缘细线，其上均匀分布着
正电荷。已知电荷线密度为λ，两段直线长 均为a，半圆环的半径为a。求环心O点的电 势？
电势叠加原理
求电势能和电力
习题指导P65 17
最新课件
35
３．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距 中心O点a/2处，有一电量为q的正点电荷，如图所 示，则通过该平面的电场强度通量为：
b
W a W bA a bq 0 aE d r
二、电势差：
移动单位正电荷从电场中a 点到b点，静电力所做 的功，为静电场中两点的电势差:
U abU aU ba bEdr最 新W 课q 件aW qb 描只述与电电场场的有性关质6
➢某点 (a点) 的电势：
首先设定电势0点（b点）：
Ua
b
Edr
积分与路径无关
最新课件
4
对任何静电场，电场强度的线积分都只取决于起 点和终点的位置而与积分路径无关－－静电场的
静电场中的电荷分布与电场强度
静电场中的电荷分布与电场强度静电场是由电荷引起的一种电场，其中电荷的分布会对电场的强度产生影响。
本文将介绍静电场中的电荷分布与电场强度之间的关系，并探讨一些相关概念和定律。
一、电荷分布在静电场中，电荷分布是指电荷在空间中的分布方式。
根据电荷的分布情况，电场的形状和强度也会发生变化。
以下是常见的电荷分布形式：1. 点电荷分布：如果所有的电荷都集中在一个点上，则称为点电荷分布。
在这种情况下，电场按照球对称分布，以电荷为中心逐渐减弱。
2. 线电荷分布：当电荷分布在一条直线上时，称为线电荷分布。
在这种情况下，沿着电荷所在直线方向的电场强度由线电荷的长度和总电荷决定。
3. 面电荷分布：当电荷分布在一个平面上时，称为面电荷分布。
在这种情况下，电场强度在面电荷平面上是均匀的。
四、电场强度电场强度是指电场对单位正电荷产生的力的大小。
在静电场中，电场强度与电荷分布之间存在一定的关系。
1. 点电荷的电场强度：对于点电荷分布，根据库仑定律，电场强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
2. 线电荷的电场强度：对于线电荷分布，在与线电荷垂直的方向上，电场强度与电荷线密度成正比，与距离成反比。
3. 面电荷的电场强度：对于面电荷分布，在面内部，电场强度与面电荷密度成正比。
在面外部，电场强度与距离成反比。
总的来说，在静电场中，电场强度与电荷分布密切相关。
不同的电荷分布形式会导致电场强度的不同，因此我们可以通过观察电场强度的分布来推断电荷的分布情况。
五、其他影响因素除了电荷分布，还有其他一些因素会对电场强度产生影响，例如介质的性质和形状等。
不同的介质会对电荷产生吸引或斥力，从而改变电场强度。
而形状的改变则会导致电场强度在空间中的分布发生变化。
六、应用举例静电场中的电荷分布与电场强度的研究在许多领域有着广泛的应用。
以下是几个实际应用举例：1. 静电喷涂：静电喷涂利用电场强度的分布，将涂料粒子带电后，通过电场力使其粘附在被涂体上。
2. 静电除尘：静电除尘利用电场强度的分布，将带电气体中的微粒通过电场力吸附在电极上，从而达到除尘的目的。
第三讲 静电场性质(一) 2012年2月26日
Sichuan University
三. 高斯定律——导体
高斯定律的微分形式
分布电荷产生电场 E ( r )
1 4 0
r r' r r'
3
V'
( r' )dV'
•
•
对上式等号两端取散度；
利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得
(r) E( r ) 0
真空中高斯定律的微分形式
图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线
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二. 电位与电位函数
图1.2.4 点电荷与接地导体的电场
图1.2.5 点电荷与不接地导体的电场
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二. 电位与电位函数
图1.2.6 均匀场中放进了介质球的电场
图1.2.7 均匀场中放进了导体球的电场
电位是电场中点的标量函数 电位的大小是相对的，电位差是绝对的
静电场中某点的电位即是：静电场力将单位电荷从这 点移动无限远处(零势点)所作的功。
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二. 电位与电位函数
点电荷产生的电位分布：
孤立正点电荷周围的场电位为正：离电荷越远，电位越低。
孤立负点电荷周围的场电位为负：离电荷越远，电位越高。
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一. 静电场的环路定理
静电场力的功与电势能 1. 静电场力是保守力——所作功不因路径不同而改变 2. 静电场力所作的功，等于相应电势能的减少
Aab
b
a
F dl Wa Wb
a点电势能 b点电势能
Sichuan University
静电场中的电势分布
静电场中的电势分布在物理学中，静电场是一种由电荷产生的场。
而电势是用来描述电场中的电荷所受力的物理量。
在静电场中，电势的分布是如何变化的呢？本文将探讨静电场中的电势分布。
一、电势的定义和性质电势（V）是用来描述单位正电荷在电场中所具有的势能的物理量。
在SI单位制中，电势的单位为伏特（V）。
电势的定义为：电场中某一点的电势等于将单位正电荷从无穷远处移动到该点所作的功与单位正电荷相等。
电势有一些重要的性质。
首先，电势是一个标量，即没有方向性。
其次，电势具有叠加性，即在电势叠加原理的作用下，多个电荷的电势可以相加。
最后，对于任何一个点，其电势等于单位正电荷在该点所受到的电场力所作的功。
二、点电荷的电势分布考虑一个位于原点的点电荷q，它在空间中产生的电势分布是如何的呢？根据库伦定律，点电荷q产生的电势满足V = k*q/r，其中k为库伦常量，r为距离原点的距离。
可以看出，点电荷的电势与距离的平方成反比。
离电荷越远，电势越小；离电荷越近，电势越大。
这与我们平时所接触到的电势分布是一致的。
三、均匀带电球壳的电势分布接下来，我们考虑一个均匀带电球壳，球半径为R，总电荷量为Q。
在球壳内、外，电势的分布是如何的呢？首先，在球壳内部，由于球壳的均匀性，球壳上的每一点对球内的其他点产生的电势相等。
可以想象，在球壳的表面上任意取一点O，然后取一个距离O点一定距离的内点P，那么由于球壳的均匀性，对于P点来说，O点与其它点产生的电势相等。
因此，球壳的内部任意一点电势都是相等的。
而在球壳的表面上，由于电势是与距离的平方成反比的关系，因此球壳表面上各点的电势也是相等的。
当我们观察到球壳外时，球壳上任意一点产生的电势与该点到球心距离的关系是不再是电势与距离的平方反比关系。
球壳外的电势分布是由球壳内和球壳表面公共界面上电荷密度分布所决定的。
四、采取其他形状的电势分布除了考虑点电荷和均匀带电球壳的情况，我们还可以讨论其他形状的电势分布。
静电场知识点
静电场知识点一、静电的形成静电是指物体表面带有正、负电荷，通过电荷的相互作用产生的现象。
静电的形成主要有以下几个方面的原因。
1. 摩擦电荷：当两种不同材料相互摩擦时，由于电子在不同材料中的转移，会导致物体带电。
例如，我们在穿着塑料鞋时走在地毯上，会感到身体发出静电。
2. 接触电荷：当带电物体与不带电物体接触时，电荷会从带电物体转移到不带电物体上，使得两者都带电。
这也是我们经常使用的静电复印、喷墨打印机等原理。
3. 电离电荷：有些物质在受到外界引力或摩擦力的作用下会发生分解，释放出带电粒子，使周围的空气中形成电场。
例如，雷电就是因为大气中的水分经过快速蒸发产生静电。
二、电场的特性电场是描述电荷相互作用的物理量，具有以下几个特性。
1. 电场线：电场线是用来表示电场强度和方向的一种图示方法。
电场线从正电荷向负电荷方向延伸，且始终垂直于导体表面。
密集的电场线表示电场强度大，稀疏的电场线表示电场强度小。
2. 电场强度：电场强度是指单位正电荷在电场中受到的力的大小，可以用矢量表示。
单位为牛顿/库仑。
电场强度与电荷量成正比，与距离的平方成反比。
3. 均匀电场：如果电场中各点的电场强度大小和方向都相同，则称该电场为均匀电场。
均匀电场中的电场线是平行的，并且密度均匀。
三、电荷的分布与电场电荷的分布对电场的形态产生重要影响，以下是一些常见的电荷分布形式。
1. 点电荷：电荷在空间中的分布很集中，可以看作是集中在一个点上。
点电荷产生的电场线以电荷为中心，呈放射状。
2. 线电荷：电荷在空间中分布成一维线状，如细线、导线等。
线电荷所产生的电场强度与距离成反比，电场线呈径向分布。
3. 面电荷：电荷在空间中分布成二维平面，如金属板、导体平面等。
面电荷所产生的电场线是平行等间距的，且与面电荷垂直。
四、静电场的应用静电场在日常生活和工业领域有着广泛的应用。
1. 静电除尘：利用静电原理可以去除空气中的尘埃和污染物质，常用于粉尘处理和空气净化工程。
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工程电磁场基础
第3 章静电场(2)
电荷的分布形式
主讲人：陈德智
dzhchen@
/hkdq/
华中科技大学电气与电子工程学院
2013年3月
2. 电荷的分布形式
•“自由空间”的物理图像
•静电场中的导体
•静电场中的电介质——极化电荷•包含材料特性的基本方程
•媒质交界面条件
00/32
00, U φφπϕϕϕ==⎧=∇=⎪⎨=⎪⎩
电荷的实际存在形式
•电荷是物质的基本属性，不存在脱离了物质的电荷。
•电荷与电场之间相互影响，真空中的自由电荷不可能稳定地处于某个固定位置；常遇到的是物质中的电荷。
•典型的物质包括导体和电介质。
导体中有部分电荷可在导体内自由移动，称自由电荷；而介质（或电介质、绝缘体）中的电荷被约束在原子或分子内部，称为束缚电荷。
通常情况下，作为电场之源的电荷，就存在于这些物质中。
•当使用库仑定律计算电场时，必须考虑包括自由电荷与束缚电荷在内的全部电荷的贡献。
，导体是等位体，
无极分子\
⊕
\⊕
\
⊕\⊕
\
⊕
\⊕
\
⊕\
⊕
\
⊕
\
⊕
\
⊕\⊕
\
⊕\
⊕
\
有极分子
⊕
\
⊕
\
⊕
\
⊕
\
⊕
\⊕
\⊕
\
⊕
\
⊕
\
⊕
\⊕
\⊕
\
⊕
\⊕
\⊕
\
⊕
\
⊕
\
⊕
\
⊕
\
均匀极化时，只在表面上产生面分布的极化电荷，介质内部极化电荷为0。
因为是均匀极化，设单位体积内的分子数为n ，则。
取厚度为l 的表面薄层，设面积为A ，其体积为。
所含有的分子数。
这些
分子都有电荷移出，故电荷总量
为。
因此极化电荷面密度为
（3）均匀极化下的极化电荷
e n nq ==P p l p σV A l =⋅p /e q A nq l P
σ===N n V n A l =⋅=⋅⋅e e q q N nq Al ==更一般的形式
p n n
P σ==⋅P e
p n
P σ=p q V ΔρΔ−==−∇⋅P
p p p 22
00d d 44R R
S V S V R R σρπεπε′′′′=+∫∫e e E p p p 00d d 44S
V S V R R
σρϕπεπε′′=+∫
∫
极化电荷面密度
极化电荷体密度
极化电荷产生的电场
包含材料特性的基本方程
在形式上同真空中的基本方程完全相同，只需要把本构关系中的换成ε即可：
旋度方程保持不变，散度方程只包括自由电荷！
0εd S
q
⋅=∫D S d 0l
⋅=∫
E l ρ
=⋅∇D 0
∇×=E D ＝ε E
结论：引入参数ε 后，静电场基本方程中的电荷就只保留了自由电荷，而极化电荷的效应被ε 和重新定义的电位移矢量D 所包含。
这样，通过引入参数ε，回避了对复杂的极化过程微观机理的建模与处理，成功绕过了极化电荷的计算困难，大大简化了电磁场的分析。
应该指出，ε 可能不是常数，它甚至可能不是一个数。
例如对于各向异性材料，它是一个张量。
媒质交界面条件
微分方程只在场量连续的情况下才成立。
在不同媒质分解面上，场量发生突变，微分方程不在成立，需补充场量的连续性方程（衔接条件）。
媒质交界面条件
σ
=−n 1n 2D D t
1t 2E E =S
S D S D n 2n 1Δ=Δ+Δ−σ在分界面上应用
d S
q
⋅=∫
D S 在分界面上应用
d 0l
⋅=∫
E l v 11210
t t E l E l −Δ+Δ=21()σ
⋅−=n D D 21()0
×−=n E E
0 (0/
x
x x a ρ≤≤
⎧e
当1、2两点无限靠近，。
此时，如果ρ为有限值，则D 2 -D 1
= 0；如果，出现面电荷σ ，则有D 2-D 1= σ。
结论：无论是否跨过媒质分界面，衔接条件总是成立。
它
实质上是差分形式的基本方程。
散度与纵向变化率
0x Δ→ρ→∞21D D D x
ρΔ=−=Δ00 (0/2)
/2 (/2)
x x x x a a x a ρρ≤≤⎧=⎨
>⎩e D e
例8 平行板电容器，图(a)已知极板间电压U
，图(b) 已知极板上总电荷q0，试求其中的电场强度。
图（a）
交界面条件：
图（b）
21
n n
D Dσ
−=21
t t
E E
=
2211q S S =+σσεεa ）
（b ）
我确实理解了理论；
可我就是不会解题。
——一位不知名的人说
摘自R.K.旺斯纳斯《电磁场》，p.33陈菊华译，科学出版社，1987
4
c ρ+
边界条件11()a U
ϕ=23()0
a ϕ=12
ϕϕ=1212
ϕϕεερρ
∂∂=∂∂112ln c c ϕρ=+234
ln c c ϕρ=+通解：（当）
2a ρ=交界面条件求得积分常数14
c c ∼内导体表面电荷密度
1
1
1
1
1
1
===a =a n
ρρϕϕσεερ
∂∂−−∂∂1
2a τσπ=⋅11
1ln
cU
U a ρ
ϕε=−
3
22
ln
a cU
ϕερ
=
电位函数
11cU
ρ
ερ
=
E e 22cU
ρ
ερ=
E e 电场强度
2
0ϕ∇=σ
=−n 1n 2D D t 1t 2E E =2
1ϕϕ=1212n n ϕϕεεσ∂∂−=∂∂n D σ
=n ϕεσ∂−=∂t 0
=E const
ϕ=均匀媒质内部
通常无自由电荷
•工程实际中求解的静电场问题往往都限定在一定的空间区域中（称为场域）。
产生这个场的源既可以位于场域内，也可以位于场域外。
•因此，除了要给出电位在区域内满足的微分方程和媒质分界面条件，还必须给出电位在区域边界上满足的合适的边界条件，场域外的源即通过这些边界条件来体现。
•在给定的边界条件下确定微分方程的解，称为求解边值问题，是电磁场分析的重要内容。
作业：
习题3.4，3.5。