高一数学课件：函数建模
几类不同增长的函数模型 课件 高一上学期数学人教A 版(2019)必修第一册
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？
不妨以函数y=lgx和= x为例.
列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6
高一函数课件ppt课件ppt课件
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意$x$，都有$f(x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶 函数。
奇偶性的判断
可以通过计算$f(-x)$并与 $f(x)$进行比较，来判断 函数的奇偶性。
函数的单调性
单调递增
单调性的判断
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任 意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则称$f(x)$在定义域内单调 递增。
观地了解它们的性质。
02
反函数和对数函数的性质
反函数和对数函数都有其独特的性质，例如反函数的对称性和对数函数
的单调性等。这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
03
反函数和对数函数的应用
在实际问题中，反函数和对数函数的应用非常广泛，例如在科学计算、
工程技术和金融领域中都有广泛的应用。
06
函数的实际应用
二次函数性质
函数的图像是一个抛物线，开口方 向由a决定（a>0向上，a<0向下 ），对称轴为x=-b/2a。
二次函数的应用
在现实生活中，二次函数的应用也 非常广泛，如物体自由落体运动、 抛射运动等。
一次函数和二次函数的图像和性质
图像绘制
通过描点法或解析法可以绘制出一次函数和二次函数的图像。
性质分析
可以通过计算$f(x_1) - f(x_2)$的值， 并判断其符号，来判断函数的单调性 。
单调递减
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任 意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在定义域内单调 递减。
函数的周期性
周期函数
如果存在一个非零常数$T$，使 得对于函数$f(x)$的定义域内的 任意$x$，都有$f(x+T) = f(x)$ ，则称$f(x)$为周期函数，$T$
函数与数学模型课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
2.增长函数模型的选取
例 2 某公司为了实现60万元的生产利润目标，准备制订一个激励生产人员的奖励方案：在生产利润
达到5万元时，按生产利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生产利润x（单位：万元）的增加而
增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，
高中数学
必修第一册
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【归纳】指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
在（0，+∞）上的
y＝ax（a>1）
y＝logax（a>1）
y＝xα（α>0）
单调递增，且a越大，增长越 单调递增，且a越小，增长 单调递增，且当x>1时，α越大，增
单调性
快
越快
长越快
增长速度
越来越快
越来越慢
随着α值的不同而不同
指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度
急剧，形象地称为“爆炸式增长”.
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速
度平缓.
（4）幂函数模型
当x>0，α>1时，幂函数y＝xα是增函数，且当x>1时，α越大其函数值的增长速度就越快.
d/cm
1
2
3
4
5
描点画出弹簧伸长的长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.
【解】图象如图所示，通过图象中点的分布特征，可以考虑用函数d＝kf+b（k≠0）
北师大版高一数学必修第一册函数的概念及其表示课件
第一课时
整体概览
问题1 请同学们阅读课本第60页，回答下列问题：
（1）本章将要研究哪类问题？ 本章将要研究函数的概念、性质及其应用．
（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？ 函数是高中数学的核心内容，也是学习其他学科的重要基础．
（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？ 起点是函数的概念，目标是通过研究函数的性质把握客观世 界中各种各样的运动变化规律．
新知探究
追问 值域和集合B相等吗？它们的关系是什么？
值域与集合B不一定相等， 值域是集合B的子集， 具体例子见问题6．
新知探究
问题8 你能用新的定义描述一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函数y＝ k（k≠0）吗？从哪
x 几个角度描述？
函数 对应关系
一次函数 y ax b(a 0)
其中，d的变化范围是数集A ＝{1，2，3，4，5，6}， 集合A，B与对应关系f如图所示：
2 例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k≠0）
可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
新知探究
问题4 阅读材料，回答问题： 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如 果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资． （1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单 位：元）是他工作天数d的函数吗？ 解答：（1）w＝350d，w是工作天数d的函数．
新知探究
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
高一上学期数学人教A版必修第一册数学建模活动(1)PPT全文课件(共31ppt)
求解模型
问题8：请同学们结合这五 个函数图象与实际数据的吻合情 况，思考应该如何选取a的值？
比值为0.9284
比值为0.9351
比值为0.9032
比值为0.9181
比值为0.9285
检验模型
求解模型
检验模型
求解模型
求解问题
解得 由信息技术得
解决问题
解决问题
问题10：你体会到研究这个问题具有哪些实际 价值？
求 解 函 数 模 型
实
际
检
问
验 符合 题 实际 的 解
作业布置
请同学们仿照上述过程开展一次建立模型解决 实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一 杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中 选择一个： 1. 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？ 2. 根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超 重. 3. 用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功 率设定方法. 4. 估计阅读一本书所需要的时间.
情景分析
问题2：如何处理这些影响因素？
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提出假设
突出主要因素，弱化次要因素的影响.
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数据收集
活动1：请同学们小组合作，为获取数据设计实 验流程.
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高中数学第2章函数1函数概念课件必修1高一必修1数学课件
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
(3)f(x)=
+1
;
-2
(4)f(x)= + 4 + 1-(x∈Z).
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是
对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为
同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定
义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
1
①f(x)= ;
-2
②f(x)= 3 + 2;
③f(x)= - 2 + 2(x∈Z).
(2)求函数 y= 2 + 3 −
1
2-
1
+ 的定义域.
第十二页，共三十五页。
探究(tànjiū)一
第十八页，共三十五页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
2 -
①f(x)= ,g(x)=x-1;
高一数学必修4课件：1-6三角函数模型的简单应用
第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)
－A＋b＝700， A＋b＝900，
＋b(A>0，ω>0)，则
解得A＝100，b＝800，
又周期T＝2(6－0)＝12， 2π 2π π ∴ω＝ T ＝12＝6.
π 则有y＝100sin6t＋φ＋800.
kπ－φ ，0 ω
，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的
π kπ＋ －φ 2 最值，即对称轴是直线A版 · 必修4
(8)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中
第一章 1.6
)
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
1 6．函数y＝ sin 2
π 2x－ 6
的振幅是________，周期是
________，初相为________，对称轴是直线________，对称 中心为________，单调增区间是________．
第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[答案] C
第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
规律总结：由函数图象寻求函数解析式是近几年来的热 点试题，解答此类试题，一般是根据图象所反映出的函数性 质来解决，而函数的性质，如奇偶性、周期性、对称性、单 调性、值域，还有零点等等都可以作为判断的依据．
第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
π 3π 则sin8t＋ 4 ∈[－1,1]，可得ymin＝－10＋20＝10，
3.1.1函数的概念及其表示课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一
【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不 唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对 应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数． 答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域． 推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一 函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集 合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加 的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以 是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变 量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研 究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
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§3.2.2函数模型的应用实例（第二课时）教学设计
一、教学内容解析
1、本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（人民教育出版社A版），3.2.2 函数模型的应用实例.（第二课时），属于“事实性知识”。
2、“函数模型的应用实例”是《函数的应用》这一章的核心内容，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽。
本节课是上一节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展，同时又为今后的选修中的线性回归及大学将学习的曲线拟合做了一个铺垫。
它要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择较为接近的函数模型，结合实际问题比较模型的优劣，最后应用所选择的模型解决实际问题.这种建立函数模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法和函数拟合的思想在现实生活中的应用是非常广泛并且及其重要的.它的出现既强化了学生应用数学的意识，提高了学生应用数学的能力又让学生感受到达到目标并不是一帆风顺的，需要我们有不怕挫折，勇于探索、不断尝试的精神及较强的团队意识。
3、本小节重点：（1）收集数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题.
（2）初步形成用函数观点处理问题的意识.
二、教学目标设置
1、知识与技能：
（1）会收集图表数据信息，能整理数据，会使用图形计算器.
（2）能拟合函数解决实际问题.
2、过程与方法：
（1）体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法.
（2）经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会函数拟合、数形结合、函数方程、待定系数等数学思想方法.
（3）通过转化实际应用问题为数学问题的过程，培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.
3、情感、态度与价值观：
（1）培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，以及求真务实的科学态度.
（2）通过整个解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到通过分组讨论、合作交流获得成功带来的快乐.
三、学生学情分析
1、学生具备的认知基础：①已掌握一些基本初等函数相关知识②初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程③初步掌握了图形计算器和温度传感器的使用方法.
2、有待提高的实际能力：①数形转化的意识有待加强.
②从实际问题中抽象出数学问题的能力有待加强.
3、教学难点: ①数据拟合②选择模型③求解模型.
4、突破难点策略：借助图形计算器强大的拟合和解方程功能有效的进行了突破.
对例1学生可能遇到的困难是：①不理解数据表格中销售单价与日均销售量的函数关系；②不会用销售单价x表示日均销售量和日均销售利润；③不能准确写出函数的定义域.④书写不规范.不说明x的含义. 面对这些困难我将采取学生讨论、相互评价和老师点评相结合的方式解决。
对例2学生可能遇到的困难是：①不知如何寻找温度与时间的函数关系. ②图形计算器的使用不熟练. ③不能恰当的选择函数模型④在选择模型遇到挫折时容易灰
心，产生放弃的念头. ④用指数模型时只从数学角度考虑却很难想到水温不可能降到室温以下，指数型函数图像的渐近线不是x轴.⑤当图形计算器没有所需要的函数模型时不会转化.面对这些困难我将采取如下策略：①独立思考②小组讨论③互帮互学④及时鼓励⑤合作交流⑥成果展示⑦启发诱导等方式进行。
四、教学策略分析
在设定教学目标后基于对教学内容和学生情况的分析，为解决问题采用了如下教学策略。
1、教学理念：
①倡导积极主动、勇于探索、不怕挫折的学习精神和合作探究的学习方式
②营造一个生动和谐充满人文关怀的教学氛围
③追求信息技术与数学课程有机整合的高效课堂
2、教学方法设计
任务驱动教学法（自主探究、合作交流、分享评价）
（1）从教与学的现实出发，为了使得使得数学建模的开放性更大些，探究性更强些，设计了学生自主提出问题、试验探究、分析数据、建立解决问题的基本模型的方案.本节课的教学分两个阶段：第一阶段，是学生自己提出课题在老师的建议下实验采集数据；第二阶段是这45分钟的课堂教学.“课标”要求我们教师对待教材，不单单是课程的消费者和执行者，而应该是课程的策划者和设计者，是“用”教材，而不是“教”教材.我对教材例题进行了精心改造，把例1中原来的泛指桶装水变成了具体的淮北一中对面的农夫山泉桶装水，把例2中原来的身高与体重问题改成了水温下降问题，使得教学内容更加贴近学生，更显真实。
（2）根据教学内容的特点和对学生情况分析，从学生原有的知识基础和实际能力
出发，以任务驱动、问题引导为主线，以学生探究为载体，利用主动观察、思考、动手操作、小组合作、分享评价等形式来组织教学，努力营造一个合作学习、共同探究、展示成果、愉悦学习的舞台。
（3）在教学过程中对基础较弱的同学进行指导，并请组内同学给予帮助指导。
经历了整个建模过程后，给学生当堂练习的机会，及时反馈评价。
并留下新的问题课后探究，让学生带着问题走进课堂，带着新的问题离开课堂。
同时又给学有余力的学生提供继续学习的平台（网络资源链接）。
五、教学技术支持
1、利用温度传感器进行“数学实验”
2、利用图形计算器进行“合作探究”
3、利用实物展台进行“成果展示”
六、教学过程描述
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
合作交流探究新知【步骤2】画散点图
【步骤3】分别求解可能的函数模型
【步骤4】比较各模型拟合的优劣，初步确定函
数模型。
结果：经过比较初步确定选用二次函数模型
y=ax2 +bx+c 来拟合,
其中a=0.0343906,b=-1.7194555,c=92.2386363
1、师生共同利用图形计算器
画出散点图.
2【问1】观察散点分布特点，与
学过的常见函数图像对比，说明
应该选择怎样的函数模型？
（学生各自交流看法）
3、师生合作挨个求解模型并验
证。
（1）【问2】先从直线开始尝试，
思考：如何求出直线方程？
（学生回答）
（2）【问3】为了减少误差，我
们想选择一条离点最近的直线，
又该如何解决？
（学生回答）
教师带着学生一起用图形计算
器的拟合功能，求出直线方程。
（师生合作）
（介绍这个原理将在选修中学
习）
以4人为一组，组内自由分工合
作，分别选择二次型和指数型拟
合。
（生生合作）
（在大家做好好，请一小组上台
演示）
5、每组4位同学把图形计算器
拟合出的指数型和二次型函数
图形放一起，并与黑板上的直线
型比较，看一下哪种拟合的效果
更好？（学生讨论，生生合作）
引导学生利
用图形计算器，
小组合作，主动
探索索、不断交
流尝试，比较可
能的函数模型优
劣，进而选择初
步最佳的函数模
型，在实际问题
的检验中不断修
正，最终确定函
数模型。
在整个
探索过程中充分
感受函数拟合的
思想，并总结出
函数建模的基本
步骤。
体验解决
问题带来的喜
悦。
①培养学生
团结合作的精神
②体验到图形计
算器给研究数学
带来的便捷。
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
提 供 资 源 为 您 服 务
网络资源： 1、构造函数模型,解生活中的实际问题： 2、函数拟合 ：
给学生在课外自主学习提供一个舞台，使每个学生
都能最大的发展。
板书设计 附后
板书设清楚整洁,便于突出知识目标
（附）板书设计
（附）安徽省淮北市第一中学数学建模实验报告
§3.2.2函数模型的应用实例
一、函数拟合的基本过程
电脑投影屏幕。