命题逻辑习题及其参考答案
命题逻辑-习题参考解答
命题逻辑参考答案及提示1.（1）是命题，真值为1（2）不是命题（3）是命题，真值视具体情况而定（4）不是命题（5）是命题，真值为1（6）是命题，真值为1（7）是命题，真值为0（8）不是命题（9）是命题，真值视具体情况而定（10）不是命题2.（1）不是命题（2）不是命题（3）不是命题（4）是命题。
令P：所有的人都是要死的；Q：所有的人都怕死，则命题可符号化为：可表示为P∧⌝Q（5）是命题。
令P：我明天去苏州；Q：我后天去苏州，则命题可符号化为：P∨Q（6）是命题。
令P：我明天去苏州；Q：我后天去苏州，则命题可符号化为：⌝(P∨Q)（7）是命题。
令P：我明天去北京；Q：我明天去天津；R：我后天去北京；S：我后天去天津，则命题可符号化为：P∨Q∨R∨S（8）是命题。
令P：我买到飞机票；Q：我出去，则命题可符号化为：⌝P→⌝Q（9）是命题。
令P：他余款多；Q：他出门；R：他买书，则命题可符号化为：(P∧Q→R) ∧(⌝P∧Q→R)（10）是命题。
令P：你陪伴我；Q：你代我雇车；R：我去，则命题可符号化为：R↔ (P∨Q)（11）是命题。
令P：你充分考虑了一切论证；Q：你得到了可靠见解，则命题可符号化为：(P→Q)∧(Q→P)或P↔Q（12）是命题。
令P：我懂得希腊文；Q：我了解柏拉图，则命题可符号化为：(Q→P)→⌝Q （13）是命题。
令P：你去；Q：他去；R：我去，则命题可符号化为：(P→R)∧(Q→R) ∧(⌝P→R)∧(⌝Q→R)（14）是命题。
令P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里看书；S：我在家里看报，则命题可符号化为：(⌝P→Q)∧(P→(R∨S))（15）是命题。
令P：我今天进城；Q：下雨，则命题可符号化为：P→⌝Q（16）是命题。
令P：你走；Q：我留下，则命题可符号化为：P↔Q（17）是命题。
令P：某一个数是素数；Q：某一个数能被1整除；R：某一个数能被它自身整除；则命题可符号化为：P↔Q∧R3.（1）不是命题公式。
第1章 命题逻辑
习题11．下列句子中那些是命题？(1) 4是无理数.(2) 2+5＝8.(3) x+5＞3.(4) 你有铅笔吗？(5) 这只兔子跑得真快呀！(6) 请不要讲话！(7) 我正在说谎话.解：(1)(2)是命题。
(7)是悖论。
2．判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
（1）北京是中华人民共和国的首都。
（2）陕西师大是一座工厂。
（3）你喜欢唱歌吗？（4）若7+8＞18，则三角形有4条边。
（5）前进！（6）给我一杯水吧！解：(1)(2)(4)是命题，真值分别是1,0,1。
3．写出下列命题的否定式：（1）存在一些人是大学生；（2）所有的人都是要死的；（3）并非花都有香味。
解：(1) 不存在一些人是大学生。
（2）并非所有的人都是要死的；（3）花都有香味。
4．设P：我生病，Q：我去学校，符号化下列命题。
(1) 只有在生病时，我才不去学校。
(2) 若我生病，则我不去学校。
(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校。
(4) 若我不生病，则我一定去学校。
解：（1）Q→P（2）P→Q（3）P Q（4）P→Q5．设p：李平聪明，q：李平用功。
符号化下列命题。
(1) 李平既聪明又用功。
(2) 李平虽然聪明，但不用功。
(3) 李平不但聪明，而且用功。
(4) 李平不是不聪明，而是不用功。
(5) 张三或李四都可以做这件事。
解：（1）p ∧q （2）p ∧q （3）p ∧q（4）(p)∧q ，或p ∧q（5）设p ：张三可以做这件事，q ：李四可以做这件事。
命题符号化为p ∨q 。
6．设p ：天下雨，q ：我骑车上班。
符号化下列命题。
(1) 如果天不下雨，我就骑车上班。
(2) 只要天不下雨，我就骑车上班。
(3) 只有天不下雨，我才骑车上班。
(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。
(5) 如果天下雨，我就不骑车上班。
解：（1）p →q （2）p →q（3）q →p ，p →q （4）q →p ，p →q （5）p →q7．将下列命题符号化。
离散数学命题逻辑习题课
二.重言式的证明方法 方法1：列真值表。 方法2：公式的等价变换，化简成“T”。 方法3：用公式的主析取范式。 (1)证明(P→Q)→(P→(P∧ ))是重言式。 (P→Q)→(P→(P∧Q)) ))是 方法1:
P F F T T Q F T F T
P→Q
T T F T
P→(P∧Q) P→(P∧ )
本题的解题关键在于：不管开关和灯处 于什么状态，灯的状态改变当且仅当只 有一个开关的状态发生改变。因此，本 题有多解。 （a）若A=0, B=0时Y=0，则相应真值表设计如下
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 0
相应逻辑表达式为
Y = ( ¬A ∧ B ) ∨ ( A ∧ ¬B )
用异或门实现
A
=1
B
Y
（b）若A=0, B=0时Y=1，则相应真值表设计如下
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 1 0 0 1
相应逻辑表达式为
Y = ( ¬A ∧ ¬B ) ∨ ( A ∧ B )
用同或门实现
A
=1
B
Y
六. 逻辑推理 熟练掌握三种推理方法。 (1) (A∨B)→(C∧D), (D∨E)→P ⇒ A→P 1.直接推理 ⑴ (A∨B)→(C∧D) P ⑵ ¬(A∨B)∨(C∧D) T ⑴ E ⑶ (¬A∧¬B) ∨(C∧D) T ⑵ E ⑷ (¬A∨C)∧(¬B∨C)∧(¬A∨D)∧(¬B∨D) T ⑶ E ⑸ ¬A∨D T ⑷ I ⑹ A→D T⑸ E ⑺ (D∨E)→P P ⑻ ¬(D∨E)∨P T ⑺ E ⑼ (¬D∧¬E)∨P T ⑻ E ⑽ (¬D ∨P) ∧(¬E∨P) T ⑼ E ⑾ ¬D∨P T ⑽ I ⑿ D→P T ⑾ E ⒀A→P T ⑹⑿ I
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，y,(x:)L>yx 则命题的逻辑谓词公式为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束范式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取范式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(→xP∀∃在I下真值为(x)xPx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值yPx∃为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则PSwff∧R∨∧的真值∨→∧P)())Q((R))(S(为。
12. R⌝))((的主合取范式R∧Q∨Pwff→为。
13.设P（x）：x是素数，E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xPyOywff∧∀的自然语言是→∃x))(N(,y((x(。
14.谓词)),,(yxzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃(u),(,))y(zuQx(y范式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、 下列符号串是合式公式的有（ ）A 、Q P ⇔；B 、Q P P ∨⇒；C 、)()(Q P Q P ⌝∨∧∨⌝；D 、)(Q P ↔⌝。
50道经典逻辑题及答案
一、逻辑判断: 每题给出一段陈述, 这段陈述被假设是正确的, 不容置疑的。
要求你根据这段陈述, 选择一个答案。
注意, 正确的答案应与所给的陈述相符合, 不需要任何附加说明即可以从陈述中直接推出1. 以下是一则广告: 就瘘痛而言, 四分之三的医院都会给病人使用"诺维克斯"镇痛剂。
因此, 你想最有效地镇瘘痛, 请选择"诺维克斯"。
以下哪项如果为真, 最强地削弱该广告的论点?( )A. 一些名牌的镇痛剂除了减少瘘痛外, 还可减少其他的疼痛B. 许多通常不用"诺维克斯"的医院, 对那些不适应医院常用药的人, 也用"诺维克斯" C．许多药物制造商, 以他们愿意提供的最低价格, 销售这些产品给医院, 从而增加他们产品的销售额D. 和其他名牌的镇痛剂不一样, 没有医生的处方, 也可以在药店里买到"诺维克斯"正确答案:C2. 会骑自行车的人比不会骑自行车的人学骑三轮车更困难。
由于习惯于骑自行车, 会骑自行车的人在骑三轮车转弯时, 对保持平衡没有足够的重视。
据此可知骑自行车( )。
A. 比骑三轮车省力B. 比三轮车更让人欢迎C. 转弯时比骑三轮车更容易保持平衡D. 比骑三轮车容易上坡正确答案:C 解题思路: 题干已知, 不会骑自行车的人反而比会骑的人更容易学习骑三轮车, 原因是骑三轮车在转弯时需要更多地控制平衡, 由此可以推断出选项C为正确答案, 选项A、B、D与题干无关。
故选C。
3. 长久以来认为, 高水平的睾丸激素荷尔蒙是男性心脏病发作的主要原因。
然而, 这个观点不可能正确, 因为有心脏病的男性一般比没有心脏病的男性有显著低水平的睾丸激素。
上面的论述是基于下列哪一个假设的?( )。
A. 从未患过心脏病的许多男性通常有低水平的睾丸激素B. 患心脏病不会显著降低男性的睾丸激素水平C. 除了睾丸激素以外的荷尔蒙水平显著影响一个人患心脏病的可能性D. 男性的心脏病和降低睾丸激素是一个相同原因的结果正确答案:B 解题思路：题干推理过程为：有心脏病的男性的睾丸激素水平低于无心脏病的, 所以高水平的睾丸激素荷尔蒙不是男性心脏病发作的主要原因。
(完整版)命题逻辑复习题及答案
命题逻辑一、选择题（每题3分）1、下列句子中哪个是命题？ ( C )A 、你的离散数学考试通过了吗？B 、请系好安全带！C 、 π是有理数D 、 本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题？ ( C )A 、你通过了离散数学考试B 、我俩五百年前是一家C 、 我说的是真话D 、 淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( C )A 、∧B 、∨C 、 →D 、 ↔ 4、命题公式P Q ⌝→不能表述为( B )A 、P 或QB 、非P 每当QC 、非P 仅当QD 、除非P ，否则Q 5、永真式的否定是 ( B )A 、 永真式B 、永假式C 、可满足式D 、 以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式()P P Q →∧的真值为假( D )A 、P 假Q 真B 、P 假Q 假C 、P 真Q 真D 、P 真Q 假 7、下列为命题公式()P Q R ∧∨⌝成假指派的是( B )A 、100B 、101C 、110D 、111 8、 下列公式中为永真式的是 ( C )A 、()P P Q →∧B 、()P P Q ⌝→∧C 、()P Q Q ∧→D 、()P Q Q ∨→ 9、 下列公式中为非永真式的是( B )A 、 ()P P Q ∧⌝→B 、()P P Q ∨⌝→C 、()P P Q ∧⌝→D 、()P P Q ∨⌝→ 10、下列表达式错误的是( D )A 、()P P Q P ∨∧⇔B 、()P P Q P ∧∨⇔C 、()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨D 、()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 11、下列表达式正确的是( D )A 、P P Q ⇒∧B 、P Q P ⇒∨C 、()Q P Q ⌝⇒⌝→D 、Q Q P ⌝⇒→⌝)( 12、下列四个命题中真值为真的命题为( B )（1）224+=当且仅当3是奇数 （2）224+=当且仅当3不是奇数； （3）224+≠当且仅当3是奇数 （4）224+≠当且仅当3不是奇数 A 、（1）与（2） B 、（1）与（4） C 、（2）与（4） D 、（3）与（4）13、设P ：龙凤呈祥是成语，Q ：雪是黑的，R ：太阳从东方升起，则下列假命题为( A ) A 、R Q P ∧→ B 、Q P S →∧ C 、P Q R →∨ D 、 Q P S →∨14、设P ：我累，Q ：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（ B ） A 、P Q → B 、Q P ⌝→ C 、 Q P →⌝ D 、P Q ⌝→⌝15、设P ：我听课，Q ：我睡觉，则命题 “我不能一边听课，一边睡觉”的符号化为( B ) A 、P Q → B 、Q P ⌝→ C 、 Q P →⌝ D 、P Q ⌝→⌝ 提示：()P Q P Q ⌝∧⇔→⌝16、设P ：停机；Q ：语法错误；R ：程序错误，则命题 “停机的原因在于语法错误或程序错误” 的符号化为（ D ）A 、R Q P ∧→B 、P Q R →∨C 、Q R P ∧→D 、Q R P ∨→ 17、设P ：你来了；Q ：他唱歌；R ：你伴奏则命题 “如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定” 的符号化为（ D ） A 、()P Q R →∧ B 、()P Q R →→ C 、()P R Q →→ D 、()P Q R →↔ 18、在命运题逻辑中，任何非永真命题公式的主合取范式都是（ A ）A 、 存在并且唯一B 、存在但不唯一C 、 不存在D 、 不能够确定19、在命题逻辑中，任何非永假命题公式的主析取范式都是（ A ）A 、 存在并且唯一B 、存在但不唯一C 、 不存在D 、 不能够确定 20、n 个命题变元所产生互不等价的极小项项数为（ D ）A 、nB 、2nC 、2n D 、2n 21、n 个命题变元所产生互不等价的极大项项数为（ D ）A 、nB 、2nC 、2n D 、2n二、填充题（每题4分）1、设P ：你努力，Q ：你失败，则 “虽然你努力了，但还是失败了” 符号化为Q P ∧.2、设P ：它占据空间，Q ：它有质量，R ：它不断运动，S ：它叫做物质， 则 “占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”符号化为R Q P S ∧∧↔.3、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种.4、推理规则()A A B B ∧→→的名称为假言推理.5、推理规则()B A B A ⌝∧→→⌝的名称为拒取式.6、推理规则()A A B B ⌝∧∨⇒的名称为析取三段论.7、推理规则()()A B B C A C →∧→⇒→的名称为前提三段论.8、当赋予极小项足标相同的指派时，该极小项的真值为1，当赋予极大项足标相同的指派时，该极大项的真值为0.9、任意两个不同极小项的合取式的真值为0，而全体极小项的析取式的真值为1. 10、任意两个不同极大项的析取式的真值为1，而全体极大项的合取式的真值为0. 11、n 个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为22n. 12、n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为22n .三、问答题（每题6分）1、设A 、B 是任意命题公式，请问,A B A B →⇒分别表示什么？其有何关系？ 答：A B →表示A 蕴含B ，A B ⇒表示A 永真蕴含B ； 其关系表现为：若A B →为永真式，则有A B ⇒.2、设A 、B 是任意命题公式，请问,A B A B ↔⇔分别表示什么？其有何关系？ 答：A B ↔表示A 等值于B ，A B ⇔表示A 与B 逻辑等价； 其关系表现为：若A B ↔为永真式，则有A B ⇔.3、设A 、B 、C 是任意命题公式，若A C B C ∨⇔∨ ，则A B ⇔成立吗？为什么？ 答：不一定有A B ⇔；若A 为真，B 为假，C 为真，则A C B C ∨⇔∨成立，但A B ⇔不成立.4、设A 、B 、C 是任意命题公式，若A C B C ∧⇔∧ ，则A B ⇔成立吗？为什么？ 答：不一定有A B ⇔；若A 为真，B 为假，C 为假，则A C B C ∧⇔∧成立，但A B ⇔不成立. 5、设A 、B 是任意命题公式，()A A B B ∧→→一定为真吗？为什么？答：一定为真；因()()()()A A B B A A B B A A A B B ∧→→⇔∧⌝∨→⇔∧⌝∨∧→()F A B B A B B T ⇔∨∧→⇔∧→⇔.（用真值表也可证明）6、设A 、B 是任意命题公式，()()A B A B A →∧→⌝↔⌝一定为真吗？为什么？ 答：一定为真；因()()()()()A B A B A B A B A B B →∧→⌝⇔⌝∨∧⌝∨⌝⇔⌝∨∧⌝ A F A ⇔⌝∨⇔⌝.（用真值表也可证明）四、填表计算题（每题10分）1、对命题公式 ()()A p q p q =⌝→∧∨，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q p q → ()p q ⌝→p q ∨A 00 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 111 0 1主析取范式(2)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,3)A ⇔∏.2、对命题公式 ()A p q r =→↔，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q r p q → A 00 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 11111主析取范式(1,3,4,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,2,5,6)A ⇔∏.3、对命题公式 ()()A p q p r =∧∨∧，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q r p q ∧ p r ∧ A 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 111111主析取范式(5,6,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,2,3,4)A ⇔∏.4、对命题公式()()A p q p r =⌝→∧→，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：主析取范式(2,3,5,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,4,6)A ⇔∏.5、对命题公式()A p q r =⌝∨⌝→，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：主析取范式(1,3,5,6,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,2,4)A ⇔∏.五、证明题（每题10分）1、证明下列逻辑恒等式：()()()P Q R Q P R Q →∧→⇔∨→. 证明 ： 左()()()P Q R Q P R Q ⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∧⌝∨()P R Q P R Q ⇔⌝∨∨⇔∨→⇔右.（用真值表也可证明） 2、证明下列逻辑恒等式： P Q R R Q P ⌝∧⌝→⌝⇔→∨. 证明：左()P Q R P Q R ⇔⌝⌝∧⌝∨⌝⇔∨∨⌝()R Q P R Q P ⇔⌝∨∨⇔→∨⇔右.（用真值表也可证明）3、证明下列逻辑恒等式：()()()P Q P Q P Q ⌝↔⇔∨∧⌝∧. 证明：左()()()()()P Q P Q P Q P Q ⇔⌝∨⌝∧⌝∨⇔⌝∨⌝∨⌝⌝∨()()()()()()Q Q P Q Q P P P Q P Q P ⌝∨∧∨∧⌝∧⌝∧⌝∨⇔⌝∧∨∧⌝⇔()()⇔⌝∨⌝∧∨⇔Q P Q P ()()P Q P Q ∨∧⌝∧右⇔.（用真值表也可证明）4、用逻辑推理规则证明： ()a b c ∧→ ，d ⌝ ，c d ⌝∨ ⇒ a b ⌝∨⌝ . 证明:(1) c d ⌝∨ P(2) d ⌝ P(3)c ⌝ T (1),(2) (析取三段论) (4) ()a b c ∧→ P(5)()a b ⌝∧ T (3)，(4) (拒取式) (6) a b ⌝∨⌝ T (5) (德.摩根律) . 5、用逻辑推理规则证明： , ,p q p s s r r q ∨→→⇒⌝→. 证明: (1) p s → P(2) s r → P (3) p r → T (1),(2) (前提三段论) (4)r p ⌝→⌝ T (3) (逆反律) (5)p q ∨ P (6)p q ⌝→ T (5) (蕴含表达式)(7)r q ⌝→ T (4)，(6) (前提三段论) .6、用逻辑推理规则证明：p q →，p r ∧， q r ⌝∨，r ⌝，s p s ⌝∨⇒⌝. 证明: (1) r ⌝ P(2) q r ⌝∨ P(3) q ⌝ T (1),(2) (析取三段论) (4)p q → P(5) p ⌝ T (3)，(4) (拒取式) (6) s p ⌝∨ P(7) s ⌝T (5)，(6) (析取三段论) .7、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ⌝→→⌝∨，()q p r →∨⌝， r p q ⇒↔. 证明: (1) r P(2) ()q p r →∨⌝ P(3) q p → T (1),(2) (析取三段论) (4) r s ∨ T (1) (加法式)(5) ()()p q r s ⌝→→⌝∨ P (6) p q → T (4)，(5) (拒取式) (7) ()()p q q p →∧→ T (3)，(6) (合取式) (8) p q ↔ T (7) (等值表达式) .8、用逻辑推理规则证明： , ,s p p r q r s q ⌝∨→∧⇒→.证明: (1) s P(2) s p ⌝∨ P(3) p T (1),(2) (析取三段论)(4) p r q →∧ P(5) r q ∧ T (3)，(4) (假言推理) (6) q T (5)（简化式） (7) s q → CP . 9、用逻辑推理规则证明：()()p q r p q r ∨→⇒∧→ 证明：(1) p q ∧ P (附加前提)(2) p T (1)（简化式）(3) p q ∨ T (2)（加法式） (4) ()p q r ∨→ P(5) r T (3),(4)（假言推理） (6) ()()p q r p q r ∨→⇒∧→ CP .10、用逻辑推理规则证明：,,p q q r r s p s ⌝∨⌝∨→⇒→. 证明：（1）p P (附加前提)(2) p q ⌝∨ P(3) q T (1)，(2) (析取三段论) （4）q r ⌝∨ P(5) r T (3)，(4) (析取三段论) (6) r s → P(7) s T (5)，(6) （假言推理） (8) p s → CP .11、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ∨→∧，()r s t p t ∨→⇒→ . 证明：（1）p P (附加前提) (2)p q ∨ T (1)（加法式） (3)()()p q r s ∨→∧ P(4)r s ∧ T (2)，(3)（假言推理） (5)r T (4)（简化式） (6)r s ∨ T (5)（加法式）(7)()r s t ∨→ P (8)t T (6)，(7)（假言推理）(9)p t → CP . 12、用逻辑推理规则证明：(),,t w s q s t s q t →⌝→⌝⌝∨→⌝⇒→ 证明：（1）q P (附加前提)(2) q s ⌝∨ P(3) s T (1)，(2) (析取三段论)(4) ()t w s →⌝→⌝ P(5)()t w ⌝→⌝ T (3)，(4) (拒取式) (6)()t w ⌝⌝∨⌝ T (5) (蕴含表达式) (7) t w ∧ T (6) (德.摩根律) (8) t T (7) (简化式)(9)q t → CP .13、用逻辑推理规则证明：a b c →∧，()e f c →⌝→⌝，()b a s →∧⌝⇒b e →. 证明：（1） b P (附加前提) （2）()b a s →∧⌝ P(3) a s ∧⌝ T (1)，(2) （假言推理） (4) a T (3) (简化式) (5) a b c →∧ P(6) b c ∧ T (4)，(5) （假言推理）(7) c T (6) (简化式) (8)()e f c →⌝→⌝ P(9) ()e f ⌝→⌝ T (7)，(8) (拒取式) (10)()e f ⌝⌝∨⌝ T (9) (蕴含表达式) (11) e f ∧ T (10) (德.摩根律) (12) e T (11) (简化式) (13) b e → CP .14、用逻辑推理规则证明：p q →，p q q ⌝→⇒. 证明：(1) q ⌝ P (附加前提) (2) p q → P(3) p ⌝ T (1),(2) (拒取式) (4) p q ⌝→ P(5) q T (3),(4) (假言推理)(6) q q ⌝∧ T (1),(5) (合取式)由（6）得出矛盾式，故原命题有效.15、用逻辑推理规则证明： p q ∧ ，()()p q t s ↔→∨ ⇒ t s ∨ . 证明:（1）()t s ⌝∨ P (附加前提)(2) ()()p q t s ↔→∨ P(3)()p q ⌝↔ T (1),(2) (拒取式) (4) (()())p q p q ⌝⌝∨∧∨⌝ T (3)（等值与蕴含表达式） (5) ()()p q p q ∧⌝∨⌝∧ T (4) (德.摩根律)(6) ()()p q p q ⌝∨⌝∧∨ T (5) (结合律或范式等价) . (7) p q ⌝∨⌝ T (7) (简化式) (8) ()p q ⌝∧ T (4) (德.摩根律) (9) p q ∧ P(10) ()()p q p q ⌝∧∧∧ T (9),(10) (合取式) 由（10）得出矛盾式，故原命题有效.16、用逻辑推理规则证明：p q →，p r ∧， ()q r ⌝∨不能同时为真. 证明：(1) p r ∧ P(2) p T (1) (简化式) (3) p q → P(4) q T (2),(3) (假言推理) (5) ()q r ⌝∨ P(6) q r ⌝∧⌝ T (5) (德.摩根律) (7) q ⌝ T (6) (简化式) (8) q q ⌝∧ T (4),(7) (合取式)由（8）得出矛盾式，故原命题有效.17、证明下列命题推得的结论有效：或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑并不难学.因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学. 证明：设p ：逻辑难学；q ：有少数学生不喜欢逻辑学；r ：数学容易学.该推理就是要证明：, p q r p q r ∨→⌝⇒⌝→⌝. (1) p q ∨ P(2) p q ⌝→ T (1) (蕴含表达式) (3) r p →⌝ P(4) r q → T (2),(3) (前提三段论)(5) q r ⌝→⌝ T (4) (逆反律) .18、证明下列命题推得的结论有效：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验；如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验；今天是星期三且离散数学老师有事.所以，我有一次数字逻辑测验.证明：设p ：今天是星期三；q ：我有一次离散数学测验；r ：我有一次数字逻辑测验；s ：离散数学课老师有事. 该推理就是要证明：(), , p q r s q p s r →∨→⌝∧⇒. (1) p s ∧ P(2) p T (1) (简化式) (3) s T (1) (简化式) (4) s q →⌝ P(5) q ⌝ T (3) ，(4) （假言推理）(6) ()p q r →∨ P(7) q r ∨ T (2) ，(6) （假言推理）(8) r T (5) ，(7) (析取三段论) .19、证明下列命题推得的结论有效：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑.所以，羊不吃草。
命题逻辑习题及答案
习题1l．判断下列语句是否命题。
若是，请给出命题的真值。
(1) 离散数学是计算机专业的必修课。
(2) 2是无理数。
(3) 我正在说谎话。
(4) 今天天气好热呀!(5) 整数3 能被2 整除。
(6) 下午开会吗？(7) 三角形有三条边，当且仅当5是素数。
(8) 马有四条腿。
(9) 雪是白的当且仅当太阳从东方升起。
(10) 9+2≤10。
(11) 如果1+1=2，则2+3=5。
(12) 鲁迅获得过诺贝尔文学奖。
解答：(1) 是命题，T。
(2) 是命题，F。
(3) 不是命题。
(4) 不是命题。
(5) 是命题，F。
(6) 不是命题。
(7) 是命题，T。
(8) 是命题，T。
(9) 是命题，T。
(10) 是命题，T/F。
(11) 是命题，T。
(12) 是命题，F。
2．将下列命题符号化。
(1) 太阳高照且气温不高。
(2) 如果明天下雨，我就乘公交车上班。
(3) 我买电脑，仅当我有钱。
(4) 虽然天气很好，老吴还是不来。
(5) 王明不但学习好而且还有运动天赋。
(6) 明天他在广州，或在深圳。
(7) 若两个圆面积相等，则半径相等，反之亦然。
(8) 打印机既可作为输入设备，又可作为输出设备。
(9) 只有我不复习功课, 我才去看电影。
(10) 如果a和b是奇数，则a+b不是奇数。
解答：(1) 设P：太阳高照；Q：气温不高。
则命题可符号化为：P∧Q。
(2) 设P：明天下雨；Q：我乘公交车上班。
则命题可符号化为：P→Q。
(3) 设P：我买电脑；Q：我有钱。
则命题可符号化为：P→Q。
(4) 设P：天气很好；Q：老吴来。
则命题可符号化为：P∧⌝Q。
(5) 设P：王明学习好；Q：王明有运动天赋。
则命题可符号化为：P∧Q。
(6) 设P：明天他在广州；Q：明天他在深圳。
则命题可符号化为：P∨Q。
(7) 设P：两个圆面积相等；Q：两个圆半径相等。
则命题可符号化为：P↔Q。
(8) 设P：打印机可作为输入设备；Q：打印机可作为输出设备。
逻辑推理50题解析
灵犀整理经典逻辑题及原创解析1、通过调查得知，并非所有的个体商贩都有偷税、逃税行为。
如果上述调查的结论是真实的，则以下哪项一定为真（）：A.所有的个体商贩都没有偷税、逃税行为。
B.多数个体商贩都有偷税、逃税行为。
C.并非有的个体商贩没有偷税、逃税行为。
D.有的个体商贩确实没有偷税、逃税行为灵犀解析：全称肯定命题否定为特称否定命题，正确答案为D。
2、在下列四个选择中，与其他三项意见差别最大的一项是（）。
A.没有事物是不运动变化的B.不运动变化的事物是不存在的C.凡事皆变D.不运动变化的事物不是不可能的灵犀解析：正确答案D。
ABC皆等价于所有事物都是变化运动的，只有D等价于可能有事物是运动变化的。
3、这个单位已发现有育龄职工违纪超生。
如果上述断定是真的，那么在下述三个断定中不能确定真假的是（）Ⅰ这个单位没有育龄职工不违纪超生。
Ⅱ这个单位有的育龄职工没违纪超生。
Ⅲ这个单位所有的育龄职工都未违纪超生。
A.只有Ⅰ和Ⅱ。
B.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
C.只有Ⅰ和Ⅲ。
D.只有Ⅱ。
E.只有Ⅰ。
灵犀解析：正确答案A。
题干标准表达式为本单位有些育龄职工违纪超生，那么Ⅰ是所有育龄职工都违纪超生，无法判断，Ⅱ是有的没有超生，也无法判断，Ⅲ是所有育龄职工都没有违纪超生，显然和题干矛盾，是错误的。
综上，不能确定真假的只有Ⅰ和Ⅱ，选A。
4、人的行为，分为私人行为和社会行为，后者直接涉及他人和社会利益。
有人提出这样的原则：对于官员来说，除了法规明文允许的以外，其余的社会行为都是禁止的；对于平民来说，除了法规明文禁止的以外，其余的社会行为都是允许的。
如果实施上述原则能对官员和平民的社会行为产生不同的约束力，则以下各项断定均不违反这一原则，除了（）A．一个被允许或禁止的行为，不一定法规明文允许或禁止的。
B．有些行为，允许平民实施，但禁止官员实施。
C．有些行为，允许官员实施，但禁止平民实施。
D．官员所实施的行为，如果法规明文允许，则允许平民实施。
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1．某地发生一起刑事案件，经过公安人员的努力侦破，作案嫌疑人锁定在Ａ、B、Ｃ三人中，并且摸清了以下情况：①只有０１号案件成功告破，才能确认Ａ、Ｂ、Ｃ三人都是作案人。
②目前，０１号案件还是一起悬案。
③如果Ａ不是作案人，那么Ａ的供词是真的，但Ａ说自己与Ｂ都不是作案人。
④如果Ｂ不是作案人，那么Ｂ的供词也是真的，但Ｂ说自己与Ｃ是好朋友。
⑤现已查明Ｃ根本不认识Ｂ。
根据上述线索，问：Ａ、Ｂ、Ｃ三人中谁是作案人？解：令p：０１号案件成功告破；q、r、s分别表示A、B、C作案；t：B与Ｃ是好朋友。
据题意有：1. {1} ┐p→┐（q∧r∧s）P2. {2} ┐p P3. {3} ┐q→（┐q∧┐r）P4. {4} ┐r→t P5. {5} ┐t P6. {4.5} r T4.5否定后件7. {1.2} ┐（q∧r∧s）T1.2肯定前件8. {1.2} ┐q∨┐r∨┐s T7德摩根9. {1.2.3} q T3.6否定后件10. {1.2.3.4.5} q∧r P6.9组合式答：AB作案，至于C尚待侦查。
2．综合分析题（要求写出推导过程）：某班有学生61人，下面有三句话：①该班有些学生会使用计算机。
②该班有些学生不会使用计算机。
③该班班长不会使用计算机。
已知上述三句话中，只有一句话是真的，试问：哪一句话是真话？该班有多少学生会使用计算机？解：①②分别为I命题和O命题，二者是下反对关系，必有一真，或许都真；但据题设只有一句真话，可知③为假，真实情况是班长会使用计算机。
既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的，而第二句话就是假的。
O命题假，根据矛盾关系可知，A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真，所以，全班61个学生都会计算机。
3．下面有三句话：①如果甲是篮球队员，则乙就是足球队员。
②如果乙是足球队员，则甲就是篮球队员。
③甲不是篮球队员。
已知上述三句话中只有一句话是真话，问：甲是不是篮球队员？乙是不是足球队员？哪一句话是真话？（要求写出推导过程）解：令p表示“甲是篮球队员”，q表示“乙是足球队员”，再令③即“┐p”真，据题设有：①{1} ┐（p→q）P②{2} ┐（q→p）P③{3} ┐p P④{1} p∧┐q T①等值关系⑤{1} p T④合取分解⑥{1.3} p∧┐p T③⑤合取组合⑦{1} p T归谬③⑥⑧{2} q∧┐p T②等值关系⑨{2} ┐p T⑧合取分解⑩{1.2} p∧┐p T⑦⑨合取组合⑾{1} （q→p）归谬②⑩可见：第二句话为真，一三两句为假。
甲为篮球队员为真，但并非“甲为篮球队员，乙就是足球队员”，但“如果乙是足球队员，则甲是篮球队员”。
4．已知下列三个命题中只有一个命题为假, 问:哪一句话是假话？该班51名学生中有多少人是团员？(要求写出推导过程)(1) 该班所有的学生是团员。
(2) 该班所有的学生不是团员。
(3) 该班班长不是团员。
解：(1)(2)为上反对关系，必有一假，据题设，(3)即“该班班长不是团员”就为真，由此可知(1)为假(矛盾关系)；据题设，(1)假，(2)真，实际情况是该班51人都非团员。
5．证明：如果同时肯定下列三个命题，则违反了矛盾律要求（1）PES（2）MOP →SIP（3）SIM证明：(4) SEP T(1)换位(5) 并非SIP T(4)矛盾对当关系(6) 并非MOP T(2)(5)否定后件(7) MAP T(6)矛盾对当关系(8) SIP T(3)(7)直言三段论(9) SIP且并非SIP T(5)(8)合取组合(10) 并非((1)∧(2)∧(3)) 归谬6．已知①非（Ａ→Ｂ）←（Ｃ∧非Ｄ）②Ａ→Ｃ③Ｃ→Ｂ求证：Ａ→Ｄ证明：④A→Ｂ T②③假言三段论⑤并非(Ｃ∧非Ｄ） T①④否定前件⑥非C∨D T⑤德摩根⑦C→ＤT⑤蕴涵否析⑧Ａ→ＤT②⑦假言三段论7．已知：①A→（B∨C）②非B→A③非（D→B）④非D ←非E求证：E∧C证明：⑤B∨A T②蕴涵否析⑥D∧非B T③蕴涵否定等值关系⑦非B T⑥组合分解⑧D T同上⑨E T④⑧否定前件⑩A T⑤⑦否定肯定⑾B∨C T①⑩肯定前件⑿C T⑦⑾否定肯定⒀E∧C T⑨⑿合取组合12．用选言法证明：小前提为O命题的有效三段论必定是第二格三段论。
证明：先构成小前提为O命题的选言支，其大小前提的组合情况有下面几种：1）AO，2）EO，3）IO，4）OO。
而其中3）和4）都是两个特称的前提，根据规则6，推不出；2）为两个否定，据规则3也推不出。
这样就只有1）AO组合能满足要求。
这个组合有两次周延的机会，由于有O命题作为前提，结论是否定的，则大前提在结论中是周延的，因而（据规则2）要求大项在结论中周延；而大项要在A命题中周延，大项必须是全称命题的主项，因而，大前提为PAM。
再者，中项必须周延一次（规则1），所以，小前提中的小项就不可能周延了，它一定是O命题的主项，即小前提是SOM。
综上该有效三段论就为第二格，如下所示：PAM 图aSOMSOP13．用反证法证明：有效的第四格三段论的大小前提都不能是O命题。
先作出第四格的图式如下：P——M 图bM——SS——P证明：1）令大前提为POM。
这样结论就是否定的，因而，结论中P周延，然前提中它并不周延，违背了三段论规则2，所以，大前提不能是O命题；2）再令小前提为MOS，同理，大项（否定命题的谓项）结论中周延，要求大词前提中周延，大项也该在前提中周延，这样大前提就该是PAM或者PEM。
而小前提为否定的，则大前提不能为PEM，因为两个否定的命题推不出（规则3），这样大前提就只能是PAM，则大前提中的中项（肯定的谓项）不周延，必须在小前提中周延，这样小前提就因该是全称命题，与假定矛盾。
所以小前提不能是O命题。
14．证明：若有效的第四格三段论的小项在结论中周延，则该三段论必为AEE。
证明：第四格如图b所示，小项在结论中周延，则要求它在前提中周延，那么根据S在前提中谓项的位置，它只可能在小前提为否定命题的时候才能满足；但，这样就只能得出否定的结论，而否定的结论中大项就是周延的，因而，大前提中大项也应周延，大前提中主项上的大项P要得以周延，只可能是全称命题PAM或PEM才有机会；PEM淘汰，因为小前提是否定的。
大前提只可能是PAM了，而M在此并没有周延，因此，要求M在下面的小前提中周延，所以，小前提只能是全称否定命题MES。
也只有如此，结论才可以得到SEP 的结论。
15．已知某有效三段论的小前提是否定命题，求证：该三段论的大前提只能是全称肯定命题。
证明：小前提否定的，结论就是否定的，则，大项在结论中周延，因而大项在前提中也要周延；大前提如果是否定的则违反规则3，所以大前提为肯定命题。
又因I命题主词谓词均不周延，大前提就只能是A命题，大词处于主项位置，具体形式该为PAM。
16．已知：（1）A真包含于B。
（2）有C不是B。
（3）若C不真包含A，则C真包含于A。
请问：A与C具有什么关系？请写出推导过程，并用欧拉图将A、B、C三个概念在外延上可能具有的关系表示出来。
推理：（1）所有A是B P（2）有C不是B P（3）若有C不是A，则所有C是A P（4）有C不是A T(1)(2)三段论（5）所有C是A T(3)(4)肯定前件图c17．某排球队有1、3、4、6、9和12号等六名主力队员。
他们之间的最佳配合有以下规律：（1）要是4号上场，6号也要上场。
（2）只有1号不上场，3号才不上场。
（3）要么3号上场，要么6号上场。
（4）如果9号和12号同时上场，则4号也要上场。
某场比赛需要1和12号同时上场。
问：为了保持最佳阵容，这场比赛中，9号该不该上场？（要求写出导过程。
）解：1. {1} 4→6 P2. {2} 1→3 P3. {3} （3∧┐6）∨（┐3∧6） P4. {4} (9∧12) →4 P5. {5} 1∧12 P6. {5} 1 T5分解7. {5} 12 T5分解8. {2.5} 3 T2.7肯定前件9. {2.3.5} ┐6 T3.9肯定否定10. {1.2.3.5} ┐4 T1.9否定后件11. {1.2.3.4.5} ┐（9∧12） T4.10否定后件12. {1.2.3.4.5} ┐9∨┐12 T11德摩根13. {1.2.3.4.5} ┐9 T7.12否定肯定答：由此可知9没有上18．某商店被盗，员工甲、乙、丙、丁涉嫌被调查。
甲：我没有作案，作案的是乙。
乙：我和丙都没有作案。
丙：除非甲作案，否则乙不会作案。
丁：甲和丙中至少有一人作案。
已知这四句话中只有一句为真，问到底是谁作案？谁说的是真话？（要求写出推导过程。
）解：这是个典型的找矛盾的题，只要找到矛盾的说法肯定其中就有个是对的，而余下的其他人的说法就是错的，这样就能解开谜团。
我们用甲乙丙丁分别表示四个嫌疑人作案，他们几个的供词如下：甲：┐甲∧乙乙：┐乙∧┐丙丙：┐甲→┐乙丁：甲∨丙分析：甲：“没有甲乙也会作案”，而甲说：“没有甲乙就不会作案”；显然甲和丙的话是矛盾的，必有一真，据题设只有一句真话，那么乙和丁的话就不可能真，而真实的情况该是“并非（┐乙∧┐丙）”（a），“并非（甲∨丙）”（b）。
从（a）可知或乙或丙作案（乙∨丙），从（b）甲和丙都没有作案，即（┐甲∧┐丙）。
从（b）知道乙没有作案（┐丙）（c）；甲也没有作案（┐甲）（d）。
既然如此，据（a）（c），那就是乙作案了（乙）（e）。
据（d）（e）得知“┐甲∧乙”为实情，甲说的是真话，那么丙说的就是假话了。
19．A、B、C三人从政法大学毕业后，一个当上了法官，一个当上了检察官，另一个人做了律师。
但究竟谁具体做什么工作，人们开始并不清楚，于是作出了如下测: 甲：A做了律师，B做了法官。
乙：A做了法官，C做了律师。
丙：A做检察官，B做了律师。
后来证实，甲、乙、丙三人的猜测都只是对了一半。
请问：A、B、C三人各担任什么具体司法工作？（要求写出推导过程。
）解：设甲的前半句话为真，即“A是律师”，则乙的猜测完全错了，故“A是律师”为假，甲的后半句话为真，即“B是法官”。
“B是法官”为真，则丙的后半句话为假，其前半句话为真，即“A是检察官”。
“A是检察官”为真，则乙的前半句话为假，其后半句话为真，“C是律师”。
20．已知下面三句话中两真一假，试说明甲和乙至少有一人是电工。
（1）如果丙不是木工，那么甲是电工。
（2）如果丁不是木工，那么乙是电工。
（3）丙和丁都是木工。
解：通常做这类题关键在于找相互矛盾的命题，找到这对矛盾的命题就好办了，矛盾的命题是必有一真必有一假的，所以这个假的命题一定在其中；按题意则余下的那个命题就是真的了。
你可以来找找！但，今天这个题有些特别，我们得换一个思路。
我用下标m表示某人是木工，下标d表是电工：1. {1} ┐丙m→甲d P2. {2} ┐丁m→乙d P3. {3} 丙m∧丁m P4. {4} ┐甲d∧┐乙d P（假设甲乙都非电工，如果有矛盾就证明至少为d）5. {4} ┐甲d T4分解6. {4} ┐乙d T4分解7. {1.4} 丙m T1.5否定后件8. {2.4} 丁m T2.6否定后件9. {1.2.4} 丙m∧丁m T7.8组合这样一来就没有一个为假的命题了，与题设不相符合，所以第4行的引入不能满足该题条件，用归谬律将4归谬，所以证明：┐（┐甲d∧┐乙d），即：甲d∨乙d21．已知下列三句话一真两假，问：甲、乙、丙、丁的名次如何排定？（1）若乙第二，则甲第一。