2018年上海市松江区高考数学一模试卷
2018-2019学年上海市松江区高三一模试卷
松江区2018学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2018.12考生注意：1. 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分。
2. 答题前，务必在答题纸上填写座位号和姓名。
3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 设集合{}|1A x x =>，|03x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = .2. 若复数z 满足()3443i z i -=+，则||z = .3. 已知函数()y f x =的图像与函数()0,1x y a a a =>≠的图像关于直线y x =对称，且点()4,2P 在函数()y f x =的图像上，则实数a = .4. 已知等差数列{}n a 的前10和为30，则14710a a a a +++= .5. 若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为 . 6. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 .7. 若向量a ，b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 与b 夹角为 . 8. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()226c a b =-+，3C π=。
则△ABC的面积= . 9. 若函数()()|lg 10sin 0|x x f x xx ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对. 10. 已知A ，B ，C 是单位圆上三个互不相同的点，若||||AB AC =，则AB AC ⋅的最小值是 .11. 已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题：①线段AB 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭； ②A 、B 两点间的距离为()()221212x x y y -+-； ③向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是 .（请写出所有真命题的序号）12. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和()()114f x f x +⋅-=对任意的x R ∈都成立，若当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，则当[]100,100x ∈-时，函数()f x 的值域为 . 二、选择题（本大题满分20分）13. 过点()0,1且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）220x y -+= （D ）210x y --= 14. 若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b >⎧⎨>⎩的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件15. 将函数()2sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4x x π∈，则12x x 的最大值为（ ） （A ）9 （B ）375（C ）3 （D ）1 16. 对于平面上一点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){}|,1D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）（A ）36 （B ）3633- （C ）36π+ （D ）3633π-+三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知向量()3sin ,1a x =，()cos ,1b x =-. （1）若∥a b ，求tan 2x 的值；（2）若()()f x a b b =+⋅，求函数()f x 的最小正周期及当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最大值.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数()221x f x a =-+（常数a R ∈） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[]2,3x ∈，都有()2xmf x ≥成立，求m 的最大值.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%。
最新上海市2018届高三一模数学试卷(含答案)
高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 方程lg(34)1x +=的解x =2. 若关于x 的不等式0x a x b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示）9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}n nb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞ 16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ） A. 恒为偶数 B. 恒为奇数 C. 不超过2017 D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小；（用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2A n A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m =⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费 用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214yx+=的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为25，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点；（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标M y的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；。
2018年上海市松江区高考数学一模试卷
2018年上海市松江区高考数学一模试卷2018年上海市松江区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算：= ．2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= ．3．（4分）已知{an }为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= ．4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= ．5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于．6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是．7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是．8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= ．9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．21．（18分）已知有穷数列{an }共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{an}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由．2018年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算：= ．【解答】解：==，故答案为：，2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．3．（4分）已知{an }为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则：2=，解得：a=3．故答案为：3．5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=（）﹣1=2．故答案为：27．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=，，，，故答案为：4．8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得 a=0，故答案为 0．9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B（10x，0），C（0，10y），若=，=4，则M（5x，5y），N（2x，8y），由题意△ABC的面积为1，可得50xy=1，=10x2+40y2≥2xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，就是x|2x﹣a|=1，即|2x ﹣a|=有三个解，令y=|2x﹣a|，y=，可知y=，画出两个函数的图象，如图：x，y=，y′==﹣2，解得x=，x=﹣（舍去），此时切点坐标（，），代入y=a﹣2x可得，a==2，函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．11．（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【解答】解：，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．12．（5分）已知数列{an }的通项公式为an=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，则实数q的取值范围为（﹣，0）．【解答】解：由an =2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故an＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，an≠0．当﹣＜q＜0时，a2n =|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{an }的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f（x1）﹣f（x2）=0”，“f（x1）﹣f（x2）=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，∴“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的充分而不必要条件．故选：A．15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1] D．[1，+∞）【解答】解：存在x∈[0，+∞）使成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1] C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y≥0时，x=y﹣2；y＜0时，x=﹣y﹣2，∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y﹣2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，∴△＞0，2是方程的根，∴＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3，所以：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，解得：BC=3．（2）在△ABC中，BA=6，AC=3，BC=3，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：=．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=1（x≠0）满足f（﹣x）=f（x），此时f（x）为偶函数；当a≠0时，函数f（a）=0，f（﹣a）=2，不满足f（﹣x）=f（x），也不满足f（﹣x）=﹣f（x），此时f（x）为非奇非偶函数；（2）当a＞0时，若x∈（0，a），则，为减函数；若x∈（a，+∞），则，为增函数；故f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），∵p（2）=400﹣k（10﹣2）2=272，∴k=2．∴p（t）=．∴p（6）=400﹣2（10﹣6）2=368；（2）由，可得Q=，当2≤t＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x，y），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3），，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣==﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．21．（18分）已知有穷数列{an }共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{an}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由．【解答】解：（1）有穷数列{an }共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．m=5，a1=1，a5=3，则满足条件的数列{an}有：1，2，4，7，3和1，0，2，﹣1，3．证明：（2）必要性若{an}为递增数列，由题意得：a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a64﹣a63=63，∴a64﹣a1==2016，∵a1=2，∴a64=2018．充分性由题意|an+1﹣an|=n，1≤n≤63，n∈N*，∴a2﹣a1≤1，a3﹣a2≤2，…，a64﹣a63≤63，∴a64﹣a1≤2016，∴a64≤2018，∵a64=2018，∴an+1﹣an=n，1≤n≤63，n∈N*，∴{an}是增数列，综上，数列{an }为递增数列的充要条件是a64=2018．解：（3）由题意得a2﹣a1=±1，a3﹣a2=±2，…，am﹣am﹣1=±（m﹣1），假设am =b1+b2+b3+…+bm﹣1，其中，bi∈{﹣i，i}，（i∈N*，1≤i≤m﹣1），则（am ）min=﹣1﹣2﹣…﹣（m﹣1）=﹣．若an中有k项，，，…，取负值，则有am =（am）max﹣（+++…+），（*）∴am 的所有可能值与（am）max的差必为偶数，下面用数学归纳法证明an可以取到﹣与之间相差2的所有整数，由（*）知，只需从1，2，3，…，m﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到2从1到的所有整数值即可，当m=2时，成立，当m=3时，从1，2中任取一项或两项相加，可以得到从1，2，3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，②假设m=k（k≥3，k∈N*）结论成立，即从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，则当m=k+1时，由假设，从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k，可得，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k﹣2，可得，将1，2，3，…，k﹣1，k全部相加，可得，故命题成立，所有可能的取值共有：=个．∴am。
(最新整理)2018高三“一模”数学试题汇编(函数)
2018高三“一模”数学试题汇编(函数)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高三“一模”数学试题汇编(函数)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高三“一模”数学试题汇编(函数)的全部内容。
2018上海各区高三“一模”数学试题分类(函数）一、填空题： 1．若全集，集合，则U R ={}02A x x x =≤≥或U C A = 2．设集合，,则{2,3,4,12}A ={}0,1,2,3B =A B = 3．已知集合，，若，则{}1,2,5A ={}2,B a ={}1,2,3,5A B = a =4．已知全集，集合，集合，则U N ={}1,2,3,4A ={}3,4,5B =()U C A B = 5．设全集，集合，，则U Z ={}1,2M ={}2,1,0,1,2P =--()U P C M = 6．已知函数，，若，则实数{}2,3A ={}1,2,B a =A B ⊆a =7．已知集合,，则{}03A x x =<<{}24B x x =≥A B = 8．已知集合,，若，则实数{}1,2,A m ={}3,4B ={}3A B = m =9．函数的定义域是()lg(2)f x x =-10．函数的定义域为()f x =11．若行列式，则 124012x -=x =12．不等式的解为 10x x-<13．不等式的解集是 11x<14．不等式的解集是 211x x +>+15．不等式的解集是 2433(1)12(2x x x --->16．不等式的解集为 111x ≥-17．已知是定义在上的奇函数，则()f x R (1)(0)(1)f f f -++=18．已知函数的反函数为，则()21f x x =-1()f x -1(5)f -=19．若函数的反函数的图像经过点，则 ()f x x α=11(,)24a =20．方程的解222log (2)log (3)log 12x x -+-=x =21．已知函数的反函数为，则,则实数2()log ()f x x a =+1()y f x -=1(2)1f -=a =22．已知函数是奇函数，当时,，且，则()y f x =0x <()2x f x ax =-(2)2f =a =23．已知函数，是函数的反函数，若的图像()1log a f x x =+1()y f x -=()y f x =1()y f x -= 过点，则实数的值是(2,4)a 24．已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，()f x R 4[2,4]x ∈43()log ()2f x x =- 则 1(2f =25．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，()y f x =R [0,)+∞(1)(4)f a f +≤ 则实数的取值范围是a 26．已知，函数在区间上有最小值,且有最大值为13a >()lg(1)f x x a =-+[0,31]a -0，则实数的取值范围是lg(1)a +a 27．若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 1(1)(1)31n na n +--⋅<++n a 28．若不等式对满足的任意实数恒成立，则实数的最大值222()x y cx y x -≤-0x y >>,x y c 为29．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是()21f x x x a =--a 30．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩a 31．定义，已知函数、的定义域都是，则下列四个命题中为,(,),a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()f x ()g x R 真命题的是 （写出所有真命题的序号)①若、都是奇函数，则函数为奇函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ②若、都是偶函数，则函数为偶函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ③若、都是增函数,则函数为增函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ④若、都是减函数，则函数为减函数。
2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)
2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。
上海市松江区2017-2018学年高三一模数学(文)试题 Word版含解析
上海市松江区2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z满足|=0，则z的值为__________．2．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=__________．3．在等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，则a2+a4+a6+a8+a10=__________．4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=__________．5．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为__________（结果用反三角函数表示）．6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是__________．7．按如图所示的流程图运算，则输出的S=__________．8．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）图象向左平移φ个单位长度（0＜φ＜）所得图象关于y轴对称，则φ=__________．9．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于__________．10．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为__________．11．函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的单调递增区间为__________．12．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是__________．13．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是__________．14．在正项等比数列{a n}中，已知a1＜a4=1，若集A={t|（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）≤0，t∈N*}，则A中元素个数为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知p，q∈R，则“q＜p＜0”是“||＜1”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．若二项式展开式中含有常数项，则n的最小取值是( )A．5 B．6 C．7 D．817．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )A．B．C．D．18．已知满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2，其中[x]、[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，则S1与S2的关系是( )A．S1＜S2B．S1=S2C．S1＞S2D．S1+S2=π+3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．（1）求A的大小；（2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．20．已知函数f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．（1）若f（x）为偶函数，求b的值；（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．21．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．22．（16分）已知数列{a n}的首项为1，设f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）．（1）若{a n}为常数列，求f（4）的值；（2）若{a n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；（3）数列{a n}能否成等差数列，使得f（n）﹣1=2n•（n﹣1）对一切n∈N*都成立？若能，求出数列{a n}的通项公式；若不能，试说明理由．23．（18分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}为曲线C的界域．（1）写出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域；（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x=1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域．上海市松江区2015届高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z满足|=0，则z的值为±2i．考点：二阶行列式的定义；复数代数形式的乘除运算．专题：矩阵和变换．分析：由已知得z2+4=0，由此能求出z=±2i．．解答：解：∵=0，∴z2+4=0，解得z=±2i．故答案为：±2i．点评：本题考查复数的求法，是基础题，解题时要注意二阶行列式性质的合理运用．2．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（2）=log a2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．解答：解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=log a2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．点评：本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用，属于基础题．3．在等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，则a2+a4+a6+a8+a10=90．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用等差数列的前n项和公式求出首项和公差，由此能求出结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，a2=6，a5=15，∴，解得a1=3，d=3，∴a2+a4+a6+a8+a10=5a1+25d=90．故答案为：90．点评：本题考查数列的若干项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．解答：解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）•（）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．5．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，即有tan60°=，即b=a，在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a，cos∠BC1A1==．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题．6．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题．分析：依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x﹣3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．解答：解：∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），则1=，又a＞0，∴a=2，∴该圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=1；故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．点评：本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法．7．按如图所示的流程图运算，则输出的S=20．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可．解答：解：第一次运行得：S=5，a=4，满足a≥4，则继续运行第二次运行得：S=20，a=3，不满足a≥4，则停止运行输出S=20故答案为：20点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，在近两年的新课标地区2015届高考都考查到了，属于基础题．8．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）图象向左平移φ个单位长度（0＜φ＜）所得图象关于y轴对称，则φ=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据函数的周期为π，结合周期公式可得ω=2．得到函数的表达式后，根据函数y=f （x+φ）是偶函数，由偶函数的定义结合正弦的诱导公式化简整理，即可得到实数φ的值．解答：解：∵函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，∴ω==2，函数表达式为：f（x）=sin（2x+），又∵y=f（x）图象向左平移φ个单位长度所得图象为y=sin[2（x+φ）+）]关于y轴对称，∴2φ+=+kπ，k∈Z，因为0＜φ＜，所以取k=0，得φ=，故答案为：．点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的图象左移φ个单位后得到偶函数的图象，求φ的值．着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质和正弦的诱导公式等知识，属于基本知识的考查．9．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：可求得抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可求得b2及双曲线﹣=1的右焦点坐标，利用点到直线间的距离公式即可．解答：解：∵抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0），依题意，4+b2=9，∴b2=5．∴双曲线的方程为：﹣=1，∴其渐近线方程为：y=±x，∴双曲线的一个焦点F（3，0）到其渐近线的距离等于d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的简单性质，求得b2的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．10．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意知，七个数的中位数是5，说明5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，根据概率公式计算即可．解答：解：5之前5个数中取3个，5之后4个数中取3个，P==．故答案为：．点评：本题主要考查了古典概率和中位数的问题，关键是审清题意，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的单调递增区间为[kπ﹣]（k∈Z）．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简可得解析式f（x）=sin（2x﹣）+1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z即可解得函数f（x）的单调递增区间．解答：解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1，∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，∴可解得函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1的单调递增区间为：[kπ﹣]（k∈Z），故答案为：[kπ﹣]（k∈Z）．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．12．某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是[，]．考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：分别在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=+．运动点P，可得A、P、B三点共线时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值．由此即可得到函数f（x）的值域．解答：解：Rt△PCF中，PF==同理可得，Rt△PAB中，PA=∴PA+PF=+∵当A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF取得最小值=当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值+1∴≤PA+PF≤+1，可得函数f（x）=AP+PF的值域为[，]．故答案为：[，]．点评：本题以一个实际问题为例，求函数的值域，着重考查了勾股定理和函数的值域及其求法等知识点，属于基础题．13．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=．若函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6]恰有3个不同的零点，则a的取值范围是（，2）．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：由题意中f（x﹣2）=f（2+x），可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，又由函数为偶函数，则可得f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，可将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为两个函数图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象如下图所示：若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解则log a4＜3，log a8＞3，解得：＜a＜2，即a的取值范围是（，2）；故答案为（，2）．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，关键是根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题．14．在正项等比数列{a n}中，已知a1＜a4=1，若集A={t|（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）≤0，t∈N*}，则A中元素个数为7．考点：等比数列．专题：等差数列与等比数列．分析：设公比为q，由已知得a1=q﹣3，从而（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）=﹣=（a12q n﹣1﹣1）=•[q n﹣7﹣1]≤0，由此求出n≤7．解答：解：设公比为q∵a1＜a4=a1q3=1∴0＜a1＜1 1＜q3，q＞1，①∴a1=q﹣3，②∴（a1﹣）+（a2﹣）+…+（a t﹣）=（a1+a2+…+a t）﹣（++…+）（后一个首项，公比）=﹣=（a12q n﹣1﹣1），代入②，得•[q n﹣7﹣1]≤0∵＞0∴q t﹣7﹣1≤0q t﹣7≤1∴t﹣7≤0解得t≤7故答案为：7．点评：本题考查集合中元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知p，q∈R，则“q＜p＜0”是“||＜1”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：∵“q＜p＜0”，∴0＜＜1，则||＜1成立，即充分性成立，若当q=2，p=﹣1时，满足||＜1，但q＜p＜0不成立，即必要性不成立，故“q＜p＜0”是“||＜1”充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．若二项式展开式中含有常数项，则n的最小取值是( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0方程有解．由于n，r都是整数求出最小的正整数n．解答：解：展开式的通项为T r+1=3n﹣r（﹣2）r C n r x2n﹣令2n﹣=0，据题意此方程有解∴n=，当r=6时，n最小为7．故选C．点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．17．设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．解答：解：∵，∴，∴∴∴故选B．点评：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．18．已知满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2，其中[x]、[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，则S1与S2的关系是( )A．S1＜S2B．S1=S2C．S1＞S2D．S1+S2=π+3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：先把满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域表达出来，然后看二者的区域的面积，再求S1与S2的关系．解答：解：满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域为一个圆；其面积为：π当0≤x＜1，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1，1≤y＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1，﹣1≤y＜0时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当﹣1≤x＜0，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤y＜1，1≤x＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；∴满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域是五个边长为1的正方形，其面积为：5综上得：S1与S2的关系是S1＜S2，故选A．点评：本题类似线性规划，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大，[x]2+[y]2≤1的平面区域不易理解．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b=2asinB．（1）求A的大小；（2）若a=2，b=2，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，根据A为锐角求出A的度数即可；（2）由a，b，cosA的值，利用余弦定理求出c的值，根据b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）∵b=2asinB，∴由正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵a＜b＜c，∴A为锐角，则A=；（2）∵a=2，b=2，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=12+c2﹣2×2×c×，整理得：c2﹣6c+8=0，解得：c=2（舍去）或c=4，则S=bcsinA=×2×4×=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．已知函数f（x）=a|x+b|（a＞0，a≠1，b∈R）．（1）若f（x）为偶函数，求b的值；（2）若f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试求a、b应满足的条件．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（1）因为f（x）为偶函数，得到对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），求出b；（2）记h（x）=|x+b|=，讨论a值得到b的范围．解答：解：（1）因为f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（x），即a|x+b|=a|﹣x+b|，所以|x+b|=|﹣x+b|得b=0．（2）记h（x）=|x+b|=，①当a＞1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是增函数，∴﹣b≤2，b≥﹣2②当0＜a＜1时，f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，即h（x）在区间[2，+∞）上是减函数但h（x）在区间[﹣b，+∞）上是增函数，故不可能∴f（x）在区间[2，+∞）上是增函数时，a、b应满足的条件为a＞1且b≥﹣2点评：本题考查了函数奇偶性的运用以及讨论思想的运用，属于中档题．21．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．考点：根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H=×8=，底面半径为r=×4=；从而求时间；（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，设高为H′，从而得V=π×42×H′=π；从而求高．解答：解：（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H=×8=，底面半径为r=×4=；V=πr2H=π×（）2×=π≈39.71；V÷0.02≈1986（秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒．（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4，设高为H′，V=π×42×H′=π；H′=≈2.4；锥形沙堆的高度约为2.4cm．点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．22．（16分）已知数列{a n}的首项为1，设f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）．（1）若{a n}为常数列，求f（4）的值；（2）若{a n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；（3）数列{a n}能否成等差数列，使得f（n）﹣1=2n•（n﹣1）对一切n∈N*都成立？若能，求出数列{a n}的通项公式；若不能，试说明理由．考点：二项式定理的应用；等差数列的性质；等比数列的性质．专题：综合题；转化思想．分析：（1）{a n}为常数列，a1=1，可求a n=1，代入f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n C n n（n∈N*）可求f（4）的值；（2）根据题意可求a n=2n﹣1（n∈N*），f（n）=C n1+2C n2+4C n3+…+2n﹣1C n n，两端同时2倍，配凑二项式（1+2）n，问题即可解决；（3）假设数列{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，利用倒序相加法求得，最终转化为（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，从而求得d=2，问题解决．解答：解：（1）∵{a n}为常数列，∴a n=1（n∈N*）．∴f（4）=C41+C42+C43+C44=15．（2）∵{a n}为公比为2的等比数列，∴a n=2n﹣1（n∈N*）．∴f（n）=C n1+2C n2+4C n3+…+2n﹣1C n n，∴1+2f（n）=1+2C n1+22C n2+23C n3+…+2n C n n=（1+2）n=3n，故．（3）假设数列{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，设公差为d，则f（n）=a1C n1+a2C n2+…+a k C n k+…+a n﹣1C n n﹣1+a n C n n，且f（n）=a n C n n+a n﹣1C n n﹣1+…+a k C n k+…+a2C n2+a1C n1，相加得2f（n）=2a n+（a1+a n﹣1）（C n1+C n2+…+C n k+…+C n n﹣1），∴==1+（n﹣1）d+[2+（n﹣2）d]（2n﹣1﹣1）．∴f（n）﹣1=（d﹣2）+[2+（n﹣2）d]2n﹣1=（n﹣1）2n对n∈N*恒成立，即（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）2n﹣1=0对n∈N*恒成立，∴d=2．故{a n}能为等差数列，使得f（n）﹣1=（n﹣1）2n对一切n∈N*都成立，它的通项公式为a n=2n ﹣1．点评：本题重点考查二项式定理的应用，解决的方法有倒序相加法求f（n），难点在于综合分析，配凑逆用二项式定理，属于难题．23．（18分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在最小的非负实数m和n，使得曲线C上任意一点P（x，y），|x|≤m，|y|≤n恒成立，则称曲线C为有界曲线，且称点集{（x，y）||x|≤m，|y|≤n}为曲线C的界域．（1）写出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域；（2）已知曲线M上任意一点P到坐标原点O与直线x=1的距离之和等于3，曲线M是否为有界曲线，若是，求出其界域，若不是，请说明理由；（3）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线的界域．考点：曲线与方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得（x﹣1）2≤4，y2≤4，由此能求出曲线（x﹣1）2+y2=4的界域．（2）设P（x，y），则+|x﹣1|=3，从而得到﹣1≤x≤2，﹣2，由此得到曲线M为有界曲线，并能求出求出其界域．（3）由已知得：=a，×=a，从而得到|x|，，进而得到|y|≤，由此能求出曲线C界域．解答：解：（1）∵曲线（x﹣1）2+y2=4，∴（x﹣1）2≤4，y2≤4，∴﹣1≤x≤3，﹣2≤y≤2，∴界域为{（x，y）||x|≤3，|y|≤2}．（2）设P（x，y），则+|x﹣1|=3，化简，得：y2=，∴﹣1≤x≤2，﹣2，∴界域为{（x，y）||x|≤2，|y|}．（3）由已知得：=a，×==a，∴（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，∴|x|，，令t=，，，当t=2，即时，等号成立．若0＜a≤2，1﹣[1﹣a，1+a]，时，，∴|y|≤，若a＞2，1﹣＜0，，∴x=0时，=a﹣1，∴|y|≤，∴曲线C界域为：①0＜a≤2时，{（x，y）|x|≤，|y|≤}．②a＞2时，{（x，y）||x|，|y|≤}．点评：本题考查曲线的界域的求法，考查曲线是否为有界曲线的判断与界域的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。
2018——2019年上海各区高中数学高三数学一模试卷试题汇总
第一学期教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________.()12,2. 抛物线24=y x 的焦点坐标为_________.()10, 3. 不等式2log 1021>x 的解为____________.4(,)+∞4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为_________. 225. 若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y fx 的图像一定经过定点____.()13,6. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936=S ，则348++=a a a ________.127. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边是,,a b c .若22)32(b a ⋅+=，c b =，则=A ___.56π 8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 ．π3 9.已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________.358x 10. 已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.(,-∞11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)++=-++n n n na n a n a *()∈n N ， 且121,2,a a ==若1lim,+→∞=n n na A a 则=A ___________. 100912. 已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. [)2,6∈-a解：当[)12,∈+∞x 时，1211041616x x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，.当()2,2∈-∞x 时，（1）若2a ≥，则()11=22x aa xf x --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在(),2-∞上是单调递增函数，所以()2210,2a f x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若满足题目要求，则21100,162a -⎛⎫⎛⎤⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭⎝⎭，，所以24111,24,62162a a a -⎛⎫⎛⎫>=∴-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.又2a ≥，所以[)2,6a ∈. （2）若2a <，则()1,,21=21, 2.2a xx ax ax a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 在(),a -∞上是单调递增函数，此时()()0,1f x ∈；()f x 在[),2a 上是单调递减函数，此时()21,12a f x -⎛⎤⎛⎫∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦.若满足题目要求，则211,2162aa -⎛⎫≤∴≥- ⎪⎝⎭，又2a <，所以[)2,2a ∈-.综上，[)2,6a ∈-.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ A ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（ D ）（A ）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（B ）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面 （C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ B ）种.（A ）72 （B ）36 （ （D ）81 16. 已知点()()1,2,2,0-A B ，P ⋅AP AB 的取值范围为（ A ）（A ）[]1,7 （B ）[]1,7- （C）1,3⎡+⎣ （D）1,3⎡-+⎣三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分 已知直三棱柱ABC C B A -111中，︒=∠===9011BAC ,AA AC AB .（1）求异面直线B A 1与11C B 所成角； （2）求点1B 到平面BC A 1的距离．解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分 在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分 （2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ， 由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分 因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ． 所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分 或者用空间向量：（1） 设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,A ，()01111,,C B -=，…………4分A1C CB1B 1A因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分 （2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u n =，则B A n ,BC n 1⊥⊥． 又()011,,-=，()1011-=,,A ，……………9分所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u A ，得()111,,n =．…………12分所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（1）若角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，求()f α的值； （2）当[,]63ππ∈-x 时，求()f x 的单调递增区间和值域.解：（1）∵角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，∴43sin =,cos =55αα ……2分2243432()cos 2sin 2()55525αααα=-=⨯-⨯=f …4分（2）2()cos 2sin f x x x x =-2cos21x x =+- …………………6分2sin(2)16x π=+- …………………………8分由222262k x k πππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+又[,]63x ππ∈-，所以()f x 的单调递增区间是[,]66x ππ∈-； ………………10分∵[,]63x ππ∈-，∴52666x πππ-≤+≤…………………………12分 ∴1sin(2)126x π-≤+≤，()f x 的值域是[2,1]-. ………………14分19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E = （6分）（2）03t <≤时，16()=20aH t t t++ （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨⎪⎩ （10分） ②39(,)1616343a a⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩ （12分） 综上，1[,)4a ∈+∞ （14分）20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线Γ: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是 1F 、2F ，左、右两顶点分别是 1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）．（1）若(2,3)d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若1PA =，5PB = ，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．解：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：即0bx ay ±=，所以3b a =，…………2分 从而3tan2θ=22tan 2tan 431tan2θθθ==-， 所以arctan 3θ=………………………………………………..4分（2）设 (,)P P P x y ，则由条件知：11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=，11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=，即(3,1)P ．…………6分所以(2,1)A ，(3,3)C ，………………………………………………………..…………7分代入双曲线方程知：2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a ……9分 127527822=-y x ………………………………………………………………….. 10分 （3）因为124A A =，所以2a =，由（1）知，3b =Γ的方程为: 22143x y -=， 令00(,)C x y ，所以2200143x y -=，010:(2)2y CA y x x =++，令1x =，所以003(1,)2y M x +， 020:(2)2y CA y x x =--，令1x =，所以00(1,2y N x --， …………12分故以MN 为直径的圆的方程为：200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-， 即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-，即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+，…………………………………………….14分 若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y 所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-……………………………………………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,n A A A A （*n N ∈），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （*n N ∈），使得1k k kA B A -∆*()k N ∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n .（1）求(1),(2)f f ，并猜想()f n （不要求证明）； （2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)mm内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{}n b满足：11,2n b b +==数列{}n c 满足：111,n nc c +==求证：1()2n n n b f c π+<<.解：（1）(1)1f =，(2)2f = （2分） 猜想()f n n = （2分） （2）98n a n =- （5分）由21218899899999m mm m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n （6分）21199m m m t --∴=- （7分） 352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- 352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=-- （9分） 2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S （10分）.（3）1sin,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+== *1()2n n n N πθ+⇒=∈ （12分） 1tan ,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈ （14分） 11sin,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知： 1111sin()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<= （18分）杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2018.12.18一、填空题（本大题有12题，满分54分，第1——6题每题4分，第7—12题每题5分） 1、设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则____u=2、已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为_____ 3、已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为_____ 4、若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则____n = 5、若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是_____6、若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于_______7、在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是____8、若函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围__9、在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是____10、已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期______ 11、当0x a <<时，不等式()22112x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为______ 12、设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112nn n n T b n N *+=-∈， 且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为_____二、选题题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13、下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）（A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x=-（D ）()cos f x x =14、某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为 （ ）（A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315、已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos sin ,,2sin cos a f b f c f θθθθθ+⎛⎫⎛⎫===⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16、已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R ==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ） （ A ）[]0,4 （B ）[]1,4- （C ）[]3,5- （D ）[]0,7三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17、（本题满分14分，第1题满分6分，第2小题满分8分）如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。
(2021年整理)2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)
2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)的全部内容。
2018年一模汇编—-函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】 设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= 。
【答案】2-。
【解析】()11144f --==，()()1124f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭。
【点评】考察函数的概念。
【例2】函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【答案】()1a ,∈-∞-. 【解析】①当0a ≥时,112a a ->，2a <-（舍）；② 当0a <时,1a a>，1a >（舍）或1a <-；综上,所以()1a ,∈-∞-.【点评】考察分段函数的概念.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2x f x x x -=+，则(1)g(1)f += .【答案】12-。
【解析】()()()2x f x g x x ----=+-，根据奇偶性可得,()()2x f x g x x -+=-,所以()()1111212f g -+=-=-.【点评】考察函数的奇偶性，利用奇偶性求解析式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年上海市松江区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）计算：=．
2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=．
3．（4分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10=．4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a=．
5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于．
6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是．
7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是．
8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且
弦AB的长为2，则a=．
9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则
的最小值为．
10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为．
11．（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是（写出所有真命题的序号）
①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；
②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；
③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；
④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．12．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，则实数q的取值范围为．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）
A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3
14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）
16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．
（1）求BC边的长；
（2）求△ABC的面积．
18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．
19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为
，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；
（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．
21．（18分）已知有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n+1﹣a n|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．
（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{a n}；
（2）若m=64，a1=2，求证：数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则a m所有可能的取值共有多少个？请说明理由．
2018年上海市松江区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）计算：=．
【解答】解：==，
故答案为：，
2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B={x|2≤x＜3} ．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，
∵A={ x|0＜x＜3}，
∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．
故答案为：{x|2≤x＜3}．
3．（4分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，
∴，解得d=2，a1=1．
则S10=10+=100．
故答案为：100．
4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a=3．
【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则：2=，。