利用高数知识解决高考压轴题

利用高数知识解决高考压轴题
2010年全国高考理科数学全国（1）卷第22题，它重点考察学生的理解能力、推理能力、分析能力、构造能力等，技巧性较高。

但是如果能抓住问题的本质，知识的出处，站在较高的位置来思考问题，本题虽然是压轴题，也就不见得有多难了。

题目：2010年全国卷第（22）题：已知数列{an}中，a1=1，an+1=c-1an
（Ⅰ）设c=52，bn=1an-2求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的实数c的取值范围。

参考解析：由（Ⅰ）an+1-2=52-1an-2=an-22an，1an+1-2=2anan-2=4an-2+2即bn+1=4bn+2，bn+1+23=4(bn+23) ，又a1=1，故b1=1a1-2=-1
所以数列{bn+23}是首项为-13，公比为4的等比数列，有bn+23=-13Ｘ4n-1；因此：bn=-13Ｘ4n-1-23（n∈N*）。

（Ⅱ）a1=1，a2=c-1，由a2＞a1得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时an＜an+1.
（ⅰ）当n=1时，a2=c-1a1＞a1，命题成立；
（ⅱ）假设设当n=k时，有ak＜ak+1，则当n=k+1时，ak+2=c-1ak+1
＞c-1ak=ak+1
故由（ⅰ）（ⅱ）知，当c＞2时an＜an+1
当c＞2时，令a=c+c2-42，由an+1an＜an+1+1an=c得an＜a
当2＜c≤103时，an＜a≤3；当c＞103时，a＞3，且1≤an＜a
于是a-an+1=1ana(a-an)≤13(a-an)，有a-an+1≤13n(a-1)
当n＞log3a-1a-3时，得a-an+1＜a-3，an+1＞3
因此c＞103不符合要求，综上实数c的取值范围是(2，103]。

我们来解析问题（Ⅰ）的数学背景，在数列{an}中，已知a1=1且有递推关系an+1=52-1an，求数列{1an-2}的通项公式。

这个问题实质上是高中奥林匹克数学竞赛中常常涉及到的知识——用特征方程求数列通项公式的问题。

因为an+1=52-1an对应的特征方程是x=52-1x，解之得两根x1=2和x2=12，于是数列{an-12an-2}为等比数列，公比为4，首项a1-12a1-2=-12。

所以an-12an-2=a1-12a1-2Ｘ4n-1，解得1an-2=-13Ｘ4n-1-23
所以bn=-13Ｘ4n-1-23。

定理1已知f(x)=ax+bcx+d(c≠0，ad-bc≠0)，，数列{an}满足递归关系an+1=f(an)，且a1=f(a1)，如果方程x=ax+bcx+d有两个相异实根p，q；则an+1-pan+1-q=kＸan-pan-q；
数列{an-pan-q}是等比数列，公比k=a-pca-qc。

这个定理可以通过直接计算来证明，这里从略。

问题（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的实数c的取值范围。

参考解答的过程确实曲折，技巧性的确很强，难免让学生摸不着门路，让人望而生畏。

着实想敬而远之。

但是通过仔细思考，发现问题（Ⅱ）实质上是考察高等数学中的单调有界定理的应用。

只要抓住实质，问题也就可以迎刃而解了。

定理2如果一个数列单调递增有上界（或单调递减有下界），则该数列必有极限。

证明：不妨设{an}是单调递增有上界的数列，由确界原理，数列{an}有上确界，令A=sup{an}
，下证limn→∞an=A：
事实上，对于ε＞0，由确界原理知，数列{an}中某个项aN，эA-ε＜aN；因为数列{an}是递增的，当n≥N时，都有A-ε＜aN≤an，又因为an≤A（A是数列{an}的上确界），所以，对于ε＞0，自然数N，э当n≥N时，有A-ε＜an＜A+ε
所以limn→∞an=A，证毕。

证明用到了确界原理和数列极限的ε-N 定义。

我们可以用单调有界定理解决问题（Ⅱ），具体证明如下：
由定理2知limn→∞an存在，不妨设limn→∞an=A，对an+1=c-1an 两边取极限，有limn→∞an+1=limn→∞(c-1an)，得A=c-1A，于是c=A+1A(2＜A≤3)，考察函数f(x)=x+1x在区间(2，3]上的值域问题，易得2＜c≤103。

注：综上所述，问题（Ⅰ）找到了奥数背景，问题（Ⅱ）发现了高数踪迹。

如果我们不知道问题的背景，直接看参考答案，难免会觉得无所适从，因为技巧性太强，甚至成绩很好的学生也未必想得到参考答案的构造方法；但是只要我们能找出本问题的数学背景，解决起来就会得心应手。

随着高中课程改革，很多高等数学的知识已经放到高中课本中进行学习，如向量、导数、算法、积分等。

新课程改革对学生、对老师都提出了新的挑战，要在新一轮的改革中充当排头兵，走在改革的前列；作为教师的我们必须身先士卒、刻苦钻研、开拓创新认真的把改革推行下去。

参考文献
［1］《数学分析》高等数学出版社华东师范大学数学系
［2］《高等数学辅导》北京大学数学科学学院邹本腾漆毅王奕倩［3］《数学奥林匹克》北京大学出版社单遵。